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Stochastik 3.1

Aufgaben
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Aufgabe 3.1: Straßenverkehr

In einer Stadt werden $25\,\%$ des täglichen Straßenverkehrs als Berufsverkehr eingestuft. Eine viel befahrene Straße wird saniert. Aus Erfahrung weiß man, dass beim Befahren dieser Straße während des Berufsverkehrs mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,7$ ein Stau auftritt. Außerhalb dieser Verkehrszeit liegt die Stauwahrscheinlichkeit bei $0,2$.
a)
Stelle die oben beschriebenen Zusammenhänge in einem Baumdiagramm dar.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Fahrzeug im Stau steht.
Untersuche, ob die Ereignisse Berufsverkehr und Stau stochastisch abhängig sind.
(9P)
#wahrscheinlichkeit#baumdiagramm
b)
Ein Autofahrer aus dieser Stadt hat für sich ein bestimmtes Fahrverhalten festgelegt. Während des Berufsverkehrs benutzt er immer die Umgehungsstraße. Fährt er außerhalb des Berufsverkehrs, so benutzt er mit $50\,\%$-iger Wahrscheinlichkeit die Umgehungsstraße.
Ereignis $U$: „Dieser Autofahrer benutzt die Umgehungsstraße.“
Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P(U)$.
(4P)
#wahrscheinlichkeit
c)
Der Anteil der Busse im Straßenverkehr macht durchschnittlich $4\,\%$ aus. In einem Stau stehen $60$ Fahrzeuge.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $B_1$ und $B_2$.
$B_1$: „Es stehen genau zwei Busse im Stau.“
$B_2$: „Es stehen mindestens zwei Busse im Stau.“
(7P)
#wahrscheinlichkeit
d)
Es werden im Folgenden nur Fahrzeuge betrachtet, die in einem Stau stehen. Unter diesen Fahrzeugen liegt der PKW-Anteil bei $55$ $\%$. Von diesen PKW kommen $31\,\%$ aus der Stadt.
Insgesamt kommen aber nur $24\,\%$ der im Stau stehenden Fahrzeuge aus der Stadt.
Ein zufällig ausgewähltes Fahrzeug im Stau ist kein PKW.
Bestimme unter dieser Bedingung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieses Fahrzeug aus der Stadt kommt.
(6P)
#wahrscheinlichkeit
e)
Von $f$ Fahrzeugen, die in einem Stau stehen, sind genau zehn PKW.
Von diesen $f$ Fahrzeugen werden zwei zufällig ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter diesen zwei Fahrzeugen genau ein PKW befindet, beträgt $50\,\%$.
Berechne, wie viele Fahrzeuge in diesem Stau stehen können.
(4P)
(30P)
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Aufgabe 3.1

a)
$\blacktriangleright$ Baumdiagramm erstellen
In diesem Aufgabenteil sollst du ein Baumdiagramm erstellen in welches du alle möglichen Ereignisse und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten einträgst. An die Pfade des Diagramms schreibst du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis welches du am Ende des Astes einträgst.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Stau berechnen
Du kannst das Baumdiagramm aus Aufagbenteil a) nutzen um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Definiere dir zuerst das Ereignis
$A:=„\text{Auto steht im Stau}$ “
Zuerst nutzt du die Produktregel um die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, dass ein Auto im Stau steht, wenn es im Berufsverkehr fährt und wenn es nicht im Berufsverkehr ist.
Diese beiden Wahrscheinlichkeiten beschreiben also, dass ein Auto im Stau steht. Mit der Summenregel kannst du diese beiden Wahrscheinlichkeiten addieren um die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ zu erhalten.
$\blacktriangleright$ Untersuchung der stochastischen Unabhängigkeit von Berufsverkehr und Stau
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der Wahrscheinlichkeit des Schnittes entspricht. Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:
$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)$
$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)$
Du betrachtest die Ereignisse $A = „\text{Stau}$“ und $B:= „\text{Berufsverkehr}$“. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ hast du bereits berechnet und die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$ ist im Aufgabentext mit $0,25$ angegeben. Die Wahrscheinlichkeit für den Schnitt zweier Ereignisse bedeutet, dass Ereignis $A$ und Ereigniss $B$ eintreten. Wahrscheinlichkeiten von Schnitten berechnest du mit der Produktregel.
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit $\boldsymbol{P(U)}$ berechnen
In der Aufgabenstellung ist das Ereigniss
$U:$$=„\text{Der Autofahrer benutzt} $$ \text{die Umgehungsstraße}“$
definiert und du sollst die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis berechnen.
Das Ereignis
$\overline{B}:$$= „\text{Der Autofahrer befindet}$$\text{sich nicht im Berufsverkehr}“$
ist das Gegenereignis von $B$.
Fährt der Autofahrer außerhalb des Berufsverkehrs, nutzt er mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,5$ die Umgehungsstraße. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Autofahrer außerhalb des Berufsverkehrs fährt und die Umgehungsstraße benutzt, berechnest du nach der Produktregel.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du jetzt mit der Summenregel berechnen.
c)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten $\boldsymbol{P(B_1)}$ und $\boldsymbol{P(B_2)}$ berechnen
In dieser Aufgabenteil werden zwei weitere Ereignisse definiert:
$B_1:$$=„\text{Es stehen genau}\text{zwei Busse im Stau}“$ und
$B_2:$$=„\text{Es stehen mindestens}$$\text{zwei Busse im Stau}“$
$B_1: $ und
$B_2: $
Außerdem ist der Anteil der Busse im Straßenverkehr mit $0,04$ und die Anzahl der Fahrzeuge mit $60$ angegeben. Du sollst die Wahrscheinlichkeit für eine verschiedene Anzahl an Bussen im Stau berechnen. Definiere dir hierzu eine neue Zufallsvariable $X:=„\text{Anzahl der Busse im Stau}“$.
Diese Zufallsvariable zählt also die Busse im Stau, welche du als Treffer eines Bernoulli Experiments auffassen kannst. Die Zufallsvariable $X$ ist also Binomialverteilt. Die Gleichung für $k$ Treffer lautet dann:
$\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$\blacktriangleright$ Berechnung von $P(B_1)$
Mithilfe der neu eingeführten Zufallsvariable $X$ und der Binomialverteilung kannst du diese Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(B_1)&=& P(X=2) \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ Berechnung von $P(B_2)$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit entspricht $P(X\ge 2)$. Da es sehr aufwendig wäre, alle Wahrscheinlichkeiten $P(X=2)+P(X=3)$$+…+P(X=60)$ auszurechnen und zusammen zu zählen, löst du diesen Aufgabenteil über die Gegenwahrscheinlichkeit.
d)
$\blacktriangleright$ Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrhzeug das kein PKW ist aus der Stadt kommt.
In diesem Aufgabenteil betrachtest du nur Fahrzeuge, die im Stau stehen. Von diesen Fahrzeugen sind $55\%$ PKW, von den $31\%$ aus der Stadt kommen. Außerdem weißt du, dass insgesamt $24\%$ der Fahrzeuge aus der Stadt kommen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Fahrzeug das kein PKW ist aus der Stadt kommt.
Definiere dir die relevanten Ereignisse:
$C:=\text{„Fahrzeug kommt aus der Stadt“}$ und
$D:=\text{„Fahrzeug ist kein PKW“}$
$C:=$ und
$D:$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du jetzt wie folgt ausdrücken:
$P(D \cap C)$
Bekannt sind die Wahrscheinlichkeiten:
$P(C)=0,24$, $P(D)=0,45$, $P(\overline{D})=0,55$ und $P(C \cap \overline{D})=0,31$
Mit der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit kannst du jetzt $P(D \cap C)$ berechnen:
$P(C)=P(D \cap C)\cdot P(D)+P(D \cap \overline{C})\cdot P(\overline{C})$
$P(C) =…$
e)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Fahrzeuge, die im Stau stehen müssen, bestimmen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass $f$ Fahrzeuge im Stau stehen, von denen genau $10$ Fahrzeuge PKW sind. Du sollst die Anzahl $f$ der Fahrzeuge bestimmen, die im Stau stehen müssen, sodass unter zwei zufällig ausgewählten Fahrzeugen mit einer Wahrscheinlichkeit von $50\%$ genau ein PKW ist. Dieses Ereignis heißt $E$. Um $f$ zu berechnen gehst du wie folgt vor:
  1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P(E)$, mit der unter zwei zufällig ausgewählten Fahrzeugen genau ein PKW ist, in Abhängigkeit von $f$.
  2. Setzte die in Schritt 1 ermittelte Wahrscheinlichkeit mit 0,5 gleich und löse nach $f$ auf.
Schritt 1: Berechnen von $\boldsymbol{P(E)}$ in Abhängigkeit von $f$.
Da jedes Fahrzeug mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein PKW ist, kannst du von einem Laplace Modell ausgehen. Die Wahrscheinlichkeiten in einem Laplace Modell berechnest du indem du die Anzahl der Möglichkeiten, die für dein Ereignis günstig sind durch die Anzahl aller möglichen Ausgänge teilst.
$P(E)$$=\frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$
Schritt 2: Bestimmen von $f$
Um $f$ zu bestimmen musst du die Gleichung $P(E)=0,5$ nach $f$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=& 0,5& \\[5pt] \frac{\binom{10}{1}\cdot \binom{f-10}{1}}{\binom{f}{2}}&=& 0,5 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& f^2-41f+400 \end{array}$
Diese Gleichung kannst du mit der $p-q-$Formel lösen.
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Aufgabe 3.1

a)
$\blacktriangleright$ Baumdiagramm erstellen
In diesem Aufgabenteil sollst du ein Baumdiagramm erstellen in welches du alle möglichen Ereignisse und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten einträgst. An die Pfade des Diagramms schreibst du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis welches du am Ende des Astes einträgst.
Stochastik 3.1
Abb. 1: Baumdiagramm
Stochastik 3.1
Abb. 1: Baumdiagramm
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Stau berechnen
Du kannst das Baumdiagramm aus Aufagbenteil a) nutzen um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Definiere dir zuerst das Ereignis
$A:=„\text{Auto steht im Stau}$ “
Zuerst nutzt du die Produktregel um die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, dass ein Auto im Stau steht wenn es im Berufsverkehr fährt und wenn es nicht im Berufsverkehr ist.
$P(\text{Auto ist im Berufsverkehr und steht im Stau})=0,25 \cdot 0,7=0,175$
$P(\text{Auto ist nicht im Berufsverkehr und steht im Stau})=0,75 \cdot 0,2=0,15$
$P(\text{Auto …})$
Diese beiden Wahrscheinlichkeiten beschreiben also, dass ein Auto im Stau steht. Mit der Summenregel kannst du diese beiden Wahrscheinlichkeiten addieren um die wahrscheinlichkeit $P(A)$ zu erhalten.
$P(A) $$=0,25 \cdot 0,7 + 0,75 \cdot 0,2 $$= 0,325$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto im Stau steht beträgt somit $32,5%$.
$\blacktriangleright$ Untersuchung der stochastischen Unabhängigkeit von Berufsverkehr und Stau
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der Wahrscheinlichkeit des Schnittes entspricht. Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:
$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)$
$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)$
Du betrachtest die Ereignisse $A = „\text{Stau}$“ und $B:= „\text{Berufsverkehr}$“. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignos $A$ hast du bereits berechnet und die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$ ist im Aufgabentext mit $0,25$ angegeben. Die Wahrscheinlichkeit für den Schnitt zweier Ereignisse bedeutet, dass Ereignis $A$ und Ereigniss $B$ eintreten. Wahrscheinlichkeiten von Schnitten berechnest du mit der Produktregel. Berechne also:
$P(A)\cdot P(B) $$= 0,325 \cdot 0,25 $$= 0,08125 $
und
$P(A\cap B) $$= 0,25 \cdot 0,7 $$= 0,175$
Du siehst, dass $P(A \cap B)$ und $P(A)\cdot P(B)$ nicht identisch sind. Darum sind die Ereignisse $A$, also Stau und $B$, also Berufsverkehr stochastisch abhängig.
#baumdiagramm#bedingtewahrscheinlichkeit#pfadregeln
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit $\boldsymbol{P(U)}$ berechnen
In der Aufgabenstellung ist das Ereigniss
$U:$$=„\text{Der Autofahrer benutzt} $$ \text{die Umgehungsstraße}“$
definiert und du sollst die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis berechnen.
Der Autofahrer fährt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,25$ im Berufsverkehr. In diesem Fall nutzt er mit einer Wahrscheinlichkeit von $1$ die Umgehungsstraße.
$P(B \cap U)=0,25 \cdot 1= 0,25$
Das Ereignis
$\overline{B}:$$= „\text{Der Autofahrer befindet}$$\text{sich nicht im Berufsverkehr}“$
ist das Gegenereignis von $B$ und hat die Wahrscheinlichkeit $P(\overline{B})=0,75$.
Fährt der Autofahrer außerhalb des Berufsverkehrs, nutzt er mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,5$ die Umgehungsstraße. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Autofahrer außerhalb des Berufsverkehrs fährt und die Umgehungsstraße benutzt beträgt nach der Produktregel:
$P(\overline{B} \cap U)=0,75\cdot 0,5= 0,375$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du jetzt mit der Summenregel berechnen.
$P(U) $$= P(B \cap U) + P(\overline{B} \cap U) $$= 0,25 + 0,375 $$= 0,625$
Der Autofahrer nutzt die Umgehungsstraße mit einer Wahrscheinlichkeit von $62,5 \%$.
#pfadregeln
c)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten $\boldsymbol{P(B_1)}$ und $\boldsymbol{P(B_2)}$ berechnen
In dieser Aufgabenteil werden zwei weitere Ereignisse definiert:
$B_1:$$=„\text{Es stehen genau}\text{zwei Busse im Stau}“$ und
$B_2:$$=„\text{Es stehen mindestens}$$\text{zwei Busse im Stau}“$
$B_1:$ und
$B_2:$
Außerdem ist der Anteil der Busse im Straßenverkehr mit $0,04$ und die Anzahl der Fahrzeuge mit $60$ angegeben. Du sollst die Wahrscheinlichkeit für eine verschiedene Anzahl an Bussen im Stau berechnen. Definiere dir hierzu eine neue Zufallsvariable $X:=„\text{Anzahl der Busse im Stau}“$.
Diese Zufallsvariable zählt also die Busse im Stau, welche du als Treffer eines Bernoulli Experiments auffassen kannst. Die Zufallsvariable $X$ ist also Binomialverteilt. Die Gleichung für $k$ Treffer lautet dann:
$\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
Der Parameter $n=60$ steht für die Anzahl der Fahrzeuge und $p=0,04$ für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Fahrzeug ein Bus ist.
$\blacktriangleright$ Berechnung von $P(B_1)$
Mithilfe der neu eingeführten Zufallsvariable $X$ und der Binomialverteilung kannst du diese Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(B_1)&=& P(X=2)&\quad \\[5pt] &=&\binom{60}{2}\cdot 0,04^2\cdot (1-0,04)^{58} \\[5pt] &=& 0,27 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(B_1)&=& 0,27 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Busse im Stau stehen beträgt $27\%$.
$\blacktriangleright$ Berechnung von $P(B_2)$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit entspricht $P(X\ge 2)$. Da es sehr aufwendig wäre, alle Wahrscheinlichkeiten $P(X=2)+P(X=3)$$+…+P(X=60)$ auszurechnen und zusammen zu zählen, löst du diesen Aufgabenteil über die Gegenwahrscheinlichkeit. Es ist nämlich:
$\begin{array}[t]{rll} P(B_2)&=& P(x \ge 2) \\[5pt] &=& 1-P(X \le 1) \\[5pt] &=& 1-\big(P(X=0)+P(X=1)\big) \\ &=& \binom{60}{0}\cdot 0,04^0\cdot (1-0,04)^{60} + \binom{60}{1}\cdot 0,04^1\cdot (1-0,04)^{59} \\ &=& 1- (0,086 + 0,216) \\ &\approx& 0,7 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(B_2)&\approx& 0,7 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Busse im Stau stehen beträgt $70\%$.
#binomialverteilung#gegenwahrscheinlichkeit
d)
$\blacktriangleright$ Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrhzeug das kein PKW ist aus der Stadt kommt.
In diesem Aufgabenteil betrachtest du nur Fahrzeuge, die im Stau stehen. Von diesen Fahrzeugen sind $55\%$ PKW, von den $31\%$ aus der Stadt kommen. Außerdem weißt du, dass insgesamt $24\%$ der Fahrzeuge aus der Stadt kommen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Fahrzeug das kein PKW ist aus der Stadt kommt.
Definiere dir die relevanten Ereignisse:
$C:=\text{„Fahrzeug kommt aus der Stadt“}$ und
$D:=\text{„Fahrzeug ist kein PKW“}$
$C:$ und
$D:$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du jetzt wie folgt ausdrücken:
$P(D \cap C)$
Bekannt sind die Wahrscheinlichkeiten:
$P(C)=0,24$, $P(D)=0,45$, $P(\overline{D})=0,55$ und $P(C \cap \overline{D})=0,31$
Mit der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit kannst du jetzt $P(D \cap C)$ berechnen:
$P(C)=P(D \cap C)\cdot P(D)+P(D \cap \overline{C})\cdot P(\overline{C})$
$P(C) = …$
indem du die Formel nach $P(D \cap C)$ umstellst.
$\begin{array}[t]{rll} P(D \cap C)&=& \frac{P(C) -P(C \cap \overline{D}) \cdot P(\overline{D})}{P(D)} \\[5pt] &=&\frac{0,24-(0,31 \cdot 0,55)}{0,45}\\ &=& 0,154 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Auto, das kein PKW ist aus der Stadt kommt, beträgt $15,4\%$.
#wahrscheinlichkeit
e)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Fahrzeuge, die im Stau stehen müssen, bestimmen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass $f$ Fahrzeuge im Stau stehen, von denen genau $10$ Fahrzeuge PKW sind. Du sollst die Anzahl $f$ der Fahrzeuge bestimmen, die im Stau stehen müssen, sodass unter zwei zufällig ausgewählten Fahrzeugen mit einer Wahrscheinlichkeit von $50\%$ genau ein PKW ist. Dieses Ereignis heißt $E$. Um $f$ zu berechnen gehst du wie folgt vor:
  1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P(E)$, mit der unter zwei zufällig ausgewählten Fahrzeugen genau ein PKW ist, in Abhängigkeit von $f$.
  2. Setzte die in Schritt 1 ermittelte Wahrscheinlichkeit mit 0,5 gleich und löse nach $f$ auf.
Schritt 1: Berechnen von $\boldsymbol{P(E)}$ in Abhängigkeit von $f$.
Da jedes Fahrzeug mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein PKW ist, kannst du von einem Laplace Modell ausgehen. Die Wahrscheinlichkeiten in einem Laplace Modell berechnest du indem du die Anzahl der Möglichkeiten, die für dein Ereignis günstig sind durch die Anzahl aller möglichen Ausgänge teilst.
$P(E)=\frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$
Anzahl der günstigen Ausgänge bestimmen
In dieser Aufgabe entspricht die Anzahl aller möglichen Ausgänge der Anzahl der Möglichkeiten aus $f$ Fahrzeugen genau $2$ zu ziehen. Da die Reihenfolge, mit der die zwei Fahrzeuge gezogen werden nicht relevant ist, berechnest du diese Anzahl mit dem Binomialkoeffizienten.
$\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}=\binom{f}{2}$
$\text{Anzahl der …}$
Anzahl aller möglichen Ereignisse bestimmen
Um ein günstiges Ereignis handelt es sich wenn aus den $10$ PKW genau einer und aus den $f-10$ restlichen PKW auch genau ein Fahrzeug ausgewählt wird. Auch hier spielt die Reihenfolge keine Rolle, weshalb du den Binomialkoeffizienten verwenden kannst.
Die Anzahl der günstigen Ereignisse setzt sich also folgendermaßen zusammen:
$\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse} $$ = \binom{10}{1}\cdot \binom{f-10}{1}$
$\text{Anzahl aller …} $
Die Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $f$ ist:
$P(E)=\frac{\binom{10}{1}\cdot \binom{f-10}{1}}{\binom{f}{2}}$
Schritt 2: Bestimmen von $f$
Um $f$ zu bestimmen musst du die Gleichung $P(E)=0,5$ nach $f$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=& 0,5& \\[5pt] \frac{\binom{10}{1}\cdot \binom{f-10}{1}}{\binom{f}{2}}&=& 0,5 \\[5pt] \frac{20f-200}{f^2-f}&=& 0,5 & \scriptsize \mid\; \cdot (f^2-f) \\ 20f-200 &=& 0,5f^2-0,5f & \scriptsize \mid\; -(20f-20)\\ 0&=&0,5f^2-20,5f+200 &\scriptsize \mid\; : 0,5\\ 0&=& f^2-41f+400 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& f^2-41f+400 \end{array}$
Diese Gleichung kannst du mit der $p-q-$Formel lösen:
$x_{1,2} = \dfrac{41}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{41}{2}} \right)^2 - 400}$
Du erhältst $x_1=25$ und $x_2=16$. Es müssen also entweder $16$ oder $25$ Fahrzeuge im Stau stehen, damit $P(E)=0,5$ gilt.
#binomialverteilung#laplaceexperiment#pq-formel
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