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Analytische Geometrie 2.1

Aufgaben
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Aufgabe 2.1: Windrad

#koordinaten
a)
Berechne die Länge eines Rotorblattes.
Berechne die Gesamthöhe des Windrades vom Punkt $F$ bis zum höchsten Punkt $H$, den die Spitzen der Ro- torblätter bei ihrer Drehung durchlaufen.
Die Rotorblätter drehen sich in der Ebene $E$, welche die Punkte $F$, $N$ und $P$ enthält.
Ermittle eine Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform.
[Zur Kontrolle: $E: 3x+4y=14$]
(5P)
#ebenengleichung#koordinatenform
b)
Ein Vogel fliegt entlang der Geraden $g: \vec{x}=\pmatrix{127 \\ 230 \\ 150}+t \pmatrix{-5 \\ -6 \\ 1}$; $t \in \mathbb{R}$.
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Flugbahn mit der Ebene $E$.
Untersuche, ob der Vogel durch die sich drehenden Rotorblätter gefährdet ist.
(6P)
#schnittpunkt#ebenengleichung
c)
Zur optimalen Nutzung der Windenergie sollte der Wind senkrecht auf die Ebene $E$ treffen, in der sich die Rotorblätter drehen.
Der Wind weht in Richtung $\vec{w}=\pmatrix{5\\3\\0}$.
Begründe, dass der Wind nicht senkrecht auf die Ebene $E$ trifft.
Berechne, um welchen Winkel die Gondel gedreht werden muss, damit der Wind senkrecht auf die Ebene trifft, in der sich die Rotorblätter drehen.
(6P)
#vektoren
d)
Die Einwohner der benachbarten Ortschaft befürchten Einschränkungen ihrer Lebensqualität durch den Betrieb der beschriebenen Windkraftanlage. Der Punkt $R(420 \mid 850 \mid 0)$ liegt am Rand der Ortschaft. Berechne den Abstand des Punktes $R$ von der Ebene $E$.
(3P)
#koordinaten#abstand
e)
Bei Sonnenlicht erzeugen die sich drehenden Rotorblätter einen sich bewegenden Schatten in der $x$-$y$-Ebene. Zu einer bestimmten Tageszeit wird vom Punkt $N(2 \mid 2 \mid 140)$ der Schattenpunkt $S_N(-54 \mid -82 \mid 0)$ erzeugt. Gleichzeitig entsteht von der Spitze $P(34 \mid -22 \mid 110)$ eines Rotorblattes der Schattenpunkt $S_P$.
[Zur Kontrolle: $S_P(-10 \mid -88 \mid 0)$]
Untersuche, ob alle möglichen Schattenpunkte der Rotorspitzen auf einem Kreis um $S_N$ liegen.
(9P)
(30P)
#koordinaten
Bildnachweise [nach oben]
[1]
http://ecolo.org/photos/ eole/Eolienne1touteSeule.JPG – Calculation of the power produced by a windmill. CC BY-SA.
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Aufgabe 2.1: Windrad

a)
$\blacktriangleright$  Länge eines Rotorblattes und Gesamthöhe des Windrades berechnen
Du sollst die Länge eines Rotorblattes berechnen. Dazu benötigst du den Anfangs- und Endpunkt. Diese Punkte sind durch $N (2\;|\; 2\;|\; 140)$ und $P(34\;|\; -22 \;|\;110 )$ gegeben. Wenn du den Betrag des Vektors $\overrightarrow{NP}$ bildest, erhältst du den Abstand der Punkte $N$ und $P$ und somit die Länge des Rotorblatts.
Der Vektor $\overrightarrow{NP}$ lässt sich berechnen, indem du den Ortsvektor $\overrightarrow{ON}$ von $\overrightarrow{OP}$ abziehst.
Im nächsten Schritt sollst du die Gesamthöhe des Windrades berechnen. Diese setzt sich zusammen aus der Länge $r$ eines Rotorblattes und der Länge $t$ des Turms, auf der der Rotor angebracht ist. $l$ hast du bereits berechnet, $t$ ergibt sich auf die gleiche Art als Abstand von $N$ und $F$. Den Abstand der Punkte $F$ und $N$ berechnest du, indem du zunächst den Vektor $\overrightarrow{NF}$ bestimmst.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinatenform der Ebene E bestimmen
Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann durch eine lineare Gleichung beschrieben werden. Für eine solche Ebenengleichung in Koordinatenform werden vier Parameter benötigt:
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d $
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 $=$ d $
Hierbei versteht man unter
  • $n_1,\;n_2,\;n_3$ die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $E$,
  • $d$ einen Parameter, der mit Hilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten eines Punktes aus der Ebene ermittelt werden kann.
Hier sind dir die Punkte $F$, $N$ und $P$ gegeben, die in der Ebenen $E$ liegen. Die Ebende $E$ wird von den Spannvektoren $\overrightarrow{NP}$ und $\overrightarrow{NF}$ aufgespannt. Diese sollst du zunächst bestimmen.
c)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E bestimmen und Gefährdung des Vogels beurteilen
Berechne, in welchem Punkt die Flugbahn $g$ des Vogels und die Ebene $E$ sich schneiden. Um den Schnittpunkt zu bestimmen, musst du die Koordinaten des allgemeinen Geradenpunktes in die Ebene $E$ einsetzen. Wenn es eine Lösung gibt, gibt es auch einen Schnittpunkt.
d)
$\blacktriangleright$  Optimale Richtung des Windes bestimmen
Du sollst zunächst begründen, warum die angegebene Windrichtung
$\overrightarrow{w}=\pmatrix{5 \\ 3 \\ 0}$
nicht zur optimalen Nutzung der Windenergie führt, also nicht senkrecht auf die Ebene $E$ trifft. Du kannst dir überlegen, welcher Vektor immer senkrecht auf der Ebene $E$ steht. Dies gilt für den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$. Damit der Wind also senkrecht auf die Ebene $E$ einfällt, muss sein Richtungsvektor $\overrightarrow{w}$ parallel zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ sein. Wenn die Vektoren parallel sind, sind sie linear abhängig, wenn dies nicht der Fall ist, sind sie linear unabhängig und du hast gezeigt, dass die Nutzung nicht optimal ist.
Zwei Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ sind genau dann linear abhängig, wenn ein Skalar $a \in \mathbb{R}$ existiert, sodass folgende Gleichung erfüllt ist:
$a\cdot\overrightarrow{w} = \overrightarrow{n}$
$a\cdot\overrightarrow{w} = \overrightarrow{n}$
Du hast $\overrightarrow{w}$ gegeben und $\overrightarrow{n}$ bereits im Aufgabenteil b) berechnet.
Den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{w}$ und $\vec{n}$ kannst du mit der Cosinus- Formel berechnen:
$\cos\alpha= \dfrac{\vec{w}\cdot\vec{n}}{\left|\vec{w}\right|\cdot \left|\vec{n}\right|}$
$\cos\alpha= \dfrac{\vec{w}\cdot\vec{n}}{\left|\vec{w}\right|\cdot \left|\vec{n}\right|}$
e)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schattenpunkts $\boldsymbol{S_P}$ bestimmen
Du sollst den Schattenpunkt $S_P$ bestimmen, der vom Punkt $P$ verursacht wird. Es ist dir gegeben, dass der Punkt $N$ den Schattenpunkt $S_N$ erzeugt. Um zu bestimmen, in welche Richtung die Sonne scheint, bestimmst du $\overrightarrow{S_NN}.$
Um den Punkt $S_P$ zu bestimmen, musst du eine Geradengleichung $g$ aufstellen, die als Richtungsvektor die Sonneneinstrahlung hat und als Stützvektor den Ortsvektor des Punkts $P$.
$\blacktriangleright$  Überprüfen, ob Schattenpunkte einen Kreis bilden
Du sollst nun untersuchen, ob die Schattenpunkte der Rotorblätter einen Kreis bilden, dafür muss der Abstand aller dieser Endpunkte der Rotorbätter zum Punkt $S_N$ gleich sein. Vergleiche dazu den Abstand von zwei verschiedenen Punkten auf dem Außenkreis zum Mittelpunkt $S_N$.
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Aufgabe 2.1: Windrad

a)
$\blacktriangleright$  Länge eines Rotorblattes und Gesamthöhe des Windrades berechnen
Du sollst die Länge eines Rotorblattes berechnen. Dazu benötigst du den Anfangs- und Endpunkt. Diese Punkte sind durch $N (2\;|\; 2\;|\; 140)$ und $P(34\;|\; -22 \;|\;110 )$ gegeben. Wenn du den Betrag des Vektors $\overrightarrow{NP}$ bildest, erhältst du den Abstand der Punkte $N$ und $P$ und somit die Länge des Rotorblatts.
Der Vektor $\overrightarrow{NP}$ lässt sich berechnen, indem du den Ortsvektor $\overrightarrow{ON}$ von $\overrightarrow{OP}$ abziehst:
$\overrightarrow{NP}=$$\pmatrix{34 \\ -22 \\ 110}-\pmatrix{2 \\ 2 \\ 140}$=$\pmatrix{32 \\ -24 \\ -30}$
Um nun den Abstand der Punkte zu erhalten, musst du den Betrag bilden:
$|\overrightarrow{NP}|=$$\sqrt{(32)^2+(-24)^2+(-30)^2}$=$\;50\;\text{[LE]}$
In der Aufgabe ist gegeben, dass eine Längeneinheit einem Meter entspricht ($1\;\text{LE}\mathrel{\widehat{=}}1\;\text{m}$). Somit ist das Rotorblatt $50 \;\text{m}$ lang.
Im nächsten Schritt sollst du die Gesamthöhe des Windrades berechnen. Diese setzt sich zusammen aus der Länge $r$ eines Rotorblattes und der Länge $t$ des Turms, auf der der Rotor angebracht ist. $l$ hast du bereits berechnet, $t$ ergibt sich auf die gleiche Art als Abstand von $N$ und $F$. Den Abstand der Punkte $F$ und $N$ berechnest du, indem du zunächst den Vektor $\overrightarrow{NF}$ bestimmst:
$\overrightarrow{NF}=$$\pmatrix{2 \\ 2 \\ 0}-\pmatrix{2 \\ 2 \\ 140}$=$\pmatrix{0 \\ 0 \\ -140}$
und anschließend den Betrag bildest:
$|\overrightarrow{NF}|=$$\sqrt{(0)^2+(0)^2+(140)^2}$=$\;140\;\text{LE}$
Die Strecke vom Boden bis zum Rotor beträgt 140 Meter. Um nun die Gesamthöhe zu bestimmen, addierst du noch die Länge des Rotorblattes: $140$ Meter + $50$ Meter $=$ $190$ Meter. Die Gesamthöhe beträgt also $190$ Meter.
#vektoren#betrag
b)
$\blacktriangleright$  Koordinatenform der Ebene E bestimmen
Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann durch eine lineare Gleichung beschrieben werden. Für eine solche Ebenengleichung in Koordinatenform werden vier Parameter benötigt:
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d $
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 $=$ d $
Hierbei versteht man unter
  • $n_1,\;n_2,\;n_3$ die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $E$,
  • $d$ einen Parameter, der mit Hilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten eines Punktes aus der Ebene ermittelt werden kann.
Hier sind dir die Punkte $F$, $N$ und $P$ gegeben, die in der Ebenen $E$ liegen. Die Ebende $E$ wird von den Spannvektoren $\overrightarrow{NP}$ und $\overrightarrow{NF}$ aufgespannt. Diese sollst du zunächst bestimmen:
$\overrightarrow{NP}=$$\pmatrix{34 \\ -22 \\ 110}-\pmatrix{2 \\ 2 \\ 140}$=$\pmatrix{32 \\ -24 \\ -30}$
$\overrightarrow{NF}=$$\pmatrix{2 \\ 2 \\ 0}-\pmatrix{2 \\ 2 \\ 140}$=$\pmatrix{0 \\ 0 \\ -140}$
Um die Ebenengleichung aufzustellen, musst du im nächsten Schritt den Normalenvektor der beiden Spannvektoren bilden. Du bestimmst ihn durch Berechnung des Kreuzprodukts.
Mit dem Kreuzprodukt zweier Vektoren erhältst du einen Vektor, der orthogonal zu beiden Vektoren ist. Du kannst es nach folgendem Prinzip bilden:
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2 \cdot b_3-a_3 \cdot b_2\\a_3 \cdot b_1-a_1 \cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = $$…$
Durch Einsetzen der Spannvektoren erhältst du einen Normalenvektor:
$\begin{pmatrix}32\\-24\\-30 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\0\\-140 \end{pmatrix} $$= \begin{pmatrix}(-24) \cdot (-140)-(-30) \cdot 0\\(-30) \cdot 0-(32) \cdot (-140)\\32 \cdot 0-(-24) \cdot 0 \end{pmatrix} $$= \begin{pmatrix}3360\\4480\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\0 \end{pmatrix}$
Um die Ebenengleichung aufzustellen, benötigst du noch den Parameter $d$. Du kannst ihn bestimmen, indem du die Koordinaten eines bekannten Punktes der Ebene, zum Beispiel $N$, in folgende Gleichung einsetzt:
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d $
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 $=$ d $
$E: 3\cdot 2 + 4\cdot 2 + 0\cdot 140=14 $
Du erhältst für den Parameter $d=14$ und kannst somit, durch Einsetzen des Normalenvektors $n$ und des Parameters $d$, eine Ebenengleichung in Koordinatenform aufstellen:
Eine Ebenengleichung von $E$ in Koordinatenform lautet: $E: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2=14$
#ebenengleichung#normalenvektor#koordinatenform#kreuzprodukt
c)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E bestimmen und Gefährdung des Vogels beurteilen
Berechne, in welchem Punkt die Flugbahn $g$ des Vogels und die Ebene $E$ sich schneiden. Um den Schnittpunkt zu bestimmen, musst du die Koordinaten des allgemeinen Geradenpunktes in die Ebene $E$ einsetzen. Wenn es eine Lösung gibt, gibt es auch einen Schnittpunkt.
Die Geradengleichung ist gegeben durch:
$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{127 \\ 230 \\ 150}+t\cdot \pmatrix{-5 \\ -6 \\ 1}$
Du kannst nun den allgemeinen Geradenpunkt in die in b) bestimmte Ebenengleichung ($E: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2=14$) einsetzen. Es ergibt sich eine Gleichung mit einer Unbekannten. Wenn du sie nach $t$ auflöst und eine Lösung erhältst, gibt es einen Schnittpunkt:
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot (127+(-5\cdot t)) + 4\cdot (230+(-6 \cdot t))&=& 14 &\quad \scriptsize \\[5pt] 3\cdot 127 -15t + 4\cdot 230 -24t&=& 14 &\quad \scriptsize \mid\; -381 \mid\; -920 \\[5pt] -39t&=& -1.287 &\quad \scriptsize \mid\; :(-39) \\[5pt] t&=& 33 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t&=& 33 \end{array}$
Da die Gleichung eine Lösung hat, hast du gezeigt, dass es einen Schnittpunkt $S$ gibt. Um ihn zu bestimmen, setzt du nun $t=33$ in die Geradengleichung $g$ ein:
$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{127 \\ 230 \\ 150}+33\cdot \pmatrix{-5 \\ -6 \\ 1}=\pmatrix{-38 \\ 32 \\ 183}$
$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{-38 \\ 32 \\ 183}$
Der Punkt, an dem die Flugbahn $g$ des Vogels die Ebene $E$ schneidet, ist S$(-38\; |\; 32\; |\; 183)$.
Du sollst nun beurteilen, ob der Vogel durch die sich drehenden Rotorblätter gefährdet ist. Du hast bereits in Aufgabenteil a) berechnet, dass die Rotorblätter eine Länge von 50 Metern haben. Damit der Vogel also nicht gefährdet ist, muss der Schnittpunkt $S$ mehr als 50 Meter vom Punkt $N$ entfernt sein.
Stelle zur Berechnung des Abstandes zuerst den Vektor $\overrightarrow{SN}$ auf:
$\overrightarrow{SN} =\pmatrix{2 \\ 2 \\ 140} - \pmatrix{-38 \\ 32 \\ 183}=\pmatrix{40 \\ -30 \\ -43}$
$\overrightarrow{SN} =\pmatrix{40 \\ -30 \\ -43}$
Um nun den Abstand zu erhalten, bildest du den Betrag von $\overrightarrow{SN}$
$|\overrightarrow{SN}|=$$\sqrt{(40)^2+(-30)^2+(-43)^2}$$\approx66\;\text{LE}$
Der Abstand vom Vogel zum Punkt $N$ beträgt beim Schneiden der Ebene $E$ $66$ Meter. Da die Rotorblätter nur $50$ Meter lang sind, ist der Vogel nicht gefährdet.
#betrag#vektoren#ebenengleichung
d)
$\blacktriangleright$  Optimale Richtung des Windes bestimmen
Du sollst zunächst begründen, warum die angegebene Windrichtung
$\overrightarrow{w}=\pmatrix{5 \\ 3 \\ 0}$
nicht zur optimalen Nutzung der Windenergie führt, also nicht senkrecht auf die Ebene $E$ trifft. Du kannst dir überlegen, welcher Vektor immer senkrecht auf der Ebene $E$ steht. Dies gilt für den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$. Damit der Wind also senkrecht auf die Ebene $E$ einfällt, muss sein Richtungsvektor $\overrightarrow{w}$ parallel zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ sein. Wenn die Vektoren parallel sind, sind sie linear abhängig, wenn dies nicht der Fall ist, sind sie linear unabhängig und du hast gezeigt, dass die Nutzung nicht optimal ist.
Zwei Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ sind genau dann linear abhängig, wenn ein Skalar $a \in \mathbb{R}$ existiert, sodass folgende Gleichung erfüllt ist:
$a\cdot\overrightarrow{w} = \overrightarrow{n}$
$a\cdot\overrightarrow{w} = \overrightarrow{n}$
Du hast $\overrightarrow{w}$ gegeben und $\overrightarrow{n}$ bereits im Aufgabenteil b) berechnet. Durch Einsetzen der Werte erhältst du:
$a\cdot\begin{pmatrix}5\\3\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\4\\0 \end{pmatrix}$
Es ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&5\cdot a&=&3\quad\\ \text{II}\quad&3\cdot a&=&4\quad\\ \text{III}\quad&0\cdot a&=&0\quad\\ \end{array}$
Aus $\text{I}$ ergibt sich $a=\frac{3}{5}$, setzt du dies aber wiederum in $\text{II}$ ein, erhältst du $3\cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{5}$, was falsch ist. Daher sind beide Vektoren linear unabhängig und nicht parallel. Du hast also gezeigt, dass die Nutzung nicht optimal ist. Du sollst nun berechnen, um welchen Winkel man die Gondel drehen muss, damit die Windrichtung $\overrightarrow{w}$ senkrecht zur Ebene $E$ gerichtet ist. Berechne dazu den Winkel zwischen $\overrightarrow{w}$ und $\overrightarrow{n}$:
Den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{w}$ und $\vec{n}$ kannst du mit der Cosinus- Formel berechnen:
$\cos\alpha= \dfrac{\vec{w}\cdot\vec{n}}{\left|\vec{w}\right|\cdot \left|\vec{n}\right|}$
$\cos\alpha= \dfrac{\vec{w}\cdot\vec{n}}{\left|\vec{w}\right|\cdot \left|\vec{n}\right|}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos\alpha&=&\dfrac{\begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\right|} \\[5pt] \cos\alpha&=&\dfrac{15+12+0}{\sqrt{25+9+0}\cdot\sqrt{9+16+0}}\\[5pt] \cos\alpha&=&\dfrac{27}{\sqrt{34}\cdot\sqrt{25}}\\[5pt] \cos\alpha&=&\dfrac{27}{\sqrt{34}\cdot 5}\\[5pt] \cos\alpha&=&\dfrac{27}{\sqrt{34}\cdot 5}\quad \scriptsize &\mid \cos^{-1}\; \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{27}{\sqrt{34}\cdot 5}\right) \\[5pt] \alpha&\approx& 67,8° \end{array}$
Wenn du die Gondel um $\alpha=67,8°$ drehst, ist die Windrichtung senkrecht zur Ebene $E$ und die Nutzung somit optimal.
#kosinusfunktion#winkel#gleichungssystem
e)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schattenpunkts $\boldsymbol{S_P}$ bestimmen
Du sollst den Schattenpunkt $S_P$ bestimmen, der vom Punkt $P$ verursacht wird. Es ist dir gegeben, dass der Punkt $N$ den Schattenpunkt $S_N$ erzeugt. Um zu bestimmen, in welche Richtung die Sonne scheint, kannst du $\overrightarrow{S_NN}$ bestimmen:
$\overrightarrow{S_NN}$=$ \pmatrix{2 \\ 2 \\ 140}-\pmatrix{-54 \\ -82 \\ 0}=\pmatrix{56 \\ 84 \\ 140}$
Um nun den Punkt $S_P$ zu bestimmen, musst du eine Geradengleichung $g$ aufstellen, die als Richtungsvektor die Sonneneinstrahlung hat und als Stützvektor den Ortsvektor des Punkts $P$. Du erhältst die Geradengleichung:
$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{34 \\ -22 \\ 110}+k\cdot \pmatrix{56 \\ 84 \\ 140}$
Der Schattenpunkt $S_P$ befindet sich an der Stelle, an der $g$ den Boden berührt, also die xy- Ebene schneidet. Die xy-Ebene kannst du mit $E: z=0$ darstellen. Du kannst den Punkt $S_P$ bestimmen, indem du den allgemeinen Geradenpunkt von $g$ in die Ebenengleichung $E$ einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 110+k\cdot (140) &\quad \scriptsize \mid\;-110 \\[5pt] k\cdot (140)&=& -110&\quad \scriptsize \mid\;:(-140) \\[5pt] k&=& \frac{-11}{14} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} k&=& \frac{-11}{14} \end{array}$
Im nächsten Schritt setzt du das $k$ in die Geradengleichung $g$ ein und erhältst $S_P$:
$\pmatrix{34 \\ -22 \\ 110}$+ $\left(\frac{-11}{14}\right)$$\cdot \pmatrix{56 \\ 84 \\ 140}=\pmatrix{-10 \\ -88 \\ 0}$
Du erhältst somit für den Schattenpunkt: $S_P$$(-10\;|\; -88 \;|\;0 )$.
$\blacktriangleright$  Überprüfen, ob Schattenpunkte einen Kreis bilden
Du sollst nun untersuchen, ob die Schattenpunkte der Rotorblätter einen Kreis bilden, dafür muss der Abstand aller dieser Endpunkte der Rotorbätter zum Punkt $S_N$ gleich sein. Vergleiche dazu den Abstand von zwei verschiedenen Punkten auf dem Außenkreis zum Mittelpunkt $S_N$
Berechne den Abstand von $S_P$ zu $S_N$:
Du bestimmst zunächst $S_N$-$S_P$
$\pmatrix{-54 \\ -82 \\ 0}$-$\pmatrix{-10 \\ -88 \\ 0}$=$\pmatrix{-44 \\ 6 \\ 0}$
und bildest dann den Betrag:
$|\overrightarrow{S_P\;S_N}|=\sqrt{(-44)^2+(6)^2}$$\approx44,4$
Es ergibt sich ein Abstand von $44,4$.
Berechne den Abstand von $S_T$ zu $S_N$:
Dazu musst du zunächst einen weiteren Endpunkt $T$ der Rotorblätter bestimmen. Da du in Teilaufgabe a) bereits die Länge der Rotorblätter berechnet hast ($l=50$) und dir der Punkt $N$$(2\;|\; 2 \;|\;140 )$ gegeben ist, kannst du mit diesen Angaben den Punkt $T$ als $T$$(2\;|\; 2 \;|\;190 )$ festlegen. Um davon den Schattenpunkt $S_T$ zu bestimmen, kannst du eine Geradengleichung $t$ aufstellen, die als Stützvektor $T$ und als Richtungsvektor die Richtung der Sonnenstrahlung hat:
$t:\overrightarrow{x}=\pmatrix{2 \\ 2 \\ 190}+k\cdot \pmatrix{-56 \\ -84 \\ -140}$
Durch Schneiden der Geradengleichung $t$ mit der Ebene $E$ erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 190+k\cdot (-140) &\quad \scriptsize \mid\;-190 \\[5pt] k\cdot (-140)&=& -190&\quad \scriptsize \mid\;:(-140) \\[5pt] k&=& \frac{19}{14} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} k&=& \frac{19}{14} \end{array}$
Du kannst $k=\frac{19}{14}$ nun in die Geradengleichung einsetzen und erhältst somit den Punkt $S_T$:
$\overrightarrow{OS_T} $$ = \pmatrix{2 \\ 2 \\ 190}+(\frac{19}{14})\cdot \pmatrix{-56 \\ -84 \\ -140}=$$\pmatrix{-74 \\ -112 \\ 0}$
Um den Abstand vom Schattenpunkt $S_T$ zum Punkt $S_N$ zu bestimmen, rechnest du $S_T$ -$S_N$:
$\pmatrix{-54 \\ -82 \\ 0}$-$\pmatrix{-74 \\ -112 \\ 0}$=$\pmatrix{20 \\ 30 \\ 0}$
und bestimmst den Betrag:
$|\overrightarrow{S_P\;S_N}|=\sqrt{(20)^2+(30)^2}$$\approx36,1$
Der Abstand beträgt $36,1$.
Da die Abstände der Punkte zum Mittelpunkt $S_N$ nicht gleich sind, liegen sie auch nicht auf einem Kreis.
#geradengleichung#ebenengleichung#abstand
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Aufgabe 2.1: Windrad

a)
$\blacktriangleright$  Länge eines Rotorblattes und Gesamthöhe des Windrades berechnen
Du sollst die Länge eines Rotorblattes berechnen. Dazu benötigst du den Anfangs- und Endpunkt. Diese Punkte sind durch $N (2\;|\; 2\;|\; 140)$ und $P(34\;|\; -22 \;|\;110 )$ gegeben. Wenn du den Betrag des Vektors $\overrightarrow{NP}$ bildest, erhältst du den Abstand der Punkte $N$ und $P$ und somit die Länge des Rotorblatts.
Der Vektor $\overrightarrow{NP}$ lässt sich berechnen, indem du den Ortsvektor $\overrightarrow{ON}$ von $\overrightarrow{OP}$ abziehst:
$\overrightarrow{NP}=$$\pmatrix{34 \\ -22 \\ 110}-\pmatrix{2 \\ 2 \\ 140}$=$\pmatrix{32 \\ -24 \\ -30}$
Um nun den Abstand der Punkte zu erhalten, musst du den Betrag bilden:
$|\overrightarrow{NP}|=$$\sqrt{(32)^2+(-24)^2+(-30)^2}$=$\;50\;\text{[LE]}$
In der Aufgabe ist gegeben, dass eine Längeneinheit einem Meter entspricht ($1\;\text{LE}\mathrel{\widehat{=}}1\;\text{m}$). Somit ist das Rotorblatt $50 \;\text{m}$ lang.
Im nächsten Schritt sollst du die Gesamthöhe des Windrades berechnen. Diese setzt sich zusammen aus der Länge $r$ eines Rotorblattes und der Länge $t$ des Turms, auf der der Rotor angebracht ist. $l$ hast du bereits berechnet, $t$ ergibt sich auf die gleiche Art als Abstand von $N$ und $F$. Den Abstand der Punkte $F$ und $N$ berechnest du, indem du zunächst den Vektor $\overrightarrow{NF}$ bestimmst:
$\overrightarrow{NF}=$$\pmatrix{2 \\ 2 \\ 0}-\pmatrix{2 \\ 2 \\ 140}$=$\pmatrix{0 \\ 0 \\ -140}$
und anschließend den Betrag bildest:
$|\overrightarrow{NF}|=$$\sqrt{(0)^2+(0)^2+(140)^2}$=$\;140\;\text{LE}$
Die Strecke vom Boden bis zum Rotor beträgt 140 Meter. Um nun die Gesamthöhe zu bestimmen, addierst du noch die Länge des Rotorblattes: $140$ Meter + $50$ Meter $$= $190$ Meter. Die Gesamthöhe beträgt also $190$ Meter.
#vektoren#betrag
b)
$\blacktriangleright$  Koordinatenform der Ebene E bestimmen
Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann durch eine lineare Gleichung beschrieben werden. Für eine solche Ebenengleichung in Koordinatenform werden vier Parameter benötigt:
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d $
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 $=$ d $
Hierbei versteht man unter
  • $n_1,\;n_2,\;n_3$ die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $E$,
  • $d$ einen Parameter, der mit Hilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten eines Punktes aus der Ebene ermittelt werden kann.
Hier sind dir die Punkte $F$, $N$ und $P$ gegeben, die in der Ebenen $E$ liegen. Die Ebende $E$ wird von den Spannvektoren $\overrightarrow{NP}$ und $\overrightarrow{NF}$ aufgespannt. Diese sollst du zunächst bestimmen:
$\overrightarrow{NP}=$$\pmatrix{34 \\ -22 \\ 110}-\pmatrix{2 \\ 2 \\ 140}$=$\pmatrix{32 \\ -24 \\ -30}$
$\overrightarrow{NF}=$$\pmatrix{2 \\ 2 \\ 0}-\pmatrix{2 \\ 2 \\ 140}$=$\pmatrix{0 \\ 0 \\ -140}$
Um die Ebenengleichung aufzustellen, musst du im nächsten Schritt den Normalenvektor der beiden Spannvektoren bilden. Du bestimmst ihn durch Berechnung des Kreuzprodukts.
Mit dem Kreuzprodukt zweier Vektoren erhältst du einen Vektor, der orthogonal zu beiden Vektoren ist. Du kannst es nach folgendem Prinzip bilden:
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2 \cdot b_3-a_3 \cdot b_2\\a_3 \cdot b_1-a_1 \cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = $$…$
Durch Einsetzen der Spannvektoren erhältst du einen Normalenvektor:
$\begin{pmatrix}32\\-24\\-30 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\0\\-140 \end{pmatrix} $$= \begin{pmatrix}(-24) \cdot (-140)-(-30) \cdot 0\\(-30) \cdot 0-(32) \cdot (-140)\\32 \cdot 0-(-24) \cdot 0 \end{pmatrix} $$= \begin{pmatrix}3360\\4480\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\0 \end{pmatrix}$
Um die Ebenengleichung aufzustellen, benötigst du noch den Parameter $d$. Du kannst ihn bestimmen, indem du die Koordinaten eines bekannten Punktes der Ebene, zum Beispiel $N$, in folgende Gleichung einsetzt:
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d $
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 $=$ d $
$E: 3\cdot 2 + 4\cdot 2 + 0\cdot 140=14 $
Du erhältst für den Parameter $d=14$ und kannst somit, durch Einsetzen des Normalenvektors $n$ und des Parameters $d$, eine Ebenengleichung in Koordinatenform aufstellen:
Eine Ebenengleichung von $E$ in Koordinatenform lautet: $E: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2=14$
#kreuzprodukt#koordinatenform#normalenvektor#ebenengleichung
c)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E bestimmen und Gefährdung des Vogels beurteilen
Berechne, in welchem Punkt die Flugbahn $g$ des Vogels und die Ebene $E$ sich schneiden. Um den Schnittpunkt zu bestimmen, musst du die Koordinaten des allgemeinen Geradenpunktes in die Ebene $E$ einsetzt. Wenn es eine Lösung gibt, gibt es auch einen Schnittpunkt.
Die Geradengleichung ist gegeben durch:
$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{127 \\ 230 \\ 150}+t\cdot \pmatrix{-5 \\ -6 \\ 1}$
Du kannst nun den allgemeinen Geradenpunkt in die in b) bestimmte Ebenengleichung ($E: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2=14$) einsetzen. Es ergibt sich eine Gleichung mit einer Unbekannten. Wenn du sie nach $t$ auflöst und eine Lösung erhältst, gibt es einen Schnittpunkt:
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot (127+(-5\cdot t)) + 4\cdot (230+(-6 \cdot t))&=& 14 &\quad \scriptsize \\[5pt] 3\cdot 127 -15t + 4\cdot 230 -24t&=& 14 &\quad \scriptsize \mid\; -381 \mid\; -920 \\[5pt] -39t&=& -1.287 &\quad \scriptsize \mid\; :(-39) \\[5pt] t&=& 33 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t&=& 33 \end{array}$
Da die Gleichung eine Lösung hat, hast du gezeigt, dass es einen Schnittpunkt $S$ gibt. Um ihn zu bestimmen, setzt du nun $t=33$ in die Geradengleichung $g$ ein:
$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{127 \\ 230 \\ 150}+33\cdot \pmatrix{-5 \\ -6 \\ 1}=\pmatrix{-38 \\ 32 \\ 183}$
$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{-38 \\ 32 \\ 183}$
Der Punkt, an dem die Flugbahn $g$ des Vogels die Ebene $E$ schneidet, ist S$(-38\; |\; 32\; |\; 183)$.
Du sollst nun beurteilen, ob der Vogel durch die sich drehenden Rotorblätter gefährdet ist. Du hast bereits in Aufgabenteil a) berechnet, dass die Rotorblätter eine Länge von 50 Metern haben. Damit der Vogel also nicht gefährdet ist, muss der Schnittpunkt $S$ mehr als 50 Meter vom Punkt $N$ entfernt sein.
Stelle zur Berechnung des Abstandes zuerst den Vektor $\overrightarrow{SN}$ auf:
$\overrightarrow{SN} =\pmatrix{2 \\ 2 \\ 140} - \pmatrix{-38 \\ 32 \\ 183}=\pmatrix{40 \\ -30 \\ -43}$
$\overrightarrow{SN} =\pmatrix{40 \\ -30 \\ -43}$
Um nun den Abstand zu erhalten, bildest du den Betrag von $\overrightarrow{SN}$
$|\overrightarrow{SN}|=$$\sqrt{(40)^2+(-30)^2+(-43)^2}$$\approx66\;\text{LE}$
Der Abstand vom Vogel zum Punkt $N$ beträgt beim Schneiden der Ebene $E$ $66$ Meter. Da die Rotorblätter nur $50$ Meter lang sind, ist der Vogel nicht gefährdet.
#betrag#ebenengleichung#vektoren
d)
$\blacktriangleright$  Optimale Richtung des Windes bestimmen
Du sollst zunächst begründen, warum die angegebene Windrichtung
$\overrightarrow{w}=\pmatrix{5 \\ 3 \\ 0}$
nicht zur optimalen Nutzung der Windenergie führt, also nicht senkrecht auf die Ebene $E$ trifft. Du kannst dir überlegen, welcher Vektor immer senkrecht auf der Ebene $E$ steht. Dies gilt für den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$. Damit der Wind also senkrecht auf die Ebene $E$ einfällt, muss sein Richtungsvektor $\overrightarrow{w}$ parallel zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ sein. Wenn die Vektoren parallel sind, sind sie linear abhängig, wenn dies nicht der Fall ist, sind sie linear unabhängig und du hast gezeigt, dass die Nutzung nicht optimal ist.
Zwei Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ sind genau dann linear abhängig, wenn ein Skalar $a \in \mathbb{R}$ existiert, sodass folgende Gleichung erfüllt ist:
$a\cdot\overrightarrow{w} = \overrightarrow{n}$
$a\cdot\overrightarrow{w} = \overrightarrow{n}$
Du hast $\overrightarrow{w}$ gegeben und $\overrightarrow{n}$ bereits im Aufgabenteil b) berechnet. Durch Einsetzen der Werte erhältst du:
$a\cdot\begin{pmatrix}5\\3\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\4\\0 \end{pmatrix}$
Es ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&5\cdot a&=&3\quad\\ \text{II}\quad&3\cdot a&=&4\quad\\ \text{III}\quad&0\cdot a&=&0\quad\\ \end{array}$
Aus $\text{I}$ ergibt sich $a=\frac{3}{5}$, setzt du dies aber wiederum in $\text{II}$ ein, erhältst du $3\cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{5}$, was falsch ist. Daher sind beide Vektoren linear unabhängig und nicht parallel. Du hast also gezeigt, dass die Nutzung nicht optimal ist. Du sollst nun berechnen, um welchen Winkel man die Gondel drehen muss, damit die Windrichtung $\overrightarrow{w}$ senkrecht zur Ebene $E$ gerichtet ist. Berechne dazu den Winkel zwischen $\overrightarrow{w}$ und $\overrightarrow{n}$:
Den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{w}$ und $\vec{n}$ kannst du mit der Cosinus- Formel berechnen:
$\cos\alpha= \dfrac{\vec{w}\cdot\vec{n}}{\left|\vec{w}\right|\cdot \left|\vec{n}\right|}$
$\cos\alpha= \dfrac{\vec{w}\cdot\vec{n}}{\left|\vec{w}\right|\cdot \left|\vec{n}\right|}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos\alpha&=&\dfrac{\begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\right|} \\[5pt] \cos\alpha&=&\dfrac{15+12+0}{\sqrt{25+9+0}\cdot\sqrt{9+16+0}}\\[5pt] \cos\alpha&=&\dfrac{27}{\sqrt{34}\cdot\sqrt{25}}\\[5pt] \cos\alpha&=&\dfrac{27}{\sqrt{34}\cdot 5}\\[5pt] \cos\alpha&=&\dfrac{27}{\sqrt{34}\cdot 5}\quad \scriptsize &\mid \cos^{-1}\; \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{27}{\sqrt{34}\cdot 5}\right) \\[5pt] \alpha&\approx& 67,8° \end{array}$
Wenn du die Gondel um $\alpha=67,8°$ drehst, ist die Windrichtung senkrecht zur Ebene $E$ und die Nutzung somit optimal.
#kosinusfunktion#gleichungssystem#winkel
e)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schattenpunkts $\boldsymbol{S_P}$ bestimmen
Du sollst den Schattenpunkt $S_P$ bestimmen, der vom Punkt $P$ verursacht wird. Es ist dir gegeben, dass der Punkt $N$ den Schattenpunkt $S_N$ erzeugt. Um zu bestimmen, in welche Richtung die Sonne scheint, kannst du $\overrightarrow{S_NN}$ bestimmen:
$\overrightarrow{S_NN}$=$ \pmatrix{2 \\ 2 \\ 140}-\pmatrix{-54 \\ -82 \\ 0}=\pmatrix{56 \\ 84 \\ 140}$
Um nun den Punkt $S_P$ zu bestimmen, musst du eine Geradengleichung $g$ aufstellen, die als Richtungsvektor die Sonneneinstrahlung hat und als Stützvektor den Ortsvektor des Punkts $P$. Du erhältst die Geradengleichung:
$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{34 \\ -22 \\ 110}+k\cdot \pmatrix{56 \\ 84 \\ 140}$
Der Schattenpunkt $S_P$ befindet sich an der Stelle, an der $g$ den Boden berührt, also die xy- Ebene schneidet. Die xy-Ebene kannst du mit $E: z=0$ darstellen. Du kannst den Punkt $S_P$ bestimmen, indem du den allgemeinen Geradenpunkt von $g$ in die Ebenengleichung $E$ einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 110+k\cdot (140) &\quad \scriptsize \mid\;-110 \\[5pt] k\cdot (140)&=& -110&\quad \scriptsize \mid\;:(-140) \\[5pt] k&=& \frac{-11}{14} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} k&=& \frac{-11}{14} \end{array}$
Im nächsten Schritt setzt du das $k$ in die Geradengleichung $g$ ein und erhältst $S_P$:
$\pmatrix{34 \\ -22 \\ 110}$+ $\left(\frac{-11}{14}\right)$$\cdot \pmatrix{56 \\ 84 \\ 140}=\pmatrix{-10 \\ -88 \\ 0}$
Du erhältst somit für den Schattenpunkt: $S_P$$(-10\;|\; -88 \;|\;0 )$.
$\blacktriangleright$  Überprüfen, ob Schattenpunkte einen Kreis bilden
Du sollst nun untersuchen, ob die Schattenpunkte der Rotorblätter einen Kreis bilden, dafür muss der Abstand aller dieser Endpunkte der Rotorbätter zum Punkt $S_N$ gleich sein. Vergleiche dazu den Abstand von zwei verschiedenen Punkten auf dem Außenkreis zum Mittelpunkt $S_N$
Berechne den Abstand von $S_P$ zu $S_N$:
Du bestimmst zunächst $S_N$-$S_P$
$\pmatrix{-54 \\ -82 \\ 0}$-$\pmatrix{-10 \\ -88 \\ 0}$=$\pmatrix{-44 \\ 6 \\ 0}$
und bildest dann den Betrag:
$|\overrightarrow{S_P\;S_N}|=\sqrt{(-44)^2+(6)^2}$$\approx44,4$
Es ergibt sich ein Abstand von $44,4$.
Berechne den Abstand von $S_T$ zu $S_N$:
Dazu musst du zunächst einen weiteren Endpunkt $T$ der Rotorblätter bestimmen. Da du in Teilaufgabe a) bereits die Länge der Rotorblätter berechnet hast ($l=50$) und dir der Punkt $N$$(2\;|\; 2 \;|\;140 )$ gegeben ist, kannst du mit diesen Angaben den Punkt $T$ als $T$$(2\;|\; 2 \;|\;190 )$ festlegen. Um davon den Schattenpunkt $S_T$ zu bestimmen, kannst du eine Geradengleichung $t$ aufstellen, die als Stützvektor $T$ und als Richtungsvektor die Richtung der Sonnenstrahlung hat:
$t:\overrightarrow{x}=\pmatrix{2 \\ 2 \\ 190}+k\cdot \pmatrix{-56 \\ -84 \\ -140}$
Durch Schneiden der Geradengleichung $t$ mit der Ebene $E$ erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 190+k\cdot (-140) &\quad \scriptsize \mid\;-190 \\[5pt] k\cdot (-140)&=& -190&\quad \scriptsize \mid\;:(-140) \\[5pt] k&=& \frac{19}{14} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} k&=& \frac{19}{14} \end{array}$
Du kannst $k=\frac{19}{14}$ nun in die Geradengleichung einsetzen und erhältst somit den Punkt $S_T$:
$\overrightarrow{OS_T} $$ = \pmatrix{2 \\ 2 \\ 190}+(\frac{19}{14})\cdot \pmatrix{-56 \\ -84 \\ -140}=$$\pmatrix{-74 \\ -112 \\ 0}$
Um den Abstand vom Schattenpunkt $S_T$ zum Punkt $S_N$ zu bestimmen, rechnest du $S_T$ -$S_N$:
$\pmatrix{-54 \\ -82 \\ 0}$-$\pmatrix{-74 \\ -112 \\ 0}$=$\pmatrix{20 \\ 30 \\ 0}$
und bestimmst den Betrag:
$|\overrightarrow{S_P\;S_N}|=\sqrt{(20)^2+(30)^2}$$\approx36,1$
Der Abstand beträgt $36,1$.
Da die Abstände der Punkte zum Mittelpunkt $S_N$ nicht gleich sind, liegen sie auch nicht auf einem Kreis.
#ebenengleichung#abstand#geradengleichung
Bildnachweise [nach oben]
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