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Stochastik 3.1

Aufgaben
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Aufgabe 3.1: Glücksrad

Marc und Jannik haben sich folgendes Glücksspiel mit dem nebenstehend skizzierten Glücksrad ausgedacht:
Sie drehen abwechselnd je zweimal das Glücksrad.
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
  • Marc gewinnt (und Jannik verliert), wenn insgesamt zweimal „rot“ erscheint und die anderen beiden Male „blau“.
  • Jannik gewinnt (und Marc verliert), wenn genau dreimal „rot“ erscheint und nur einmal „blau“ oder umgekehrt genau dreimal „blau“ erscheint und nur einmal „rot“.“.
  • In den übrigen Fällen endet das Spiel unentschieden.
a)  Bestimme die Gewinnwahrscheinlichkeit für Marc und die für Jannik.
[Zur Kontrolle deiner Rechnung: $P(M)=0,375;\;P(J)=0,5$.]
(5P)
b)  Am ersten Ferientag spielen die beiden um Geld. Jannik setzt pro Spiel $1\,$€ und Marc $80$ Cent. Der Gewinner erhält beide Einsätze, im unentschiedenen Fall erhält jeder seinen Einsatz zurück.
Berechne Janniks mittleren Gewinn pro Spiel.
(4P)
c)  Nun wird das Ereignis $G$ untersucht.
$G$: Die beiden ersten Drehungen zeigen die gleiche Farbe („rot-rot“ oder „blau-blau“).
Jannik schlägt vor, das Spiel nur dann zu Ende zu spielen und zu werten, wenn das Ereignis $G$ eingetreten ist; andernfalls wird das Spiel abgebrochen, es gewinnt keiner und die Einsätze werden zurückgegeben.
  • Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeit für Jannik unter der Bedingung $G$.
  • Ermittle die neue Gewinnwahrscheinlichkeit von Marc und berate ihn, ob er dieser neuen Regelung zustimmen sollte.
(5P)
Marc und Jannik spielen das ursprüngliche Spiel jetzt mehrmals hintereinander. Die Gewinnregeln bleiben unverändert.
d)  Die beiden Jungen spielen $10$-mal hintereinander.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Jannik alle Spiele gewinnt.
Bestimmen die Mindestanzahl der Spiele, die die beiden Jungen spielen müssen, damit Jannik mit einer Wahrscheinlichkeit von über $95\,\%$ mindestens ein Spiel gewinnt.
Die Anzahl der Spiele wird auf $50$ festgesetzt. Jannik möchte mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $80\,\%$ mehr als $k$ Spiele gewinnen.
Ermittle das größtmögliche $k$.
(11P)
e)  Bei einem neuen Spiel werden die Regeln so verändert, dass Jannik die unbekannte Gewinnwahrscheinlichkeit $p$ hat. Es wird insgesamt zehnmal gespielt, davon viermal am Vormittag und sechsmal am Nachmittag.
Ermittle in Abhängigkeit von $p$ eine Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür, dass Jannik genau zwei der vier Vormittagsspiele und genau drei der sechs Nachmittagsspiele gewinnt.
(5P)

(30P)
Anlage zu Aufgabe 3.1: Glücksrad
Summierte Binomialverteilungen
Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist „$0$“, alle freien Plätze links unten enthalten $1,0000$, rechts oben $0,0000$.
Wird die Tabelle „von unten“ gelesen $(p>0,5)$, ist der richtige Wert $1$ $-$ (abgelesener Wert).
Stochastik 3.1
Stochastik 3.1
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Aufgabe 3.1: Glücksrad

a) 
$\blacktriangleright$  Gewinnwahrscheinlichkeit bestimmen
Hierbei hilft dir die Binomialverteilung. Betrachte dazu die Zufallsvariable $R$, die angibt, wie oft bei viermaligem Drehen „rot“ gedreht wird. Da jeder Dreh unabhängig von den vorherigen Versuchen ist, jedes Mal die gleiche Wahrscheinlichkeit für „rot“ gilt und es nur die beiden Möglichkeiten „rot“ und „blau“ gibt, kann $R$ als binomialverteilt mit den Parametern $n=4$ und $p =0,5$ angenommen werden. Dann gilt $P(M) = P(R =2)$ und $P(J) = P(R =1)+P(R=3)$. Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten kannst du also mit der Formel für die Binomialverteilung berechnen.
b) 
$\blacktriangleright$  Mittleren Gewinn pro Spiel berechnen
Gesucht ist hier der Erwartungswert der Zufallsvariable $G$, die Janniks Gewinn in einem Spiel beschreibt. Diese kann die Werte $-1$, $0$ und $0,8$ annehmen und ist entsprechend der Wahrscheinlichkeiten aus dem vorherigen Aufgabenteil wie folgt verteilt:
$g_i$$-1$$0$$0,8$
$P(G=g_i)$$0,375$$0,125$$0,5$
Der Erwartungswert ergibt sich dann mit der entsprechenden Formel.
c) 
$\blacktriangleright$  Neue Gewinnwahrscheinlichkeiten berechnen
Unter der neuen Voraussetzung gewinnt Jannik genau dann, wenn in den letzten beiden Drehs genau einmal die Farbe gedreht wird, die schon vorher gedreht wurde. Marc gewinnt dagegen genau dann, wenn in den letzten beiden Drehs beidemale die andere Farbe gedreht wird. Da die Wahrscheinlichkeiten von „rot“ und „blau“ gleich sind, ist es hier egal welche Farbe in den ersten beiden Durchgängen gedreht wurde. Betrachte die Zufallsvariable $X_G$, die angibt, wie oft in den letzten beiden Drehs die Farbe erscheint, die in den ersten beiden Drehs gedreht wurde. Diese ist dann binomialverteilt mit den Parametern $n =2$ und $p=0,5$. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn von Jannik durch $P(X_G = 1)$ und die für einen Gewinn von Marc durch $P(X_G = 0 )$ gegeben.
d) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Betrachte hier die neue Zufallsvariable $J$, die die zufällige Anzahl der Gewinne von Jannik in $10$ Spielen beschreibt. Diese ist ebenfalls binomialverteilt, da die Wahrscheinlichkeiten bei jedem Spiel gleich bleiben und hier nur die beiden Ergebnisse „Jannik gewinnt“ und „Jannik gewinnt nicht“ betrachtet werden. $J$ ist dann mit den Parametern $n =10$ und $p = P(J) = 0,5$ verteilt. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie oben berechnen.
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl an Spielen bestimmen
Betrachtest du hier die Zufallsvariable $J_n$, die die zufällige Anzahl der Gewinne von Jannik in $n$ Spielen beschreibt, so ist diese binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p = 0,5$.
Gesucht ist $n$, sodass $P(J_n \geq 1) > 0,95$. Forme diese Ungleichung mit Hilfe des Gegenereignisses und der Formel für die Binomialverteilung nach $n$ um.
$\blacktriangleright$  Größtmögliches $k$ bestimmen
Nun betrachtest du die Zufallsvariable $J_{50}$, die binomialverteilt mit $n =50$ und $p = 0,5$ ist. Gesucht ist nun das größte $k$, sodass gerade noch $P(J_{50}> k) \geq 0,8$ gilt. Du kannst diese Ungleichung wieder mit Hilfe des Gegenereignisses wie oben umformulieren und dann mit Hilfe der Tabelle zur summierten Binomialverteilung das passende $k$ bestimmen.
e) 
$\blacktriangleright$  Formel angeben
Betrachte hierzu die beiden Zufallsvariablen $V$ und $N$, wobei $V$ die zufällige Anzahl der Gewinne von Jannik am Vormittag und $N$ die zufällige Anzahl der Gewinne von Jannik am Nachmittag beschreibt. $V$ ist dann binomialverteilt mit $n = 4$ und $p$. $N$ ist binomialverteilt mit $n =6$ und $p$. Du kannst weiterhin davon ausgehen, dass die einzelnen Spiele unabhängig voneinander sind, und damit auch $N$ und $V$.
Die Wahrscheinlichkeiten der beiden voneinander unabhängigen Teilereignisse $E_1:$ „Jannik gewinnt genau zwei Vormittagsspiele“ und $E_2:$ „Jannik gewinnt genau drei Nachmittagsspiele“ kannst du nun zunächst getrennt wie oben berechnen und dann anschließend nach der Pfadmultiplikationsregel miteinander multiplizieren, um die gesuchte Formel für $P(E)$ zu erhalten.
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Aufgabe 3.1: Glücksrad

a) 
$\blacktriangleright$  Gewinnwahrscheinlichkeit bestimmen
Hierbei hilft dir die Binomialverteilung. Betrachte dazu die Zufallsvariable $R$, die angibt, wie oft bei viermaligem Drehen „rot“ gedreht wird. Da jeder Dreh unabhängig von den vorherigen Versuchen ist, jedes Mal die gleiche Wahrscheinlichkeit für „rot“ gilt und es nur die beiden Möglichkeiten „rot“ und „blau“ gibt, kann $R$ als binomialverteilt mit den Parametern $n=4$ und $p =0,5$ angenommen werden. Dann gilt $P(M) = P(R =2)$ und $P(J) = P(R =1)+P(R=3)$. Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten kannst du also mit der Formel für die Binomialverteilung berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(M)&=&P(R=2) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\binom{4}{2}\cdot 0,5^2\cdot (0,5)^{2} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&0,375 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(J)&=&P(R=1)+P(R=3) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\binom{4}{1}\cdot 0,5^1\cdot (0,5)^{3} + \binom{4}{3}\cdot 0,5^3\cdot (0,5)^{1}\quad \scriptsize \\[5pt] &=&0,25+0,25 \quad \scriptsize \\[5pt] &=&0,5 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Gewinnwahrscheinlichkeit von Marc beträgt $P(M)= 0,375$ und die von Jannik beträgt $P(J) = 0,5$.
b) 
$\blacktriangleright$  Mittleren Gewinn pro Spiel berechnen
Gesucht ist hier der Erwartungswert der Zufallsvariable $G$, die Janniks Gewinn in einem Spiel beschreibt. Diese kann die Werte $-1$, $0$ und $0,8$ annehmen und ist entsprechend der Wahrscheinlichkeiten aus dem vorherigen Aufgabenteil wie folgt verteilt:
$g_i$$-1$$0$$0,8$
$P(G=g_i)$$0,375$$0,125$$0,5$
Der Erwartungswert ergibt sich dann mit der entsprechenden Formel:
$E(G) = -1\cdot 0,375+0,8\cdot 0,5 +0\cdot 0,125 = 0,025 $
Im Schnitt macht Jannik $2,5\,$ ct Gewinn pro Spiel.
c) 
$\blacktriangleright$  Neue Gewinnwahrscheinlichkeiten berechnen
Unter der neuen Voraussetzung gewinnt Jannik genau dann, wenn in den letzten beiden Drehs genau einmal die Farbe gedreht wird, die schon vorher gedreht wurde. Marc gewinnt dagegen genau dann, wenn in den letzten beiden Drehs beidemale die andere Farbe gedreht wird. Da die Wahrscheinlichkeiten von „rot“ und „blau“ gleich sind, ist es hier egal welche Farbe in den ersten beiden Durchgängen gedreht wurde. Betrachte die Zufallsvariable $X_G$, die angibt, wie oft in den letzten beiden Drehs die Farbe erscheint, die in den ersten beiden Drehs gedreht wurde. Diese ist dann binomialverteilt mit den Parametern $n =2$ und $p=0,5$. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn von Jannik durch $P(X_G = 1)$ und die für einen Gewinn von Marc durch $P(X_G = 0 )$ gegeben. Damit ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P_G(J)&=&P(X_G=1) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\binom{2}{1}\cdot0,5^1\cdot0,5^1 \quad \scriptsize \\[5pt] &=&0,5 \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P_G(M)&=&P(X_G=0) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\binom{2}{0}\cdot0,5^0\cdot0,5^2 \quad \scriptsize \\[5pt] &=&0,25 \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Unter der neuen Voraussetzung hat Jannik immernoch die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit mit $P_G(J)=0,5$. Die Gewinnwahrscheinlichkeit von Marc sinkt allerdings auf $P_G(M) =0,25$. Daher sollte Marc der neuen Regelung nicht zustimmen.
d) 
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Betrachte hier die neue Zufallsvariable $J$, die die zufällige Anzahl der Gewinne von Jannik in $10$ Spielen beschreibt. Diese ist ebenfalls binomialverteilt, da die Wahrscheinlichkeiten bei jedem Spiel gleich bleiben und hier nur die beiden Ergebnisse „Jannik gewinnt“ und „Jannik gewinnt nicht“ betrachtet werden. $J$ ist dann mit den Parametern $n =10$ und $p = P(J) = 0,5$ verteilt. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie oben berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(J=10)&=&\binom{10}{10}\cdot 0,5^{10}\cdot 0,5^0 \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 0,00098\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Jannik gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $0,098\,\%$ alle 10 Spiele.
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl an Spielen bestimmen
Betrachtest du hier die Zufallsvariable $J_n$, die die zufällige Anzahl der Gewinne von Jannik in $n$ Spielen beschreibt, so ist diese binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p = 0,5$.
Gesucht ist $n$, sodass $P(J_n \geq 1) > 0,95$. Forme diese Ungleichung mit Hilfe des Gegenereignisses und der Formel für die Binomialverteilung nach $n$ um:
$\begin{array}[t]{rll} P(J_n \geq 1)&>& 0,95\quad \scriptsize \\[5pt] 1-P(J_n<1)&>& 0,95 \quad \scriptsize\\[5pt] 1-P(J_n =0)&>&0,95 \quad & \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -P(J_n =0)&>& -0,05\quad &\scriptsize \mid\;\cdot (-1) < 0 \\[5pt] P(J_n =0)&<&0,05 \quad \scriptsize\\[5pt] \binom{n}{0}\cdot 0,5^0\cdot 0,5^n&<&0,05 \quad \scriptsize\\[5pt] 0,5^n&<&0,05 \quad & \scriptsize \mid\; \ln\\[5pt] n\cdot \ln(0,5)&<&\ln(0,05)\quad & \scriptsize \mid\; :\ln(0,5) < 0\\[5pt] n&>& 4,321 \end{array}$
Es müssen also mindestens $5$ Spiele gespielt werden, damit Jannik mit einer Wahrscheinlichkeit von über $95\,\%$ mindestens ein Spiel gewinnt.
$\blacktriangleright$  Größtmögliches $k$ bestimmen
Nun betrachtest du die Zufallsvariable $J_{50}$, die binomialverteilt mit $n =50$ und $p = 0,5$ ist. Gesucht ist nun das größte $k$, sodass gerade noch $P(J_{50}> k) \geq 0,8$ gilt. Du kannst diese Ungleichung wieder mit Hilfe des Gegenereignisses wie oben umformulieren und dann mit Hilfe der Tabelle zur summierten Binomialverteilung das passende $k$ bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} P(J_{50}> k)&\geq& 0,8\quad \scriptsize \\[5pt] 1-P(J_{50}\leq k)&\geq& 0,8\quad & \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -P(J_{50}\leq k)&\geq& -0,2\quad &\scriptsize \mid\;\cdot (-1) < 0 \\[5pt] P(J_{50}\leq k)&\leq&0,2 \end{array}$
In der Tabelle findest du $P(J_{50} \leq 21) \approx 0, 1611$ und $P(J_{50}\leq 22) \approx 0,2399$.
Also kann Jannik in $50$ Spielen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $80\,\%$ mehr als $21$ Spiele gewinnen.
e) 
$\blacktriangleright$  Formel angeben
Betrachte hierzu die beiden Zufallsvariablen $V$ und $N$, wobei $V$ die zufällige Anzahl der Gewinne von Jannik am Vormittag und $N$ die zufällige Anzahl der Gewinne von Jannik am Nachmittag beschreibt. $V$ ist dann binomialverteilt mit $n = 4$ und $p$. $N$ ist binomialverteilt mit $n =6$ und $p$. Du kannst weiterhin davon ausgehen, dass die einzelnen Spiele unabhängig voneinander sind, und damit auch $N$ und $V$.
Die Wahrscheinlichkeiten der beiden voneinander unabhängigen Teilereignisse $E_1:$ „Jannik gewinnt genau zwei Vormittagsspiele“ und $E_2:$ „Jannik gewinnt genau drei Nachmittagsspiele“ kannst du nun zunächst getrennt wie oben berechnen und dann anschließend nach der Pfadmultiplikationsregel miteinander multiplizieren, um die gesuchte Formel für $P(E)$ zu erhalten.
$\begin{array}[t]{rll} P(E_1)&=& P(V=2) \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \binom{4}{2}\cdot p^2\cdot (1-p)^2 \quad \scriptsize \\[5pt] &=& 6\cdot p^2\cdot (1-p)^2\quad \scriptsize \\[15pt] P(E_2)&=&P(N=3) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\binom{6}{3}\cdot p^3\cdot (1-p)^3 \quad \scriptsize \\[5pt] &=& 20\cdot p^3\cdot (1-p)^3\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$P(E)= P(E_1)\cdot P(E_2) = 6\cdot p^2\cdot (1-p)^2 \cdot 20\cdot p^3\cdot (1-p)^3 = 120\cdot p^5\cdot (1-p)^5$
Mit der Formel $P(E) =120\cdot p^5\cdot (1-p)^5 $ kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $p$ berechnet werden.
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