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Analytische Geometrie 2.1

Aufgaben
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Campingzelt

Im Bild ist ein Campingzelt mit fünfeckiger Grundfläche dargestellt, von dem die Punkte $A(3\mid4\mid0)$, $B(4\mid3,5\mid0)$, $C(5\mid4\mid0)$, $D(5\mid6,5\mid0)$ und $E(4\mid4\mid1,5)$ gegeben sind (Skizze nicht maßstabsgerecht, $1\,\text{LE}=1\,\text{m}$).
Die Punkte $E$ und $F$ sind Anfangs- und Endpunkt der zum Erdboden parallel verlaufenden oberen Zeltkante.
Das Zelt hat eine Höhe von $1,50$ Metern und ist symmetrisch zur Ebene durch die Punkte $E$, $B$ und $F$.
Analytische Geometrie 2.1
Analytische Geometrie 2.1
a)  Die fünfeckige Grundfläche dieses Zeltes wird von dem gleichschenkligen Dreieck $ABC$ und dem Rechteck mit den Seitenlängen $\overline{AC}$ und $\overline{CD}$ gebildet.
Ermittle die Größe der Grundfläche.
(7P)
b)  Ermittle eine Koordinatengleichung für die Ebene $H$ , in der die Zeltfläche $BCE$ dieses Zeltes liegt.
[Kontrollergebnis für $H:-3x+6y-2z=9$]
(5P)
c)  Im Punkt $L(7,25\mid-0,625\mid9,75)$ ist ein punktförmig gedachter Lautsprecher installiert, der auf der Zeltfläche $BCE$ den Schattenpunkt $L^*$ erzeugt.
Die einfallenden Sonnenstrahlen werden vereinfacht als parallel angenommen und verlaufen in Richtung des Vektors $\begin{pmatrix}-2\\3\\-6\end{pmatrix}$.
Bestimme die Koordinaten des Punktes $L^*$ sowie die Größe des Winkels, unter dem die Sonnenstrahlen auf die Zeltfläche $BCE$ treffen.
(7P)
d)  Die obere Kante der „Eingangsöffnung des Zeltes“ liegt in der Ebene $CDFE$ und verläuft im Abstand von $50$ Zentimetern parallel zur Zeltkante $\overline{EF}$.
Prüfe, ob ein Kind mit $1,15\,\text{m}$ Körpergröße aufrecht, also ohne sich bücken zu müssen, durch diesen Eingang gehen kann.
(4P)
e)  Im Inneren des Zeltes haben die Camper eine kleine Lampe aufgehängt. Diese befindet sich genau $25\,\text{cm}$ unter dem Mittelpunkt der Zeltkante $\overline{EF}$ mit $F(4\mid6,5\mid1,5)$.
Prüfe, ob der Sicherheitsabstand von $0,2\,\text{m}$ zur Zeltfläche $CDFE$ eingehalten wird.
(7P)

(30P)
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Tipps
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a) 
$\blacktriangleright$  Größe der Grundfläche ermitteln
Berechne die Größen der einzelnen Teilflächen $A_{\triangle}$ und $A_{\text{Rechteck}}$ nacheinander. Nutze dabei den Vektorbetrag um die verschiedenen Seitenlängen zu berechnen.
Um die Größe des Dreiecks zu berechnen, berechne zunächst die Koordinaten des Mittelpunkts $M$ der Strecke $\overline{AC}$, um die Höhe zur Grundseite $\overline{AC}$ des Dreiecks als Länge der Strecke $\overline{MB}$ zu berechnen. Dies ist möglich weil das Dreieck gleichschenklig ist.
b) 
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung bestimmen
Gegeben sind die Koordinaten dreier Punkte, die in der Ebene $E$ liegen sollen. Gehe wie folgt vor:
  1. Bestimme einen Normalenvektor der Ebene durch das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren zwischen den drei Punkten
  2. Ermittle den Parameter $d$ mit einer Punktprobe
c) 
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schattenpunkts bestimmen
Der Schattenpunkt $L^*$ ist genau der Punkt, der durch Verschiebung des Punkts $L$ entlang der Richtung der Sonnenstrahlen bis zur Ebene $E$ entsteht, also der Schnittpunkt von $E$ mit der Geraden $g$, die durch den Punkt $L$ in Richtung der Sonnenstrahlen verläuft. Um die Koordinaten von $L^*$ zu berechnen, gehe wie folgt vor:
  1. Stelle eine Gleichung der Sonnengerade $g$ auf
  2. Setze die allgemeinen Koordinaten der Punkte von $g$ in die Ebenengleichung ein und löse nach dem Parameter $t$ auf
  3. Setze $t$ in die Geradengleichung ein, um den Ortsvektor des Schnittpunkts zu erhalten
$\blacktriangleright$  Winkel des Sonneneinfalls berechnen
Der gesuchte Winkel ist der Schnittwinkel $\alpha$ der Ebene $E$ mit der Geraden $g$. Dieser wird mit Hilfe des entsprechenden Normalenvektors und Richtungsvektors berechnet.
d) 
$\blacktriangleright$  Prüfen, ob das Kind aufrecht durch die Öffnung gehen kann
Da die Öffnungskante parallel zur Zeltkante und damit auch parallel zum Boden ist, kann das Kind genau dann aufrecht durch die Öffnung gehen, wenn die $z$-Koordinate eines Punktes und damit aller Punkte auf der Öffnungskante mindestens $1,15$ beträgt. Betrachte also einen Punkt auf der Geraden, in der die Öffnungskante liegt, indem du die Gerade, in der die Zeltkante liegt um $0,5$ Einheiten entlang der Ebene $CDFE$ verschiebst. Du kannst also den Punkt $E$ um $0,5$ Einheiten entlang des Vektors $\overrightarrow{EC}$ verschieben und dessen $z$-Koordinate betrachten.
e) 
$\blacktriangleright$  Sicherheitsabstand überprüfen
Du musst hier den Abstand der Lampe zur Zeltwand, also den Abstand des Lampenpunktes $H$ zur Ebene $G$ mit den Punkten $E$, $C$,$D$ und $F$ berechnen. Gehe dazu wie folgt vor:
  1. Bestimme die Koordinaten von $H$
  2. Stelle eine Gleichung der Ebene $G$ in Hessescher Normalenform auf
  3. Setze die Koordinaten von $H$ in die linke Seite der Ebenengleichung ein und erhalte so den Abstand des Punktes zur Ebene
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a) 
$\blacktriangleright$  Größe der Grundfläche ermitteln
Berechne die Größen der einzelnen Teilflächen $A_{\triangle}$ und $A_{\text{Rechteck}}$ nacheinander. Nutze dabei den Vektorbetrag um die verschiedenen Seitenlängen zu berechnen.
Um die Größe des Dreiecks zu berechnen, berechne zunächst die Koordinaten des Mittelpunkts $M$ der Strecke $\overline{AC}$, um die Höhe zur Grundseite $\overline{AC}$ des Dreiecks als Länge der Strecke $\overline{MB}$ zu berechnen. Dies ist möglich weil das Dreieck gleichschenklig ist.
$A_{\triangle}$
Mit der entsprechenden Formel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\frac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OC}\right) \quad \scriptsize \\[10pt] &=& \frac{1}{2}\cdot\left(\begin{pmatrix}3\\4\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\4\\0 \end{pmatrix} \right)\quad \scriptsize \\[10pt] &=&\begin{pmatrix}4\\4\\0 \end{pmatrix} \quad \scriptsize \\[10pt] \end{array}$
Die Höhe zur Seite $\overline{AC}$ ergibt sich dann durch:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{MB}\right|&=&\left|\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OM}\right| \quad \scriptsize \\[10pt] &=&\left|\begin{pmatrix}4\\3,5\\0 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}4\\4\\0 \end{pmatrix}\right|\quad \scriptsize \\[10pt] &=&\sqrt{(4-4)^2+(3,5-4)^2+(0-0)^2}\quad \scriptsize \\[10pt] &=&0,5\quad \scriptsize \\[10pt] \end{array}$
Die Länge der Grundseite ergibt sich analog:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AC}\right|&=&\left|\overrightarrow{OC}- \overrightarrow{OA}\right| \quad \scriptsize \\[10pt] &=&\left|\begin{pmatrix}5\\4\\0 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}3\\4\\0 \end{pmatrix}\right|\quad \scriptsize \\[10pt] &=&\sqrt{(5-3)^2+(4-4)^2+(0-0)^2}\quad \scriptsize \\[10pt] &=&2\quad \scriptsize \\[10pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich dann mit der entsprechenden Formel:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\triangle}&=&\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{MB}| \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 0,5\quad \scriptsize \\[5pt] &=&0,5\, \text{ [FE]}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$A_{\text{Rechteck}}$
Eine Seitenlänge hast du bereits berechnet: $\left|\overrightarrow{AC}\right| = 2\,$ [LE]. Die andere ergibt sich analog:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{DC}\right|&=&\left|\overrightarrow{OC}- \overrightarrow{OD}\right| \quad \scriptsize \\[10pt] &=&\left|\begin{pmatrix}5\\4\\0 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}5\\6,5\\0 \end{pmatrix}\right|\quad \scriptsize \\[10pt] &=&\sqrt{(5-5)^2+(4-6,5)^2+(0-0)^2}\quad \scriptsize \\[10pt] &=&2,5\quad \scriptsize \\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Rechteck}}&=&\left|\overrightarrow{AC}\right|\cdot \left|\overrightarrow{DC}\right| \quad \scriptsize \\[5pt] &=&2\cdot 2,5\quad \scriptsize \\[5pt] &=&5\, \text{ [FE]}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Grundfläche besitzt eine Größe von insgesamt $5\,$m$^2+0,5\,$m$^2 = 5,5\,$m$^2$.
b) 
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung bestimmen
Gegeben sind die Koordinaten dreier Punkte, die in der Ebene $E$ liegen sollen. Gehe wie folgt vor:
  1. Bestimme einen Normalenvektor der Ebene durch das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren zwischen den drei Punkten
  2. Ermittle den Parameter $d$ mit einer Punktprobe
1. Schritt: Normalenvektor bestimmen
Zwei Vektoren, die in $E$ liegen, sind zum Beispiel $\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}1\\0,5\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{CE}= \begin{pmatrix}-1\\0\\1,5\end{pmatrix}$. Damit ergibt sich ein Normalenvektor von $E$ mit dem Kreuzprodukt wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{CE} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}1\\0,5\\0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-1\\0\\1,5\end{pmatrix}\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0,75\\-1,5\\0,5\end{pmatrix}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Punktprobe
Einsetzen von $\overrightarrow{n}$ und den Koordinaten von $C$ in die allgemeine Koordinatengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3&=&d \quad \scriptsize \\[5pt] 0,75\cdot 5-1,5\cdot 4+0,5\cdot 0&=&d \quad \scriptsize \\[5pt] -2,25&=& d\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Eine Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform, in der die Zeltfläche $BCE$ liegt, lautet $0,75x_1-1,5x_2+0,5x_3=-2,25$.
(Je nachdem welche Verbindungsvektoren man wählt, erhält man möglicherweise andere Ergebnisse. Multipliziert man die obige Gleichung mit $-4$, so erhält man das Kontrollergebnis aus der Aufgabenstellung. Die verschiedenen Skalierungen der Ebenengleichung beschreiben trotzdem dieselbe Ebene.)
c) 
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schattenpunkts bestimmen
Der Schattenpunkt $L^*$ ist genau der Punkt, der durch Verschiebung des Punkts $L$ entlang der Richtung der Sonnenstrahlen bis zur Ebene $E$ entsteht, also der Schnittpunkt von $E$ mit der Geraden $g$, die durch den Punkt $L$ in Richtung der Sonnenstrahlen verläuft. Um die Koordinaten von $L^*$ zu berechnen, gehe wie folgt vor:
  1. Stelle eine Gleichung der Sonnengerade $g$ auf
  2. Setze die allgemeinen Koordinaten der Punkte von $g$ in die Ebenengleichung ein und löse nach dem Parameter $t$ auf
  3. Setze $t$ in die Geradengleichung ein, um den Ortsvektor des Schnittpunkts zu erhalten
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Mit dem Stützvektor $\overrightarrow{OL} = \begin{pmatrix}7,25\\-0,625\\9,75\end{pmatrix}$ und dem Richtungsvektor $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix}-2\\3\\-6\end{pmatrix}$ ergibt sich:
$g: \overrightarrow{OX} = \begin{pmatrix}7,25\\-0,625\\9,75\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}-2\\3\\-6\end{pmatrix} $
Das heißt, die allgemeinen Koordinaten der Punkte auf $g$ lauten $(7,25-2t\mid -0,625+3t\mid 9,75-6t)$
2. Schritt: Parameter berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 0,75x_1-1,5x_2+0,5x_3&=&-2,25 \quad \scriptsize \\[5pt] 0,75(7,25-2t)-1,5(-0,625+3t)+0,5(9,75-6t)&=&-2,25 \quad \scriptsize \\[5pt] 11,25-9t&=&-2,25 \quad \scriptsize \mid\;-11,25 \\[5pt] -9t&=&-13,5 \quad \scriptsize \mid\; :(-9)\\[5pt] t&=&1,5 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Koordinaten berechnen
Einsetzen von $t$ in die Geradengleichung von $g$ ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OL^*}&=&\begin{pmatrix}7,25\\-0,625\\9,75\end{pmatrix} + 1,5\cdot \begin{pmatrix}-2\\3\\-6\end{pmatrix} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}4,25\\3,875\\0,75\end{pmatrix} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten des Schattenpunkts von $L$ lauten $L^*(4,25\mid3,875\mid 0,75)$.
$\blacktriangleright$  Winkel des Sonneneinfalls berechnen
Der gesuchte Winkel ist der Schnittwinkel $\alpha$ der Ebene $E$ mit der Geraden $g$. Dieser wird mit Hilfe des entsprechenden Normalenvektors und Richtungsvektors berechnet:
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{\left|\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{v}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|\cdot\left|\overrightarrow{v}\right|} \quad \scriptsize \\[5pt] \sin(\alpha)&=& \dfrac{\left|\begin{pmatrix}0,75\\-1,5\\0,5\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-2\\3\\-6\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}0,75\\-1,5\\0,5\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}-2\\3\\-6\end{pmatrix}\right|}\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{\left|-0,75\cdot 2-1,5\cdot 3-0,5\cdot 6\right|}{\sqrt{0,75^2+\left(-1,5\right)^2+0,5^2}\cdot \sqrt{\left(-2\right)^2+3^2+\left(-6\right)^2}} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{36}{49} \quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 47,3^{\circ} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Winkel, in dem die Sonnenstrahlen auf die Zeltfläche $BCE$ treffen, ist ca. $47,3\,^{\circ}$ groß.
d) 
$\blacktriangleright$  Prüfen, ob das Kind aufrecht durch die Öffnung gehen kann
Da die Öffnungskante parallel zur Zeltkante und damit auch parallel zum Boden ist, kann das Kind genau dann aufrecht durch die Öffnung gehen, wenn die $z$-Koordinate eines Punktes und damit aller Punkte auf der Öffnungskante mindestens $1,15$ beträgt. Betrachte also einen Punkt auf der Geraden, in der die Öffnungskante liegt, indem du die Gerade, in der die Zeltkante liegt um $0,5$ Einheiten entlang der Ebene $CDFE$ verschiebst. Du kannst also den Punkt $E$ um $0,5$ Einheiten entlang des Vektors $\overrightarrow{EC}$ verschieben und dessen $z$-Koordinate betrachten.
Da $\overrightarrow{EC}$ wahrscheinlich nicht die Länge $1$ hat, musst du diesen erst normieren. Dann entsteht der Punkt $E'$ wie folgt:
$\overrightarrow{OE'}= \overrightarrow{OE} +0,5\cdot \dfrac{1}{\left|\overrightarrow{EC}\right|}\cdot \overrightarrow{EC}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OE'}&=&\begin{pmatrix}4\\4\\1,5\end{pmatrix} +0,5\cdot \dfrac{1}{\left|\begin{pmatrix}1\\0\\-1,5 \end{pmatrix}\right|}\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\-1,5 \end{pmatrix} \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}4\\4\\1,5\end{pmatrix} + \frac{\sqrt{13}}{13}\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\-1,5 \end{pmatrix}\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&\begin{pmatrix}4,28\\4\\1,08\end{pmatrix} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die $z$-Koordinate des um $0,5$ LE entlang des Vektors $\overrightarrow{EC}$ verschobenen Punktes $E$ entspricht $1,08$. Die Oberkante der Zeltöffnung liegt damit nur $1,08\,$ m über dem Boden, sodass das Kind mit $1,15\,$ m Körpergröße nicht aufrecht durch den Zelteingang gehen kann.
e) 
$\blacktriangleright$  Sicherheitsabstand überprüfen
Du musst hier den Abstand der Lampe zur Zeltwand, also den Abstand des Lampenpunktes $H$ zur Ebene $G$ mit den Punkten $E$, $C$,$D$ und $F$ berechnen. Gehe dazu wie folgt vor:
  1. Bestimme die Koordinaten von $H$
  2. Stelle eine Gleichung der Ebene $G$ in Hessescher Normalenform auf
  3. Setze die Koordinaten von $H$ in die linke Seite der Ebenengleichung ein und erhalte so den Abstand des Punktes zur Ebene
1. Schritt: Koordinaten von $H$
Mit Hilfe der Koordinaten von $F$ kannst du die des Mittelpunkts $M_{\overline{EF}}$ bestimmen. $H$ geht dann durch Verschiebung um $0,25\,$ LE entlang der $z$-Achse aus $M$ hervor. Wie oben ergibt sich der Mittelpunkt von $\overline{EF}$ mit der entsprechenden Formel:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM_{\overline{EF}}}&=&\frac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OE}+ \overrightarrow{OF}\right) \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\left(\begin{pmatrix}4\\4\\1,5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4\\6,5\\1,5 \end{pmatrix}\right)\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}4\\5,25\\1,5\end{pmatrix} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten von $H$ lauten damit dann $H(4\mid 5,25\mid 1,25)$.
2. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
Die Hessesche Normalenform einer Ebenengleichung ist eine normierte Koordinatengleichung, bei der auf der rechten Seite der Gleichung $0$ steht. Wie oben erhältst du einen Normalenvektor von $G$ durch das Kreuzprodukt von beispielsweise $\overrightarrow{EC}$ und $\overrightarrow{EF}$ und den Parameter $d_G$ durch eine Punktprobe:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n_G}&=& \overrightarrow{EC}\times \overrightarrow{EF} \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}1\\0\\-1,5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\2,5\\0 \end{pmatrix}\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}3,75\\0\\2,5\end{pmatrix} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{n_{G}}\right| &=& \left|\begin{pmatrix}3,75\\0\\2,5\end{pmatrix} \right|\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \sqrt{3,75^2+0^2+2,5^2}\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{5\sqrt{13}}{4} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Durch Punktprobe mit $D$ erhältst du nun:
$\begin{array}[t]{rll} n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3 &=&d \quad \scriptsize \\[5pt] 3,75\cdot 5 + 0\cdot 6,5+2,5\cdot 0&=&d \quad \scriptsize \\[5pt] 18,75&=& d_G \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Eine Ebenengleichung in Hessescher Normalenform lautet demnach
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3,75x_1+0x_2+2,5x_3-18,75}{\dfrac{5\sqrt{13}}{4}} &=&0 \quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{4\cdot(3,75x_1+2,5x_3-18,75)}{5\sqrt{13}}&=&0 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Koordinaten in Ebenengleichung einsetzen
In die linke Seite der Ebenengleichung eingesetzt ergibt sich für den Abstand von $H$ zu $G$:
$\begin{array}[t]{rll} d(H,G) &=&\dfrac{\left|4\cdot(3,75\cdot4+2,5\cdot 1,25-18,75)\right|}{5\sqrt{13}} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{2,5}{5\sqrt{13}} \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,139 <0,2 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Lampe ist ca. $0,139\,$ m also $13,9\,$ cm von der Zeltfläche $CDFE$ entfernt. Der Sicherheitsabstand wird also nicht eingehalten.
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