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Stochastik 3.1

Aufgaben
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Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Nebenstehend sind die Netze zweier Würfel W1 und W2 abgebildet. W1 ist ein üblicher Laplace–Würfel, W2 ist durch Neubeschriftung aus einem solchen entstanden. Das Abstandsspiel hat folgende Regeln:
  • Einer der beiden Würfel wird zweimal geworfen.
  • Es wird die Differenz der beiden Würfelergebnisse so gebildet, dass sie nicht negativ ist.
  • Diese Zahl – also der Abstand der Würfelergebnisse – ist das Ergebnis des Spiels.
Beispiele:
„2“ und „6“ gewürfelt, Ergebnis: $6 - 2 = 4$ (der Abstand von 2 und 6);
„2“ und „2“ gewürfelt, Ergebnis: $2 - 2 = 0$ (der Abstand von 2 und 2).
a) Bestimmen Sie sowohl für den Würfel W1 als auch für den Würfel W2 die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse bei diesem Abstandsspiel:
A: Das Ergebnis beträgt 0.
B: Das Ergebnis ist ungerade. (Hinweis: null ist eine gerade Zahl.)
Zur Kontrolle: Für den Würfel W1 gilt $P(A)=\dfrac{1}{6}$, für W2 gilt $P(A)=\dfrac{5}{9}$.
(10P)
b) René spielt mit dem Würfel W2. Er würfelt einen Pasch (d. h. beide Würfel zeigen die gleiche Augenzahl), erzielt also das Ergebnis 0.
Marie spielt mit W1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie bei diesem Abstandsspiel ein größeres Ergebnis als René erzielt.
(2P)
c) Mit dem Würfel W1 wird zehnmal das Abstandsspiel gespielt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden beiden Ereignisse:
C: Das Ergebnis 0 ergibt sich genau fünfmal.
D: Das Ergebnis 0 ergibt sich mindestens zweimal, aber weniger als sechsmal.
$E_k$ steht für folgendes Ereignis: Das Ergebnis $0$ (also Abstand $0$) ergibt sich $k$-mal. Ermitteln Sie, für wie viele Werte von $k\in\{1;2;3;…;9;10\}$ gilt: $P(E_k)\geq0,05$.
(6P)
d) Bestimmen Sie die Mindestanzahl der Spiele, die mit W1 durchgeführt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von über 99 % das Ergebnis 0 mindestens einmal erzielt wird.
(4P)
e) René ergreift zufällig einen der beiden Würfel und spielt einmal das Abstandsspiel. Das Ergebnis ist 0.
Bestimmen Sie unter dieser Bedingung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er den Würfel W1 gegriffen hat.
(4P)
f) Auf einer bestimmten Anzahl der Seiten des Würfels W1, auf denen nicht „6“ steht, wird die Aufschrift mit „0“ überschrieben. Mit diesem neuen Würfel W1 wird fünfmal das Abstandsspiel gespielt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dann für die Differenz der gewürfelten Augenzahlen nicht ein einziges Mal das Ergebnis 6 erreicht wird, beträgt ungefähr 40 %.
Bestimmen Sie die Anzahl der überschriebenen Seiten.
(4P)

(30P)

Material

Anlage zu Aufgabe 3.1: Abstandsspiel
Summierte Binomialverteilungen
Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist „0“, alle freien Plätze enthalten 1,0000.
Wird die Tabelle „von unten“ gelesen $(p>0,5)$, ist der richtige Wert 1 – (abgelesener Wert)
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Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Nebenstehend sind die Netze zweier Würfel W1 und W2 abgebildet. W1 ist ein üblicher Laplace–Würfel, W2 ist durch Neubeschriftung aus einem solchen entstanden. Das Abstandsspiel hat folgende Regeln:
  • Einer der beiden Würfel wird zweimal geworfen.
  • Es wird die Differenz der beiden Würfelergebnisse so gebildet, dass sie nicht negativ ist.
  • Diese Zahl – also der Abstand der Würfelergebnisse – ist das Ergebnis des Spiels.
Beispiele:
„2“ und „6“ gewürfelt, Ergebnis: $6 - 2 = 4$ (der Abstand von 2 und 6);
„2“ und „2“ gewürfelt, Ergebnis: $2 - 2 = 0$ (der Abstand von 2 und 2).
a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse berechnen
Deine Aufgabe ist es, die Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse $A$ und $B$ jeweils für beide Würfel $W1$ und $W2$ zu berechnen. Die beiden Ereignisse sind dabei gegeben durch:
  • Das Ergebnis beträgt $0$.
  • Das Ergebnis ist ungerade. (Hinweis: Null ist eine gerade Zahl.)
Berechne hier zu Beginn erst einmal die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse für beide Würfel, also die Wahrscheinlichkeit dafür dass eine $1$, eine $2$ usw. gewürfelt wird.
Da es sich bei dem Würfel $W1$ um einen Laplace–Würfel handelt, gilt hier für jeden Wurf $p_1 = p_2= … = p_6=\frac{1}{6}$.
Da es sich bei dem Würfel $W2$ um einen Laplace–Würfel handelt bei dem die Beschriftung geändert wurde, hat hier ebenfalls jedes Feld die gleiche Wahrscheinlichkeit. Berechne die Wahrscheinlichkeiten $p_2$ und $p_3$.
$\blacktriangleright$ Ereignis $\boldsymbol{A}$: $\boldsymbol{W1}$
Damit bei zweimaligem Würfeln mit dem Würfel $W1$ das Ergebnis $0$ ist, muss in beiden Würfen dieselbe Zahl gewürfelt werden. Bei diesem Würfel ist dies der Fall, wenn zweimal die $1$ zweimal die $2$ usw. gewürfelt wird. Mit den Pfadregeln kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen.
$\blacktriangleright$ Ereignis $\boldsymbol{A}$: $\boldsymbol{W2}$
Um mit Würfel $W2$ das Ergebnis $0$ zu erzielen, muss entweder beidemale eine $2$ oder beidemale eine $3$ gewürfelt werden. Auch hier ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit den Pfadregeln.
$\blacktriangleright$ Ereignis $\boldsymbol{B}$: $\boldsymbol{W1}$
Damit mit dem Würfel $W1$ ein ungerades Ergebnis erzielt wird, muss eine gerade und eine ungerade Zahl gewürfelt werden.
Berechne die Wahrscheinlichkeit eine ungerade Zahl bzw. eine gerade Zahl zu würfeln. Betrachtest du hier also nicht die Zahlenwerte an sich, sondern die Ergebnisse $gerade$ und $ungerade$, so ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit wieder mit Hilfe der Pfadregeln.
$\blacktriangleright$ Ereignis $\boldsymbol{B}$: $\boldsymbol{W2}$
Hier kannst du mit dem Gegenereignis arbeiten: Überlegst du dir einmal genau welche Ergebnisse mit dem zweiten Würfel $W2$ überhaupt erzielt werden können, so wird dir auffallen, dass hier entweder beide male die gleiche Zahl gewürfelt wird oder aber einmal eine $2$ und einmal eine $3$, da der Würfel nur die beiden Zahlen $2$ und $3$ hat. Überlege dir, welche Ergebnisse somit möglich sind. Da du weißt, dass alle möglichen Ergebnisse zusammen die Wahrscheinlichkeit 1 haben müssen und du bereits die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses 0 berechnet hast, kannst du die entsprechende Wahrscheinlichkeit durch umstellen der Gleichung berechnen.
b) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für ein größeres Ergebnis berechnen
In diesem Aufgabenteil hat René mit Würfel $W2$ gespielt und in dem Abstandsspiel das Ergebnis $0$ erzielt. Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass Marie ein größeres Ergebnis erzielt, wenn sie mit Würfel $W1$ spielt. Da die Ergebnisse nicht kleiner als Null sein können, sollst du hier also die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass Marie nicht das Ergebnis Null erzielt. Da du die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis Null mit dem Würfel $W1$ bereits im vorherigen Aufgabenteil berechnet hast, kannst du hier wieder mit dem Gegenereignis arbeiten.
c) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $\boldsymbol{C}$ und $\boldsymbol{D}$ berechnen
In diesem Aufgabenteil wird nur der Würfel $W1$ betrachtet. Es wird zehnmal das Abstandsspiel gespielt und dabei das Auftreten des Ergebnisses „Null“ gezählt. Daher werden hier nur die beiden Ergebnisse „Null“ und „nicht Null“ betrachtet. Führe also zunächst eine Zufallsvariable $N$ ein, die die Anzahl der Ergebnisse „Null“ in den zehn Spieldurchgängen beschreibt und überlege dir die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Anschließend kannst du mit Hilfe dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung die Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse berechnen.
$\blacktriangleright$ Anzahl der Werte bestimmen
Nun sollst du die Anzahl der Werte bestimmen, für die gilt: $P(E_k)\geq0,05$. $E_k$ steht für das Ereignis, dass das Ergebnis $0$ $k$-mal $\left(k\in\{1;2;3;…;9;10\}\right)$ erscheint.
Berechne, die einzelnen Wahrscheinlichkeiten $P(N=k)$ mit Hilfe der Tabelle zur summierten Binomialverteilung. Diese gibt die Wahrscheinlichkeiten $P(X\leq k)$ für eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern $n$ und $p$ an. Willst du beispielsweise die Wahrscheinlichkeit $P(N=5)$ berechnen, musst du hier die Wahrscheinlichkeit für $N\leq4 $ von der Wahrscheinlichkeit für $N \leq5$ abziehen. Da $N$ mit den Parametern $n =10$ und $p= \frac{1}{6}$ binomialverteilt ist, musst du hier in der Tabelle deiner Anlage für $n=10$ in der Spalte für $p = \frac{1}{6}$ nachsehen.
d) $\blacktriangleright$ Mindestanzahl der Spiele bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du die Anzahl der Spieldurchgänge ermitteln, die mindestens mit $W1$ gespielt werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einmal das Ergebnis „Null“ auftritt mindestens $99\,\%$ beträgt. In Formeln ausgedrückt bedeutet das, dass du $n$ so bestimmen sollst, dass dies möglichst klein ist und gerade noch folgende Ungleichung erfüllt:
$P(N_n\geq 1)\geq0,99$
Dabei ist $N_n$ die Zufallsvariable, die die zufällige Anzahl der Ergebnisse „Null“ beschreibt. Diese ist wieder binomialverteilt mit dem Parameter $p = \frac{1}{6}$ und unbekanntem $n$. Den linken Ausdruck kannst du dabei wieder mit Hilfe des Gegenereignisses so umformen, dass du die Formel aus dem vorherigen Aufgabenteil anwenden und nach $n$ umstellen kannst.
e) $\blacktriangleright$ Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst unter der Bedingung, dass das Ergebnis des Abstandsspiels 0 ist, die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass er den Würfel W1 gegriffen hat.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ ist definiert durch:
$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
Die Ereignisse dieser Aufgabe kannst du folgendermaßen formulieren:
W1: Würfel 1 wird gegriffen
W2: Würfel 2 wird gegriffen
N: Das Ergebnis des Abstandsspiels ist 0
Für die bedingte Wahrscheinlichkeit benötigst du folgende Wahrscheinlichkeiten, beachte dabei, dass die Ereignisse $W1$ bzw. $W2$ und $N$ unabhängig sind.
f) $\blacktriangleright$ Seitenanzahl bestimmen
Damit du beim Abstandsspiel das Ergebnis 6 erhältst, muss einmal die 6 und einmal die 0 gewürfelt werden.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P(„6“)$ und wähle $P(„0“) = q$, mit $0<q<1$. Modelliere dann eine Bernoullikette. Eine Bernoullikette mit Parametern $p$ und $n$ ist definiert durch:
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
Aus der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass $P(X=0) = 0,4$. Stelle die Bedingung mithilfe der Bernoullikette auf und löse die Gleichung nach $q$ auf. Diese Zahl gibt dir den Anteil der zu überschreibenden Seiten.
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Stochastik 3.1
Nebenstehend sind die Netze zweier Würfel W1 und W2 abgebildet. W1 ist ein üblicher Laplace–Würfel, W2 ist durch Neubeschriftung aus einem solchen entstanden. Das Abstandsspiel hat folgende Regeln:
  • Einer der beiden Würfel wird zweimal geworfen.
  • Es wird die Differenz der beiden Würfelergebnisse so gebildet, dass sie nicht negativ ist.
  • Diese Zahl – also der Abstand der Würfelergebnisse – ist das Ergebnis des Spiels.
Beispiele:
„2“ und „6“ gewürfelt, Ergebnis: $6 - 2 = 4$ (der Abstand von 2 und 6);
„2“ und „2“ gewürfelt, Ergebnis: $2 - 2 = 0$ (der Abstand von 2 und 2).
a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse berechnen
Deine Aufgabe ist es, die Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse $A$ und $B$ jeweils für beide Würfel $W1$ und $W2$ zu berechnen. Die beiden Ereignisse sind dabei gegeben durch:
  • Das Ergebnis beträgt $0$.
  • Das Ergebnis ist ungerade. (Hinweis: Null ist eine gerade Zahl.)
Berechne hier zu Beginn erst einmal die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse für beide Würfel, also die Wahrscheinlichkeit dafür dass eine $1$, eine $2$ usw. gewürfelt wird.
Da es sich bei dem Würfel $W1$ um einen Laplace–Würfel handelt, gilt hier für jeden Wurf $p_1 = p_2= … = p_6=\frac{1}{6}$.
Da es sich bei dem Würfel $W2$ um einen Laplace–Würfel handelt bei dem die Beschriftung geändert wurde, hat hier ebenfalls jedes Feld die gleiche Wahrscheinlichkeit. Daher gilt hier:
  • $p_2 = 4\cdot\frac{1}{6} = \frac{2}{3}$
  • $p_3 = 2\cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$
$\blacktriangleright$ Ereignis $\boldsymbol{A}$: $\boldsymbol{W1}$
Damit bei zweimaligem Würfeln mit dem Würfel $W1$ das Ergebnis $0$ ist, muss in beiden Würfen dieselbe Zahl gewürfelt werden. Bei diesem Würfel ist dies der Fall, wenn zweimal die $1$ zweimal die $2$ usw. gewürfelt wird. Mit den Pfadregeln folgt also:
$P_{W1}(A)= P_{W1}(1-1)+ P_{W1}(2-2)+ … +P_{W1}(6-6)$$ = \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+ … + \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}$$ = 6\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} $$= \frac{1}{6} \approx 16,67\,\%$
Mit dem Würfel $W1$ wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $P_{W1}(A)=\frac{1}{6}\approx 16,67\,\%$ das Ergebnis $0$ erzielt.
$\blacktriangleright$ Ereignis $\boldsymbol{A}$: $\boldsymbol{W2}$
Um mit Würfel $W2$ das Ergebnis $0$ zu erzielen, muss entweder beidemale eine $2$ oder beidemale eine $3$ gewürfelt werden. Auch hier ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit den Pfadregeln:
$P_{W2}(A)= P_{W2}(2-2)+P_{W2}(3-3) $$= \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}+ \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} $$= \frac{5}{9}\approx 55,56\,\%$
Mit dem Würfel $W2$ wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $P_{W2}(A) = \frac{5}{9} \approx 55,56\,\%$ das Ergebnis $0$ erzielt.
$\blacktriangleright$ Ereignis $\boldsymbol{B}$: $\boldsymbol{W1}$
Damit mit dem Würfel $W1$ ein ungerades Ergebnis erzielt wird, muss eine gerade und eine ungerade Zahl gewürfelt werden. Also zum Beispiel:
$1-2$, $1-4$, $1-6$, $2-1$, $2-3$, $2-5$,….
Die Wahrscheinlichkeit eine ungerade Zahl zu würfeln, beträgt $\frac{1}{2}$, genauso auch die Wahrscheinlichkeit dafür eine gerade Zahl zu würfeln. Betrachtest du hier also nicht die Zahlenwerte an sich, sondern die Ergebnisse $gerade$ und $ungerade$, so ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit wieder mit Hilfe der Pfadregeln:
$P_{W1}(B)= P_{W1}(„ungerade “ -„gerade “) + P_{W1}(„gerade “ -„ungerade “) $$= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} $$= \frac{1}{2} = 50\,\%$
Mit dem Würfel $W1$ wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $P_{W1}(B)= \frac{1}{2} = 50\,\%$ ein ungerades Ergebnis erzielt.
$\blacktriangleright$ Ereignis $\boldsymbol{B}$: $\boldsymbol{W2}$
Hier kannst du mit dem Gegenereignis arbeiten: Überlegst du dir einmal genau welche Ergebnisse mit dem zweiten Würfel $W2$ überhaupt erzielt werden können, so wird dir auffallen, dass hier entweder beide male die gleiche Zahl gewürfelt wird oder aber einmal eine $2$ und einmal eine $3$, da der Würfel nur die beiden Zahlen $2$ und $3$ hat.
Es gibt also nur die beiden Ergebnisse $0$ oder $3-2= 1$. Da du weißt, dass alle möglichen Ergebnisse zusammen die Wahrscheinlichkeit $1$ haben müssen und du bereits die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses $0$ berechnet hast, kannst du die entsprechende Wahrscheinlichkeit durch umstellen der Gleichung berechnen.
$\begin{array}{rcll} 1&=&P_{W2}(0)+P_{W2}(1)&\scriptsize{ P_{W2}(0) = \frac{5}{9} }\\ 1&=&\frac{5}{9}+P_{W2}(1)&\scriptsize{ \mid\; -\frac{5}{9}}\\ \frac{4}{9}&=&P_{W2}(1)& \\ &=&P_{W2}(B)&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 1&=&P_{W2}(0)+P_{W2}(1)&\\ 1&=&\frac{5}{9}+P_{W2}(1)&\\ \frac{4}{9}&=&P_{W2}(1)& \\ &=&P_{W2}(B)&\\ \end{array}$
Mit dem Würfel $W2$ wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $P_{W2}(B)=\frac{4}{9}\approx 44,44\,\%$ ein ungerades Ergebnis erzielt.
b) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für ein größeres Ergebnis berechnen
In diesem Aufgabenteil hat René mit Würfel $W2$ gespielt und in dem Abstandsspiel das Ergebnis $0$ erzielt. Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass Marie ein größeres Ergebnis erzielt, wenn sie mit Würfel $W1$ spielt. Da die Ergebnisse nicht kleiner als Null sein können, sollst du hier also die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass Marie nicht das Ergebnis Null erzielt. Da du die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis Null mit dem Würfel $W1$ bereits im vorherigen Aufgabenteil berechnet hast, kannst du hier wieder mit dem Gegenereignis arbeiten.
Wie du eben bereits gesehen hast, ergibt sich dann die gesuchte Wahrscheinlichkeit wie folgt:
$\begin{array}{rcll} P_{W1}(„nicht\ Null“)&=&1-P_{W1}(„Null“)&\\ &=&1-P_{W1}(A)& \\ &=&1-\frac{1}{6}& \\ &=&\frac{5}{6}&\\ &=&83,33\,\%& \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $83,33\,\%$ erzielt Marie in dem Abstandsspiel ein größeres Ergebnis als René.
c) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $\boldsymbol{C}$ und $\boldsymbol{D}$ berechnen
In diesem Aufgabenteil wird nur der Würfel $W1$ betrachtet. Es wird zehnmal das Abstandsspiel gespielt und dabei das Auftreten des Ergebnisses „Null“ gezählt. Daher werden hier nur die beiden Ergebnisse „Null“ und „nicht Null“ betrachtet. Führe also zunächst eine Zufallsvariable $N$ ein, die die Anzahl der Ergebnisse „Null“ in den zehn Spieldurchgängen beschreibt und überlege dir die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Anschließend kannst du mit Hilfe dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung die Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse berechnen.
1. Schritt: Einführen einer Zufallsvariablen
Die Zufallsvariable $N$, die die zufällige Anzahl der Ergebnisse „Null“ beschreibt, kann als binomialverteilt angenommen werden, da die Wahrscheinlichkeit dafür das Ergebnis „Null“ zu erzielen in jedem Durchgang gleich bleibt und hier nur zwei verschiedene Ergebnisse betrachtet werden. Hierbei gelten die Parameter $n =10$ und $p = P_{W1}(A) =\frac{1}{6}$.
2. Schritt: Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse berechnen
Da $N$ binomialverteilt ist, kannst du hier die Formeln für die Binomialverteilung verwenden.
Ereignis C: Das Ergebnis „Null“ ergibt sich genau fünfmal
Hierzu benötigst du die Formel zur Berechnung einer Wahrscheinlichkeit der Form $P(X=k)$. Dabei stellt $X$ eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern $n$ und $p$ dar:
$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
Setzt du dort die entsprechenden Parameter $n =10$, $p =\frac{1}{6}$ und $k =5$ ein, so erhältst du die Wahrscheinlichkeit des gesuchten Ereignisses:
$\begin{array}{rcll} P(N =5) &=&\binom{10}{5}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^5\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^5&\\ &\approx&0,0130&\\ &=&1,3\,\%& \end{array}$
Alternativ
kannst du hierbei auch die Tabelle zur summierten Binomialverteilung nutzen. Diese gibt die Wahrscheinlichkeiten $P(X\leq k)$ für eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern $n$ und $p$ an. Da du allerdings nur die Wahrscheinlichkeit für $P(N=5)$ berechnen möchtest, musst du hier die Wahrscheinlichkeit für $N\leq4 $ von der Wahrscheinlichkeit für $N \leq5$ abziehen. Da $N$ mit den Parametern $n =10$ und $p= \frac{1}{6}$ binomialverteilt ist, musst du hier in der Tabelle deiner Anlage für $n=10$ in der Spalte für $p = \frac{1}{6}$ nachsehen. Dann erhältst du folgendes Ergebnis:
$\begin{array}{rcll} P(N =5) &=&P(N\leq 5)- P(N\leq 4)&\scriptsize{\text{ Tabelle zur summierten Binomialverteilung}} \\ &\approx& 0,9976 -0,9845& \\ &=&0,0131& \\ &=&1,31\,\%& \end{array}$
Hierbei können kleine Abweichungen durch die gerundeten Teilergebnisse der Tabelle entstehen.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $0,013=1,3\,\%$ wird in zehn Spieldurchgängen genau fünfmal das Ergebnis „Null“ erzielt.
Ereignis D: Das Ergebnis „Null“ ergibt sich mindestens zweimal, aber weniger als sechsmal
Hierbei suchst du nun die Wahrscheinlichkeit $P(2\leq N<6)$. Formst du diesen Ausdruck um, so kannst du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis D mit der Tabelle zur summierten Binomialverteilung berechnen. Du erhältst:
$\begin{array}{rcll} P(2\leq N<6)&=&P(N<6)-P(N<2)\\ &=&P(N\leq5)-P(N\leq1)\\ &=&0,9976-0,4845\\ &=&0,5131\\ \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,5131=51,31\,\%$ tritt in zehn Spieldurchgängen mindestens zweimal und weniger als sechsmal das Ergebnis „Null“ auf.
$\blacktriangleright$ Anzahl der Werte bestimmen
Nun sollst du die Anzahl der Werte bestimmen, für die gilt: $P(E_k)\geq0,05$. $E_k$ steht für das Ereignis, dass das Ergebnis $0$ $k$-mal $\left(k\in\{1;2;3;…;9;10\}\right)$ erscheint.
Berechne, die einzelnen Wahrscheinlichkeiten $P(N=k)$ mit Hilfe der Tabelle zur summierten Binomialverteilung. Diese gibt die Wahrscheinlichkeiten $P(X\leq k)$ für eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern $n$ und $p$ an. Willst du beispielsweise die Wahrscheinlichkeit $P(N=5)$ berechnen, musst du hier die Wahrscheinlichkeit für $N\leq4 $ von der Wahrscheinlichkeit für $N \leq5$ abziehen. Da $N$ mit den Parametern $n =10$ und $p= \frac{1}{6}$ binomialverteilt ist, musst du hier in der Tabelle deiner Anlage für $n=10$ in der Spalte für $p = \frac{1}{6}$ nachsehen.
Die Wahrscheinlichkeit für $P(N\leq7)$, $P(N\leq8)$, $P(N\leq9)$ und $P(N\leq10)$ ist gleich $1$. Damit ist die Wahrscheinlichkeit $P(E_k)$ für die Werte $k=7,8,9,10$ kleiner als $0,05$.
$\begin{array}[t]{rll} P(N=0)&=& 0,1615 &\quad \scriptsize \geq0,05 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(N=1)&=& P(N\leq1)- P(N\leq0)\\[5pt] &=& 0,4845-0,1615\\[5pt] &=& 0,3230&\quad \scriptsize \geq0,05\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(N=2)&=& P(N\leq2)- P(N\leq1)\\[5pt] &=& 0,7752-0,4845\\[5pt] &=& 0,2907&\quad \scriptsize \geq0,05\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(N=3)&=& P(N\leq3)- P(N\leq2)\\[5pt] &=& 0,9303-0,7752\\[5pt] &=& 0,1551&\quad \scriptsize \geq0,05\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(N=4)&=& P(N\leq4)- P(N\leq3)\\[5pt] &=& 0,9845-0,9303\\[5pt] &=& 0,0542&\quad \scriptsize \geq0,05\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(N=5)&=& P(N\leq5)- P(N\leq4)\\[5pt] &=& 0,9976-0,9845\\[5pt] &=& 0,0131&\quad \scriptsize \leq0,05\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(N=6)&=& P(N\leq6)- P(N\leq5)\\[5pt] &=& 0,9997-0,9976\\[5pt] &=& 0,00021&\quad \scriptsize \leq0,05\\[5pt] \end{array}$
Das Ereignis $P(E_k)$ ist für die Werte $k=0,1,2,3,4$ größer 0,05. Somit gilt für fünf Werte $P(E_k)\geq0,05$.
d) $\blacktriangleright$ Mindestanzahl der Spiele bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du die Anzahl der Spieldurchgänge ermitteln, die mindestens mit $W1$ gespielt werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einmal das Ergebnis „Null“ auftritt mindestens $99\,\%$ beträgt. In Formeln ausgedrückt bedeutet das, dass du $n$ so bestimmen sollst, dass dies möglichst klein ist und gerade noch folgende Ungleichung erfüllt:
$P(N_n\geq 1)\geq0,99$
Dabei ist $N_n$ die Zufallsvariable, die die zufällige Anzahl der Ergebnisse „Null“ beschreibt. Diese ist wieder binomialverteilt mit dem Parameter $p = \frac{1}{6}$ und unbekanntem $n$. Den linken Ausdruck kannst du dabei wieder mit Hilfe des Gegenereignisses so umformen, dass du die Formel aus dem vorherigen Aufgabenteil anwenden und nach $n$ umstellen kannst.
1. Schritt: Ungleichung umformen
Wendest du hier wieder das Gegenereignis an, so erhältst du folgende Ungleichung:
$\begin{array}{rcll} P(N_n\geq 1)&\geq&0,99&\\ 1-P(N_n\leq 0)&\geq&0,99&\\ 1-P(N_n =0)&\geq&0,99&\scriptsize{\mid\; -1}\\ -P(N_n =0)&\geq&-0,01&\scriptsize{\mid\; \cdot(-1)}\\ P(N_n =0)&\leq&0,01& \end{array}$
$\begin{array}{rcll} P(N_n\geq 1)&\geq&0,99&\\ 1-P(N_n\leq 0)&\geq&0,99&\\ 1-P(N_n =0)&\geq&0,99&\\ -P(N_n =0)&\geq&-0,01&\\ P(N_n =0)&\leq&0,01& \end{array}$
2. Schritt: Anwenden der Formel und Umstellen nach $\boldsymbol{n}$
Wendest du nun wieder die Formel für die Binomialverteilung an, so erhältst du folgende Ungleichung. Diese kannst du dann nach $n$ lösen:
$\begin{array}{rcll} P(N_n = 0)&\leq&0,01&\\ \binom{n}{0}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^n&\leq&0,01& \\ \left(\frac{5}{6}\right)^n&\leq&0,01&\scriptsize{ \mid\; \ln }\\ \ln\left(\left(\frac{5}{6}\right)^n\right)&\leq&\ln(0,01)&\\ n\cdot\ln\left(\frac{5}{6}\right)&\leq &\ln(0,01)&\scriptsize{\mid\; :\ln\left(\frac{5}{6}\right)} \\ n &\geq&\dfrac{\ln(0,01)}{\ln\left(\frac{5}{6}\right)}& \\ n &\geq&25,2585&\\ n &\geq&26& \\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} P(N_n = 0)&\leq&0,01&\\ \binom{n}{0}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^n&\leq&0,01& \\ \left(\frac{5}{6}\right)^n&\leq&0,01&\\ \ln\left(\left(\frac{5}{6}\right)^n\right)&\leq&\ln(0,01)&\\ n\cdot\ln\left(\frac{5}{6}\right)&\leq &\ln(0,01)& \\ n &\geq&\dfrac{\ln(0,01)}{\ln\left(\frac{5}{6}\right)}& \\ n &\geq&25,2585&\\ n &\geq&26& \\ \end{array}$
Alternativ
Du kannst auch die solve–Funktion deines CAS verwenden.
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
Es muss mit $W1$ mindestens $26$ mal gespielt werden, damit das Ergebnis „Null“ mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. $99\,\%$ mindestens einmal auftritt.
e) $\blacktriangleright$ Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst unter der Bedingung, dass das Ergebnis des Abstandsspiels 0 ist, die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass er den Würfel W1 gegriffen hat.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ ist definiert durch:
$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
Die Ereignisse dieser Aufgabe kannst du folgendermaßen formulieren:
W1: Würfel 1 wird gegriffen
W2: Würfel 2 wird gegriffen
N: Das Ergebnis des Abstandsspiels ist 0
Für die bedingte Wahrscheinlichkeit benötigst du folgende Wahrscheinlichkeiten, beachte dabei, dass die Ereignisse $W1$ bzw. $W2$ und $N$ unabhängig sind.
  • $P(W1 \cap N) = P(W1) \cdot P(N) $$= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} $$= \frac{1}{12}$
  • $P(N) = P(W1) \cdot P(N) + P(W2) \cdot P(N) $$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}+ \frac{1}{2}\cdot \frac{5}{9} $$= \frac{13}{36}$
Die bedingte Wahrscheinlichkeit lautet dann:
$P(N\mid W1)=\dfrac{P(W1\cap N)}{P(N)}$$=\dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{13}{36}}=\dfrac{3}{13}$
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass W1 gegriffen wird, beträgt 23,08 %.
f) $\blacktriangleright$ Seitenanzahl bestimmen
Damit du beim Abstandsspiel das Ergebnis 6 erhältst, muss einmal die 6 und einmal die 0 gewürfelt werden.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P(„6“)$ und wähle $P(„0“) = q$, mit $0<q<1$. Modelliere dann eine Bernoullikette und berechne $q$. Diese Zahl gibt dir den Anteil der zu überschreibenden Seiten.
Die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln beträgt $P(„6“) = \frac{1}{6}$.
Die Wahrscheinlichkeit eine 0 zu würfeln beträgt $P(„0“) = q$, mit $0<q<1$.
Bezeichne das Ergebnis 6 als Treffer und modelliere das fünffache Abstandsspiel mit einer Bernoullikette. Eine Bernoullikette mit Parametern $p$ und $n$ ist definiert durch:
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
Sei die Zufallsvariable $X$ die Anzahl der Treffer. Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ ist unbekannt, $n=5$.
Ein Treffer liegt nur in zwei Fällen vor $(6,0)$ und $(0,6)$. Deshalb erhältst du für $p$ mit der Pfadregel:
$p= 2 \cdot P(„6“) \cdot P(„0“) = 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot q = \frac{1}{3} \cdot q$
Dabei ist die 2 die Anzahl der Möglichkeiten für einen Treffer.
Aus der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass $P(X=0) = 0,4$. Stelle die Bedingung mithilfe der Bernoullikette auf und löse die Gleichung nach $q$ auf:
$\begin{array}{rcll} 0,4&=&P(X=0)& \\ 0,4&=&\binom{5}{0}\cdot p^0 \cdot (1-p)^{5-0}&\\ 0,4&=&1\cdot \left(\frac{1}{3}\cdot q\right)^0 \cdot (1-\frac{1}{3}\cdot q)^{5}&\\ 0,4&=&(1-\frac{1}{3}\cdot q)^{5}&\scriptsize{ \mid\;\sqrt[5]{(…)}}\\ 0,8326 &=& 1-\frac{1}{3}\cdot q&\scriptsize{ \mid\;+\frac{1}{3}\cdot q}\\ 0,8326 +\frac{1}{3}\cdot q&=& 1&\scriptsize{ \mid\;-0,8326}\\ \frac{1}{3}\cdot q&=& 0,1674&\scriptsize{ \mid\;\cdot 3}\\ q &=& 0,5& \end{array}$
Da $q=0,5$ müssen die Hälfte der Seiten mit 0 überschrieben werden. Es werden somit 3 Seiten überschrieben.
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