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Analysis 2.1

Aufgaben
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Kiri Bäume

Kiri-Bäume wachsen außergewöhnlich schnell. Die Holzmasse eines Kiri-Baums nimmt ca. 10-mal so schnell zu wie die einer Eiche. Ursprünglich kommt der Kiri-Baum aus Südost-Asien, aber er wird auch in Europa zur Holzproduktion gepflanzt. Zurzeit wird untersucht, unter welchen Bedingungen Kiri-Bäume besonders gut wachsen.
Das Wachstum eines Baums $A$ kann für $t\geq 0$ bis zum Erreichen der maximalen Höhe näherungsweise durch die Funktion $h$ mit $h(t)=-0,1\cdot t^4+20\cdot t^2$ beschrieben werden. Dabei gibt $t$ die Zeit in Jahren und $h(t)$ die Höhe in $\text {cm}$ an.
$\,$
a)
Bestimme die Höhe des Baums $A$ nach $2$ Jahren und nach $8$ Jahren.
Berechne die maximale Höhe des Baums $A$.
Gib an, wie viele Jahre der Baum $A$ wächst.
(7 BE)
$\,$
b)
Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit des Baums $A$ für $t=2$ und für $t=8$.
Berechne die höchste Wachstumsgeschwindigkeit des Baums $A$ in $\,\text{cm/Jahr}$.
Es genügt die Bearbeitung mit dem notwendigen Kriterium.
(5 BE)
$\,$
c)
Berechne die durchschnittlichen Wachstumsgeschwindigkeiten des Baums $A$ für die Zeiträume $0\leq t\leq3$ und $5\leq t \leq7$.
Vergleiche die Wachstumsgeschwindigkeiten.
(4 BE)
$\,$
Das Wachstum eines anderen Baums $B$ kann für $t\geq 0$ bis zum Erreichen der maximalen Höhe näherungsweise durch die Funktion $g$ mit $g(t)=at^3+bt^2+ct$ beschrieben werden. Dabei gibt $t$ die Zeit in Jahren und $g(t)$ die Höhe in $\text {cm}$ an.
$\,$
d)
Der Baum $B$ ist nach 5 Jahren $500 \, \text {cm}$ hoch und seine Wachstumsgeschwindigkeit beträgt zu diesem Zeitpunkt $150 \, \text {cm/Jahr}$.
Ermittle die Funktionsgleichung der Funktion $g$.
[Kontrollergebnis: $g(t)=-2t^3+30t^2$]
(5 BE)
$\,$
e)
Die Bäume $A$ und $B$ beginnen gleichzeitig mit ihrem Wachstum (bei $t=0$). Gib die Höhe der Bäume $A$ und $B$ zum Beobachtungsbeginn an.
Berechne, zu welchen Zeiten der Baum $A$ und der Baum $B$ die gleichen Wachstumsgeschwindigkeiten besitzen.
(5 BE)
$\,$
f)
Untersuche, zu welchen Zeiten die Wachstumsgeschwindigkeiten der Bäume $A$ und $B$ am stärksten voneinander abweichen.
(3 BE)
$\,$
g)
Zeichne die Graphen von $g'$ und $h'$ für $0\leq t \leq 10$ in dem Koordinatensystem in der Anlage ein.
(4 BE)
$\,$
h)
Die Graphen von $g'$ und $h'$ schließen im I.Quadranten zwei Teilflächen vollständig ein.
Berechne die Flächeninhalte der beiden Teilflächen.
Interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang unter Einbeziehung von Lösungen aus den Aufgabenteilen e) und g).
(7 BE)

(40 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
#cas
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Höhen des Baumes bestimmen
Die Höhe des Baumes nach $t$ Jahren wird durch $h(t)$ beschrieben:
$\begin{array}[t]{rll} h(2) &=& -0,1\cdot 2^4 +20\cdot 2^2 \\[5pt] &=& 78,4\,\text{[cm]} \\[10pt] h(8) &=& -0,1\cdot 8^4 +20\cdot 8^2 \\[5pt] &=& 870,4\,\text{[cm]} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h(2) &= 78,4\,\text{[cm]} \\[10pt] h(8) &= 870,4\,\text{[cm]} \end{array}$
Nach $2$ Jahren ist der Baum $78,4\,\text{cm}$ hoch, nach $8$ Jahren ist er $870,4\,\text{cm}$ hoch.
$\blacktriangleright$  Maximale Höhe des Baumes berechnen
Bestimme dazu zunächst die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $h.$
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden
$\begin{array}[t]{rll} h(t) &=& -0,1t^4 +20t^2 \\[5pt] h'(t) &=& -0,4t^3 +40t \\[5pt] h''(t) &=& -1,2t^2+40 \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} h'(t) &=& 0 \\[5pt] -0,4t^3 +40t &=& 0 \\[5pt] t\cdot (-0,4t^2 +40)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; t_1 = 0\\[5pt] -0,4t^2 +40 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -40 \\[5pt] -0,4t^2 &=& -40 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,4)\\[5pt] t^2 &=& 100 \\[5pt] t_2 &=& 10 \\[5pt] t_3 &=& -10 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1 &=& 0 \\[5pt] t_2 &=& 10 \\[5pt] t_3 &=& -10 \end{array}$
Da $t\geq0$ vorgegeben ist, kommen nur $t_1$ und $t_2$ für die Betrachtung infrage.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} h''(0) &=& -1,2\cdot 0^2+40 \\[5pt] &=& 40 > 0 \\[10pt] h''(10) &=& -1,2\cdot 10^2+40 \\[5pt] &=& -80 < 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h''(0) &= 40 > 0 \\[10pt] h''(10) &= -80 < 0 \\[5pt] \end{array}$
An der Stelle $ t = 10$ besitzt $h$ also eine Maximalstelle. Für größere $t$ existiert keine weitere Extremstelle und für kleinere positive $t$ nur eine Minimalstelle bei $t=0.$
Für $t=10$ ist $h(t)$ also maximal.
4. Schritt: Maximale Höhe berechnen
$\begin{array}[t]{rll} h(10) &=& -0,1\cdot 10^4 +20\cdot 10^2 \\[5pt] &=& 1.000\,\text{[cm]} \end{array}$
$ h(10)=1.000\,\text{[cm]} $
Die maximale Höhe des Baums $A$ beträgt $1.000\,\text{cm} = 10\,\text{m}.$
$\blacktriangleright$  Dauer des Wachstums angeben
Der Baum wächst ab dem Moment nicht mehr, in dem er sein Maximum erreicht hat, da er ab dann schrumpfen würde.
Der Baum wächst also $10$ Jahre.
#extrempunkt
b)
$\blacktriangleright$  Wachstumsgeschwindigkeiten bestimmen
Die Wachstumsgeschwindigkeit des Baumes $A$ wird durch die Funktion $h'$ beschrieben.
$\begin{array}[t]{rll} h'(2)&=& -0,4\cdot 2^3 + 40\cdot 2 \\[5pt] &=& 76,8 \\[10pt] h'(8)&=& -0,4\cdot 8^3 + 40\cdot 8 \\[5pt] &=& 115,2 \\[10pt] \end{array}$
Die Wachstumsgeschwindigkeit beträgt $76,8\,\text{cm}$ pro Jahr für $t=2$ und $115,2\,\text{cm}$ pro Jahr für $t=8.$
$\blacktriangleright$  Höchste Wachstumsgeschwindigkeit berechnen
Gesucht ist das Maximum von $h'.$ Durch Anwendung des notwendigen Kriteriums für Extremstellen von $h'$ erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} h''(t)&=& 0 \\[5pt] -1,2t^2 + 40 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -40 \\[5pt] -1,2t^2 &=& -40 &\quad \scriptsize \mid\; :(-1,2) \\[5pt] t^2 &=& \frac{100}{3} \\[5pt] t_1 &=& \frac{10}{\sqrt{3}} \\[5pt] t_2 &=& -\frac{10}{\sqrt{3}} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1 &=& \frac{10}{\sqrt{3}} \\[5pt] t_2 &=& -\frac{10}{\sqrt{3}} \\[5pt] \end{array}$
Da die Überprüfung des notwendigen Kriteriums laut Aufgabenstellung genügt, kannst du hiermit feststellen, dass die höchste Wachstumsgeschwindigkeit für $t= \frac{10}{\sqrt{3}} $ angenommen wird.
$\begin{array}[t]{rll} h'\left( \frac{10}{\sqrt{3}} \right) &=& -0,4\cdot \left( \frac{10}{\sqrt{3}} \right)^3+40\cdot \frac{10}{\sqrt{3}} \\[5pt] &\approx& 154,0\,\left[\frac{\text{cm}}{\text{Jahr}}\right] \end{array}$
$ h'\left( \frac{10}{\sqrt{3}} \right) \approx 154,0\,\left[\frac{\text{cm}}{\text{Jahr}}\right] $
Die höchste Wachstumsgeschwindigkeit von Baum $A$ beträgt ca. $154,0\,\frac{\text{cm}}{\text{Jahr}}.$
#extrempunkt
c)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeiten berechnen und vergleichen
Die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit kannst du mithilfe eines Differenzenquotienten berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m}_{[0;3]}&=& \dfrac{h(3) -h(0)}{3-0} \\[5pt] &=& \dfrac{-0,1\cdot 3^4 +20\cdot 3^2- \left( -0,1\cdot 0^4 +20\cdot 0^2\right)}{3} \\[5pt] &=& 57,3 \\[10pt] \overline{m}_{[5;7]}&=& \dfrac{h(7) -h(5)}{7-5} \\[5pt] &=& \dfrac{-0,1\cdot 7^4 +20\cdot 7^2- \left( -0,1\cdot 5^4 +20\cdot 5^2\right)}{2} \\[5pt] &=& 151,2 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m}_{[0;3]}&=& 57,3 \\[10pt] \overline{m}_{[5;7]}&=& 151,2 \\[10pt] \end{array}$
In den ersten drei Jahren nach Beginn der Beobachtung wächst Baum $A$ mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von $57,3\,\text{cm}$ pro Jahr. Zwischen $5$ und $7$ Jahre nach Beginn der Beobachtung wächst er mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von $151,2\,\text{cm}$ pro Jahr, also fast dreimal so schnell wie in den ersten drei Jahren.
#änderungsrate
d)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung ermitteln
Die Funktionsgleichung soll folgende Form haben:
$g(t)= at^3 +bt^2 +ct$
Es sollen folgende Bedingungen erfüllt werden:
  • Nach $5$ Jahren ist Baum $B$ $500\,\text{cm}$ hoch, also gilt:
    $g(5) =500$
  • Nach $5$ Jahren beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit von Baum $B$ $150\,\frac{\text{cm}}{\text{Jahr}},$ also gilt:
    $g'(5)=150$
  • Nach $10$ Jahren beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit von Baum $B$ $0\,\frac{\text{cm}}{\text{Jahr}},$ also gilt:
    $g'(10)= 0$
Für $g'$ gilt:
$g'(t) = 3at^2 +2bt +c $
Du erhältst also folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 500 &=& g(5) \\[5pt] & 500 &=& a\cdot 5^3 +b\cdot 5^2 +c\cdot 5 \\[5pt] & 500 &=& 125 a + 25b +5c \\[10pt] \text{II}\quad& 150 &=& g'(5) \\[5pt] & 150 &=& 3a\cdot 5^2 +2b\cdot 5 +c \\[5pt] & 150 &=& 75a +10b +c \\[10pt] \text{III}\quad& 0 &=& g'(10) \\[5pt] & 0 &=& 3a\cdot 10^2 +2b\cdot 10 +c \\[5pt] & 0 &=& 300a +20b +c \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 500 &=& …\\[10pt] \text{II}\quad& 150 &=& …\\[10pt] \text{III}\quad& 0 &=& …\\[10pt] \end{array}$
Das Gleichungssystem kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box} $
keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box} $
Du erhältst dann:
$a = -2,$ $b= 30$ und $c=0$
Eine Funktionsgleichung von $g$ lautet:
$g(t) = -2t^3 +30t^2$
#cas
e)
$\blacktriangleright$  Höhe zum Beobachtungsbeginn angeben
$\begin{array}[t]{rll} h(0) &=& -0,1\cdot 0^4 +20\cdot 0^2 \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] g(0) &=& -2\cdot 0^3 +30\cdot 0^2 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h(0) &=& 0 \\[10pt] g(0) &=& 0 \end{array}$
Beide Bäume sind zu Beginn der Beobachtung also $0\,\text{cm}$ hoch.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkte mit gleicher Wachstumsgeschwindigkeit berechnen
Die Wachstumsgeschwindigkeiten der Bäume $A$ und $B$ werden durch die Funktionen $h'(t)$ und $g'(t)$ beschrieben. Es ist:
$\begin{array}[t]{rll} g'(t) &= -6 t^2 +60t \\[10pt] h'(t) &= -0,4t^3 + 40t \\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} g'(t) &=& h'(t) \\[5pt] -6 t^2 +60t &=& -0,4t^3 + 40t &\quad \scriptsize \mid\; +0,4t^3 ;- 40t \\[5pt] -6 t^2 +60t +0,4t^3 - 40t &=& 0 \\[5pt] -6t^2 +20t +0,4t^3 &=& 0 \\[5pt] t\cdot (-6t +20 +0,4t^2) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;t_1 = 0 \\[5pt] -6t +20 +0,4t^2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :0,4 \\[5pt] t^2 -15t +50 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] t_{1/2} &=& -\frac{-15}{2}\pm \sqrt{\left( -\frac{15}{2}\right)^2 -50} \\[5pt] &=& \frac{15}{2}\pm \frac{5}{2} \\[10pt] t_1 &=& \frac{15}{2}- \frac{5}{2} \\[5pt] &=& 5 \\[10pt] t_2 &=& \frac{15}{2}+ \frac{5}{2} \\[5pt] &=& 10 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g'(t) &=& h'(t) \\[5pt] t_1 &=& 5 \\[10pt] t_2 &=& 10 \\[10pt] \end{array}$
$5$ Jahre und $10$ Jahre nach Beobachtungsbeginn besitzen die Bäume $A$ und $B$ die gleichen Wachstumsgeschwindigkeiten.
f)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkte mit der stärksten Abweichung bestimmen
Die Abweichung der Wachstumsgeschwindigkeiten der beiden Bäume $t$ Jahre nach Beobachtungsbeginn wird durch die Differenzenfunktion $d(t) = h'(t)-g'(t)$ beschrieben.
Bestimme also mithilfe des notwendigen Kriteriums für Extremstellen die möglichen Extremstellen von $d.$
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden
$\begin{array}[t]{rll} d(t) &=& h'(t) -g'(t) \\[5pt] &=& -0,4t^3+40t -(-6t^2 +60t) \\[5pt] &=& -0,4t^3+40t +6t^2 -60t \\[5pt] &=& -0,4t^3+6t^2-20t \\[10pt] \\[10pt] \end{array}$
$ d(t)=-0,4t^3+6t^2-20t $
Definiere $d$ und die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $d$ in deinem CAS. Den Befehl für eine Ableitung findest du unter:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Die Gleichung $d'(t)=0$ kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen:
$\begin{array}[t]{rll} d'(t) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] t_1 &=& 5-\sqrt{\frac{25}{3}} \\[5pt] &\approx& 2,11 \\[10pt] t_2 &=& 5+\sqrt{\frac{25}{3}} \\[5pt] &\approx& 7,89 \\[10pt] \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} d''(t_1)&=& d''\left(5-\sqrt{\frac{25}{3}} \right) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 6,9 > 0 \\[5pt] d''(t_2)&=& d''\left(5+\sqrt{\frac{25}{3}} \right) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& -6,9 < 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} d''(t_1)&\approx& 6,9 > 0 \\[5pt] d''(t_2)&\approx& -6,9 < 0 \\[5pt] \end{array}$
Bei beiden handelt es sich also um Extremstellen von $d,$ eine Maximalstelle und eine Minimalstelle.
4. Schritt: Abweichungen überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} d(t_1)&=& d\left(5-\sqrt{\frac{25}{3}} \right) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& -19,25 \\[10pt] d(t_2)&=& d\left(5+\sqrt{\frac{25}{3}} \right) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 19,25 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} d(t_1)&\approx& -19,25 \\[10pt] d(t_2)&\approx& 19,25 \\[10pt] \end{array}$
Zum Zeitpunkt $t_1$ ist also die Wachstumsrate $g'$ größer als $h',$ zum Zeitpunkt $t_2$ ist es umgekehrt, der Betrag der Abweichung stimmt überein. Bei beiden Zeitpunkten handelt es sich also um die Zeitpunkte mit der stärksten Abweichung.
5. Schritt: Zeitpunkte umrechnen
Forme die Zeitpunkte in Jahre und Monate um:
$\begin{array}[t]{rll} 0,11 \cdot 12 &=& 1,32 \\[10pt] 0,89 \cdot 12 &=& 10,68 \end{array}$
Die Wachstumsgeschwindigkeiten der beiden Bäume weichen also ca. $2$ Jahre und $1$ Monat und $7$ Jahre und $11$ Monate nach Beobachtungsbeginn am stärksten von einander ab.
#cas#extrempunkt
g)
$\blacktriangleright$  Wertetabelle ergänzen und Graph einzeichnen
Wachstumsgeschwindigkeiten
Abb. 1: Einzeichnen der Graphen von $g'$ und $h'$
Wachstumsgeschwindigkeiten
Abb. 1: Einzeichnen der Graphen von $g'$ und $h'$
h)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
1. Schritt: Schnittstellen bestimmen
Aus den vorherigen Aufgabenteilen weißt du bereits, dass die Funktionswerte von $g'$ und $h'$ an den Stellen $t=0,$ $t=5$ und $t=10$ übereinstimmen. Dies sind also die Intervallgrenzen für die Berechnung der Flächeninhalte.
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
In deiner Abbildung kannst du erkennen, dass der Graph von $g'$ im intervall $[0;5]$ oberhalb des Graphen von $h'$ verläuft. Den Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche in diesem Intervall kannst du mithilfe eines Integrals über $g'-h'$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_1 &=& \displaystyle\int_{0}^{5}\left(g'(t)-h'(t) \right)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& [g(t)-h(t)]_0^5 \\[5pt] &=& \left[-2t^3+30t^2 -\left( -0,1t^4+20t^2\right)\right]_0^5 \\[5pt] &=& \left[-2t^3+30t^2 +0,1t^4-20t^2\right]_0^5 \\[5pt] &=& \left[0,1t^4-2t^3+10t^2\right]_0^5 \\[5pt] &=& 0,1\cdot 5^4-2\cdot 5^3+10\cdot 5^2 - \left( 0,1\cdot 0^4-2\cdot 0^3+10\cdot 0^2\right) \\[5pt] &=& 62,5 \end{array}$
$ A_1 = 62,5 $
Die Graphen von $g'$ und $h'$ schließen im Intervall $[0;5]$ eine Fläche mit dem Flächeninhalt $62,5\,\text{FE}$ ein.
Analog dazu kannst du den Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche im Intervall $[5;10]$ mithilfe eines Integrals über $h'-g'$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_2 &=& \displaystyle\int_{5}^{10}\left(h'(t)-g'(t) \right)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& [h(t)-g(t)]_{5}^{10} \\[5pt] &=& \left[-0,1t^4+20t^2 -\left(-2t^3+30t^2 \right)\right]_5^{10} \\[5pt] &=& \left[-0,1t^4+20t^2+2t^3-30t^2 \right]_5^{10} \\[5pt] &=& \left[-0,1t^4+2t^3-10t^2\right]_5^{10} \\[5pt] &=& -0,1\cdot 10^4+2\cdot 10^3-10\cdot 10^2 - \left( -0,1\cdot 5^4+2\cdot 5^3-10\cdot 5^2\right) \\[5pt] &=& 62,5 \end{array}$
$ A_2 = 62,5 $
Die Graphen von $g'$ und $h'$ schließen im Intervall $[5;10]$ eine Fläche mit dem Flächeninhalt $62,5\,\text{FE}$ ein.
$\blacktriangleright$  Ergebnis im Sachzusammenhang interpretieren
Durch die Zeichnung aus Teilaufgabe g) ist bekannt, dass der Graph von $g'$ im Intervall $]0;5[$ oberhalb des Graphen von $h'$ verläuft und anschließend im Intervall $]5;10[$ der Graph von $h'$ oberhalb des Graphen von $g'$ verläuft. In diesem Zeitraum wächst Baum $B$ also schneller. Aus Teilaufgabe e) ist bekannt, dass beide Bäume beim Beginn der Beobachtung die gleiche Höhe, undzwar $0\,\text{cm}$ haben.
Bei der obigen Berechnung des Flächeninhalts werden Integrale über die Funktionen der Wachstumsgeschwindigkeiten berechnet. Es wird also die Differenz davon berechnet, um wie viele Zentimeter Baum $B$ in den ersten fünf Jahren mehr gewachsen ist als Baum $A$ und um wie viele Zentimeter Baum $A$ in den Jahren $5$ bis $10$ nach Beobachtungsbeginn mehr gewachsen ist als Baum $B.$
Baum $B$ wächst in den ersten $5$ Jahren nach Beobachtungsbeginn also insgesamt $62,5\,\text{cm}$ mehr als Baum $A$ und Baum $A$ wächst in den anschließenden $5$ Jahren genauso viel mehr als Baum $B.$ Nach $10$ Jahren sind die Differenzen also ausgeglichen, sodass beide Bäume nach $10$ Jahren gleich hoch sind.
#integral
Bildnachweise [nach oben]
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