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Analysis 1.2

Aufgaben
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Aufgabe 1.2: Weidezelt

a)
Hersteller A nutzt für die Konstruktion der bogenförmigen Rohre als Modell den Graphen $G_f$ der Funktion $f(x) = -\mathrm e^{0,3x^2} + 5$; $x \in \mathbb{R}$. Dabei liegt die $x$-Achse in der Höhe des Erdbodens, die $y$-Achse verläuft durch den höchsten Punkt von $G_f$, siehe Abbildung 2.
Zeige, dass $x_{1;2}\approx \pm 2,3 $ die Nullstellen von $f$ sind und bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes von $G_f$ mit der $y$-Achse.
Gib die Höhe und die Breite des Weidezeltes an, $1\,\text{LE}$$=1\,\text{m}$.
(8P)
#schnittpunkt#nullstelle#graph
b)
Zeige rechnerisch, dass der Graph $G_f$ der Funktion $f$ genau einen Extrempunkt besitzt und dieser ein Hochpunkt ist. Gib die Koordinaten des Hochpunktes an.
Weise rechnerisch nach, dass es keine Wendepunkte gibt.
[Zur Kontrolle: $f''(x)=\mathrm{e}^{0,3x^2} (-0,6-0,36x^2)$]
(14P)
#extrempunkt#exponentialfunktion
c)
(4P)
#rechteck
d)
(4P)
#graph#parameter
e)
Weidezelte, die für Lagerzwecke genutzt werden, werden häufig mit Planen für die Frontflächen versehen.
Ermittle die Größe der Frontfläche für das Zelt von Hersteller B.
Ein Bauer möchte im Weidezelt $10$ $\text{t}$ Heu lagern. $1\,\text{m}^3$ Heu hat eine Masse von $100\,\text{kg}$.
Berechne, wie lang das Weidezelt dafür sein müsste.
(10P)
(40P)
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe A 1.2

a)
$\blacktriangleright$ Nullstellen berechnen
Um die Nullstellen der angegebenen Funktion $f(x) = -\mathrm e^{0,3x^2} + 5$ zu bestimme, musst du $f(x)=0$ setzen und nach $x$ auflösen.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt von $\boldsymbol{G_f}$ und der $\boldsymbol{y}$-Achse bestimmen
Um den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der $y$- Achse zu bestimmen, setzt du in den Funktionsterm $f(x)$ Null ein und vereinfachst.
$\blacktriangleright$ Höhe und Breite des Weidezeltes berechnen
Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass die $x$-Achse auf Höhe des Erdbodens ist und die $y$-Achse durch den höchsten Punkt verläuft. Dadurch entspricht die Breite des Weidezeltes dem Abstand zwischen den beiden Nullstellen und die Höhe dem $y$- Wert des Schnittpunktes des Graphen $G_f$ mit der $y$-Achse
b)
$\blacktriangleright$ Nachweis, dass $\boldsymbol{G_f}$ genau einen Extrempunkt besitzt, welcher ein Hochpunkt ist
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
$\blacktriangleright$ Nachweis, dass es keine Wendestelle gibt
Die notwendigen Bedingungen für eine Wendestelle bei $x_W$ ist:
$ f''(x_W)=0$
Diese Bedingung kannst du direkt anwenden, weil du die zweite Ableitung schon im vorherigen Aufgabenteil berechnet hast.
c)
$\blacktriangleright$ Maximalen Flächeninhalt des Netzes überprüfen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die untere Begrenzung für das Netz auf einer Höhe von $2 \text{m}$ befestigt ist. Die obere Begrenzung ist durch zwei Punkte auf dem Graphen $G_f$ festgelegt. Der Flächeninhalt des Netzes ist das Produkt der Höhe und der Breite des Netztes. Um diesen zu bestimmen, gehst du wie folgt vor:
  1. Bestimme die Breite $a$ und die Höhe $b$ in Abhängigkeit von $x$.
  2. Multipliziere $a$ und $b$ um den Flächeninhalt und damit die Zielfunktion in Abhängigkeit von $x$ zu erhalten.
  3. Du sollst außerdem zeigen, dass der Flächeninhalt für die Breite $a\approx 2,46$ maximal wird. Das machst du indem du nachweist, dass für $x \approx 1,23$ ein Maximum vorliegt.
d)
$\blacktriangleright$ Bestimmen der Funktionsgleichung $\boldsymbol{p(x)}$
Der Aufgabenstellung entnimmst du die allgemeine Form der Funktionsgleichung $p(x)=ax+b$ von $G_p$. Um die Werte $a$ und $b$ zu bestimmen, liest du die Koordinaten von zwei Punkten des Graphen $G_p$ ab und setzt diese in die allgemeine Funktionsgleichung ein. Damit erhältst du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.
Ablesen der Punkte und einsetzen in $\boldsymbol{p(x)}$
Wähle beim Ablesen der Koordinaten Gitterpunkte des Koordinatensystems, zum Beispiel die Punkte $P_1(-2 \mid 2)$ und $P_2(0 \mid 4)$. Da die Punkte $P_1$ und $P_2$ auf $G_p$ liegen, müssen die folgenden Gleichungen erfüllt sein:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&p(-2)&=\quad 2 \scriptsize\text{}\text{}\text{}\\ \text{II}\quad&p(0)&=\quad4\\ \end{array}$
Nun kannst du mit dem Aufstellen des Gleichungssystems fortfahren:
e)
$\blacktriangleright$ Größe der Frontfläche bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du den Inhalt Fläche berechnen, die in Abbildung 2 durch den Graphen $G_p$ nach oben und durch die $x$-Achse nach unten begrenzt wird. Diese Fläche kannst du mit dem Integral über die Funktion $p(x)$ bestimmen. Das Integrationsintervall, welches du aus der Abbildung ablesen kannst ist $[-2,2]$. Das Integral berechnest du wie folgt:
$\blacktriangleright$ Länge des Weidezelts berechnen
Du kannst der Aufgabenstellung entnehmen, dass $100 \, \text{kg}$ ein Volumen von $1\text{m}^3$ entsprechen. Damit kannst du das Volumen von zehn Tonnen Heu ($10000\, \text{kg}$) berechnen:
Um die benötigte Länge zu berechnen, musst du nur noch das Volumen, welches das Zelt haben soll durch die größe der Querschnittsfläche teilen.
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Aufgabe A 1.2

a)
$\blacktriangleright$ Nullstellen berechnen
Um die Nullstellen der angegebenen Funktion $f(x) = -\mathrm e^{0,3x^2} + 5$ zu bestimme, musst du $f(x)=0$ setzen und nach $x$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\ -\mathrm e^{0,3x^2} + 5&=& 0& \quad \scriptsize \mid\; +\mathrm e^{0,3x^2} \\[5pt] \mathrm e^{0,3x^2} & = & 5 & \quad \scriptsize \mid\; \ln() \\[5pt] 0,3x^2 & = & \ln(5) & \quad \scriptsize \mid\; \div 0,3 \\[5pt] x^2 & = & \frac{\ln(5)}{0,3} \approx 5,365 & \quad \scriptsize \mid \; \sqrt{ \, } \\ x_1& = &\sqrt{5,365} \approx 2,3 \\ x_2 & = & - \sqrt {5,365} \approx -2,3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\ x_1& = &\sqrt{5,365} \\ x_2 & = & - \sqrt {5,365} \end{array}$
Damit erhältst du für die Nullstellen die Werte $x_1=2,3$ und $x_2=-2,3$, welche laut Aufgabe nachzuweisen waren.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt von $\boldsymbol{G_f}$ und der $\boldsymbol{y}$-Achse bestimmen
Um den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der $y$- Achse zu bestimmen, setzt du in den Funktionsterm $f(x)$ Null ein und vereinfachst.
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& -\mathrm e^{0,3\cdot 0^2} + 5 \\ &=& -\mathrm e^{0} + 5 \\ & = & -1 + 5 \\ & = & 4 \end{array}$
Der Funktionsgraph $G_f$ schneidet die $y$-Achse also im Punkt $S(0 \mid 4)$.
$\blacktriangleright$ Höhe und Breite des Weidezeltes berechnen
Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass die $x$-Achse auf Höhe des Erdbodens ist und die $y$-Achse durch den höchsten Punkt verläuft. Dadurch entspricht die Breite des Weidezeltes dem Abstand zwischen den beiden Nullstellen und die Höhe dem $y$- Wert des Schnittpunktes des Graphen $G_f$ mit der $y$-Achse $S(0\mid 4)$.
Der Abstand zwischen den beiden Nullstellen ist
$2,3 + 2,3 = 4,6$
Der Weidezaun ist also $4,6$ m breit und $4$ m hoch.
b)
$\blacktriangleright$ Nachweis, dass $\boldsymbol{G_f}$ genau einen Extrempunkt besitzt, welcher ein Hochpunkt ist
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
Beachte, dass du bei der Exponentialfunktion die Kettenregel anwenden musst.
$f'(x) $$= -0,3 \cdot 2x \cdot \mathrm e^{0,3\cdot x^2} $$= -0,6 x \cdot \mathrm e^{0,3\cdot x^2}$
Leitest du $f(x)$ zum zweiten Mal ab, musst du sowohl die Kettenregel, als auch die Produktregel beachten.
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=& -0,6 x \cdot 0,6 x \cdot \mathrm e^{0,3\cdot x^2} - 0,6 \cdot \mathrm e^{0,3\cdot x^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -0,36 x^2 \cdot \mathrm e^{0,3\cdot x^2} - 0,6 \mathrm e^{0,3\cdot x^2} \\ & = & \mathrm{e}^{0,3x^2} (-0,6-0,36x^2) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=& … \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x_E)&=& 0 \\[5pt] -0,6 \cdot x_E \cdot \mathrm e^{0,3\cdot x_E^2}&=& 0 \end{array}$
Mit dem Satz des Nullprodukts weißt du, dass die Gleichung erfüllt ist wenn,
$-0,6 \cdot x_E = 0$ oder $\mathrm e^{0,3\cdot x_E^2} =0$ erfüllt ist.
Die Exponentialfunktion ist für jedes $x$ positiv und somit nie null. Deswegen genügt, wenn du die folgende Gleichheit zeigst:
$\begin{array}[t]{rll} -0,6 \cdot x_E&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; : \; (-0,6)\\[5pt] x_E &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} -0,6 \cdot x_E&=& 0&\quad \\[5pt] x_E &=& 0 \end{array}$
Es gibt also nur eine Lösung. Deswegen gibt es höchstens einen Hochpunkt.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Jetzt setzt du den Wert $x_E=0$ aus Schritt 2 in die zweite Ableitung ein:
$f(0)=\mathrm{e}^{0,3\cdot 0^2} (-0,6-0,36\cdot 0^2)=-0,6 $
$f(0)=-0,6 $
.
Da dieser Wert kleiner als Null ist, liegt an der Stelle $x_E=0$ ein Hochpunkt vor.
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
Den Funktionswert $f(0)$ hast du bereits im Aufgabenteil a) bestimmt. Der Hochpunkt hat also die Koordinaten $H(0 \mid 4)$.
$\blacktriangleright$ Nachweis, dass es keine Wendestelle gibt
Die notwendigen Bedingungen für eine Wendestelle bei $x_W$ ist:
$ f''(x_W)=0$
Diese Bedingung kannst du direkt anwenden, weil du die zweite Ableitung schon im vorherigen Aufgabenteil berechnet hast. Da die Exponentialfunktion immer positiv ist kannst du die Gleichung mit dem Satz des Nullprodukts vereinfachen:
$\begin{array}[t]{rll} \mathrm{e}^{0,3x^2} (-0,6-0,36x^2)&=& 0 & \\[5pt] -0,6-0,36x^2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+0,6 \\[5pt] -0,36 x^2 &=& 0,6 &\quad \scriptsize \mid\;: (-0,36) \\[5pt] x^2 &=& -1,67 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x^2 &=& -1,67 \end{array}$
Im nächsten Schritt müsstest du die Wurzel ziehen. Da du aber aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kannst, gibt es für die Gleichung keine Lösung und damit auch keine Wendestelle.
#funktionswert#produktregel#kettenregel#ableitung#satzvomnullprodukt
c)
$\blacktriangleright$ Maximalen Flächeninhalt des Netzes überprüfen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die untere Begrenzung für das Netz auf einer Höhe von $2 \text{m}$ befestigt ist. Die obere Begrenzung ist durch zwei Punkte auf dem Graphen $G_f$ festgelegt. Der Flächeninhalt des Netzes ist das Produkt der Höhe und der Breite des Netztes. Um diesen zu bestimmen, gehst du wie folgt vor:
  1. Bestimme die Breite $a$ und die Höhe $b$ in Abhängigkeit von $x$.
  2. Multipliziere $a$ und $b$ um den Flächeninhalt und damit die Zielfunktion in Abhängigkeit von $x$ zu erhalten.
  3. Du sollst außerdem zeigen, dass der Flächeninhalt für die Breite $a\approx 2,46$ maximal wird. Das machst du indem du nachweist, dass für $x \approx 1,23$ ein Maximum vorliegt.
Analysis 1.2
Abb. 1: Graph $G_f$ mit eingezeichnetem Netz, sowie der Höhe und der Breite.
Analysis 1.2
Abb. 1: Graph $G_f$ mit eingezeichnetem Netz, sowie der Höhe und der Breite.
Schritt 1: Bestimmen von $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$
Die Breite $a$ ist der Abstand zwischen den beiden Punkten, an denen das Netz die Kurve berührt. Die beiden Berührpunkte von Netzt und $G_f$ sind gleich weit von der $y$-Achse entfernt. Dieser Abstand ist $x$. Damit ist $a=2\cdot x$.
Das Bestimmen der Breite ist etwas aufwendiger. Der Abstand vom Boden bis zum linken Berührpunkt des Netzes entspricht dem Abstand vom Boden bis zum rechten Berührpunkt des Netzes, nämlich gerade $f(x)$. Da das Netz aber nicht bis zum Boden geht, sondern zwei Meter oberhalb endet, ist
$b=f(x)-2$.
Schritt 2: Zielfunktion bestimmen
Die Funktion, welche den Flächeninhalt in Abhängigkeit von $x$ angibt, erhältst du durch Multiplikation von $a$ und $b$:
$Z(x)= a \cdot b $$= 2x \cdot (f(x)-2) $$= 2x \cdot (-\mathrm e^{0,3x^2} + 3)$
Schritt 3: Bestimmung des Wertes $\boldsymbol{x_M}$, für den der Flächeninhalt maximal wird
Du sollst hier das Maximum der Zielfunktion bestimmen. Dafür gehst du ähnlich vor, wie in Augabenteil b).
Du bestimmst zuerst die Ableitung $Z'(x)$. Unter Beachtung der Produkt- und der Kettenregel erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} Z'(x)&=& 2 \cdot (-\mathrm e^{0,3x^2} + 3) + 2x \cdot (-0,3 \cdot 2x \cdot \mathrm e^{0,3x^2} ) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& - 2 \mathrm e^{0,3x^2} +6 -1,2 \cdot x^2 \cdot \mathrm e^{0,3x^2} \\ &=&\mathrm e^{0,3x^2} (-2-1,2x^2)+6 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} Z'(x)&=& … \end{array}$
Die Fläche des Netzes soll bei einer Breite von $2,46\, \text{m}$ maximal werden. Das entspricht einem $x$-Wert von $1,23$ , da die Breite durch $2 a$ gegeben ist. Diesen Wert kannst du jetzt in deine Ableitung einsetzen. Wenn $Z'(1,23)=0$ ist, weißt du, dass ein Extrempunkt vorliegt.
$Z'(1,23)=\mathrm e^{0,3\cdot 1,23^2} (-2-1,2 \cdot 1,23^2)+6 \approx 0$
$Z'(1,23)\approx 0$
In der Aufgabenstellung steht, dass es nicht nötig ist, mithilfe der zweiten Ableitung die Art der Extremstelle zu untersuchen. Darum entfällt der dritte Schritt. Du hast jetzt gezeigt, dass deine Zielfunktion an der Stelle $1,23$ ein Maximum hat, was bedeutet, dass der Flächeninhalt des Netzes bei einer Breite von $2,46 \, \text{m}$ maximal ist.
#kettenregel#abstand#ableitung#produktregel
d)
$\blacktriangleright$ Bestimmen der Funktionsgleichung $\boldsymbol{p(x)}$
Der Aufgabenstellung entnimmst du die allgemeine Form der Funktionsgleichung $p(x)=ax+b$ von $G_p$. Um die Werte $a$ und $b$ zu bestimmen, liest du die Koordinaten von zwei Punkten des Graphen $G_p$ ab und setzt diese in die allgemeine Funktionsgleichung ein. Damit erhältst du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.
Schritt 1: Ablesen der Punkte und einsetzen in $\boldsymbol{p(x)}$
Wähle beim Ablesen der Koordinaten Gitterpunkte des Koordinatensystems, zum Beispiel die Punkte $P_1(-2 \mid 2)$ und $P_2(0 \mid 4)$.
Analysis 1.2
Abb. 2: Weidezelt von Hersteller B.
Analysis 1.2
Abb. 2: Weidezelt von Hersteller B.
Da die Punkte $P_1$ und $P_2$ auf $G_p$ liegen, müssen die folgenden Gleichungen erfüllt sein:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&p(-2)&=\quad 2 \scriptsize\text{}\text{}\text{}\\ \text{II}\quad&p(0)&=\quad4\\ \end{array}$
Nun kannst du mit dem Aufstellen des Gleichungssystems fortfahren:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&a\cdot(-2)^2+b&=\quad 2 \scriptsize\text{}\text{}\text{}\\ \text{II}\quad&a\cdot0^2+b&= \quad 4 \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&4a+b&=\quad 2 \scriptsize\text{}\text{}\text{}\\ \text{II}\quad&b&=\quad 4 \\ \end{array}$
Du kannst direkt ablesen, dass der Wert $b=4$ ist. Diesen Wert kannst du in Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach $a$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} 2&=&4a+4 &\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt] -2&=&4a &\quad \scriptsize \mid\;\div 4 \\[5pt] -0,5&=&a \end{array}$
Du erhältst also die Werte $a=-0,5$ und $b=4$ und damit die Funktionsgleichung $p(x)=-0,5 x^2+4$.
#lgs
e)
$\blacktriangleright$ Größe der Frontfläche bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du den Inhalt Fläche berechnen, die in Abbildung 2 durch den Graphen $G_p$ nach oben und durch die $x$-Achse nach unten begrenzt wird. Diese Fläche kannst du mit dem Integral über die Funktion $p(x)$ bestimmen. Das Integrationsintervall, welches du aus der Abbildung ablesen kannst ist $[-2,2]$. Das Integral berechnest du wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-2}^{2}\; -0,5x^2+4\mathrm dx&=&\left[\dfrac{-0,5}{3}\cdot x^3 +4x \right]_{-2}^{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \Big(-\frac{0,5}{3} \cdot 2^3 +4 \cdot 2 \Big)-\Big( -\frac{0,5}{3} \cdot (-2)^3 +4 \cdot (-2) \Big) \\ &=& 13,3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-2}^{2}\; -0,5x^2+ … \end{array}$
Da alle Angaben in Metern sind, beträgt die Größe der Frontfläche $13,3 \, \text{m}^2$
$\blacktriangleright$ Länge des Weidezelts berechnen
Du kannst der Aufgabenstellung entnehmen, dass $100 \, \text{kg}$ ein Volumen von $1\text{m}^3$ entsprechen. Damit kannst du das Volumen von zehn Tonnen Heu ($10000\, \text{kg}$) berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 100 \, \text{kg}&\mathrel{\widehat{=}}& 1 \text{m}^3&\quad \scriptsize \\[5pt] 10000\, \text{kg}&\mathrel{\widehat{=}}& 100\, \text{m}^3 \end{array}$
Die Querschnittsfläche des Weidezelts hat eine Größe von $13,3\, \text{m}^2$. Um die benötigte Länge zu berechnen, musst du nur noch das Volumen, welches das Zelt haben soll durch die größe der Querschnittsfläche teilen:
$100\, \text{m}^3 \div 13,3\, \text{m}^2 \approx 7,5 \, \text{m}$. Das Weidezelt müsste demnach ungefähr $7,5\, \text{m}$ lang sein.
#intervall#integral
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