Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BE, Integrierte Sekundarschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Mittlerer Schulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Abitur LK (WT...
Prüfung
wechseln
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Mittlerer Schulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Analysis 1.1

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord

Aufgabe 1.1: Kelchglas

In der Abbildung 1 ist ein Trinkglas in Kelchform ohne Stiel und Fuß dargestellt.
Die seitliche Profillinie eines solchen Glases lässt sich mathematisch mithilfe einer Exponentialfunktion $f$ der Form $f(x)=-a\cdot\mathrm {e}^{-bx^{2}}$ modellieren, $a$,   $b\in\mathbb{R}$,   $a>0$,   $b>0$.
Das Koordinatensystem wird gemäß der Abbildung $1$ festgelegt, für die Achseneinheiten gilt: $1\,\text{LE}=1\,\text{cm}$.
Die Profillinie des Glases ändert ihr Krümmungsverhalten bei $x=-2$ und bei $x=2$. Außerdem ist ein Tiefpunkt $T(0\mid-12)$ erkennbar.
Analysis 1.1 Abbildung 1
Analysis 1.1 Abbildung 1
a)  Untersuche die Graphen aller möglichen Funktionen $f$ in Abhängigkeit von $a$ und $b$ auf relative Extrempunkte und deren Art sowie auf Wendepunkte.
Für die Berechnung der Wendestellen genügt die Verwendung der notwendigen Bedingung.
[Kontrollergebnis für die Berechnung der zweiten Ableitung: $f''(x)=\left(2ab-4ab^2x^2\right)\cdot\mathrm e^{-bx^2}$]
(13P)
b)  Gib alle Bedingungen an, die von der Funktion $f$ erfüllt werden müssen, damit der Graph von $f$ die Profillinie des Glases darstellen kann.
Berechne für die Profillinie des Glases die Parameter $a$ und $b$.
[Kontrollergebnis: $f_{\text{Glas}}(x)=-12\cdot\mathrm e^{-0,125x^2}$]
Das Kelchglas hat eine Höhe von $10\,\text{cm}$.
Berechne den Umfang und die Größe der Kreisfläche der Öffnung.
(11P)
c)  Für $x\geq0$ ist der Graph von $f_{\text{Glas}}$ in der Anlage eingezeichnet.
Für $x\geq0$ besitzt $f_{\text{Glas}}$ eine Umkehrfunktion $f^*_{\text{Glas}}$.
Zeichne als Spiegelachse die Gerade zu $y=x$ in die Anlage ein und zeichne den Graphen der Umkehrfunktion $f^*_{\text{Glas}}$.
Bestimme eine Gleichung der Umkehrfunktion $f^*_{\text{Glas}}$.
[Kontrollergebnis: $f^*_{\text{Glas}}(x)=\sqrt{8}\cdot\sqrt{\ln(12)-\ln(-x)}$    mit    $-12\leq x<0$]
(8P)
d)  Der Graph von $f^*_{\text{Glas}}$ rotiert für $-12\leq x\leq-2$ um die $x$-Achse.
Dabei entsteht als Rotationskörper das Kelchglas in waagerechter Lage (siehe Abbildung 2). Berechne das Volumen des Glases.
Ohne Nachweis darfst du verwenden, dass für $x<0$ gilt: $\displaystyle\int\ln(-x)\;\mathrm dx=-x+x\cdot\ln(-x)+C$.
Analysis 1.1 Abbildung 2
Analysis 1.1 Abbildung 2
(8P)

(40P)
Anlage zu Aufgabe 1.1: Kelchglas
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 1.1: Kelchglas

a) 
$\blacktriangleright$  Graphen auf relative Extrempunkte untersuchen
Wende hierzu die beiden Bedingungen für Extrempunkte in Abhängigkeit von $a$ und $b$ an:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_E) =0$
  • Hinreichende Bedingung:
    • $f''(x_E) >0 \Rightarrow$ bei $x_E$ befindet sich ein Tiefpunkt
    • $f''(x_E) < 0 \Rightarrow $ bei $x_E$ befindet sich ein Hochpunkt
Beachte den Satz vom Nullprodukt und $\mathrm e ^x >0$. Bilde zunächst die ersten beiden Ableitungen von $f$ mit Hilfe der Kettenregel und der Produktregel. Berechne zum Schluss die vollständigen Koordinaten.
$\blacktriangleright$  Graphen auf Wendepunkte untersuchen
Die notwendige Bedingung für Wendestellen, die laut Aufgabenstellung ausreicht, lautet $f''(x_W) = 0$.
b) 
$\blacktriangleright$  Bedingungen angeben
Du kannst die Bedingungen an $f$ dem Einleitungstext der Aufgabe entnehmen und diese mit Hilfe von Gleichungen darstellen:
  • Der Graph von $f$ ändert sein Krümmungsverhalten bei $x=-2$ und $x =2$, besitzt an diesen Stellen also jeweils einen Wendepunkt.
  • Der Graph von $f$ besitzt einen Tiefpunkt bei $T(0\mid -12)$.
$\blacktriangleright$  Parameter bestimmen
Mit den Bedingungen von oben erhältst du ein Gleichungssystem, welches du nach $a$ und $b$ lösen kannst.
$\blacktriangleright$  Umfang und Größe der Kreisfläche berechnen
Der Radius der Kreisfläche ergibt sich aus dem halben Abstand der beiden oberen Endpunkte der Profillinie des Glases. Die Koordinaten ergeben sich aus der Höhe des Glases $10$ cm und dem tiefsten Punkt bei $T(0\mid-12)$. Da $1\text{LE} = 1$ cm, muss die $y$-Koordinate also $-2$ sein. Berechne die $x$-Koordinaten durch Gleichsetzen mit $f_{\text{Glas}}(x)$.
Der Umfang und die Größe der Kreisfläche ergeben sich mit den entsprechenden Formeln.
c) 
$\blacktriangleright$  Graph der Umkehrfunktion zeichnen
Zeichne wie in der Aufgabe beschrieben zuerst die Spiegelachse $y =x$ in die Anlage ein und zeichne dann den Graphen von $f^*_{\text{Glas}}$ als Spiegelung des Graphen von $f_{\text{Glas}}$ für $x\geq0$. Zur Hilfe kannst du auch Abbildung 2 auf dem Aufgabenblatt betrachten.
$\blacktriangleright$  Gleichung der Umkehrfunktion bestimmen
Eine Umkehrfunktion von $f$ erhältst du durch:
  1. Umformen der Funktionsgleichung nach $x$
  2. Variablentausch
d) 
$\blacktriangleright$  Volumen des Glases berechnen
Das Volumen eines Rotationskörpers mit den Grenzen $x_1$ und $x_2$ lässt sich mit der entsprechenden Formel berechnen:
$V = \pi \cdot \displaystyle\int_{x_1}^{x_2} \left(f(x)\right)^2 \;\mathrm dx$
Bestimme also zunächst eine Stammfunktion von $\left(f^*_{\text{Glas}}\right)^2$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 1.1: Kelchglas

a) 
$\blacktriangleright$  Graphen auf relative Extrempunkte untersuchen
Wende hierzu die beiden Bedingungen für Extrempunkte in Abhängigkeit von $a$ und $b$ an:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_E) =0$
  • Hinreichende Bedingung:
    • $f''(x_E) >0 \Rightarrow$ bei $x_E$ befindet sich ein Tiefpunkt
    • $f''(x_E) < 0 \Rightarrow $ bei $x_E$ befindet sich ein Hochpunkt
Beachte den Satz vom Nullprodukt und $\mathrm e ^x >0$. Bilde zunächst die ersten beiden Ableitungen von $f$ mit Hilfe der Kettenregel und der Produktregel.
1. Schritt: Ableitungen bilden
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&-a\cdot \mathrm e^{-b x^2} \quad \scriptsize \text{Kettenregel} \\[5pt] f'(x)&=&-a\cdot \mathrm e^{-b x^2}\cdot \left(-2bx\right) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&2abx \cdot \mathrm e^{-b x^2} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=& 2ab\cdot \mathrm e^{-b x^2} + 2abx\cdot \mathrm e^{-b x^2} \cdot \left(-2bx\right)\quad \scriptsize \text{Produkt- und Kettenregel} \\[5pt] &=& 2ab\cdot \mathrm e^{-b x^2}\cdot\left(1-2bx^2\right)\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Durch Gleichsetzen erhältst du mögliche Extremstellen $x_E$ von $f$ :
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&f'(x_E) \quad \scriptsize \\[5pt] 0&=&2abx_E \cdot \mathrm e^{-b x_E^2} \quad \scriptsize \mid\; \mathrm e^{-b x^2} >0, a >0, b>0, 2>0\\[5pt] 0&=& x_E\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Einsetzen von $x_E = 0$ in $f''(x)$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} f''(0)&=&2ab\cdot \mathrm e^{-b \cdot0^2}\cdot\left(1-2b\cdot0^2\right) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&2ab(1-0) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&2ab \quad \scriptsize \mid\; a> 0, b> 0\\[5pt] & >&0 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow$ Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x_E =0$ einen Tiefpunkt.
4. Schritt: $y$-Koordinate berechnen
Einsetzen in $f(x)$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& -a\cdot \mathrm e^{-b\cdot 0^2}\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -a\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Mit der notwendigen und der hinreichenden Bedingung für Extremstellen ergibt sich, dass der einzige Extrempunkt aller Graphen von $f$ ein Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(0\mid -a)$ ist.
$\blacktriangleright$  Graphen auf Wendepunkte untersuchen
Die notwendige Bedingung für Wendestellen, die laut Aufgabenstellung ausreicht, lautet $f''(x_W) = 0$.
1. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&f''(x_W) \quad \scriptsize \\[5pt] 0&=&2ab\cdot \mathrm e^{-b x_W^2}\cdot\left(1-2bx_W^2\right) &\quad \scriptsize \mid\; \mathrm e^{-b x^2} >0, a >0, b>0, 2>0\\[5pt] 0&=&1-2b\cdot x_W^2 &\quad \scriptsize \mid\; +2b\cdot x_W^2 \\[5pt] 2b\cdot x_W^2&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; :2b\quad (b\neq0) \\[5pt] x_W^2&=&\dfrac{1}{2b} \quad \scriptsize \\[5pt] x_{W_1}&=&+\sqrt{\dfrac{1}{2b}} &\quad \text{und}\quad x_{W_2}=-\sqrt{\dfrac{1}{2b}} \end{array}$
2. Schritt: $y$-Koordinaten berechnen
Einsetzen in $f(x)$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} f\left(x_{W_1}\right)&=&f\left(\sqrt{\dfrac{1}{2b}}\right) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&-a\cdot \mathrm e^{-b \cdot\sqrt{\dfrac{1}{2b}} ^2} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&-a\cdot \mathrm e^{-\dfrac{1}{2}}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f\left(x_{W_2}\right)&=&f\left(-\sqrt{\dfrac{1}{2b}}\right) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&-a\cdot \mathrm e^{-b \cdot\left(- \sqrt{\dfrac{1}{2b}}\right) ^2} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&-a\cdot \mathrm e^{-\dfrac{1}{2}}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Mit der notwendigen Bedingung für Wendestellen ergeben sich die beiden Wendepunkte aller Graphen von $f$ mit $W_1\left(\sqrt{\dfrac{1}{2b}}\mid -a\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\right)$ und $W_2\left(-\sqrt{\dfrac{1}{2b}}\mid -a\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\right)$.
b) 
$\blacktriangleright$  Bedingungen angeben
Du kannst die Bedingungen an $f$ dem Einleitungstext der Aufgabe entnehmen und diese mit Hilfe von Gleichungen darstellen:
  • Der Graph von $f$ ändert sein Krümmungsverhalten bei $x=-2$ und $x =2$, besitzt an diesen Stellen also jeweils einen Wendepunkt.
  • Der Graph von $f$ besitzt einen Tiefpunkt bei $T(0\mid -12)$.
Konkret bedeutet das nun:
  1. $f''(-2) = 0$
  2. $f''(2) = 0$
  3. $f(0) = -12$
  4. $f'(0) =0$
$\blacktriangleright$  Parameter bestimmen
Mit den Bedingungen von oben erhältst du ein Gleichungssystem, welches du nach $a$ und $b$ lösen kannst:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0&=&2ab\cdot \mathrm e^{-b \cdot(-2)^2}\cdot\left(1-2b\cdot(-2)^2\right) \quad \\ \text{II}\quad&0&=&2ab\cdot \mathrm e^{-b \cdot2^2}\cdot\left(1-2b\cdot2^2\right)\quad\\ \text{III}\quad&-12&=&-a\cdot \mathrm e^{-b \cdot 0^2}\quad\\ \text{IV}\quad&0&=&2ab\cdot 0 \cdot \mathrm e^{-b \cdot 0^2}\quad\\ \end{array}$
$\text{IV}$ ist immer erfüllt und es gilt $\text{I} = \text{II}$. Aus $\text{III}$ erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} -12 &=&-a\cdot \mathrm e^{-b \cdot 0^2} \quad \scriptsize \\[5pt] -12 &=&-a\quad \scriptsize \mid; \cdot (-1) \\[5pt] 12 &=&a\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Löse $\text{II}$ nach $b$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&2ab\cdot \mathrm e^{-b \cdot2^2}\cdot\left(1-2b\cdot2^2\right) \quad \scriptsize \\[5pt] 0&=& 1-2b\cdot2^2\quad \scriptsize \mid\; +2b\cdot 2^2\\[5pt] 2b\cdot 2^2&=&1 \quad \scriptsize \mid\; :8 \\[5pt] b&=& \frac{1}{8}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Parameter ergeben sich zu $a = 12$ und $b = \frac{1}{8}$. Damit lautet die Funktionsgleichung der Funktion $f_{\text{Glas}}$, deren Graph die Profillinie des Glases darstellt $f_{\text{Glas}}(x)=-12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x^2}$.
$\blacktriangleright$  Umfang und Größe der Kreisfläche berechnen
Der Radius der Kreisfläche ergibt sich aus dem halben Abstand der beiden oberen Endpunkte der Profillinie des Glases. Die Koordinaten ergeben sich aus der Höhe des Glases $10$ cm und dem tiefsten Punkt bei $T(0\mid-12)$. Da $1\text{LE} = 1$ cm, muss die $y$-Koordinate also $-2$ sein. Berechne die $x$-Koordinaten durch Gleichsetzen mit $f_{\text{Glas}}(x)$:
$\begin{array}[t]{rll} f_{\text{Glas}}(x)&=&-2 \quad \scriptsize \\[5pt] -12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x^2}&=&-2 \quad \scriptsize \mid\; :(-12) \\[5pt] \mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x^2}&=&\frac{1}{6} \quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] -\frac{1}{8}\cdot x^2&=&\ln\left(\frac{1}{6}\right) \quad \scriptsize \mid\; \cdot \left(-8\right) \\[5pt] x^2&=& -8\ln\left(\frac{1}{6}\right)\quad \scriptsize \\[8pt] x_1 &=& -\sqrt{-8\ln\left(\frac{1}{6}\right)}\approx - 3,786 \quad \scriptsize \\ x_2&=&+\sqrt{-8\ln\left(\frac{1}{6}\right) } \approx 3,786\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow r= \sqrt{-8\ln\left(\frac{1}{6}\right) } \approx 3,786$
Der Umfang und die Größe der Kreisfläche ergeben sich mit den entsprechenden Formeln:
$\begin{array}[t]{rll} U_{\text{Kreis}}&=&2\cdot \pi \cdot r \quad \scriptsize \\[5pt] &=&2\cdot \pi \cdot \sqrt{-8\ln\left(\frac{1}{6}\right) } \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&23,788\, \text{[cm]} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Kreis}}&=& \pi \cdot r^2 \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \pi \cdot \sqrt{-8\ln\left(\frac{1}{6}\right) } \quad \scriptsize \\[5pt] &=&- \pi \cdot 8\ln\left(\frac{1}{6}\right) \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&45,032\, \text{[cm}^2\text{]} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Umfang der Kreisfläche beträgt $U_{\text{Kreis}} = 2\cdot \pi \cdot \sqrt{-8\ln\left(\frac{1}{6}\right) }$ cm $\approx 23,788 $ cm und die Größe $A_{\text{Kreis}} = -\pi \cdot 8\ln\left(\frac{1}{6}\right) $ cm$^2 \approx 45,032$ cm$^2$.
c) 
$\blacktriangleright$  Graph der Umkehrfunktion zeichnen
Zeichne wie in der Aufgabe beschrieben zuerst die Spiegelachse $y =x$ in die Anlage ein und zeichne dann den Graphen von $f^*_{\text{Glas}}$ als Spiegelung des Graphen von $f_{\text{Glas}}$ für $x\geq0$. Zur Hilfe kannst du auch Abbildung 2 auf dem Aufgabenblatt betrachten.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
$\blacktriangleright$  Gleichung der Umkehrfunktion bestimmen
Eine Umkehrfunktion von $f$ erhältst du durch:
  1. Umformen der Funktionsgleichung nach $x$
  2. Variablentausch
$\begin{array}[t]{rll} y&=&f_{\text{Glas}}(x) \quad \scriptsize \\[5pt] y&=&-12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x^2} \quad \scriptsize \mid\; :(-12)\\[5pt] \frac{y}{-12}&=& \quad \mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x^2}\scriptsize \mid\; \ln \text{ mit } y < 0 \\[5pt] \ln\left(\frac{y}{-12}\right)&=&-\frac{1}{8}\cdot x^2 \quad \scriptsize \mid\; \cdot(-8) \\[5pt] -8\ln\left(\frac{y}{-12}\right)&=&x^2 \quad \scriptsize \\[5pt] \pm \sqrt{-8\ln\left(\frac{y}{-12}\right)}&=& x \quad \scriptsize \text{mit } y\geq -12 \text{, da sonst }\ln\left(\frac{y}{-12}\right) > 0 \text{ und damit } -8\ln\left(\frac{y}{-12}\right) < 0 \\[5pt] \pm \sqrt{8}\cdot \sqrt{\ln\left(\frac{-12}{y}\right)}&=& x \quad \scriptsize \\[5pt] \pm \sqrt{8}\cdot \sqrt{\ln(12)-\ln(-y)}&=& x \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Variablentausch liefert $y = \pm \sqrt{8}\cdot \sqrt{\ln(12)-\ln(-x)}$ mit $-12\leq x < 0$.
Da durch Spiegelung des Teilgraphen von $f_{\text{Glas}}$ der Teil des Graphen von $f^*_{\text{Glas}}$ entsteht, der oberhalb der $x$-Achse liegt, sollte die entsprechende Gleichung wie folgt lauten:
$f^*_{\text{Glas}}(x) = \sqrt{8}\cdot \sqrt{\ln(12)-\ln(-x)}$ mit $-12\leq x < 0$
d) 
$\blacktriangleright$  Volumen des Glases berechnen
Das Volumen eines Rotationskörpers mit den Grenzen $x_1$ und $x_2$ lässt sich mit der entsprechenden Formel berechnen:
$V = \pi \cdot \displaystyle\int_{x_1}^{x_2} \left(f(x)\right)^2 \;\mathrm dx$
Bestimme also zunächst eine Stammfunktion von $\left(f^*_{\text{Glas}}\right)^2$.
1. Schritt: Stammfunktion bestimmen
Beachte den Hinweis aus der Aufgabenstellung:
$\begin{array}[t]{rll} F(x)&=& \displaystyle\int_{}^{} \left(f^*_{\text{Glas}}\right)^2\;\mathrm dx\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{}^{}\left(\sqrt{8}\cdot \sqrt{\ln(12)-\ln(-x)}\right)^2\;\mathrm dx\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{}^{}8\cdot\left( \ln(12)-\ln(-x)\right)\;\mathrm dx\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 8\cdot \left( \ln(12)x-\left(-x+x\cdot \ln(-x) \right)\right) +C\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 8\cdot\left( \ln(12)x+x-x\cdot \ln(-x) \right) +C\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 8x\cdot\left( \ln(12)+1- \ln(-x) \right) +C\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 8x\cdot\left( \ln(12)+1- \ln(-x) \right) +C\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Volumen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Glas}}&=&\pi \cdot \displaystyle\int_{-12}^{-2} \left(f^*_{\text{Glas}}\right)^2 \;\mathrm dx \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\pi \left[8x\cdot\left( \ln(12)+1- \ln(-x) \right) +C\right]_{-12}^{-2}\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\scriptsize 8\cdot(-2)\pi\cdot\left( \ln(12)+1- \ln\left(-(-2)\right) \right) +C- \left(8\cdot(-12)\pi\cdot\left( \ln(12)+1- \ln\left(-(-12)\right) \right) +C\right) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&-16\pi\cdot\left(\ln(6)+1\right)+C+96\pi\cdot\left(\ln(1)+1\right)-C \quad \scriptsize \\[5pt] &=&-16\pi\cdot\left(\ln(6)+1\right)+96 \quad \scriptsize \\[5pt] &=& -16\pi\cdot\left(\ln(6)-5\right)\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&161\,\text{cm}^3 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Das Volumen des Glases beträgt ca. $161\,$ cm$^3$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App