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Analysis 1.2

Aufgaben
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Designersessel

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=ax^3-14ax^2+3,42x$;   $a\in\mathbb{R}$, $a>0$.
Drei Graphen der Schar sind in der Abbildung dargestellt.
a)  Weise nach, dass alle Graphen der Schar bei $x_n=0$ dieselbe Steigung haben.
Einer der Graphen der Schar hat außer $x_n=0$ genau eine weitere Nullstelle.
Berechne den Parameterwert dieser Funktion gerundet auf zwei Nachkommastellen.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
(8P)
b)  Jeder Graph der Schar hat genau einen Wendepunkt. Bestimme seine Koordinaten und weise damit nach, dass alle Wendepunkte auf einer Parallelen zur $y$-Achse liegen. Gib die Gleichung dieser Geraden an.
Einer der Graphen der Schar hat an der Stelle $x_e=3$ einen Extrempunkt.
Weise nach, dass es sich um einen Hochpunkt handelt.
Bestimme die Funktionsgleichung der zugehörigen Funktion $f_a$.
(11P)
Der abgebildete Designersessel hat Seitenflächen, die für $0\leq x \leq9$ aus der Fläche unter dem Graphen von $f_{0,06}$ der gegebenen Funktionenschar (oberster Graph in der oberen Abbildung) und für $9< x\leq9,5$ aus einem angesetzten Rechteck von $5\,\text{cm}$ Breite bestehen $(1\,\text{LE}=10\,\text{cm})$.
c)  Bestimme die Gesamthöhe des Sessels und ermittle, wie hoch der Sessel an der niedrigsten Stelle der Sitzfläche ist (Angaben in cm).
Analysis 1.2
Analysis 1.2
(5P)
d)  Berechne die Größe der in der Abbildung sichtbaren Seitenfläche (Angabe in $\text{m}^2$).
Diese Seitenfläche enthält auch die $5\,\text{cm}$ breite Rechteckfläche am hinteren Rand.
Die Seitenfläche soll grafisch neu gestaltet werden. Für die Grafik wird ein achsenparalleles Rechteck benötigt, das $32\,\text{cm}$ hoch und möglichst breit sein soll.
Berechne die maximale Breite und gib an, welchen prozentualen Anteil die Rechteckfläche an der Seitenfläche hat.
(8P)
e)  Für jede Stelle $x_1$ im Fußbereich $(x_1<3)$ gibt es eine Stelle $x_2$ im Lehnenbereich $(x_2>6,3)$ mit gleicher Steigung.
Ermittle für zwei solche Paare von Stellen $x_1$ und $x_2$ die Summe $x_1+x_2$.
Weise für $f_{0,06}$ nach, dass für je zwei $x$-Werte $x_1$ und $x_2$, bei denen die Steigung gleich ist, die Summe $x_1+x_2$ immer den gleichen Wert hat.
(8P)

(40P)
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Tipps
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Designersessel

a) 
$\blacktriangleright$  Dieselbe Steigung nachweisen
Die Steigung des Graphen einer Funktion wird durch die erste Ableitungsfunktion beschrieben. Berechne also $f_a'(0)$. Ist dieses Ergebnis unabhängig von $a$, so ist die Steigung bei allen Graphen an der Stelle $x_n =0$ gleich.
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Gesucht ist $a$, sodass die Gleichung $f_a(x) =0$ außer $x_n =0$ nur genau eine weitere Lösung besitzt. Berechne zunächst alle möglichen Lösungen in Abhängigkeit von $a$ und bestimme dann $a$ so, dass die gesuchte Bedingung erfüllt ist.
b) 
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Wendepunkts bestimmen
Wende zur Bestimmung der Wendestelle die entsprechenden Bedingungen an:
  • Notwendige Bedingung: $f''(x_W) =0$
  • Hinreichende Bedingung: $f'''(x_W)\neq 0$
Zum Schluss musst du noch die $y$-Koordinate berechnen.
$\blacktriangleright$  Gleichung der Gerade der Wendepunkte bestimmen
Damit alle Wendepunkte auf einer Parallelen zur $y$-Achse liegen, müssen sie dieselbe $x$-Koordinate besitzen. Betrachte also die $x$-Koordinate von $W_a$.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Bestimme $a$, sodass die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt an der Stelle $x_e=3$ erfüllt ist und überprüfe anschließend die hinreichende Bedingung für einen Hochpunkt:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_E) =0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x_E) < 0$
c) 
$\blacktriangleright$  Gesamthöhe bestimmen
Die Gesamthöhe $h_{\text{Gesamt}}$ ergibt sich aus dem größten Funktionswert von $f_{0,06}$ im angegebenen Intervall $0\leq x \leq 9$. Der Skizze kannst du entnehmen, dass dieser am Rand des Intervalls bei $x =9$ gegeben ist.
$\blacktriangleright$  Höhe an der niedrigsten Stelle der Sitzfläche bestimmen
Die Höhe an der niedrigsten Stelle der Sitzfläche ergibt sich aus der $y$-Koordinate des lokalen Tiefpunktes des Graphen von $f_{0,06}$. Wende zur Berechnung der Koordinaten die beiden Bedingungen für lokale Tiefpunkte an:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_T) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x_T)> 0$
d) 
$\blacktriangleright$  Größe der Seitenfläche berechnen
Die Seitenfläche des Sessels setzt sich aus zwei Teilflächen zusammen:
  1. $A_1$: Inhalt der Rechtecksfläche am hinteren Rand
  2. $A_2$: Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f_{0,06}$ und der $x$-Achse zwischen $x_1 =0$ und $x_2 = 9$
$A_2$ lässt sich mit einem Integral berechnen.
$\blacktriangleright$  Maximale Breite berechnen
Legt man das Rechteck so tief wie möglich, liegt es direkt auf der $x$-Achse und wird nach oben hin durch die Gerade mit der Gleichung $y = 3,2$ begrenzt. Weil die Sitzfläche mit $32\,$ cm gerade hoch genug liegt, kann nur noch der linke Rand des Sessels das Rechteck schneiden.
Legt man das Rechteck so weit nach rechts wie möglich, wird es durch die Gerade zu $x = 9,5 $ begrenzt. Das Rechteck darf nun soweit nach links reichen, bis die obere Kante den Graphen schneidet.
Konkret bedeutet dies, dass der obere linke Eckpunkt des Rechtecks der linke Schnittpunkt des Graphen von $f_{0,06}$ mit der Geraden zu $y =3,2$ ist.
$\blacktriangleright$  Prozentualen Anteil berechnen
Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks und anschließend mit den Regel für die Prozentrechnung den prozentualen Anteil.
e) 
$\blacktriangleright$  Summe zweier Paare bestimmen
Bestimme zunächst zwei Paare mit jeweils gleicher Steigung, indem du die Steigung an zwei beliebigen Stellen berechnest und dann durch Gleichsetzen die zugehörigen Stellen mit den gleichen Steigungen bestimmst.
$\blacktriangleright$  Gleichen Wert der Summe nachweisen
Um dies nachzuweisen, forme die Gleichung $f_{0,06}'\left(x_1\right) = f_{0,06}'\left(x_2\right)$ soweit um, dass $x_1+x_2$ auf einer Seite steht. Den Funktionsterm der Ableitung kannst du dir im CAS anzeigen lassen.
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Designersessel

a) 
$\blacktriangleright$  Dieselbe Steigung nachweisen
Die Steigung des Graphen einer Funktion wird durch die erste Ableitungsfunktion beschrieben. Berechne also $f_a'(0)$. Ist dieses Ergebnis unabhängig von $a$, so ist die Steigung bei allen Graphen an der Stelle $x_n =0$ gleich.
1. Schritt: Ableitungsfunktion bestimmen
Du kannst die erste Ableitung in deinem CAS bilden, indem du zunächst die Funktion $f_a$ definierst. Den Befehl für eine Ableitung findest du unter
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Analysis 1.2
Analysis 1.2
2. Schritt: Steigung berechnen
Mit dem CAS erhältst du folgendes Ergebnis:
$f_a'(0) = 3,42$
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Da der Steigungswert an der Stelle $x_n $ $3,42$ beträgt und damit unabhängig vom Parameterwert $a$ ist, besitzen alle Graphen der Schar bei $x_n=0$ dieselbe Steigung.
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Gesucht ist $a$, sodass die Gleichung $f_a(x) =0$ außer $x_n =0$ nur genau eine weitere Lösung besitzt. Berechne zunächst alle möglichen Lösungen in Abhängigkeit von $a$ und bestimme dann $a$ so, dass die gesuchte Bedingung erfüllt ist.
Mit deinem CAS erhältst du folgende Lösungen für $f_a(x)=0$:
$x_n =0$, $\quad x_1 = \dfrac{-7\cdot\left(\sqrt{a\cdot(a-0,069796)}-a\right)}{a}\quad$ und $\quad x_2 = \dfrac{7\cdot\left(\sqrt{a\cdot(a-0,069796)}+a\right)}{a}$
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Es muss also $x_1 = x_2$ gelten, damit außer $x_n$ nur genau eine weitere Nullstelle existiert. Forme die Gleichung soweit um, bis du eine Aussage über $a$ treffen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&x_2 \quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{-7\cdot\left(\sqrt{a\cdot(a-0,069796)}-a\right)}{a}&=&\dfrac{7\cdot\left(\sqrt{a\cdot(a-0,069796)}+a\right)}{a}\quad & \scriptsize\mid\; \cdot \frac{a}{7}\\[5pt] -\left(\sqrt{a\cdot(a-0,069796)}-a\right)&=& \sqrt{a\cdot(a-0,069796)}+a\quad &\scriptsize \mid\; -a \\[5pt] -\sqrt{a\cdot(a-0,069796)}&=& \sqrt{a\cdot(a-0,069796)} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Diese Gleichung ist nun genau dann erfüllt, wenn der Radikand, also der Teil unter der Wurzel, Null ist:
$\begin{array}[t]{rll} a\cdot(a-0,069796)&=&0 \quad & \scriptsize \mid\; :a\neq 0 \\[5pt] a-0,069796&=&0 \quad &\scriptsize \mid\; +0,069796 \\[5pt] a&=& 0,069796\quad &\scriptsize \\[5pt] a&\approx& 0,07 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Parameterwert für $a$, für den der Graph von $f_a$ außer $x_n=0$ noch genau eine weitere Nullstelle besitzt beträgt $a \approx 0,07$.
b) 
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Wendepunkts bestimmen
Wende zur Bestimmung der Wendestelle die entsprechenden Bedingungen an:
  • Notwendige Bedingung: $f''(x_W) =0$
  • Hinreichende Bedingung: $f'''(x_W)\neq 0$
Zum Schluss musst du noch die $y$-Koordinate berechnen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
Die erste Ableitung hast du bereits definiert, definiere nun noch $f_a''$ und $f_a'''$ wie oben in deinem CAS.
2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Gleichsetzen mit $0$ liefert mit deinem CAS mögliche Wendestellen:
$x_W = \dfrac{14}{3}$
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Hier ist es nicht notwendig die hinreichende Bedingung zu überprüfen, da es nur eine mögliche Wendestelle gibt und in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass jeder Graph von $f_a$ genau einen Wendepunkt besitzt. Du kannst die Bedingungen allerdings trotzdem nachrechnen, um gegebenenfalls dein Ergebnis zu überprüfen:
Einsetzen von $x_W= \dfrac{14}{3}$ in $f_a'''(x)$ liefert:
$f_a'''(x_W)=6a \neq 0 $
4. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen
Einsetzen in $f_a(x)$ liefert:
$ f_a(x_W)=-\dfrac{5.488}{27}\cdot a + \dfrac{399}{25}$
Die Koordinaten der Wendepunkte der Graphen von $f_a$ ergeben sich zu $W_a\left(\dfrac{14}{3}\mid -\dfrac{5.488}{27}\cdot a + \dfrac{399}{25}\right)$.
$\blacktriangleright$  Gleichung der Gerade der Wendepunkte bestimmen
Damit alle Wendepunkte auf einer Parallelen zur $y$-Achse liegen, müssen sie dieselbe $x$-Koordinate besitzen. Betrachte also die $x$-Koordinate von $W_a$.
Die $x$-Koordinate $x_W = \dfrac{14}{3}$ der Wendepunkte der Graphen von $f_a$ ist unabhängig von $a$ und damit bei allen Graphen gleich. Die Punkte $W_a$ liegen demnach alle auf der Geraden mit der Gleichung $x = \dfrac{14}{3}$, welche parallel zur $y$-Achse verläuft.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Bestimme $a$, sodass die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt an der Stelle $x_e=3$ erfüllt ist und überprüfe anschließend die hinreichende Bedingung für einen Hochpunkt:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_E) =0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x_E) < 0$
1. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Gleichsetzen mit $0$ und Einsetzen von $x_e = 3$ ergibt mit dem solve-Befehl deines CAS:
$f_a'(3)=0 \quad \Rightarrow \quad a = 0,06$
Analysis 1.2
Analysis 1.2
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Setze $x_e=3$ in $f_{0,06}''(x)$ ein:
$f_{0,06}''(3) = -0,6 < 0$
Die Funktionsgleichung der Funktion $f_a$, deren Graph bei $x_e=3$ einen Extrempunkt besitzt, lautet:
$f_{0,06}(x) = 0,06x^3-14\cdot 0,06x^2+3,42x = 0,06x^3-0,84x^2+3,42x$
Wegen $f_{0,06}''(3) = -0,6 < 0$ ist die hinreichende Bedingung für einen Hochpunkt erfüllt und damit handelt es sich um einen solchen.
c) 
$\blacktriangleright$  Gesamthöhe bestimmen
Die Gesamthöhe $h_{\text{Gesamt}}$ ergibt sich aus dem größten Funktionswert von $f_{0,06}$ im angegebenen Intervall $0\leq x \leq 9$. Der Skizze kannst du entnehmen, dass dieser am Rand des Intervalls bei $x =9$ gegeben ist.
$f_{0,06}(9) = 6,48$
Mit dem angegebenen Maßstab ergibt sich:
$h_{\text{Gesamt}} = 6,48 \cdot 10 \,$cm $ = 64,8\,$ cm
Die Gesamthöhe des Sessels beträgt $64,8\,$ cm.
$\blacktriangleright$  Höhe an der niedrigsten Stelle der Sitzfläche bestimmen
Die Höhe an der niedrigsten Stelle der Sitzfläche ergibt sich aus der $y$-Koordinate des lokalen Tiefpunktes des Graphen von $f_{0,06}$. Wende zur Berechnung der Koordinaten die beiden Bedingungen für lokale Tiefpunkte an:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_T) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x_T)> 0$
1. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Gleichsetzen ergibt mit deinem CAS:
$x_1= \frac{19}{3} \quad $ und $\quad x_2= 3 = x_e$
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Da sich an der Stelle $x_e = 3$ laut Aufgabenteil a) ein Hochpunkt des Graphen von $f_{0,06}$ befindet, muss nun nur noch die andere Nullstelle mit dem CAS überprüft werden:
$ f''_{0,06}\left(\frac{19}{3}\right)= 0,6 >0$
3. Schritt: $y$-Koordinate berechnen
Einsetzen in $f_{0,06}(x)$ ergibt mit dem CAS:
$ f_{0,06}\left(\frac{19}{3}\right)\approx 3,2 $
Die Höhe ergibt sich dann mit Hilfe des Maßstabs:
$h = 3,2 \cdot 10\,$ cm $=32\,$ cm.
Die Höhe an der niedrigsten Stelle der Sitzfläche beträgt ca. $32\,$ cm.
d) 
$\blacktriangleright$  Größe der Seitenfläche berechnen
Die Seitenfläche des Sessels setzt sich aus zwei Teilflächen zusammen:
  1. $A_1$: Inhalt der Rechtecksfläche am hinteren Rand
  2. $A_2$: Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f_{0,06}$ und der $x$-Achse zwischen $x_1 =0$ und $x_2 = 9$
$A_2$ lässt sich mit einem Integral berechnen.
1. Schritt: $A_1$ berechnen
Die Breite der Rechtsecksfläche ist laut Aufgabenstellung $b = 5\,$ cm. Die Länge ergibt sich aus der Gesamthöhe des Sessels $a = 64,8\,$ cm.
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=&5\,\text{cm}\cdot 64,8\,\text{cm} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&324\,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: $A_2$ berechnen
Den Befehl für ein Integral findest du in deinem CAS unter
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
Du erhältst dann:
$\displaystyle\int_{0}^{9}f_{0,06}(x)\;\mathrm dx=32,805 $
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Insgesamt ergibt sich also mit $A_2 = 32,805\,$ [FE] $= 3.280,5\,$cm$^2$:
$A = A_1 +A_2 = 324 \,\text{cm}^2+ 3.280,5\,\text{cm}^2 $ $=3.604,5\,$ cm$^2 \approx 0,36\,$m$^2$
Die Seitenfläche hat eine Größe von ca. $0,36\,$m$^2$.
$\blacktriangleright$  Maximale Breite berechnen
Legt man das Rechteck so tief wie möglich, liegt es direkt auf der $x$-Achse und wird nach oben hin durch die Gerade mit der Gleichung $y = 3,2$ begrenzt. Weil die Sitzfläche mit $32\,$ cm gerade hoch genug liegt, kann nur noch der linke Rand des Sessels das Rechteck schneiden.
Legt man das Rechteck so weit nach rechts wie möglich, wird es durch die Gerade zu $x = 9,5 $ begrenzt. Das Rechteck darf nun soweit nach links reichen, bis die obere Kante den Graphen schneidet.
Konkret bedeutet dies, dass der obere linke Eckpunkt des Rechtecks der linke Schnittpunkt des Graphen von $f_{0,06}$ mit der Geraden zu $y =3,2$ ist.
Löse also $f_{0,06}(x) = 3,2$ nach $x$ mit deinem CAS:
$x = 1,32742$
Die Breite des Rechtecks ergibt sich dann zu $9,5-1,32742\, $ LE $= 8,17258\,$ LE $ \approx 81,73$ cm.
Das Rechteck kann maximal $81,73\,$ cm breit sein.
$\blacktriangleright$  Prozentualen Anteil berechnen
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt:
$A_{\text{Rechteck}}\approx 81,73 \cdot 32\,$ cm$^2 = 2.615,36\,$cm$^2$
Der prozentuale Anteil ergibt sich dann:
$p = \dfrac{A_{\text{Rechteck}}}{A_{\text{Seitenfläche}}} = \dfrac{2.615,36}{3.604,5} \approx 0,7256 = 72,56\,\%$
Das Rechteck nimmt ca. $72,56\,\%$ der Seitenfläche ein.
e) 
$\blacktriangleright$  Summe zweier Paare bestimmen
Bestimme zunächst zwei Paare mit jeweils gleicher Steigung, indem du die Steigung an zwei beliebigen Stellen berechnest und dann durch Gleichsetzen die zugehörigen Stellen mit den gleichen Steigungen bestimmst.
Wähle beispielsweise $ x_{1;1} = 1 \,$ und $\, x_{2;1} = 2$. Dann ergibt sich mit dem CAS:
$f_{0,06}'(1) = 1,92\quad$ und $\quad f_{0,06}'(2)=0,78$.
Setze nun $\,f_{0,06}'(x) = 1,92$. Du erhältst die Lösung: $x_{1;2} = \frac{25}{3}$.
Analog dazu erhältst du für die Gleichung $f_{0,06}'(x)=0,78$ die zweite Lösung $x_{2;2} = \frac{22}{3}$.
Die gesuchten Summen ergeben sich dann wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1;1} + x_{1;2}&=&1+ \frac{25}{3} &=&\frac{28}{3} \\[5pt] x_{2;1} + x_{2;2}&=&2+ \frac{22}{3} &=&\frac{28}{3} \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Gleichen Wert der Summe nachweisen
Um dies nachzuweisen, forme die Gleichung $f_{0,06}'\left(x_1\right) = f_{0,06}'\left(x_2\right)$ soweit um, dass $x_1+x_2$ auf einer Seite steht. Den Funktionsterm der Ableitung kannst du dir im CAS anzeigen lassen.
$\begin{array}[t]{rll} f_{0,06}'(x_1)&=&f_{0,06}'(x_2) \quad \scriptsize \\[5pt] 3\cdot0,06\cdot x_1^2-28\cdot 0,06\cdot x_1+3,42&=&3\cdot 0,06\cdot x_2^2-28\cdot0,06\cdot x_2+3,42 \quad &\scriptsize \mid\;-3,42 \\[5pt] 0,18x_1^2-1,68x_1&=& 0,18x_2^2-1,68x_2\quad &\scriptsize \mid\; -0,18x_2^2\quad  +1,68x_2\\[5pt] 0,18(x_1^2-x_2^2)-1,68(x_1-x_2)&=&0 \quad &\scriptsize \\[5pt] 0,18\left((x_1+x_2)\cdot (x_1-x_2)\right)-1,68(x_1-x_2)&=&0 \quad &\scriptsize \mid\;:(x_1-x_2)\neq 0 \\[5pt] 0,18(x_1+x_2)-1,68&=&0 \quad &\scriptsize \mid\; +1,68\\[5pt] 0,18(x_1 +x_2)&=&1,68 \quad &\scriptsize \mid\; : 0,18\\[5pt] x_1 +x_2&=&\frac{28}{3} \quad &\scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Damit ist gezeigt, dass für alle $x_1$ und $x_2$, bei denen die Steigung des Graphen von $f_{0,06}$ gleich ist, die Summe $x_1+x_2$ immer $\frac{28}{3}$ beträgt.
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Designersessel

a) 
$\blacktriangleright$  Dieselbe Steigung nachweisen
Die Steigung des Graphen einer Funktion wird durch die erste Ableitungsfunktion beschrieben. Berechne also $f_a'(0)$. Ist dieses Ergebnis unabhängig von $a$, so ist die Steigung bei allen Graphen an der Stelle $x_n =0$ gleich.
1. Schritt: Ableitungsfunktion bestimmen
Du kannst die erste Ableitung in deinem CAS bilden, indem du zunächst die Funktion $f_a$ definierst. Den Befehl für eine Ableitung findest du unter
keyboard $\to$ Math2
Analysis 1.2
Analysis 1.2
2. Schritt: Steigung berechnen
Mit dem CAS erhältst du folgendes Ergebnis:
$f_a'(0) = 3,42$
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Da der Steigungswert an der Stelle $x_n $ $3,42$ beträgt und damit unabhängig vom Parameterwert $a$ ist, besitzen alle Graphen der Schar bei $x_n=0$ dieselbe Steigung.
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Gesucht ist $a$, sodass die Gleichung $f_a(x) =0$ außer $x_n =0$ nur genau eine weitere Lösung besitzt. Berechne zunächst alle möglichen Lösungen in Abhängigkeit von $a$ und bestimme dann $a$ so, dass die gesuchte Bedingung erfüllt ist.
Mit deinem CAS erhältst du folgende Lösungen für $f_a(x)=0$:
$x_n =0$, $\quad x_1 = \dfrac{-\sqrt{2\cdot\left(2.450a^2-171a\right)}}{10a}+7\quad$ und $\quad x_2 = \dfrac{\sqrt{2\cdot\left(2.450a^2-171a\right)}}{10a}+7$
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Es muss also $x_1 = x_2$ gelten, damit außer $x_n$ nur genau eine weitere Nullstelle existiert. Forme die Gleichung soweit um, bis du eine Aussage über $a$ treffen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&x_2 \quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{-\sqrt{2\cdot\left(2.450a^2-171a\right)}}{10a}+7&=&\dfrac{\sqrt{2\cdot\left(2.450a^2-171a\right)}}{10a}+7\quad & \scriptsize\mid\; -7\\[5pt] \dfrac{-\sqrt{2\cdot\left(2.450a^2-171a\right)}}{10a}&=&\dfrac{\sqrt{2\cdot\left(2.450a^2-171a\right)}}{10a}\quad &\scriptsize \mid\; \cdot 10a \\[5pt] -\sqrt{2\cdot\left(2.450a^2-171a\right)}&=& \sqrt{2\cdot\left(2.450a^2-171a\right)} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Diese Gleichung ist nun genau dann erfüllt, wenn der Radikand, also der Teil unter der Wurzel, Null ist:
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot\left(2.450a^2-171a\right)&=&0 \quad & \scriptsize \mid\; :2a\neq 0 \\[5pt] 2.450a-171&=&0 \quad &\scriptsize \mid\; +171 \\[5pt] 2.450a&=&171\quad &\scriptsize \mid\; :2.450 \\[5pt] a&\approx& 0,07 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Parameterwert für $a$, für den der Graph von $f_a$ außer $x_n=0$ noch genau eine weitere Nullstelle besitzt beträgt $a \approx 0,07$.
b) 
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Wendepunkts bestimmen
Wende zur Bestimmung der Wendestelle die entsprechenden Bedingungen an:
  • Notwendige Bedingung: $f''(x_W) =0$
  • Hinreichende Bedingung: $f'''(x_W)\neq 0$
Zum Schluss musst du noch die $y$-Koordinate berechnen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
Die erste Ableitung hast du bereits definiert, definiere nun noch $f_a''$ und $f_a'''$ wie oben in deinem CAS.
2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Gleichsetzen mit $0$ liefert mit deinem CAS mögliche Wendestellen:
$x_W = \dfrac{14}{3}$
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Hier ist es nicht notwendig die hinreichende Bedingung zu überprüfen, da es nur eine mögliche Wendestelle gibt und in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass jeder Graph von $f_a$ genau einen Wendepunkt besitzt. Du kannst die Bedingungen allerdings trotzdem nachrechnen, um gegebenenfalls dein Ergebnis zu überprüfen:
Einsetzen von $x_W= \dfrac{14}{3}$ in $f_a'''(x)$ liefert:
$f_a'''(x_W)=6a \neq 0 $
4. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen
Einsetzen in $f_a(x)$ liefert:
$ f_a(x_W)=-\dfrac{5.488}{27}\cdot a + \dfrac{399}{25}$
Die Koordinaten der Wendepunkte der Graphen von $f_a$ ergeben sich zu $W_a\left(\dfrac{14}{3}\mid -\dfrac{5.488}{27}\cdot a + \dfrac{399}{25}\right)$.
$\blacktriangleright$  Gleichung der Gerade der Wendepunkte bestimmen
Damit alle Wendepunkte auf einer Parallelen zur $y$-Achse liegen, müssen sie dieselbe $x$-Koordinate besitzen. Betrachte also die $x$-Koordinate von $W_a$.
Die $x$-Koordinate $x_W = \dfrac{14}{3}$ der Wendepunkte der Graphen von $f_a$ ist unabhängig von $a$ und damit bei allen Graphen gleich. Die Punkte $W_a$ liegen demnach alle auf der Geraden mit der Gleichung $x = \dfrac{14}{3}$, welche parallel zur $y$-Achse verläuft.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Bestimme $a$, sodass die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt an der Stelle $x_e=3$ erfüllt ist und überprüfe anschließend die hinreichende Bedingung für einen Hochpunkt:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_E) =0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x_E) < 0$
1. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Gleichsetzen mit $0$ und Einsetzen von $x_e = 3$ ergibt mit dem solve-Befehl deines CAS:
$f_a'(3)=0 \quad \Rightarrow \quad a = 0,06$
Analysis 1.2
Analysis 1.2
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Setze $x_e=3$ in $f_{0,06}''(x)$ ein:
$f_{0,06}''(3) = -0,6 < 0$
Die Funktionsgleichung der Funktion $f_a$, deren Graph bei $x_e=3$ einen Extrempunkt besitzt, lautet:
$f_{0,06}(x) = 0,06x^3-14\cdot 0,06x^2+3,42x = 0,06x^3-0,84x^2+3,42x$
Wegen $f_{0,06}''(3) = -0,6 < 0$ ist die hinreichende Bedingung für einen Hochpunkt erfüllt und damit handelt es sich um einen solchen.
c) 
$\blacktriangleright$  Gesamthöhe bestimmen
Die Gesamthöhe $h_{\text{Gesamt}}$ ergibt sich aus dem größten Funktionswert von $f_{0,06}$ im angegebenen Intervall $0\leq x \leq 9$. Der Skizze kannst du entnehmen, dass dieser am Rand des Intervalls bei $x =9$ gegeben ist.
$f_{0,06}(9) = 6,48$
Mit dem angegebenen Maßstab ergibt sich:
$h_{\text{Gesamt}} = 6,48 \cdot 10 \,$cm $ = 64,8\,$ cm
Die Gesamthöhe des Sessels beträgt $64,8\,$ cm.
$\blacktriangleright$  Höhe an der niedrigsten Stelle der Sitzfläche bestimmen
Die Höhe an der niedrigsten Stelle der Sitzfläche ergibt sich aus der $y$-Koordinate des lokalen Tiefpunktes des Graphen von $f_{0,06}$. Wende zur Berechnung der Koordinaten die beiden Bedingungen für lokale Tiefpunkte an:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_T) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x_T)> 0$
1. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Gleichsetzen ergibt mit deinem CAS:
$x_1= \frac{19}{3} \quad $ und $\quad x_2= 3 = x_e$
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Da sich an der Stelle $x_e = 3$ laut Aufgabenteil a) ein Hochpunkt des Graphen von $f_{0,06}$ befindet, muss nun nur noch die andere Nullstelle mit dem CAS überprüft werden:
$ f''_{0,06}\left(\frac{19}{3}\right)= 0,6 >0$
3. Schritt: $y$-Koordinate berechnen
Einsetzen in $f_{0,06}(x)$ ergibt mit dem CAS:
$ f_{0,06}\left(\frac{19}{3}\right)\approx 3,2 $
Die Höhe ergibt sich dann mit Hilfe des Maßstabs:
$h = 3,2 \cdot 10\,$ cm $=32\,$ cm.
Die Höhe an der niedrigsten Stelle der Sitzfläche beträgt ca. $32\,$ cm.
d) 
$\blacktriangleright$  Größe der Seitenfläche berechnen
Die Seitenfläche des Sessels setzt sich aus zwei Teilflächen zusammen:
  1. $A_1$: Inhalt der Rechtecksfläche am hinteren Rand
  2. $A_2$: Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f_{0,06}$ und der $x$-Achse zwischen $x_1 =0$ und $x_2 = 9$
$A_2$ lässt sich mit einem Integral berechnen.
1. Schritt: $A_1$ berechnen
Die Breite der Rechtsecksfläche ist laut Aufgabenstellung $b = 5\,$ cm. Die Länge ergibt sich aus der Gesamthöhe des Sessels $a = 64,8\,$ cm.
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=&5\,\text{cm}\cdot 64,8\,\text{cm} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&324\,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: $A_2$ berechnen
Den Befehl für ein Integral findest du in deinem CAS direkt neben dem Befehl für die Ableitung. Du erhältst dann:
$\displaystyle\int_{0}^{9}f_{0,06}(x)\;\mathrm dx=32,805 $
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Insgesamt ergibt sich also mit $A_2 = 32,805\,$ [FE] $= 3.280,5\,$cm$^2$:
$A = A_1 +A_2 = 324 \,\text{cm}^2+ 3.280,5\,\text{cm}^2 $ $=3.604,5\,$ cm$^2 \approx 0,36\,$m$^2$
Die Seitenfläche hat eine Größe von ca. $0,36\,$m$^2$.
$\blacktriangleright$  Maximale Breite berechnen
Legt man das Rechteck so tief wie möglich, liegt es direkt auf der $x$-Achse und wird nach oben hin durch die Gerade mit der Gleichung $y = 3,2$ begrenzt. Weil die Sitzfläche mit $32\,$ cm gerade hoch genug liegt, kann nur noch der linke Rand des Sessels das Rechteck schneiden.
Legt man das Rechteck so weit nach rechts wie möglich, wird es durch die Gerade zu $x = 9,5 $ begrenzt. Das Rechteck darf nun soweit nach links reichen, bis die obere Kante den Graphen schneidet.
Konkret bedeutet dies, dass der obere linke Eckpunkt des Rechtecks der linke Schnittpunkt des Graphen von $f_{0,06}$ mit der Geraden zu $y =3,2$ ist.
Löse also $f_{0,06}(x) = 3,2$ nach $x$ mit deinem CAS:
$x = 1,32742$
Die Breite des Rechtecks ergibt sich dann zu $9,5-1,32742\, $ LE $= 8,17258\,$ LE $ \approx 81,73$ cm.
Das Rechteck kann maximal $81,73\,$ cm breit sein.
$\blacktriangleright$  Prozentualen Anteil berechnen
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt:
$A_{\text{Rechteck}}\approx 81,73 \cdot 32\,$ cm$^2 = 2.615,36\,$cm$^2$
Der prozentuale Anteil ergibt sich dann:
$p = \dfrac{A_{\text{Rechteck}}}{A_{\text{Seitenfläche}}} = \dfrac{2.615,36}{3.604,5} \approx 0,7256 = 72,56\,\%$
Das Rechteck nimmt ca. $72,56\,\%$ der Seitenfläche ein.
e) 
$\blacktriangleright$  Summe zweier Paare bestimmen
Bestimme zunächst zwei Paare mit jeweils gleicher Steigung, indem du die Steigung an zwei beliebigen Stellen berechnest und dann durch Gleichsetzen die zugehörigen Stellen mit den gleichen Steigungen bestimmst.
Wähle beispielsweise $ x_{1;1} = 1 \,$ und $\, x_{2;1} = 2$. Dann ergibt sich mit dem CAS:
$f_{0,06}'(1) = 1,92\quad$ und $\quad f_{0,06}'(2)=0,78$.
Setze nun $\,f_{0,06}'(x) = 1,92$. Du erhältst die Lösung: $x_{1;2} = \frac{25}{3}$.
Analog dazu erhältst du für die Gleichung $f_{0,06}'(x)=0,78$ die zweite Lösung $x_{2;2} = \frac{22}{3}$.
Die gesuchten Summen ergeben sich dann wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1;1} + x_{1;2}&=&1+ \frac{25}{3} &=&\frac{28}{3} \\[5pt] x_{2;1} + x_{2;2}&=&2+ \frac{22}{3} &=&\frac{28}{3} \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Gleichen Wert der Summe nachweisen
Um dies nachzuweisen, forme die Gleichung $f_{0,06}'\left(x_1\right) = f_{0,06}'\left(x_2\right)$ soweit um, dass $x_1+x_2$ auf einer Seite steht. Den Funktionsterm der Ableitung kannst du dir im CAS anzeigen lassen.
$\begin{array}[t]{rll} f_{0,06}'(x_1)&=&f_{0,06}'(x_2) \quad \scriptsize \\[5pt] 3\cdot0,06\cdot x_1^2-28\cdot 0,06\cdot x_1+3,42&=&3\cdot 0,06\cdot x_2^2-28\cdot0,06\cdot x_2+3,42 \quad &\scriptsize \mid\;-3,42 \\[5pt] 0,18x_1^2-1,68x_1&=& 0,18x_2^2-1,68x_2\quad &\scriptsize \mid\; -0,18x_2^2\quad  +1,68x_2\\[5pt] 0,18(x_1^2-x_2^2)-1,68(x_1-x_2)&=&0 \quad &\scriptsize \\[5pt] 0,18\left((x_1+x_2)\cdot (x_1-x_2)\right)-1,68(x_1-x_2)&=&0 \quad &\scriptsize \mid\;:(x_1-x_2)\neq 0 \\[5pt] 0,18(x_1+x_2)-1,68&=&0 \quad &\scriptsize \mid\; +1,68\\[5pt] 0,18(x_1 +x_2)&=&1,68 \quad &\scriptsize \mid\; : 0,18\\[5pt] x_1 +x_2&=&\frac{28}{3} \quad &\scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Damit ist gezeigt, dass für alle $x_1$ und $x_2$, bei denen die Steigung des Graphen von $f_{0,06}$ gleich ist, die Summe $x_1+x_2$ immer $\frac{28}{3}$ beträgt.
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