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Stochastik 3.2

Aufgaben
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„Vorsorgemuffel“

Zu „Vorsorgemuffeln“ zählen Bundesbürger, die nicht regelmäßig eine Zahnarztpraxis zu Kontrolluntersuchungen aufsuchen. Nach einer Umfrage des Instituts der Deutschen Zahnärzte (2013) zählen dazu $29,3\,\%$ der weiblichen und sogar $44,7\,\%$ der männlichen Bundesbürger.
Unabhängig davon, ob er ein „Vorsorgemuffel“ ist oder nicht, geht im Mittel jeder sechste Bundesbürger bei akuten Beschwerden sofort zu einem Zahnarzt.
Wenn nicht ausdrücklich von männlichen oder weiblichen Bundesbürgern die Rede ist, sind immer alle Bundesbürger unabhängig vom Geschlecht gemeint.
a)  Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
  1. Unter $20$ zufällig ausgewählten männlichen Bundesbürgern befinden sich acht oder neun „Vorsorgemuffel“.
  2. Von $100$ zufällig ausgewählten Bundesbürgern gehören mindestens $15$ und weniger als $29$ Personen zu denjenigen, die einen Zahnarzt bei akuten Beschwerden sofort aufsuchen.
  3. Unter $100$ zufällig ausgewählten Bundesbürgern befinden sich mindestens $85$ Personen, die bei akuten Beschwerden nicht sofort zum Zahnarzt gehen.
Bei einer Befragung von $n$ männlichen Personen soll sich als Erwartungswert für die Anzahl der männlichen „Vorsorgemuffel “ $100$ ergeben.
Bestimme den Wert für $n$, der diese Bedingung am besten erfüllt.
(11P)
b)  Berechne, wie viele weibliche Bundesbürger höchstens ausgewählt werden dürften, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, wenigstens einen „Vorsorgemuffel“ zu entdecken, mindestens $70\,\%$ und höchstens $99\,\%$ beträgt.
(4P)
c)  Nacheinander wurden zufällig ausgewählte männliche Bundesbürger befragt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass spätestens der fünfte Befragte ein „Vorsorgemuffel“ war.
(3P)
d)  Der Anteil der Männer unter allen Bundesbürgern liegt bei $48,88\,\%$ (Zensus 2011).
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein unter allen Bundesbürgern zufällig ausgewählter Bundesbürger kein „Vorsorgemuffel“ ist, also regelmäßig zur zahnärztlichen Kontrolluntersuchung geht.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass eine aus der Gruppe der „Vorsorgemuffel“ zufällig ausgewählte Person eine Frau ist.
(8P)
e)  In einem Landesteil Deutschlands beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Einwohner „Vorsorgemuffel“ ist, $p$ mit $0<p<1$.
Berechne $p$ für den Fall, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter vier zufällig ausgewählten Einwohnern dieses Landesteiles ein oder zwei „Vorsorgemuffel“ befinden, maximal ist.
(4P)

(30P)
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Tipps
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„Vorsorgemuffel“

a) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Bei dieser Aufgabe hilft dir die Binomialverteilung. Führe also geeignete Zufallsvariablen ein und achte darauf deren Verteilung anzugeben.
Ereignis A
Betrachte hier die Zufallsvariable $M$, die die zufällige Anzahl der Vorsorgemuffel unter 20 männlichen Bundesbürgern beschreibt. Da die Wahrscheinlichkeit hier bei jedem Bundesbürger gleich ist, dass er ein „Vorsorgemuffel“ ist und es auch nur die beiden Möglichkeiten „Vorsorgemuffel“ und „kein Vorsorgemuffel“ bei jeder Person gibt, kann $M$ als binomialverteilt mit den Parametern $n =20$ und $p= 0,447$ angenommen werden.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du dann mit der summierten Binomialverteilung berechnen.
Ereignis B
Betrachte hier die Zufallsvariable $Z$, die von $100$ zufällig ausgewählten Bundesbürgern die zufällige Anzahl derjenigen beschreibt, die bei akuten Beschwerden sofort zum Zahnarzt gehen.
Diese ist aus den gleichen Gründen wie oben binomialverteilt mit den Parametern $n =100$ und $p = \dfrac{1}{6}$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich nun wie oben.
Ereignis C
Damit sich unter 100 zufällig ausgewählten Bundesbürgern mindestens $85$ Personen befinden, die bei akuten Beschwerden nicht sofort zu einem Zahnarzt gehen, dürfen höchstens $15$ Personen bei akuten Beschwerden sofort zum Zahnarzt gehen. Berechne also die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Zufallsvariable $Z$ wie oben.
$\blacktriangleright$  Anzahl der männlichen Bundesbürger berechnen
Betrachte hier die Zufallsvariable $M_n$, die die Anzahl der „Vorsorgemuffel“ unter $n$ männlichen Personen beschreibt. Diese ist ebenfalls binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p=0,447$. Der Erwartungswert $\mu$ einer binomialverteilten Zufallsvariable ergibt sich durch:
$\mu = n\cdot p$
Du kannst dort also $p= 0,447$ und $\mu = 100$ einsetzen und nach $n$ auflösen. Da $n$ nur ganzzahlig sein kann musst du so runden, dass der Erwartungswert möglichst nah bei $100$ liegt.
b) 
$\blacktriangleright$  Anzahl berechnen
Betrachte hier die Zufallsvariable $W_n$, die die zufällige Anzahl der „Vorsorgemuffel“ unter $n$ weiblichen Bundesbürgern beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p = 0,293$ angenommen werden.
Gesucht ist nun einerseits das größte $n$, sodass gerade noch $P(W_n\geq 1)\leq 0,99$ gilt und andererseits das kleinste $n$, sodass gerade noch $P(W_n\geq 1)\geq 0,7$ gilt.
Forme diese Ungleichungen mit Hilfe des Gegenereignisses und der Formel für die Binomialverteilung nach $n$ um.
c) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Dass spätestens der fünfte Befragte ein „Vorsorgemuffel“ ist, bedeutet, dass unter den ersten $5$ Befragten mindestens einer ein „Vorsorgemuffel“ ist.
Betrachtest du also die Zufallsvariable $M_5$, die die zufällige Anzahl der „Vorsorgemuffel“ unter $5$ befragten männlichen Personen beschreibt, so ist diese binomialverteilt mit $n =5$ und $p = 0,447$. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann wie oben mit Hilfe des Gegenereignisses.
d) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für keinen Vorsorgemuffel berechnen
Hierbei geht es um bedingte Wahrscheinlichkeiten, da die Wahrscheinlichkeit ein „Vorsorgemuffel“ zu sein, davon abhängt ob die Person männlich oder weiblich ist. Wir verwenden hier folgende Bezeichnungen:
  • M: Person ist männlich
  • W: Person ist weiblich
  • V: Person ist Vorsorgemuffel
Überlege dir zunächst welche Wahrscheinlichkeiten du gegeben hast und welche gesucht ist.
  • $P_M(V) = 44,7\,\%$
  • $P_W(V) = 29,3\,\%$
  • $P(M) = 48,88$
Gesucht ist die Gesamtwahrscheinlichkeit $P(\overline{V})$. Diese ergibt sich mit den Pfadregeln.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für eine Frau berechnen
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich mit dem Satz von Bayes:
$P_B(A)= \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
e) 
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{p}$ berechnen
Betrachte hier die Zufallsvariable $V_p$ , die die zufällige Anzahl der „Vorsorgemuffel“ unter vier Einwohnern des Landesteils beschreibt. Diese ist wie oben binomialverteilt, mit $n =4$ und unbekanntem $p$. Die Wahrscheinlichkeit $P\left(1\leq V_p \leq 2\right) = P\left(V_p = 1\right) + P\left(V_p =2\right)$ soll maximal sein. Gesucht ist also das Maximum der Funktion $f(p) =P\left(V_p = 1\right) + P\left(V_p =2\right)$.
Nutze also die beiden Kriterien für Maximalstellen um $p$ zu bestimmen:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f''(x_M) < 0$
Stelle dazu zunächst die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $p$ mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung dar. Anschließend kannst du die Kriterien anwenden.
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„Vorsorgemuffel“

a) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Bei dieser Aufgabe hilft dir die Binomialverteilung. Führe also geeignete Zufallsvariablen ein und achte darauf deren Verteilung anzugeben.
Ereignis A
Betrachte hier die Zufallsvariable $M$, die die zufällige Anzahl der Vorsorgemuffel unter 20 männlichen Bundesbürgern beschreibt. Da die Wahrscheinlichkeit hier bei jedem Bundesbürger gleich ist, dass er ein „Vorsorgemuffel“ ist und es auch nur die beiden Möglichkeiten „Vorsorgemuffel“ und „kein Vorsorgemuffel“ bei jeder Person gibt, kann $M$ als binomialverteilt mit den Parametern $n =20$ und $p= 0,447$ angenommen werden.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du dann mit der summierten Binomialverteilung und deinem CAS berechnen. Den Befehl dazu findest du unter
menü $\to$ 5: Wahrscheinlichkeit $\to$ 5: Verteilung $\to$ E: Binomial Cdf
Dort musst du die entsprechenden Parameter eingeben. Du erhältst dann:
$P(A) = P(8\leq M\leq 9) \approx 0,3412 = 34,12\,\%$
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $34,12\,\%$ befinden sich unter $20$ zufällig ausgewählten männlichen Bundesbürgern $8$ oder $9$ „Vorsorgemuffel“.
Ereignis B
Betrachte hier die Zufallsvariable $Z$, die von $100$ zufällig ausgewählten Bundesbürgern die zufällige Anzahl derjenigen beschreibt, die bei akuten Beschwerden sofort zum Zahnarzt gehen.
Diese ist aus den gleichen Gründen wie oben binomialverteilt mit den Parametern $n =100$ und $p = \dfrac{1}{6}$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich nun wie oben mit deinem CAS:
$P(B) = P(15\leq Z<29) = P(15\leq Z \leq 28) \approx 0,7111= 71,11\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $71,11\,\%$ befinden sich unter $100$ zufällig ausgewählten Bundesbürgern mindestens $15$ und weniger als $29$ Personen, die bei akuten Beschwerden sofort zu einem Zahnarzt gehen.
Ereignis C
Damit sich unter 100 zufällig ausgewählten Bundesbürgern mindestens $85$ Personen befinden, die bei akuten Beschwerden nicht sofort zu einem Zahnarzt gehen, dürfen höchstens $15$ Personen bei akuten Beschwerden sofort zum Zahnarzt gehen. Berechne also die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Zufallsvariable $Z$ wie oben:
$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=&P(Z\leq 15) \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 0,3877 \quad \scriptsize \\[5pt] &=&38,77\,\% \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $38,77\,\%$ befinden sich unter $100$ zufällig ausgewählten Bundesbürgern mindestens $85$, die bei akuten Beschwerden nicht sofort zum Zahnarzt gehen.
$\blacktriangleright$  Anzahl der männlichen Bundesbürger berechnen
Betrachte hier die Zufallsvariable $M_n$, die die Anzahl der „Vorsorgemuffel“ unter $n$ männlichen Personen beschreibt. Diese ist ebenfalls binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p=0,447$. Der Erwartungswert $\mu$ einer binomialverteilten Zufallsvariable ergibt sich durch:
$\mu = n\cdot p$
Du kannst dort also $p= 0,447$ und $\mu = 100$ einsetzen und nach $n$ auflösen. Da $n$ nur ganzzahlig sein kann musst du so runden, dass der Erwartungswert möglichst nah bei $100$ liegt.
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=&n\cdot p \quad \scriptsize \\[5pt] 100&=&n \cdot0,447 \quad \scriptsize \mid\; : 0,447 \\[5pt] 223,7&\approx& n \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Für $223$ ergibt sich $\mu = 99,681$ und für $n= 224$ gilt $\mu = 100,128$.
Für $n = 224$ liegt der Erwartungswert für die männlichen „Vorsorgemuffel“ am nächsten an $100$.
b) 
$\blacktriangleright$  Anzahl berechnen
Betrachte hier die Zufallsvariable $W_n$, die die zufällige Anzahl der „Vorsorgemuffel“ unter $n$ weiblichen Bundesbürgern beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p = 0,293$ angenommen werden.
Gesucht ist nun einerseits das größte $n$, sodass gerade noch $P(W_n\geq 1)\leq 0,99$ gilt und andererseits das kleinste $n$, sodass gerade noch $P(W_n\geq 1)\geq 0,7$ gilt.
Forme diese Ungleichungen mit Hilfe des Gegenereignisses und der Formel für die Binomialverteilung nach $n$ um:
$\begin{array}[t]{rll} P(W_n\geq 1)&\leq &0,99 \quad \scriptsize \\[5pt] 1-P(W_n < 1)&\leq& 0,99 \quad \scriptsize \\[5pt] 1-P(W_n =0)&\leq&0,99 \quad &\scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -P(W_n =0)&\leq&-0,01 \quad &\scriptsize \mid\; \cdot (-1) < 0\\[5pt] P(W_n =0)&\geq&0,01 \quad \scriptsize\\[5pt] \binom{n}{0}\cdot 0,293^0\cdot0,707^{n}&\geq&0,01 \quad \scriptsize\\[5pt] 0,707^{n}&\geq&0,01 \quad &\scriptsize\mid\; \ln\\[5pt] n \cdot \ln(0,707)&\geq&\ln(0,01) \quad &\scriptsize \mid\; : \ln(0,707)< 0 \\[5pt] n&\leq&13,28 \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(W_n\geq 1)&\geq &0,7 \quad \scriptsize \\[5pt] 1-P(W_n < 1)&\geq& 0,7 \quad \scriptsize \\[5pt] 1-P(W_n =0)&\geq&0,7 \quad &\scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -P(W_n =0)&\geq&-0,3 \quad &\scriptsize \mid\; \cdot (-1) < 0\\[5pt] P(W_n =0)&\leq&0,3 \quad \scriptsize\\[5pt] \binom{n}{0}\cdot 0,293^0\cdot0,707^{n}&\leq&0,3 \quad \scriptsize\\[5pt] 0,707^{n}&\leq&0,3 \quad &\scriptsize\mid\; \ln\\[5pt] n \cdot \ln(0,707)&\leq&\ln(0,3) \quad &\scriptsize \mid\; : \ln(0,707)< 0 \\[5pt] n&\geq&3,47 \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Es müssen zwischen $4$ und $13$ weibliche Bundesbürger befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $70\,\%$ und höchstens $99\,\%$ mindestens ein „Vorsorgemuffel“ dabei ist.
c) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Dass spätestens der fünfte Befragte ein „Vorsorgemuffel“ ist, bedeutet, dass unter den ersten $5$ Befragten mindestens einer ein „Vorsorgemuffel“ ist.
Betrachtest du also die Zufallsvariable $M_5$, die die zufällige Anzahl der „Vorsorgemuffel“ unter $5$ befragten männlichen Personen beschreibt, so ist diese binomialverteilt mit $n =5$ und $p = 0,447$. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann wie oben mit Hilfe des Gegenereignisses:
$\begin{array}[t]{rll} P(M_5 \geq 1)&=&1-P(M_n = 0) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&1-\binom{5}{0}\cdot 0,447^0\cdot0,553^{5} \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,9483 \quad \scriptsize\\[5pt] &=&94,83 \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $94,83\,\%$ ist spätestens der fünfte Befragte ein „Vorsorgemuffel“.
d) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für keinen Vorsorgemuffel berechnen
Hierbei geht es um bedingte Wahrscheinlichkeiten, da die Wahrscheinlichkeit ein „Vorsorgemuffel“ zu sein, davon abhängt ob die Person männlich oder weiblich ist. Wir verwenden hier folgende Bezeichnungen:
  • M: Person ist männlich
  • W: Person ist weiblich
  • V: Person ist Vorsorgemuffel
Überlege dir zunächst welche Wahrscheinlichkeiten du gegeben hast und welche gesucht ist.
  • $P_M(V) = 44,7\,\%$
  • $P_W(V) = 29,3\,\%$
  • $P(M) = 48,88$
Gesucht ist die Gesamtwahrscheinlichkeit $P(\overline{V})$. Diese ergibt sich mit den Pfadregeln:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{V})&=&1-P(V) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&1-\left(P(M)\cdot P_M(V)+P(W)\cdot P_W(V)\right) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&1-\left(0,4888\cdot 0,447 + 0,5112\cdot 0,293\right) \quad \scriptsize\\[5pt] &\approx&0,6317 \quad \scriptsize\\[5pt] &\approx&63,17\,\% \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $63,17\,\%$ ist ein zufällig ausgewählter Bundesbürger kein „Vorsorgemuffel“.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für eine Frau berechnen
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich mit dem Satz von Bayes:
$P_B(A)= \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$\begin{array}[t]{rll} P_V(W)&=&\dfrac{P_W(V)\cdot P(W)}{P(V)} \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{0,293\cdot 0,5112}{1-0,6317}\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 0,4067\quad \scriptsize \\[5pt] &=&40,67\,\% \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $40,67\,\%$ ist ein zufällig ausgewählter „Vorsorgemuffel“ eine Frau.
e) 
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{p}$ berechnen
Betrachte hier die Zufallsvariable $V_p$ , die die zufällige Anzahl der „Vorsorgemuffel“ unter vier Einwohnern des Landesteils beschreibt. Diese ist wie oben binomialverteilt, mit $n =4$ und unbekanntem $p$. Die Wahrscheinlichkeit $P\left(1\leq V_p \leq 2\right) = P\left(V_p = 1\right) + P\left(V_p =2\right)$ soll maximal sein. Gesucht ist also das Maximum der Funktion $f(p) =P\left(V_p = 1\right) + P\left(V_p =2\right)$.
Nutze also die beiden Kriterien für Maximalstellen um $p$ zu bestimmen:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f''(x_M) < 0$
Stelle dazu zunächst die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $p$ mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung dar. Anschließend kannst du die Kriterien anwenden.
1. Schritt: Funktionsterm aufstellen
Mit der Formel für die Binomialverteilung ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f(p)&=&P\left(V_p = 1\right) + P\left(V_p = 2\right) \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \binom{4}{1}\cdot p^1\cdot (1-p)^3 + \binom{4}{2}\cdot p^2\cdot (1-p)^2 \quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4p\cdot (1-p)^3 + 6p^2\cdot(1-p)^2\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Definierst du nun $f(p)$ in deinem CAS, dann kannst du die ersten beiden Ableitungen ebenfalls definieren. Den Befehl dafür findest du unter
menu $\to$ 4:Analysis $\to$ 1: Ableitung
Anschließend kannst du die Gleichung $f'(p) = 0$ mit dem solve-Befehl lösen und erhältst so mögliche Extremstellen:
$p_1 = \dfrac{-\sqrt{3}-1}{2}$ und $p_2 = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} $ und $p_3=1$ (letzteres liegt außerhalb des Definitionsbereichs)
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze nun in die zweite Ableitungsfunktion ein: $f''(p_1\approx 32,8 > 0 $ und $f''(p_2) \approx -8,8 < 0$
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Die angegebene Wahrscheinlichkeit ist für $p = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} \approx0,366 $ maximal.
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„Vorsorgemuffel“

a) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Bei dieser Aufgabe hilft dir die Binomialverteilung. Führe also geeignete Zufallsvariablen ein und achte darauf deren Verteilung anzugeben.
Ereignis A
Betrachte hier die Zufallsvariable $M$, die die zufällige Anzahl der Vorsorgemuffel unter 20 männlichen Bundesbürgern beschreibt. Da die Wahrscheinlichkeit hier bei jedem Bundesbürger gleich ist, dass er ein „Vorsorgemuffel“ ist und es auch nur die beiden Möglichkeiten „Vorsorgemuffel“ und „kein Vorsorgemuffel“ bei jeder Person gibt, kann $M$ als binomialverteilt mit den Parametern $n =20$ und $p= 0,447$ angenommen werden.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du dann mit der summierten Binomialverteilung und deinem CAS berechnen. Den Befehl dazu findest du im Statistik-Menü unter
calc $\to$ Verteilung $\to$ Binom. Vert.-fkt.
Dort musst du die entsprechenden Parameter eingeben. Du erhältst dann:
$P(A) = P(8\leq M\leq 9) \approx 0,3412 = 34,12\,\%$
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $34,12\,\%$ befinden sich unter $20$ zufällig ausgewählten männlichen Bundesbürgern $8$ oder $9$ „Vorsorgemuffel“.
Ereignis B
Betrachte hier die Zufallsvariable $Z$, die von $100$ zufällig ausgewählten Bundesbürgern die zufällige Anzahl derjenigen beschreibt, die bei akuten Beschwerden sofort zum Zahnarzt gehen.
Diese ist aus den gleichen Gründen wie oben binomialverteilt mit den Parametern $n =100$ und $p = \dfrac{1}{6}$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich nun wie oben mit deinem CAS:
$P(B) = P(15\leq Z<29) = P(15\leq Z \leq 28) \approx 0,7111= 71,11\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $71,11\,\%$ befinden sich unter $100$ zufällig ausgewählten Bundesbürgern mindestens $15$ und weniger als $29$ Personen, die bei akuten Beschwerden sofort zu einem Zahnarzt gehen.
Ereignis C
Damit sich unter 100 zufällig ausgewählten Bundesbürgern mindestens $85$ Personen befinden, die bei akuten Beschwerden nicht sofort zu einem Zahnarzt gehen, dürfen höchstens $15$ Personen bei akuten Beschwerden sofort zum Zahnarzt gehen. Berechne also die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Zufallsvariable $Z$ wie oben:
$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=&P(Z\leq 15) \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 0,3877 \quad \scriptsize \\[5pt] &=&38,77\,\% \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $38,77\,\%$ befinden sich unter $100$ zufällig ausgewählten Bundesbürgern mindestens $85$, die bei akuten Beschwerden nicht sofort zum Zahnarzt gehen.
$\blacktriangleright$  Anzahl der männlichen Bundesbürger berechnen
Betrachte hier die Zufallsvariable $M_n$, die die Anzahl der „Vorsorgemuffel“ unter $n$ männlichen Personen beschreibt. Diese ist ebenfalls binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p=0,447$. Der Erwartungswert $\mu$ einer binomialverteilten Zufallsvariable ergibt sich durch:
$\mu = n\cdot p$
Du kannst dort also $p= 0,447$ und $\mu = 100$ einsetzen und nach $n$ auflösen. Da $n$ nur ganzzahlig sein kann musst du so runden, dass der Erwartungswert möglichst nah bei $100$ liegt.
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=&n\cdot p \quad \scriptsize \\[5pt] 100&=&n \cdot0,447 \quad \scriptsize \mid\; : 0,447 \\[5pt] 223,7&\approx& n \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Für $223$ ergibt sich $\mu = 99,681$ und für $n= 224$ gilt $\mu = 100,128$.
Für $n = 224$ liegt der Erwartungswert für die männlichen „Vorsorgemuffel“ am nächsten an $100$.
b) 
$\blacktriangleright$  Anzahl berechnen
Betrachte hier die Zufallsvariable $W_n$, die die zufällige Anzahl der „Vorsorgemuffel“ unter $n$ weiblichen Bundesbürgern beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p = 0,293$ angenommen werden.
Gesucht ist nun einerseits das größte $n$, sodass gerade noch $P(W_n\geq 1)\leq 0,99$ gilt und andererseits das kleinste $n$, sodass gerade noch $P(W_n\geq 1)\geq 0,7$ gilt.
Forme diese Ungleichungen mit Hilfe des Gegenereignisses und der Formel für die Binomialverteilung nach $n$ um:
$\begin{array}[t]{rll} P(W_n\geq 1)&\leq &0,99 \quad \scriptsize \\[5pt] 1-P(W_n < 1)&\leq& 0,99 \quad \scriptsize \\[5pt] 1-P(W_n =0)&\leq&0,99 \quad &\scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -P(W_n =0)&\leq&-0,01 \quad &\scriptsize \mid\; \cdot (-1) < 0\\[5pt] P(W_n =0)&\geq&0,01 \quad \scriptsize\\[5pt] \binom{n}{0}\cdot 0,293^0\cdot0,707^{n}&\geq&0,01 \quad \scriptsize\\[5pt] 0,707^{n}&\geq&0,01 \quad &\scriptsize\mid\; \ln\\[5pt] n \cdot \ln(0,707)&\geq&\ln(0,01) \quad &\scriptsize \mid\; : \ln(0,707)< 0 \\[5pt] n&\leq&13,28 \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(W_n\geq 1)&\geq &0,7 \quad \scriptsize \\[5pt] 1-P(W_n < 1)&\geq& 0,7 \quad \scriptsize \\[5pt] 1-P(W_n =0)&\geq&0,7 \quad &\scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -P(W_n =0)&\geq&-0,3 \quad &\scriptsize \mid\; \cdot (-1) < 0\\[5pt] P(W_n =0)&\leq&0,3 \quad \scriptsize\\[5pt] \binom{n}{0}\cdot 0,293^0\cdot0,707^{n}&\leq&0,3 \quad \scriptsize\\[5pt] 0,707^{n}&\leq&0,3 \quad &\scriptsize\mid\; \ln\\[5pt] n \cdot \ln(0,707)&\leq&\ln(0,3) \quad &\scriptsize \mid\; : \ln(0,707)< 0 \\[5pt] n&\geq&3,47 \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Es müssen zwischen $4$ und $13$ weibliche Bundesbürger befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $70\,\%$ und höchstens $99\,\%$ mindestens ein „Vorsorgemuffel“ dabei ist.
c) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Dass spätestens der fünfte Befragte ein „Vorsorgemuffel“ ist, bedeutet, dass unter den ersten $5$ Befragten mindestens einer ein „Vorsorgemuffel“ ist.
Betrachtest du also die Zufallsvariable $M_5$, die die zufällige Anzahl der „Vorsorgemuffel“ unter $5$ befragten männlichen Personen beschreibt, so ist diese binomialverteilt mit $n =5$ und $p = 0,447$. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann wie oben mit Hilfe des Gegenereignisses:
$\begin{array}[t]{rll} P(M_5 \geq 1)&=&1-P(M_n = 0) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&1-\binom{5}{0}\cdot 0,447^0\cdot0,553^{5} \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,9483 \quad \scriptsize\\[5pt] &=&94,83 \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $94,83\,\%$ ist spätestens der fünfte Befragte ein „Vorsorgemuffel“.
d) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für keinen Vorsorgemuffel berechnen
Hierbei geht es um bedingte Wahrscheinlichkeiten, da die Wahrscheinlichkeit ein „Vorsorgemuffel“ zu sein, davon abhängt ob die Person männlich oder weiblich ist. Wir verwenden hier folgende Bezeichnungen:
  • M: Person ist männlich
  • W: Person ist weiblich
  • V: Person ist Vorsorgemuffel
Überlege dir zunächst welche Wahrscheinlichkeiten du gegeben hast und welche gesucht ist.
  • $P_M(V) = 44,7\,\%$
  • $P_W(V) = 29,3\,\%$
  • $P(M) = 48,88$
Gesucht ist die Gesamtwahrscheinlichkeit $P(\overline{V})$. Diese ergibt sich mit den Pfadregeln:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{V})&=&1-P(V) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&1-\left(P(M)\cdot P_M(V)+P(W)\cdot P_W(V)\right) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&1-\left(0,4888\cdot 0,447 + 0,5112\cdot 0,293\right) \quad \scriptsize\\[5pt] &\approx&0,6317 \quad \scriptsize\\[5pt] &\approx&63,17\,\% \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $63,17\,\%$ ist ein zufällig ausgewählter Bundesbürger kein „Vorsorgemuffel“.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für eine Frau berechnen
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich mit dem Satz von Bayes:
$P_B(A)= \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$\begin{array}[t]{rll} P_V(W)&=&\dfrac{P_W(V)\cdot P(W)}{P(V)} \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{0,293\cdot 0,5112}{1-0,6317}\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 0,4067\quad \scriptsize \\[5pt] &=&40,67\,\% \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $40,67\,\%$ ist ein zufällig ausgewählter „Vorsorgemuffel“ eine Frau.
e) 
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{p}$ berechnen
Betrachte hier die Zufallsvariable $V_p$ , die die zufällige Anzahl der „Vorsorgemuffel“ unter vier Einwohnern des Landesteils beschreibt. Diese ist wie oben binomialverteilt, mit $n =4$ und unbekanntem $p$. Die Wahrscheinlichkeit $P\left(1\leq V_p \leq 2\right) = P\left(V_p = 1\right) + P\left(V_p =2\right)$ soll maximal sein. Gesucht ist also das Maximum der Funktion $f(p) =P\left(V_p = 1\right) + P\left(V_p =2\right)$.
Nutze also die beiden Kriterien für Maximalstellen um $p$ zu bestimmen:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f''(x_M) < 0$
Stelle dazu zunächst die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $p$ mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung dar. Anschließend kannst du die Kriterien anwenden.
1. Schritt: Funktionsterm aufstellen
Mit der Formel für die Binomialverteilung ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f(p)&=&P\left(V_p = 1\right) + P\left(V_p = 2\right) \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \binom{4}{1}\cdot p^1\cdot (1-p)^3 + \binom{4}{2}\cdot p^2\cdot (1-p)^2 \quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4p\cdot (1-p)^3 + 6p^2\cdot(1-p)^2\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Definierst du nun $f(p)$ in deinem CAS mit dem define-Befehl, dann kannst du die ersten beiden Ableitungen ebenfalls definieren. Den Befehl dafür findest du unter
keyboard $\to$ 2D $\to$ calc
Anschließend kannst du die Gleichung $f'(p) = 0$ mit dem solve-Befehl lösen und erhältst so mögliche Extremstellen:
$p_1 = \dfrac{-\sqrt{3}-1}{2}$ und $p_2 = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} $ und $p_3=1$ (letzteres liegt außerhalb des Definitionsbereichs)
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze nun in die zweite Ableitungsfunktion ein: $f''(p_1\approx 32,8 > 0 $ und $f''(p_2) \approx -8,8 < 0$
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Die angegebene Wahrscheinlichkeit ist für $p = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} \approx0,366 $ maximal.
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