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Analysis 1.1

Aufgaben
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Gegeben ist die Funktionsschar $f_a$ mit $f_a(x)= (ax+1)\cdot \mathrm{e}^{-ax}$; $ x\in \mathbb{R}$; $a\in \mathbb{R}$.
Die Graphen dieser Funktionsschar $f_a$ sind $G_a$.
a) Ermitteln Sie die Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$.
Bestimmen Sie den Wert des Parameters $a$, für den die Scharfunktion keine Nullstelle hat, und geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an.
(3P)
b) Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x\rightarrow \infty$ und $x\rightarrow -\infty$ in Abhängigkeit von $a\; (a\neq 0)$ an.
(4P)
c) Weisen Sie nach, dass alle Graphen $G_a(a\neq 0)$ den lokalen Extrempunkt $E (0\mid 1)$ haben.
Ohne Herleitung dürfen Sie verwenden: $f''_a(x)= \mathrm{e}^{-ax}(a^3x-a^2)$.
Alle Wendepunkte der Graphen $G_a(a\neq 0)$ liegen auf einem parallel zur $x$–Achse verlaufenden Graphen einer Funktion $g$. Geben Sie die Funktionsgleichung von $g$ an.
Auf die Untersuchung der hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden.
(10P)
d) Zeigen Sie, dass $F_a(x)=\left(-x-\dfrac{2}{a}\right)\cdot \mathrm{e}^{-ax}$; $x\in \mathbb{R}$; $a\in \mathbb{R}$; $a\neq 0$ eine Stammfunktion von $f_a$ ist.
(3P)
e) In der Anlage sind zwei Graphen der Funktionsschar $f_a$ dargestellt.
Begründen Sie, dass es sich dabei um die Graphen $G_2$ und $G_{-2}$ handelt und beschriften Sie die Graphen in der Anlage.
Analysis 1.1 Abbildung zu e) und f)
Analysis 1.1 Abbildung zu e) und f)
Eine Bekleidungsfirma möchte Gesäßtaschen von Jeans wie rechts abgebildet besticken. Zur Modellierung des Motivs werden die Graphen $G_2$ und $G_{-2}$ genutzt (vgl. Anlage). Der untere Rand des Motivs soll ebenfalls durch 2 Graphen dargestellt werden, so dass die $x$– bzw. $y$–Achse Symmetrieachsen des Motivs sind.
Geben Sie jeweils eine Funktionsgleichung an und zeichnen Sie die Graphen möglichst vollständig in der Anlage.
Der in der Abbildung schraffiert dargestellte Teil des Motivs soll bestickt werden. Berechnen Sie die Größe dieser Fläche im Intervall $[-3;3]$.
(15P)
f) Der Teil der in der Abbildung grau gefärbten Fläche, der oberhalb der $x$–Achse liegt, soll nun durch den Graphen einer quadratischen Funktion $p$ mit der Gleichung
$p(x)=-bx^2+c$ $(b, c \in \mathbb{R})$
so dargestellt werden, dass die Größe dieser Teilfläche unverändert $(\mathrm{e}-2)$ FE beträgt. Der lokale Extrempunkt bleibt der Punkt $E(0\mid 1)$.
Ermitteln Sie den Wert für $c$ und stellen Sie eine Gleichung auf, aus der $b$ berechnet werden kann.
(5P)

(40P)

Material

Anlage zu Aufgabe 1.1: Hosentasche
Analysis 1.1
Analysis 1.1
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a) $\blacktriangleright$ Bestimme die Nullstellen von $\boldsymbol{f_a}$
Du hast eine Funktionsschar $f_a$ gegeben:
$\begin{array}{rcll} f_a(x)&=&(ax+1)\cdot\mathrm e^{-ax}&\scriptsize{ x,a\in\mathbb{R}}\\ \end{array}$
Um die Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$ zu bestimmen, setzt du den Funktionsterm der Funktionsschar gleich Null.
Beachte dabei, dass der Term mit der $\mathrm e$–Funktion nicht Null ergeben kann. Nach dem Satz vom Nullprodukt genügt es, wenn du den Term in der Klammer betrachtest.
$\blacktriangleright$ Bestimme das $\boldsymbol{a}$ so, dass die Scharfunktion keine Nullstellen besitzt
Damit die Scharfunktion keine Nullstellen besitzt, muss gelten:
$\boldsymbol{f_a(x)\neq 0}$
Zuvor hast du gezeigt, dass die Funktionenschar an der Stelle $x=-\frac{1}{a}$ Nullstellen aufweist. Damit eine Funktion der Schar aber keine Nullstelle besitzt, musst du dir besagte Stelle anschauen und überlegen, für welchen Wert für $a$ keine Nullstelle existiert.
b) $\blacktriangleright$ Untersuche das Verhalten für $\boldsymbol{x\rightarrow\pm\infty}$
Nun sollst du das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x\rightarrow\pm\infty$ angeben.
Achte dabei besonders darauf, wie sich das Verhalten der $\mathrm e$–Funktion ändert.
Für die $\boldsymbol{\mathrm e}$–Funktion gilt:
$\begin{array}{rcll} \lim\limits_{x\to\infty}\mathrm e^{x}&=&\infty\\ \lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm e^{x}&=&0\\ \end{array}$
Das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ ist außerdem von $a$ abhängig. Betrachte daher das Verhalten von $f_a$ für Werte $\boldsymbol{a<0}$ und $\boldsymbol{a>0}$.
c) $\blacktriangleright$ Bestimme den lokalen Extrempunkt $\boldsymbol{E}$
Bei dieser Teilaufgabe sollst du nachweisen, dass alle Graphen $G_a$ mit $a\neq0$ den lokalen Extrempunkt $E(0\mid1)$ haben. Dazu bestimmst du den Extrempunkt $E$ des Graphen $G_a$ und prüfst, ob dieser die Koordinaten $(0\mid1)$ hat.
Für eine Extremstelle $x_E$ einer Funktion $f$ gelten folgende Bedingungen:
  • notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_E)=0}$
  • hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_E)\neq0}$
Ist $\boldsymbol{f''(x_E)<0}$ hat der Graph an der Stelle $x_E$ einen Hochpunkt. Bei $\boldsymbol{f''(x_E)>0}$ hat der Graph einen Tiefpunkt.
Die zweite Ableitung hast du in der Aufgabe gegeben. Du benötigst daher nur noch die erste Ableitung $f_a'$.
Du kannst so vorgehen:
  1. Bilde die erste Ableitung $f_a'$
  2. Prüfe die notwendige Bedingung
  3. Prüfe die hinreichende Bedingung
  4. Berechne die vollständigen Koordinaten
$\blacktriangleright$ Gib die Funktionsgleichung von $\boldsymbol{g}$ an
Auf dem Graphen der Funktion $g$ liegen alle Wendepunkte der Graphen $G_a$ mit $a\neq0$. Der Graph $g$ verläuft parallel zur $x$–Achse und ist somit eine Gerade.
Damit entspricht die Funktionsgleichung von $g$ der $y$–Koordinate der Wendepunkte. Daher musst du zunächst den Wendepunkt $W$ in Abhängigkeit von $a$ bestimmen.
Für eine Wendestelle $x_W$ einer Funktion $f$ gelten folgende Bedingungen:
  • notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_W)=0}$
  • hinreichende Bedingung:$\boldsymbol{f'''(x_W)\neq0}$
Auf die Untersuchung der hinreichenden Bedingung kannst du bei dieser Aufgabe verzichten.
Gehe wie folgt vor:
  1. Prüfe die notwendige Bedingung
  2. Berechne die vollständigen Koordinaten des Wendepunktes $W$
d) $\blacktriangleright$ Zeige, dass $\boldsymbol{F_a}$ eine Stammfunktion von $\boldsymbol{f_a}$ ist
Um zu zeigen, dass die Funktion $F_a$ eine Stammfunktion der Funktion $f_a$ ist, bildest du die erste Ableitung $F_a'$. Dafür benötigst du die Produktregel.
Es muss gelten:
$F_a'(x)=f_a(x)$
e) $\blacktriangleright$ Begründe, dass die Graphen $\boldsymbol{G_2}$ und $\boldsymbol{G_{-2}}$ dargestellt sind
Um zu begründen, dass es sich um die Graphen $G_2$ und $G_{-2}$ handelt, betrachtest du die Nullstellen, Extrempunkte und das Verhalten für $\boldsymbol{x\rightarrow\pm\infty}$.
  • Der Graph, der gestrichelt dargestellt ist, hat die Nullstelle $N_1\left(\frac{1}{2}\mid0\right)$
  • Der Graph mit der durchgezogenen Linie hat die Nullstelle $N_2\left(-\frac{1}{2}\mid0\right)$
  • Außerdem haben beide Graphen einen Extrempunkt $E$ mit den Koordinaten $E(0\mid1)$
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Untersuche nun die Graphen $G_2$ und $G_{-2}$ auf Nullstellen. Setze dazu die Funktionsgleichungen gleich Null. Beachte, dass der Term mit der $\mathrm e$–Funktion nicht Null ergeben kann. Das Verhalten für $x\rightarrow\pm\infty$ ist dir aus Teilaufgabe b) bekannt. Aus Teilaufgabe c) weißt du, dass alle Graphen $G_a$ einen Extrempunkt mit den Koordinaten $E(0\mid1)$ haben. Dies gilt demnach auch für die Graphen $G_2$ und $G_{-2}$.
$\blacktriangleright$ Beschrifte die Graphen
Analysis 1.1
Analysis 1.1
$\blacktriangleright$ Gib jeweils eine Funktionsgleichung für den unteren Rand an
Bei den zwei Graphen, die den unteren Rand des Motivs darstellen, handelt es sich um die an der $x$–Achse gespiegelten Graphen $G_2$ und $G_{-2}$.
Ist der Graph einer Funktion $f$ symmetrisch zur $x$–Achse, so gilt für den Term der entsprechenden Funktion $f$:
$f(x)=-f(x)$
$\blacktriangleright$Zeichne die Graphen $\boldsymbol{H_2}$ und $\boldsymbol{H_{-2}}$
Um die Graphen $H_2$ und $H_{-2}$ zu zeichnen, legst du dir zunächst eine Wertetabelle an.
$\blacktriangleright$ Berechne den Flächeninhalt $\boldsymbol{A}$ der schraffierten Fläche
Du sollst nun den Flächeninhalt $A$ der schraffierten Fläche in dem Intervall $[-3;3]$ berechnen. Dieser Flächeninhalt entspricht dem Integral der Funktion $f_2$ bzw. $f_{-2}$ und $h_2$ bzw. $h_{-2}$ über dem Intervall $\left[-3;3\right]$ abzüglich der grauen Fläche.
Ein Integral einer Funktion $f$ in einem Intervall $[a;b]$ berechnest du, indem du eine Stammfunktion $F$ bildest.
$\begin{array}{rcl} \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx&=&[F(x)]_a^b \\ &=&[F(b)-F(a)] \end{array}$
Zuerst musst du den Inhalt der grün markierten Fläche bestimmen. Diese Fläche wird von den Graphen $G_2$, $G_{-2}$, $H_2$ und $H_{-2}$ im Intervall $\left[-3;3\right]$ eingeschlossen.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Diese erhältst du, wenn du die Integrale über die entsprechenden Funktionen bildest. Aus Symmetriegründen genügt es hier aber, das Integral einer Funktion in einem Quadranten zu bilden und dieses anschließend mit $4$ zu multiplizieren.
Danach musst du von dem eben bestimmten Flächeninhalt noch den Flächeninhalt der grau markierten Fläche abziehen, um den gesuchten Inhalt zu erhalten. Die grau markierte Fläche wird jeweils von den Nullstellen begrenzt.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Auch diesen Flächeninhalt kannst du aus Symmetriegründen einfacher berechnen: Bilde das Integral einer Funktion über dem entsprechenden Intervall und multipliziere mit $4$. Subtrahiere den Wert anschließend.
Aus Symmetriegründen genügt es folglich, nur eine Funktion zu verwenden. Das heißt, es reicht, eine Stammfunktion zu bestimmen. Hier wird mit der Funktion $f_2$ gerechnet. Diese hat eine Nullstelle bei $x=-\frac{1}{2}$.
Du erhältst:
$\boldsymbol{\begin{array}{rcll} A&=&4\cdot\left[\displaystyle\int_{0}^{3}f_2(x)\mathrm dx-\displaystyle\int_{-0,5}^{0}f_2(x)\mathrm dx\right] \end{array}}$
Aus Teilaufgabe d) weißt du, dass die Funktion $F_a$ eine Stammfunktion von $f_a$ ist. Wenn du für $a$ nun den Wert $2$ einsetzt, erhältst du eine Stammfunktion von $f_2$.
f) $\blacktriangleright$ Ermittle den Wert von $\boldsymbol{c}$
Du hast eine quadratische Funktion $p$ mit der Gleichung $p(x)=-bx^2+c$ gegeben. Der Punkt $E(0\mid1)$ liegt auf dem Graphen von $p$.
Setze die Koordinaten des Punktes $E$ in die Funktionsgleichung ein und löse nach $c$ auf.
$\blacktriangleright$ Stelle eine Gleichung auf, aus der das $\boldsymbol{b}$ berechnet werden kann
Da das $c$ bekannt ist, hast du nun folgenden Funktionsterm gegeben: $p(x)=-bx^2+1$
Die grau eingefärbte Fläche wird durch die Nullstellen der Funktion begrenzt. Du weißt, dass die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $p$ und der $x$–Achse eine Größe von $\mathrm e-2$ FE haben soll.
Um das $b$ zu berechnen, kannst du ein Integral aufstellen, dass der grau eingefärbten Fläche oberhalb der $x$–Achse entspricht. Dazu benötigt du die Nullstellen von $p$, denn sie stellen die obere und untere Grenze des Integrals dar.
Du kannst so vorgehen:
  1. Berechne die Nullstellen
  2. Bilde das Integral
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a) $\blacktriangleright$ Bestimme die Nullstellen von $\boldsymbol{f_a}$
Du hast eine Funktionsschar $f_a$ gegeben:
$\begin{array}{rcll} f_a(x)&=&(ax+1)\cdot\mathrm e^{-ax}&\scriptsize{ x,a\in\mathbb{R}}\\ \end{array}$
Um die Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$ zu bestimmen, setzt du den Funktionsterm der Funktionsschar gleich Null.
Beachte dabei, dass der Term mit der $\mathrm e$–Funktion nicht Null ergeben kann. Nach dem Satz vom Nullprodukt genügt es, wenn du den Term in der Klammer betrachtest.
$\begin{array}{rcll} f_a(x)&=&0 \\ (ax+1)\cdot\mathrm e^{-ax}&=&0&\scriptsize{ \text{Satz vom Nullprodukt}}\\ ax+1&=&0&\scriptsize{ \mid\; -1}\\ ax&=&-1&\scriptsize{ \mid\; :a}\\ x&=&-\frac{1}{a} \end{array}$
$\begin{array}{rcll} f_a(x)&=&0 \\ (ax+1)\cdot\mathrm e^{-ax}&=&0&\\ ax+1&=&0&\\ ax&=&-1&\\ x&=&-\frac{1}{a} \end{array}$
Die Funktionsschar $f_a$ hat an $x=-\frac{1}{a}$ Nullstellen.
$\blacktriangleright$ Bestimme das $\boldsymbol{a}$ so, dass die Scharfunktion keine Nullstellen besitzt
Damit die Scharfunktion keine Nullstellen besitzt, muss gelten:
$\boldsymbol{f_a(x)\neq 0}$
Zuvor hast du gezeigt, dass die Funktionenschar an der Stelle $x=-\frac{1}{a}$ Nullstellen aufweist. Damit eine Funktion der Schar aber keine Nullstelle besitzt, musst du dir besagte Stelle anschauen und überlegen, für welchen Wert für $a$ keine Nullstelle existiert.
Da du $a=0$ nicht in $-\frac{1}{a}$ einsetzen darfst – denn sonst teilst du durch Null –, liegt für $a=0$ keine Nullstelle vor.
Die Funktionsgleichung, die keine Nullstelle hat, lautet demnach:
$\begin{array}{rcll} f_0(x)&=&(0\cdot x+1)\cdot\mathrm e^{-0\cdot x}\\ f_0(x)&=&1\\ \end{array}$
b) $\blacktriangleright$ Untersuche das Verhalten für $\boldsymbol{x\rightarrow\pm\infty}$
Nun sollst du das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x\rightarrow\pm\infty$ angeben.
Achte dabei besonders darauf, wie sich das Verhalten der $\mathrm e$–Funktion ändert.
Für die $\boldsymbol{\mathrm e}$–Funktion gilt:
$\begin{array}{rcll} \lim\limits_{x\to\infty}\mathrm e^{x}&=&\infty\\ \lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm e^{x}&=&0\\ \end{array}$
Das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ ist außerdem von $a$ abhängig. Betrachte daher das Verhalten von $f_a$ für Werte $\boldsymbol{a<0}$ und $\boldsymbol{a>0}$.
$\boldsymbol{a<0}:$
$\begin{array}{rcll} \lim\limits_{x\to\infty} f_a&=&\lim\limits_{x\to\infty} (ax+1)\cdot\mathrm e^{-ax}\\ &=&-\infty\\ \end{array}$
Ist das $a$ negativ, geht der Term in der Klammer für $x\rightarrow\infty$ gegen $-\infty$. Der Term mit der $\mathrm e$–Funktion geht dabei gegen $\infty$. Zusammen konvergieren die Terme, und damit die Funktionswerte von $f_a$ für $x\rightarrow\infty$ gegen $-\infty$.
$\begin{array}{rcll} \lim\limits_{x\to-\infty} f_a&=&\lim\limits_{x\to-\infty} (ax+1)\cdot\mathrm e^{-ax}\\ &=&0\\ \end{array}$
Für $x\rightarrow-\infty$ geht der Term in der Klammer gegen $\infty$. Die $\mathrm e$–Funktion konvergiert jedoch gegen Null.
$\boldsymbol{a>0}:$
$\begin{array}{rcll} \lim\limits_{x\to\infty} f_a&=&\lim\limits_{x\to\infty} (ax+1)\cdot\mathrm e^{-ax}\\ &=&0\\ \end{array}$
Ist das $a$ positiv, geht der Klammerausdruck für $x\rightarrow\infty$ ebenfalls gegen $\infty$. Die $\mathrm e$–Funktion geht jedoch gegen Null.
$\begin{array}{rcll} \lim\limits_{x\to-\infty} f_a&=&\lim\limits_{x\to-\infty} (ax+1)\cdot\mathrm e^{-ax}\\ &=&-\infty\\ \end{array}$
Für $x\rightarrow-\infty$ geht der Term in der Klammer gegen $-\infty$. Die $\mathrm e$–Funktion geht gegen $\infty$. Zusammen konvergieren sie damit gegen $-\infty$.
Zusammengefasst:
Für $a<0$ gilt:
  • $\lim\limits_{x\to\infty} f_a=-\infty$
  • $\lim\limits_{x\to-\infty} f_a=0$
Für $a>0$ gilt:
  • $\lim\limits_{x\to\infty} f_a=0$
  • $\lim\limits_{x\to-\infty} f_a=-\infty$
c) $\blacktriangleright$ Bestimme den lokalen Extrempunkt $\boldsymbol{E}$
Bei dieser Teilaufgabe sollst du nachweisen, dass alle Graphen $G_a$ mit $a\neq0$ den lokalen Extrempunkt $E(0\mid1)$ haben. Dazu bestimmst du den Extrempunkt $E$ des Graphen $G_a$ und prüfst, ob dieser die Koordinaten $(0\mid1)$ hat.
Für eine Extremstelle $x_E$ einer Funktion $f$ gelten folgende Bedingungen:
  • notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_E)=0}$
  • hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_E)\neq0}$
Ist $\boldsymbol{f''(x_E)<0}$ hat der Graph an der Stelle $x_E$ einen Hochpunkt. Bei $\boldsymbol{f''(x_E)>0}$ hat der Graph einen Tiefpunkt.
Die zweite Ableitung hast du in der Aufgabe gegeben. Du benötigst daher nur noch die erste Ableitung $f_a'$.
Du kannst so vorgehen:
  1. Bilde die erste Ableitung $f_a'$
  2. Prüfe die notwendige Bedingung
  3. Prüfe die hinreichende Bedingung
  4. Berechne die vollständigen Koordinaten
1. Schritt: Bilde die erste Ableitung $\boldsymbol{f_a'}$
Um die Ableitung zu bilden, benötigst du die Produktregel.
$\begin{array}{rcll} f_a(x)&=&(ax+1)\cdot\mathrm e^{-ax}\\ f_a'(x)&=&a\cdot\mathrm e^{-ax}+(ax+1)\cdot\mathrm e^{-ax}\cdot(-a)\\ f_a'(x)&=&(a-a(ax+1))\cdot\mathrm e^{-ax}\\ f_a'(x)&=&(a-a^2x-a)\cdot\mathrm e^{-ax}\\ f_a'(x)&=&-a^2x\cdot\mathrm e^{-ax}\\ \end{array}$
2. Schritt: notwendige Bedingung
Setze den Term der ersten Ableitung $f_a'$ gleich Null und löse nach $x$ auf. Beachte dabei, dass der Term mit der $\mathrm e$–Funktion nicht Null werden kann.
$\begin{array}{rcll} f_a'(x)&=&0 \\ -a^2x\cdot\mathrm e^{-ax}&=&0&\scriptsize{ \text{Satz vom Nullprodukt}} \\ -a^2x&=&0&\scriptsize{ \mid\; :(-a^2)}\\ x&=&0\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} f_a'(x)&=&0 \\ -a^2x\cdot\mathrm e^{-ax}&=&0&\\ -a^2x&=&0&\\ x&=&0\\ \end{array}$
Damit befindet sich an der stelle $x=0$ eine potentielle Extremstelle, für die du noch die hinreichende Bedingung überprüfen musst.
3. Schritt: hinreichende Bedingung
Setze nun den Wert $x=0$ in den Term der zweiten Ableitung $f_a''$ ein und prüfe, ob die hinreichende Bedingung erfüllt ist. Die zweite Ableitung $f_a''$ hast du in der Aufgabenstellung gegeben.
$\begin{array}{rcll} f_a''(x)&=&\mathrm e^{-ax}\cdot(a^3x-a^2)\\ f_a''(0)&=&\mathrm e^{-a\cdot0}\cdot(a^3\cdot0-a^2)\\ f_a''(0)&=&1\cdot(-a^2) \end{array}$
Da das $a\neq0$ ist, ist die hinreichende Bedingung erfüllt. Es liegt also eine Extremstelle an der Stelle $x=0$ vor.
4. Schritt: Berechne die vollständigen Koordinaten
Um die $y$–Koordinate des lokalen Extrempunktes zu bestimmen, setzt du den Wert $x=0$ in die Funktionsgleichung von $f_a$ ein.
$\begin{array}{rcll} f_a(x)&=&(ax+1)\cdot\mathrm e^{-ax} \\ f_a(0)&=&(a\cdot0+1)\cdot\mathrm e^{-a\cdot0} \\ f_a(0)&=&1\cdot1\\ f_a(0)&=&1\\ \end{array}$
Alle Graphen $G_a$ haben für $a\neq0$ einen lokalen Extrempunkt $E$ mit den Koordinaten $E(0\mid1)$.
$\blacktriangleright$ Gib die Funktionsgleichung von $\boldsymbol{g}$ an
Auf dem Graphen der Funktion $g$ liegen alle Wendepunkte der Graphen $G_a$ mit $a\neq0$. Der Graph $g$ verläuft parallel zur $x$–Achse und ist somit eine Gerade.
Damit entspricht die Funktionsgleichung von $g$ der $y$–Koordinate der Wendepunkte. Daher musst du zunächst den Wendepunkt $W$ in Abhängigkeit von $a$ bestimmen.
Für eine Wendestelle $x_W$ einer Funktion $f$ gelten folgende Bedingungen:
  • notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_W)=0}$
  • hinreichende Bedingung:$\boldsymbol{f'''(x_W)\neq0}$
Auf die Untersuchung der hinreichenden Bedingung kannst du bei dieser Aufgabe verzichten.
Gehe wie folgt vor:
  1. Prüfe die notwendige Bedingung
  2. Berechne die vollständigen Koordinaten des Wendepunktes $W$
1. Schritt: notwendige Bedingung
Setze die zweite Ableitung $f_a''$ gleich Null und löse nach $x$ auf. Beachte dabei, dass der Term mit der $\mathrm e$–Funktion nicht Null ergeben kann. Es genügt also, wenn du den Term in der Klammer betrachtest.
$\begin{array}{rcll} f_a''(x)&=&0\\ \mathrm e^{-ax}\cdot(a^3x-a^2)&=&0 &\scriptsize{ \text{Satz vom Nullprodukt}}\\ a^3x-a^2&=&0&\scriptsize{ \mid\; +a^2}\\ a^3x&=&a^2&\scriptsize{ \mid\; :a^3}\\ x&=&\dfrac{a^2}{a^3}\\ x&=&\dfrac{1}{a}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} f_a''(x)&=&0\\ \mathrm e^{-ax}\cdot(a^3x-a^2)&=&0 &\\ a^3x-a^2&=&0&\\ a^3x&=&a^2&\\ x&=&\dfrac{a^2}{a^3}\\ x&=&\dfrac{1}{a}\\ \end{array}$
Die Stelle $x_W=\frac{1}{a}$ ist damit eine potentielle Wendestelle. Laut Aufgabenstellung kannst du darauf verzichten, die hinreichende Bedingung zu überprüfen und kannst daher annehmen, dass sich an dieser Stelle tatsächlich eine Wendestelle befindet.
2. Schritt: Berechne die vollständigen Koordinaten
Setze nun den Wert für $x=\frac{1}{a}$ in die Funktionsgleichung von $f_a$ ein, um die vollständigen Koordinaten des Wendepunktes $W$ zu bestimmen.
$\begin{array}{rcll} f_a(x)&=&(ax+1)\cdot\mathrm e^{-ax} \\ f_a\left(\frac{1}{a}\right)&=&\left(a\cdot\frac{1}{a}+1\right)\cdot\mathrm e^{-a\cdot\frac{1}{a}} \\ f_a\left(\frac{1}{a}\right)&=&(1+1)\cdot\mathrm e^{-1}\\ f_a\left(\frac{1}{a}\right)&=&\frac{2}{\mathrm e}\\ \end{array}$
Der Wendepunkt $W$ hat die Koordinaten $W\left(\frac{1}{a}\mid\frac{2}{\mathrm e}\right)$.
Die Gerade $g$ hat demnach folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}{rcll} g(x)&=&\frac{2}{\mathrm e}\\ \end{array}$
d) $\blacktriangleright$ Zeige, dass $\boldsymbol{F_a}$ eine Stammfunktion von $\boldsymbol{f_a}$ ist
Um zu zeigen, dass die Funktion $F_a$ eine Stammfunktion der Funktion $f_a$ ist, bildest du die erste Ableitung $F_a'$. Dafür benötigst du die Produktregel.
Es muss gelten:
$F_a'(x)=f_a(x)$
$\begin{array}{rcll} F_a(x)&=&\left(-x-\frac{2}{a}\right)\cdot\mathrm e^{-ax}&\scriptsize{ x,a\in\mathbb{R}; a\neq0} \\ F_a'(x)&=&-1\cdot\mathrm e^{-ax}+\left(-x-\frac{2}{a}\right)\cdot\mathrm e^{-ax}\cdot(-a)\\ F_a'(x)&=&-1\cdot\mathrm e^{-ax}+\left(ax+2\right)\cdot\mathrm e^{-ax}\\ F_a'(x)&=&(-1+ax+2)\cdot\mathrm e^{-ax}\\ F_a'(x)&=&(ax+1)\cdot\mathrm e^{-ax}\\ F_a'(x)&=&f_a(x)\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} F_a(x)&=&\left(-x-\frac{2}{a}\right)\cdot\mathrm e^{-ax}&\\ F_a'(x)=&&-1\cdot\mathrm e^{-ax}+\left(-x-\frac{2}{a}\right)\cdot\mathrm e^{-ax}\cdot(-a)\\ F_a'(x)&=&-1\cdot\mathrm e^{-ax}+\left(ax+2\right)\cdot\mathrm e^{-ax}\\ F_a'(x)&=&(-1+ax+2)\cdot\mathrm e^{-ax}\\ F_a'(x)&=&(ax+1)\cdot\mathrm e^{-ax}\\ F_a'(x)&=&f_a(x)\\ \end{array}$
Die Funktion $F_a$ ist eine Stammfunktion der Funktion $f_a$.
e) $\blacktriangleright$ Begründe, dass die Graphen $\boldsymbol{G_2}$ und $\boldsymbol{G_{-2}}$ dargestellt sind
Um zu begründen, dass es sich um die Graphen $G_2$ und $G_{-2}$ handelt, betrachtest du die Nullstellen, Extrempunkte und das Verhalten für $\boldsymbol{x\rightarrow\pm\infty}$.
  • Der Graph, der gestrichelt dargestellt ist, hat die Nullstelle $N_1\left(\frac{1}{2}\mid0\right)$
  • Der Graph mit der durchgezogenen Linie hat die Nullstelle $N_2\left(-\frac{1}{2}\mid0\right)$
  • Außerdem haben beide Graphen einen Extrempunkt $E$ mit den Koordinaten $E(0\mid1)$
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Untersuche nun die Graphen $G_2$ und $G_{-2}$ auf Nullstellen. Setze dazu die Funktionsgleichungen gleich Null. Beachte, dass der Term mit der $\mathrm e$–Funktion nicht Null ergeben kann. Das Verhalten für $x\rightarrow\pm\infty$ ist dir aus Teilaufgabe b) bekannt. Aus Teilaufgabe c) weißt du, dass alle Graphen $G_a$ einen Extrempunkt mit den Koordinaten $E(0\mid1)$ haben. Dies gilt demnach auch für die Graphen $G_2$ und $G_{-2}$.
Die Funktionsgleichungen lauten:
$\begin{array}{rcll} f_a(x)&=&(ax+1)\cdot\mathrm e^{-ax}\\ f_2(x)&=&(2x+1)\cdot\mathrm e^{-2x}\\ f_{-2}(x)&=&(-2x+1)\cdot\mathrm e^{2x}\\ \end{array}$
Graph $\boldsymbol{G_2}$:
Nullstellen von $\boldsymbol{f_2}$:
$\begin{array}{rcll} f_2(x)&=&0 \\ (2x+1)\cdot\mathrm e^{-2x}&=&0&\scriptsize{ \text{Satz vom Nullprodukt}}\\ 2x+1&=&0&\scriptsize{ \mid\; -1}\\ 2x&=&-1&\scriptsize{ \mid\; :2}\\ x&=&-\frac{1}{2}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} f_2(x)&=&0 \\ (2x+1)\cdot\mathrm e^{-2x}&=&0&\\ 2x+1&=&0&\\ 2x&=&-1&\\ x&=&-\frac{1}{2}\\ \end{array}$
Der Graph der Funktion $f_2$ hat an der Stelle $x=-\frac{1}{2}$ eine Nullstelle.
Verhalten für $\boldsymbol{x\rightarrow\pm\infty}$:
Das $a$ ist bei der Funktion $f_2$ gleich $2$ und damit größer Null. Der Graph $G_2$ konvergiert daher für $x\rightarrow\infty$ gegen $0$ und für $x\rightarrow-\infty$ gegen $-\infty$.
Bei dem Graphen $G_2$ handelt es sich demnach um den Graph mit der durchgezogenen Linie.
Graph $\boldsymbol{G_{-2}}$:
Nullstellen von $\boldsymbol{f_{-2}}$:
$\begin{array}{rcll} f_{-2}(x)&=&0 \\ (-2x+1)\cdot\mathrm e^{2x}&=&0&\scriptsize{ \text{Satz vom Nullprodukt}}\\ -2x+1&=&0&\scriptsize{ \mid\; -1}\\ -2x&=&-1&\scriptsize{ \mid\; :(-2)}\\ x&=&\frac{1}{2}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} f_{-2}(x)&=&0 \\ (-2x+1)\cdot\mathrm e^{2x}&=&0&\\ -2x+1&=&0&\\ -2x&=&-1&\\ x&=&\frac{1}{2}\\ \end{array}$
Der Graph der Funktion $f_{-2}$ hat an der Stelle $x=\frac{1}{2}$ eine Nullstelle.
Verhalten für $\boldsymbol{x\rightarrow\pm\infty}$:
Das $a$ ist bei der Funktion $f_{-2}$ gleich $-2$ und damit kleiner Null. Der Graph $G_{-2}$ konvergiert daher für $x\rightarrow\infty$ gegen $-\infty$ und für $x\rightarrow-\infty$ gegen $0$.
Bei dem Graphen $G_{-2}$ handelt es sich demnach um den Graph mit der gestrichelten Linie.
Bei den Graphen, die in der Anlage abgebildet sind, handelt es sich um die Graphen $G_2$ und $G_{-2}$.
$\blacktriangleright$ Beschrifte die Graphen
Du weißt nun zu welchem Graphen die gestrichelt dargestellte Linie und die durchgezogene Linie gehört.
  • gestrichelte Linie: $G_{-2}$
  • durchgezogene Linie: $G_2$
Analysis 1.1
Analysis 1.1
$\blacktriangleright$ Gib jeweils eine Funktionsgleichung für den unteren Rand an
Bei den zwei Graphen, die den unteren Rand des Motivs darstellen, handelt es sich um die an der $x$–Achse gespiegelten Graphen $G_2$ und $G_{-2}$.
Ist der Graph einer Funktion $f$ symmetrisch zur $x$–Achse, so gilt für den Term der entsprechenden Funktion $f$:
$f(x)=-f(x)$
Spiegelung des Graphen $\boldsymbol{G_2}$:
Der Graph, der entsteht, wenn man $G_2$ an der $x$–Achse spiegelt sei $H_2$. Der gespiegelte Graph $H_2$ hat demnach folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}{rcll} h_2(x)&=&-f_2(x) \\ h_2(x)&=&-(2x+1)\cdot\mathrm e^{-2x}\\ \end{array}$
Spiegelung des Graphen $\boldsymbol{G_{-2}}$:
Der Graph, der entsteht, wenn man $G_{-2}$ an der $x$–Achse spiegelt sei $H_{-2}$. Der gespiegelte Graph $H_{-2}$ hat demnach folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}{rcll} h_{-2}(x)&=&-f_{-2}(x) \\ h_{-2}(x)&=&-(-2x+1)\cdot\mathrm e^{2x}\\ h_{-2}(x)&=&(2x-1)\cdot\mathrm e^{2x}\\ \end{array}$
Die Graphen $H_2$ und $H_{-2}$, die den unteren Rand des Motivs darstellen, haben folgende Funktionsgleichungen:
$\begin{array}{rcll} h_2(x)&=&-(2x+1)\cdot\mathrm e^{-2x}\\ h_{-2}(x)&=&(2x-1)\cdot\mathrm e^{2x} \end{array}$
$\blacktriangleright$Zeichne die Graphen $\boldsymbol{H_2}$ und $\boldsymbol{H_{-2}}$
Um die Graphen $H_2$ und $H_{-2}$ zu zeichnen, legst du dir zunächst eine Wertetabelle an.
Wertetabelle für $\boldsymbol{h_2}$:
$\begin{array}[t]{l|*{8}{c}} x&-1&-0,5&0&0,5&1&1,5&2&2,5\\\hline y&7,39&0&-1&-0,74&-0,41&-0,20&-0,09&-0,04 \end{array}$
Wertetabelle für $\boldsymbol{h_{-2}}$:
$\begin{array}[t]{l|*{8}{c}} x&-2,5&-2&-1,5&-1&-0,5&0&0,5&1\\\hline y&-0,04&-0,09&-0,20&-0,41&-0,74&-1&0&7,39 \end{array}$
Analysis 1.1
Analysis 1.1
$\blacktriangleright$ Berechne den Flächeninhalt $\boldsymbol{A}$ der schraffierten Fläche
Du sollst nun den Flächeninhalt $A$ der schraffierten Fläche in dem Intervall $[-3;3]$ berechnen. Dieser Flächeninhalt entspricht dem Integral der Funktion $f_2$ bzw. $f_{-2}$ und $h_2$ bzw. $h_{-2}$ über dem Intervall $\left[-3;3\right]$ abzüglich der grauen Fläche.
Ein Integral einer Funktion $f$ in einem Intervall $[a;b]$ berechnest du, indem du eine Stammfunktion $F$ bildest.
$\begin{array}{rcl} \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx&=&[F(x)]_a^b \\ &=&[F(b)-F(a)] \end{array}$
Zuerst musst du den Inhalt der grün markierten Fläche bestimmen. Diese Fläche wird von den Graphen $G_2$, $G_{-2}$, $H_2$ und $H_{-2}$ im Intervall $\left[-3;3\right]$ eingeschlossen.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Diese erhältst du, wenn du die Integrale über die entsprechenden Funktionen bildest. Aus Symmetriegründen genügt es hier aber, das Integral einer Funktion in einem Quadranten zu bilden und dieses anschließend mit $4$ zu multiplizieren.
Danach musst du von dem eben bestimmten Flächeninhalt noch den Flächeninhalt der grau markierten Fläche abziehen, um den gesuchten Inhalt zu erhalten. Die grau markierte Fläche wird jeweils von den Nullstellen begrenzt.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Auch diesen Flächeninhalt kannst du aus Symmetriegründen einfacher berechnen: Bilde das Integral einer Funktion über dem entsprechenden Intervall und multipliziere mit $4$. Subtrahiere den Wert anschließend.
Aus Symmetriegründen genügt es folglich, nur eine Funktion zu verwenden. Das heißt, es reicht, eine Stammfunktion zu bestimmen. Hier wird mit der Funktion $f_2$ gerechnet. Diese hat eine Nullstelle bei $x=-\frac{1}{2}$.
Du erhältst:
$\boldsymbol{\begin{array}{rcll} A&=&4\cdot\left[\displaystyle\int_{0}^{3}f_2(x)\mathrm dx-\displaystyle\int_{-0,5}^{0}f_2(x)\mathrm dx\right] \end{array}}$
Aus Teilaufgabe d) weißt du, dass die Funktion $F_a$ eine Stammfunktion von $f_a$ ist. Wenn du für $a$ nun den Wert $2$ einsetzt, erhältst du eine Stammfunktion von $f_2$.
Eine Stammfunktion $F_2$ lautet:
$\begin{array}{rcll} F_a(x)&=&\left(-x-\frac{2}{a}\right)\cdot\mathrm e^{-ax} \\ F_2(x)&=&\left(-x-\frac{2}{2}\right)\cdot\mathrm e^{-2x} \\ F_2(x)&=&(-x-1)\cdot\mathrm e^{-2x} \end{array}$
Nun kannst du den Flächeninhalt $A$ berechnen.
$\begin{array}{rcl} A&=&4 \cdot\left[\displaystyle\int_{0}^{3}f_2(x)\mathrm{ d}x-\displaystyle\int_{-0,5}^{0}f_2(x)\mathrm dx\right]\\ &=&4\cdot\left(\left[F_2(x)\right]_0^3-\left[F_2(x)\right]_{-0,5}^0\right)\\ &=&4 \cdot\left(\left[(-x-1)\cdot\mathrm e^{-2x}\right]_0^3-\left[(-x-1)\cdot\mathrm e^{-2x}\right]_{-0,5}^0\right)\\ &=&4 \cdot\left(\left[(-3-1)\cdot\mathrm e^{-2\cdot3}-\left((-0-1)\cdot\mathrm e^{-2\cdot0}\right)\right]-\left[(-0-1)\cdot\mathrm e^{-2\cdot0}-\left(\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)-1\right)\cdot\mathrm e^{-2\cdot(-0,5)}\right)\right]\right)\\ &=&4 \cdot\left(\left[-4\cdot\mathrm e^{-6}-(-1\cdot1)\right]-\left[-1\cdot1-\left(-\frac{1}{2}\cdot\mathrm e^{1}\right)\right]\right)\\ &=&4 \cdot\left(\left[-4\cdot\mathrm e^{-6}+1\right]-\left[-1+\frac{1}{2}\cdot\mathrm e^{1}\right]\right)\\ &=&4 \cdot\left(-4\cdot\mathrm e^{-6}+1+1-\frac{1}{2}\cdot\mathrm e^{1}\right)\\ &=&4 \cdot\left(-4\cdot\mathrm e^{-6}+2-\frac{1}{2}\cdot\mathrm e^{1}\right)\\ &=&4 \cdot 0,631\\ &=&2,524 \end{array}$
Die schraffierte Fläche hat einen Flächeninhalt von etwa $2,52$ FE.
f) $\blacktriangleright$ Ermittle den Wert von $\boldsymbol{c}$
Du hast eine quadratische Funktion $p$ mit der Gleichung $p(x)=-bx^2+c$ gegeben. Der Punkt $E(0\mid1)$ liegt auf dem Graphen von $p$.
Setze die Koordinaten des Punktes $E$ in die Funktionsgleichung ein und löse nach $c$ auf.
$\begin{array}{rcl} p(x)&=&-bx^2+c\\ 1&=&-b\cdot0^2+c\\ 1&=&c \end{array}$
Das $c$ hat den Wert $c=1$.
$\blacktriangleright$ Stelle eine Gleichung auf, aus der das $\boldsymbol{b}$ berechnet werden kann
Da das $c$ bekannt ist, hast du nun folgenden Funktionsterm gegeben: $p(x)=-bx^2+1$
Die grau eingefärbte Fläche wird durch die Nullstellen der Funktion begrenzt. Du weißt, dass die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $p$ und der $x$–Achse eine Größe von $\mathrm e-2$ FE haben soll.
Um das $b$ zu berechnen, kannst du ein Integral aufstellen, dass der grau eingefärbten Fläche oberhalb der $x$–Achse entspricht. Dazu benötigt du die Nullstellen von $p$, denn sie stellen die obere und untere Grenze des Integrals dar.
Du kannst so vorgehen:
  1. Berechne die Nullstellen
  2. Bilde das Integral
1. Schritt: Berechne die Nullstellen
Setze die Funktionsgleichung von $p$ gleich Null und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} p(x)&=&0\\ -bx^2+1&=&0&\scriptsize{ \mid\; -1}\\ -bx^2&=&-1&\scriptsize{ \mid\; :(-b)}\\ x^2&=&\frac{-1}{-b}&\scriptsize{ \mid\; \sqrt{\;}}\\ x_{1,2}&=&\pm\sqrt{\frac{1}{b}} \end{array}$
$\begin{array}{rcll} p(x)&=&0\\ -bx^2+1&=&0&\\ -bx^2&=&-1&\\ x^2&=&\frac{-1}{-b}&\\ x_{1,2}&=&\pm\sqrt{\frac{1}{b}} \end{array}$
Die Funktion $p$ hat Nullstellen bei $x_1=-\sqrt{\frac{1}{b}}$ und $x_2=\sqrt{\frac{1}{b}}$. Diese Nullstellen entsprechen den Grenzen des Integrals.
2. Schritt: Bilde das Integral
Du kennst die Grenzen des Integrals und weißt, dass die Fläche $\mathrm e-2$ groß sein soll.
Du erhältst also:
$\begin{array}{rcll} \displaystyle\int_{-\sqrt{\frac{1}{b}}}^{\sqrt{\frac{1}{b}}}p(x)\mathrm dx&=&\mathrm e-2\\ \displaystyle\int_{-\sqrt{\frac{1}{b}}}^{\sqrt{\frac{1}{b}}}\left(-bx^2+1\right)\mathrm dx&=&\mathrm e-2\\ \end{array}$
Eine Gleichung, aus der das $b$ berechnet werden kann, lautet:
$\displaystyle\int_{-\sqrt{\frac{1}{b}}}^{\sqrt{\frac{1}{b}}}\left(-bx^2+1\right)\mathrm dx=\mathrm e-2$
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