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Stochastik 3.2

Aufgaben
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Aufgabe 3.2: Sportfan

Gemäß einer „Studie zur Gesundheit Erwachsener in Deutschland“ zeigt sich in Deutschland ein Trend zu mehr sportlicher Aktivität.
Ein Viertel der Erwachsenen treibt regelmäßig mindestens zwei Stunden Sport pro Woche (Sportfans), wobei der Anteil der Sportfans unter den Männern mit $29,3\,\%$ etwas höher ist als unter den Frauen.
Alle anderen Bundesbürger werden hier als „keine Sportfans“ bezeichnet.
a)
Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
A: Nur der zweite und sechste von zehn zufällig ausgewählten Bundesbürgern sind Sportfans.
B: Unter $20$ zufällig ausgewählten männlichen Bundesbürgern befinden sich genau drei Sportfans.
C: Unter zehn zufällig ausgewählten Bundesbürgern befindet sich höchstens ein Sportfan.
D: Von $100$ zufällig ausgewählten Bundesbürgern gehören mindestens $70$ und weniger als $79$ Personen zu denjenigen, die keine Sportfans sind.
E: Unter $850$ zufällig ausgewählten männlichen Bundesbürgern befinden sich genau $609$ Personen die keine Sportfans sind.
(12P)
#wahrscheinlichkeit
b)
Bestimme die Anzahl der Bundesbürger, die mindestens befragt werden müssten, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $0,96$ wenigstens einen zu entdecken, der Sportfan ist.
(3P)
#wahrscheinlichkeit
c)
Unter allen Bundesbürgern liegt der Anteil der Männer bei $48,88\,\%$ (Zensus 2011).
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Sportfan ein Mann ist.
Bestimme den Anteil der Sportfans unter den Frauen.
(8P)
#wahrscheinlichkeit
d)
In einem Sportstudio trainieren $25$ Bundesbürger, von denen genau acht zur Gruppe der Sportfans gehören. Es werden zufällig sieben Personen „ohne Zurücklegen“ ausgewählt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $F$, dass sich unter den sieben ausgewählten Personen genau drei Sportfans befinden.
(3P)
#wahrscheinlichkeit
e)
Eine Gruppe umfasst $n$ zufällig ausgewählte Bundesbürger. Untersuche, für welche Gruppengrößen $n$ die Wahrscheinlichkeit, genau einen Sportfan in der Gruppe zu haben, am größten ist.
(4P)
(30P)
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Aufgabe 3.2

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Der Aufgabenstellung entnimmst du, dass ein Viertel der Erwachsenen zu den „Sportfans“ gehört. Der Anteil der Sportfans unter den Männern beträgt $29,3\%$. Du sollst verschiedene Ereignisse betrachten:
$\blacktriangleright$ A: Nur der zweite und der sechste von zehn zufällig ausgewählten Personen sind Sportfans.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig befragte Person ein Sportfan ist, beträgt $0,25$. Es werden zehn Personen betrachtet. Nur die zweite und die sechste Person sollen Sportfans sein. Die Wahrscheinlichkeit berechnest du mit der Pfadmultiplikationsregel.
$\blacktriangleright$ B: Unter 20 zufällig ausgewählten männlichen Bundesbürgern befinden sich genau drei Sportfans.
In diesem Aufgabenteil hilft dir die Binomialverteilung. Um diese zu verwenden, benötigst du eine Zufallsvariable, welche die Anzahl von Treffern beschreibt. Ein Treffer ist hier eine Person, die zu den Sportfans zählt. Deine neue Zufallsvariable ist:
$X: \text{„Anzahl der Sportfans}$$\text{unter den befragten Personen.“}$
Diese Zufallsvariable ist binomialverteilt.
$\blacktriangleright$ C: Unter zehn zufällig ausgewählten Bundesbürgern befindet sich höchstens ein Sportfan.
Auch hier kannst du die Binomialverteilung nutzen. Da du jetzt zehn Personen, die nicht unbedingt männlich sein müssen, betrachtest, ändern sich die Parameter zu $p=0,25$ und $n=10$. Damit kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X\leq 1) $ berechnen.
$\blacktriangleright$ D: Von $\boldsymbol{100}$ zufällig ausgewählten Personen gehören mindestens $\boldsymbol{70}$ und weniger als $\boldsymbol{79}$ Personen zu denjenigen, die keine Sportfans sind.
Auch in diesem Aufgabenteil kannst du die binomialverteilte Zufallsvariable $X$ verwenden. Da du wieder alle Erwachsenen betrachtest, verwendest du $n=100$. Hier betrachtest du als Treffer, wenn eine Person kein Sportfan ist. Deswegen verwendest du $p=0,75$.
$\blacktriangleright$ E: Unter $850$ zufällig ausgewählten männlichen Bundesbürgern befinden sich genau $609$, die keine Sportfans sind.
Auch in diesem Aufgabenteil kannst du die binomialverteilte Zufallsvariable $X$ verwenden. Hierbei verwendest du $n=850$. Hier betrachtest du als Treffer, wenn eine männliche Person kein Sportfan ist. Deswegen verwendest du $p=0,707$.
b)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Bundesbürger bestimmen
In dieser Aufgabe betrachtest du wieder die binomialverzeilte Zufallsvariable $X$, welche die Anzahl der Sportfans beschreibt. Der Unterschied ist, dass hier die Anzahl $n$ der befragten Personen gesucht ist und du dafür eine Information über die Anzahl der Treffer gegeben hast.
Du sollst also ein $n$ bestimmen, sodass die Gleichung
$\begin{array}[t]{rll} P(X \ge 1)&\ge&0,96 \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportfan ein Mann ist, bestimmen
Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Um diese besser beschreiben zu können, solltest du dir die folgenden Ereignisse definieren:
$M:$ „Die befragte Person ist männlich.“
$F:$ „Die befragte Person ist ein Sportfan.“
Für diese drei Ereignisse kannst du die Wahrscheinlichkeiten aus der Aufgabenstellung ablesen:
$P(M)=0,4888$ und $P(F)=0,25$. Außerdem ist die Wahrscheinlichkeit $P(F \mid M)= 0,293$ angegeben.
Du kannst die gesuchte Wahrscheinlichkeit jetzt mit der Bayes- Formel berechnen.
$\blacktriangleright$ Anteil der Sportfans unter den Frauen bestimmen
Um die Wahrscheinlichkeit beschreiben zu können, betrachtest du das Gegenereignis von E:
$\overline{M}:$ „Die befragte Person ist weiblich.“
Mit der Wahrscheinlichkeit: $P(\overline{M})=1-P(M)=0,5112$
Der Anteil der Sportfans unter den Frauen entspricht der bedingten Wahrscheinlichkeit $P(F \mid \overline{M})$, die du mit der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit bestimmen kannst:
$P(F)=P(F \mid M)\cdot P(M)+P(F \mid \overline{M})\cdot P(\overline{M})$
$P(F) =P(F \mid M)\cdot P(M)+P(F \mid \overline{M})\cdot P(\overline{M})$
$P(F) = …$
d)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für $\boldsymbol{E}$ berechnen
Da jeder Bundesbürger, der in dem Sportstudio trainiert, mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird, kannst du von einem Laplace-Modell ausgehen. Die Wahrscheinlichkeiten in einem Laplace-Modell berechnest du, indem du die Anzahl der Möglichkeiten, die für dein Ereignis günstig sind durch die Anzahl aller möglichen Ausgänge teilst.
Also
$P(E) =\dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$
$P(E) = …$
e)
$\blacktriangleright$ Maximale Anzahl der Kursteilnehmer bestimmen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass sich $n$ Personen im Kochkurs befinden, von denen genau einer ein Sportfan ist. Du sollst die Anzahl $n$ der Personen bestimmen, die im Kochkurs sein müssen, sodass der Sprotfan mit einer Wahrscheinlichkeit von $80\%$ unter zehn zufällig ausgewählten Mitgliedern ist. Diese Ereignis heißt $Y$. Um $n$ zu berechnen gehst du wie folgt vor:
  1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P(Y)$, mit der sich der Sportfan unter zehn zufällig ausgewählten Mitgliedern befindet, in Abhängigkeit von $n$.
  2. Setzte die in Schritt 1 ermittelte Wahrscheinlichkeit mit 0,8 gleich und löse nach $n$ auf.
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Aufgabe 3.2

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Der Aufgabenstellung entnimmst du, dass ein Viertel der Erwachsenen zu den „Sportfans“ gehört. Der Anteil der Sportfans unter den Männern beträgt $29,3\%$. Du sollst verschiedene Ereignisse betrachten:
$\blacktriangleright$ A: Nur der zweite und der sechste von zehn zufällig ausgewählten Personen sind Sportfans.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig befragte Person ein Sportfan ist, beträgt $0,25$. Es werden zehn Personen betrachtet. Nur die zweite und die sechste Person sollen Sportfans sein. Die Wahrscheinlichkeit setzt sich mit der Pfadmultiplikationsregel wie folgt zusammen:
$P(A) = 0,75 \cdot 0,25 \cdot 0,75^3 \cdot 0,25 \cdot 0,75^4 = 0,0063$
$P(A) = 0,0063$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit $0,63\%$.
$\blacktriangleright$ B: Unter 20 zufällig ausgewählten männlichen Bundesbürgern befinden sich genau drei Sportfans.
In diesem Aufgabenteil hilft dir die Binomialverteilung. Um diese zu verwenden, benötigst du eine Zufallsvariable, welche die Anzahl von Treffern beschreibt. Ein Treffer ist hier eine Person, die zu den Sportfans zählt. Deine neue Zufallsvariable ist:
$X: \text{„Anzahl der Sportfans}$$\text{unter den befragten Personen.“}$
Diese Zufallsvariable ist binomialverteilt.
Die Wahrscheinlichkeit für $3$ Treffer aus $20$ zufällig ausgewählten Bundesbürgern mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,293$ berechnest du mit deinem CAS wie folgt:
menu $\rightarrow$ 5: Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ D: BinomialPdf
menu $\rightarrow$ 5: Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ D: BinomialPdf
Abb. 2: Ergebnis
Abb. 2: Ergebnis
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also $7,9 \%$.
$\blacktriangleright$ C: Unter zehn zufällig ausgewählten Bundesbürgern befindet sich höchstens ein Sportfan.
Auch hier kannst du die Binomialverteilung nutzen. Da du jetzt zehn Personen, die nicht unbedingt männlich sein müssen, betrachtest, ändern sich die Parameter zu $p=0,25$ und $n=10$. Damit kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X\leq 1) $ berechnen.Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du nun mit deinem CAS folgendermaßen bestimmen:
menu $\rightarrow$ 5: Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ D: BinomialCdf
menu $\rightarrow$ 5: Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ D: BinomialCdf
Abb. 4: Ergebnis
Abb. 4: Ergebnis
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also $24,4\%$.
$\blacktriangleright$ D: Von $\boldsymbol{100}$ zufällig ausgewählten Personen gehören mindestens $\boldsymbol{70}$ und weniger als $\boldsymbol{79}$ Personen zu denjenigen, die keine Sportfans sind.
Auch in diesem Aufgabenteil kannst du die binomialverteilte Zufallsvariable $X$ verwenden. Da du wieder alle Erwachsenen betrachtest, verwendest du $n=100$. Hier betrachtest du als Treffer, wenn eine Person kein Sportfan ist. Deswegen verwendest du $p=0,75$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(D)&=&P(70 \le X < 79) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& P(X \leq 78)-P(X \le 69) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(D)&=& … \end{array}$
Diese Wahrscheinlichkeiten kannst du erneut mit deinem CAS berechnen:
Abb. 5: Ergebnis
Abb. 5: Ergebnis
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also $68,48\%$.
$\blacktriangleright$ E: Unter $850$ zufällig ausgewählten männlichen Bundesbürgern befinden sich genau $609$, die keine Sportfans sind.
Auch in diesem Aufgabenteil kannst du die binomialverteilte Zufallsvariable $X$ verwenden. Hierbei verwendest du $n=850$. Hier betrachtest du als Treffer, wenn eine männliche Person kein Sportfan ist. Deswegen verwendest du $p=0,707$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X=609)$ kannst du wie folgt mit deinem CAS berechnen:
Abb. 6: Ergebnis
Abb. 6: Ergebnis
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also $2,52\%$.
#binomialverteilung#pfadregeln
b)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Bundesbürger bestimmen
In dieser Aufgabe betrachtest du wieder die binomialverzeilte Zufallsvariable $X$, welche die Anzahl der Sportfans beschreibt. Der Unterschied ist, dass hier die Anzahl $n$ der befragten Personen gesucht ist und du dafür eine Information über die Anzahl der Treffer gegeben hast.
Du sollst also ein $n$ bestimmen, sodass die Gleichung
$\begin{array}[t]{rll} P(X \ge 1)&\ge&0,96 \end{array}$
erfüllt ist. Da die Wahrscheinlichkeit, dass aus $n$ ausgewählten Personen keiner Sportfan ist bei $0,75^n$ liegt, kannst du wie folgt umformen:
$\begin{array}[t]{rll} P(X \ge 1)&=& 1-P(X < 1) \\ &=& 1- P(X=0)\\ &=& 1- 0,75 ^n \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(x \ge 1)&=& 1- 0,75 ^n \end{array}$
Bei der Umformung verwendest du, dass $\binom{n}{0}=1$ ist.
Um jetzt $n$ zu bestimmen, musst du die folgende Ungleichung nach $n$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} 1- 0,75^n&\ge&0,96 &\quad \scriptsize \mid\; -0,96 +0,75^n \\[5pt] 0,04&\ge& 0,75^n &\quad \scriptsize \mid\; \ln() \\ \ln(0,04)&\ge& n\cdot \ln(0,75) &\quad \scriptsize \mid\; : \ln(0,75) < 0 \\ 11,189 & \le & n \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 11,189 & \le & n \end{array}$
Achtung: Im letzten Umformungsschritt dreht sich das Ungleichheitszeichen um, da $\ln(0,75)$ negativ ist.
Es müssen also mindestens $12$ Bundesbürger befragt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit und mindestens $0,96$ wenigstens einen zu entdecken, der Sportfan ist.
#gegenwahrscheinlichkeit
c)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportfan ein Mann ist, bestimmen
Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Um diese besser beschreiben zu können, solltest du dir die folgenden Ereignisse definieren:
$M:$ „Die befragte Person ist männlich.“
$F:$ „Die befragte Person ist ein Sportfan.“
Für diese drei Ereignisse kannst du die Wahrscheinlichkeiten aus der Aufgabenstellung ablesen:
$P(M)=0,4888$ und $P(F)=0,25$. Außerdem ist die Wahrscheinlichkeit $P(F \mid M)= 0,293$ angegeben.
Du kannst die gesuchte Wahrscheinlichkeit jetzt mit der Bayes- Formel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(M \mid F)&=&\dfrac{P(F \mid M)\cdot P(M)}{P(F)} \\ &=& \dfrac{0,293 \cdot 0,4888}{0,25}\\ &\approx& 0,573 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(M \mid F)&\approx& 0,573 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Sprotfan ein Mann ist, beträgt also $57,3 \%$.
$\blacktriangleright$ Anteil der Sportfans unter den Frauen bestimmen
Um die Wahrscheinlichkeit beschreiben zu können, betrachtest du das Gegenereignis von E:
$\overline{M}:$ „Die befragte Person ist weiblich.“
Mit der Wahrscheinlichkeit: $P(\overline{M})=1-P(M)=0,5112$
Der Anteil der Sportfans unter den Frauen entspricht der bedingten Wahrscheinlichkeit $P(F \mid \overline{M})$, die du mit der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit bestimmen kannst:
$P(F)=P(F \mid M)\cdot P(M)+P(F \mid \overline{M})\cdot P(\overline{M})$
$P(F) = …$
Dafür musst du die Formel nach $P(F \mid \overline{M})$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} P(F \mid \overline{M})&=&\dfrac{P(F)-P(F\mid M)\cdot P(M)}{P(\overline{M})} \\[5pt] &=& \dfrac{0,25-0,293\cdot 0,4888}{0,5112}\\ &\approx& 0,209 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(F \mid \overline{M})&\approx& 0,209 \end{array}$
Der Anteil der Sportfans unter den Frauen beträgt somit $20,9\%$.
#satzvonbayes#bedingtewahrscheinlichkeit
d)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für $\boldsymbol{E}$ berechnen
Da jeder Bundesbürger, der in dem Sportstudio trainiert, mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird, kannst du von einem Laplace-Modell ausgehen. Die Wahrscheinlichkeiten in einem Laplace-Modell berechnest du, indem du die Anzahl der Möglichkeiten, die für dein Ereignis günstig sind durch die Anzahl aller möglichen Ausgänge teilst.
Also
$P(E) =\dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$
$P(E) = …$
Schritt 1:Anzahl aller möglichen Ausgänge bestimmen
In dieser Aufgabe entspricht die Anzahl aller möglichen Ausgänge der Anzahl der Möglichkeiten, aus den $25$ Bundesbürgern $8$ zu ziehen. Da die Reihenfolge, mit der die Personen „gezogen“ werden nicht relevant ist, berechnest du diese Anzahl mit dem Binomialkoeffizienten.
$\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}=\binom{25}{7}$
$\text{Anzahl aller möglichen …}$
Schritt 2:Anzahl aller günstigen Ergebnisse bestimmen
Um ein günstiges Ergebnis handelt es sich, wenn aus den $8$ Sportfans genau drei und aus den $17$ Personen, die keine Sportfans sind, genau 4 ausgewählt werden. Auch hier spielt die Reihenfolge keine Rolle, weswegen du den Binomialkoeffizienten verwendest.
Die Anzahl der günstigen Ergebnisse setzt sich also folgendermaßen zusammen:
$\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse} $$= \binom{8}{3}\cdot \binom{17}{4}$
Damit kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:
$P(E)=\dfrac{\binom{8}{3} \cdot \binom{17}{4}}{\binom{25}{7}} = 0,277$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter sieben zufällig ausgewählten Personen genau drei Sportfans befinden, beträgt $27,7\%$.
#binomialverteilung#laplaceexperiment
e)
$\blacktriangleright$ Maximale Anzahl der Kursteilnehmer bestimmen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass sich $n$ Personen im Kochkurs befinden, von denen genau einer ein Sportfan ist. Du sollst die Anzahl $n$ der Personen bestimmen, die im Kochkurs sein müssen, sodass der Sprotfan mit einer Wahrscheinlichkeit von $80\%$ unter zehn zufällig ausgewählten Mitgliedern ist. Diese Ereignis heißt $Y$. Um $n$ zu berechnen gehst du wie folgt vor:
  1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P(Y)$, mit der sich der Sportfan unter zehn zufällig ausgewählten Mitgliedern befindet, in Abhängigkeit von $n$.
  2. Setzte die in Schritt 1 ermittelte Wahrscheinlichkeit mit 0,8 gleich und löse nach $n$ auf.
Schritt 1: Berechnen von $\boldsymbol{P(Y)}$ in Abhängigkeit von $n$.
Da jedes Mitglied mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird, kannst du von einem Laplace Modell ausgehen. Die Wahrscheinlichkeiten in einem Laplace Modell berechnest du, indem du die Anzahl der Möglichkeiten, die für dein Ereignis günstig sind durch die Anzahl aller möglichen Ausgänge teilst.
Also
$P(Y) =\dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$
$P(Y) = $
Anzahl aller möglichen Ausgänge bestimmen
In dieser Aufgabe entspricht die Anzahl aller möglichen Ausgänge der Anzahl der Möglichkeiten aus den $n$ Mitgliedern $10$ auszuwählen. Da die Reihenfolge, mit der die Mitglieder ausgewählt werden nicht relevant ist, berechnest du diese Anzahl mit dem Binomialkoeffizienten.
$\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}=\binom{n}{10}$
$\text{Anzahl aller möglichen …}$
Anzahl aller günstigen Ergebnisse bestimmen
Um ein günstiges Ergebnis handelt es sich, wenn der Sportfan und aus den $n-1$ restlichen Mitgliedern genau $9$ ausgewählt werden. Auch hier spielt die Reihenfolge keine Rolle, weswegen du den Binomialkoeffizienten verwendest.
Die Anzahl der günstigen Ereignisse setzt sich also folgendermaßen zusammen:
$\text{Anzahl aller günstigen Ergebnisse}$$=\binom{1}{1}\cdot \binom{n-1}{9}$
$\text{Anzahl aller günstigen …}$
Die Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $n$ ist also:
$P(E)=\dfrac{1\cdot \binom{n-1}{9}}{\binom{n}{10}}$
Schritt 2: Bestimmen von $\boldsymbol{n}$
Um $n$ zu bestimmen, musst du die Gleichung $P(Y)\le0,8$ nach $n$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y)&\le& 0,8& \\[5pt] \dfrac{1\cdot \binom{n-1}{9}}{\binom{n}{10}}&\le& 0,8 \\[5pt] \dfrac{(n-1)!}{9!\cdot(n-10)!} : \dfrac{n!}{10!\cdot(n-10)!}&\le& 0,8 \\ \dfrac{(n-1)!\cdot 10!}{9!\cdot n!} &\le& 0,8 \\ \dfrac{10}{n}&\le& 0,8\scriptsize &\mid\; : 0,8 \cdot n\\ n&\le& 12,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} n&\le& 12,5 \end{array}$
Es dürfen somit maximal $12$ Teilnehmer im Kochkurs sein.
#laplaceexperiment#binomialverteilung
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe 3.2

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Der Aufgabenstellung entnimmst du, dass ein Viertel der Erwachsenen zu den „Sportfans“ gehört. Der Anteil der Sportfans unter den Männern beträgt $29,3\%$. Du sollst verschiedene Ereignisse betrachten:
$\blacktriangleright$ A: Nur der zweite und der sechste von zehn zufällig ausgewählten Personen sind Sportfans.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig befragte Person ein Sportfan ist, beträgt $0,25$. Es werden zehn Personen betrachtet. Nur die zweite und die sechste Person sollen Sportfans sein. Die Wahrscheinlichkeit setzt sich mit der Pfadmultiplikationsregel wie folgt zusammen:
$P(A) = 0,75 \cdot 0,25 \cdot 0,75^3 \cdot 0,25 \cdot 0,75^4 = 0,0063$
$P(A) = 0,0063$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit $0,63\%$.
$\blacktriangleright$ B: Unter 20 zufällig ausgewählten männlichen Bundesbürgern befinden sich genau drei Sportfans.
In diesem Aufgabenteil hilft dir die Binomialverteilung. Um diese zu verwenden, benötigst du eine Zufallsvariable, welche die Anzahl von Treffern beschreibt. Ein Treffer ist hier eine Person, die zu den Sportfans zählt. Deine neue Zufallsvariable ist:
$X: \text{„Anzahl der Sportfans}$$\text{unter den befragten Personen.“}$
Diese Zufallsvariable ist binomialverteilt.
Die Wahrscheinlichkeit für $3$ Treffer aus $20$ zufällig ausgewählten Bundesbürgern mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,293$ berechnest du mit deinem CAS wie folgt:
Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktionen $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialPDf
Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktionen $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialPDf
Abb. 2: Ergebnis
Abb. 2: Ergebnis
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also $7,9 \%$.
$\blacktriangleright$ C: Unter zehn zufällig ausgewählten Bundesbürgern befindet sich höchstens ein Sportfan.
Auch hier kannst du die Binomialverteilung nutzen. Da du jetzt zehn Personen, die nicht unbedingt männlich sein müssen, betrachtest, ändern sich die Parameter zu $p=0,25$ und $n=10$. Damit kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X\leq 1) $ berechnen.Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du nun mit deinem CAS folgendermaßen bestimmen:
Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktionen $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDf
Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktionen $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDf
Abb. 4: Ergebnis
Abb. 4: Ergebnis
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also $24,4\%$.
$\blacktriangleright$ D: Von $\boldsymbol{100}$ zufällig ausgewählten Personen gehören mindestens $\boldsymbol{70}$ und weniger als $\boldsymbol{79}$ Personen zu denjenigen, die keine Sportfans sind.
Auch in diesem Aufgabenteil kannst du die binomialverteilte Zufallsvariable $X$ verwenden. Da du wieder alle Erwachsenen betrachtest, verwendest du $n=100$. Hier betrachtest du als Treffer, wenn eine Person kein Sportfan ist. Deswegen verwendest du $p=0,75$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(D)&=&P(70 \le X < 79) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& P(X \leq 78)-P(X \le 69) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(D)&=&… \end{array}$
Diese Wahrscheinlichkeiten kannst du erneut mit deinem CAS berechnen:
Abb. 5: Ergebnis
Abb. 5: Ergebnis
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also $68,48\%$.
$\blacktriangleright$ E: Unter $850$ zufällig ausgewählten männlichen Bundesbürgern befinden sich genau $609$, die keine Sportfans sind.
Auch in diesem Aufgabenteil kannst du die binomialverteilte Zufallsvariable $X$ verwenden. Hierbei verwendest du $n=850$. Hier betrachtest du als Treffer, wenn eine männliche Person kein Sportfan ist. Deswegen verwendest du $p=0,707$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X=609)$ kannst du wie folgt mit deinem CAS berechnen:
Abb. 6: Ergebnis
Abb. 6: Ergebnis
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also $2,52\%$.
#binomialverteilung#pfadregeln
b)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Bundesbürger bestimmen
In dieser Aufgabe betrachtest du wieder die binomialverzeilte Zufallsvariable $X$, welche die Anzahl der Sportfans beschreibt. Der Unterschied ist, dass hier die Anzahl $n$ der befragten Personen gesucht ist und du dafür eine Information über die Anzahl der Treffer gegeben hast.
Du sollst also ein $n$ bestimmen, sodass die Gleichung
$\begin{array}[t]{rll} P(X \ge 1)&\ge&0,96 \end{array}$
erfüllt ist. Da die Wahrscheinlichkeit, dass aus $n$ ausgewählten Personen keiner Sportfan ist bei $0,75^n$ liegt, kannst du wie folgt umformen:
$\begin{array}[t]{rll} P(X \ge 1)&=& 1-P(X < 1) \\ &=& 1- P(X=0)\\ &=& 1- 0,75 ^n \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(x \ge 1)&=& 1- 0,75 ^n \end{array}$
Bei der Umformung verwendest du, dass $\binom{n}{0}=1$ ist.
Um jetzt $n$ zu bestimmen, musst du die folgende Ungleichung nach $n$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} 1- 0,75^n&\ge&0,96 &\quad \scriptsize \mid\; -0,96 +0,75^n \\[5pt] 0,04&\ge& 0,75^n &\quad \scriptsize \mid\; \ln() \\ \ln(0,04)&\ge& n\cdot \ln(0,75) &\quad \scriptsize \mid\; : \ln(0,75) < 0 \\ 11,189 & \le & n \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 11,189 & \le & n \end{array}$
Achtung: Im letzten Umformungsschritt dreht sich das Ungleichheitszeichen um, da $\ln(0,75)$ negativ ist.
Es müssen also mindestens $12$ Bundesbürger befragt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit und mindestens $0,96$ wenigstens einen zu entdecken, der Sportfan ist.
#gegenwahrscheinlichkeit
c)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportfan ein Mann ist, bestimmen
Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Um diese besser beschreiben zu können, solltest du dir die folgenden Ereignisse definieren:
$M:$ „Die befragte Person ist männlich.“
$F:$ „Die befragte Person ist ein Sportfan.“
Für diese drei Ereignisse kannst du die Wahrscheinlichkeiten aus der Aufgabenstellung ablesen:
$P(M)=0,4888$ und $P(F)=0,25$. Außerdem ist die Wahrscheinlichkeit $P(F \mid M)= 0,293$ angegeben.
Du kannst die gesuchte Wahrscheinlichkeit jetzt mit der Bayes- Formel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(M \mid F)&=&\dfrac{P(F \mid M)\cdot P(M)}{P(F)} \\ &=& \dfrac{0,293 \cdot 0,4888}{0,25}\\ &\approx& 0,573 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(M \mid F)&\approx& 0,573 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Sprotfan ein Mann ist, beträgt also $57,3 \%$.
$\blacktriangleright$ Anteil der Sportfans unter den Frauen bestimmen
Um die Wahrscheinlichkeit beschreiben zu können, betrachtest du das Gegenereignis von E:
$\overline{M}:$ „Die befragte Person ist weiblich.“
Mit der Wahrscheinlichkeit: $P(\overline{M})=1-P(M)=0,5112$
Der Anteil der Sportfans unter den Frauen entspricht der bedingten Wahrscheinlichkeit $P(F \mid \overline{M})$, die du mit der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit bestimmen kannst:
$P(F)=P(F \mid M)\cdot P(M)+P(F \mid \overline{M})\cdot P(\overline{M})$
$P(F) = …$
Dafür musst du die Formel nach $P(F \mid \overline{M})$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} P(F \mid \overline{M})&=&\dfrac{P(F)-P(F\mid M)\cdot P(M)}{P(\overline{M})} \\[5pt] &=& \dfrac{0,25-0,293\cdot 0,4888}{0,5112}\\ &\approx& 0,209 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(F \mid \overline{M})&\approx& 0,209 \end{array}$
Der Anteil der Sportfans unter den Frauen beträgt somit $20,9\%$.
#satzvonbayes#bedingtewahrscheinlichkeit
d)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für $\boldsymbol{E}$ berechnen
Da jeder Bundesbürger, der in dem Sportstudio trainiert, mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird, kannst du von einem Laplace Modell ausgehen. Die Wahrscheinlichkeiten in einem Laplace Modell berechnest du, indem du die Anzahl der Möglichkeiten, die für dein Ereignis günstig sind durch die Anzahl aller möglichen Ausgänge teilst.
Also
$P(E) =\dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$
$P(E) =…$
Schritt 1:Anzahl aller möglichen Ausgänge bestimmen
In dieser Aufgabe entspricht die Anzahl aller möglichen Ausgänge der Anzahl der Möglichkeiten, aus den $25$ Bundesbürgern $8$ zu ziehen. Da die Reihenfolge, mit der die Personen „gezogen“ werden nicht relevant ist, berechnest du diese Anzahl mit dem Binomialkoeffizienten.
$\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}=\binom{25}{7}$
$\text{Anzahl aller möglichen …}$
Schritt 2:Anzahl aller günstigen Ergebnisse bestimmen
Um ein günstiges Ergebnis handelt es sich, wenn aus den $8$ Sportfans genau drei und aus den $17$ Personen, die keine Sportfans sind, genau 4 ausgewählt werden. Auch hier spielt die Reihenfolge keine Rolle, weswegen du den Binomialkoeffizienten verwendest.
Die Anzahl der günstigen Ergebnisse setzt sich also folgendermaßen zusammen:
$\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse} $$= \binom{8}{3}\cdot \binom{17}{4}$
Damit kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:
$P(E)=\dfrac{\binom{8}{3} \cdot \binom{17}{4}}{\binom{25}{7}} = 0,277$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter sieben zufällig ausgewählten Personen genau drei Sportfans befinden, beträgt $27,7\%$.
#laplaceexperiment#binomialverteilung
e)
$\blacktriangleright$ Maximale Anzahl der Kursteilnehmer bestimmen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass sich $n$ Personen im Kochkurs befinden, von denen genau einer ein Sportfan ist. Du sollst die Anzahl $n$ der Personen bestimmen, die im Kochkurs sein müssen, sodass der Sprotfan mit einer Wahrscheinlichkeit von $80\%$ unter zehn zufällig ausgewählten Mitgliedern ist. Diese Ereignis heißt $Y$. Um $n$ zu berechnen gehst du wie folgt vor:
  1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P(Y)$, mit der sich der Sportfan unter zehn zufällig ausgewählten Mitgliedern befindet, in Abhängigkeit von $n$.
  2. Setzte die in Schritt 1 ermittelte Wahrscheinlichkeit mit 0,8 gleich und löse nach $n$ auf
Schritt 1: Berechnen von $\boldsymbol{P(Y)}$ in Abhängigkeit von $n$.
Da jedes Mitglied mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird, kannst du von einem Laplace Modell ausgehen. Die Wahrscheinlichkeiten in einem Laplace Modell berechnest du, indem du die Anzahl der Möglichkeiten, die für dein Ereignis günstig sind durch die Anzahl aller möglichen Ausgänge teilst.
Also
$P(Y) =\dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$
$P(Y) = …$
Anzahl aller möglichen Ausgänge bestimmen
In dieser Aufgabe entspricht die Anzahl aller möglichen Ausgänge der Anzahl der Möglichkeiten aus den $n$ Mitgliedern $10$ auszuwählen. Da die Reihenfolge, mit der die Mitglieder ausgewählt werden nicht relevant ist, berechnest du diese Anzahl mit dem Binomialkoeffizienten.
$\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}=\binom{n}{10}$
$\text{Anzahl aller möglichen …}$
Anzahl aller günstigen Ergebnisse bestimmen
Um ein günstiges Ergebnis handelt es sich, wenn der Sportfan und aus den $n-1$ restlichen Mitgliedern genau $9$ ausgewählt werden. Auch hier spielt die Reihenfolge keine Rolle, weswegen du den Binomialkoeffizienten verwendest.
Die Anzahl der günstigen Ereignisse setzt sich also folgendermaßen zusammen:
$\text{Anzahl aller günstigen Ergebnisse}$$=\binom{1}{1}\cdot \binom{n-1}{9}$
Die Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $n$ ist also:
$P(E)=\dfrac{1\cdot \binom{n-1}{9}}{\binom{n}{10}}$
Schritt 2: Bestimmen von $\boldsymbol{n}$
Um $n$ zu bestimmen, musst du die Gleichung $P(Y)\le0,8$ nach $n$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y)&\le& 0,8& \\[5pt] \dfrac{1\cdot \binom{n-1}{9}}{\binom{n}{10}}&\le& 0,8 \\[5pt] \dfrac{(n-1)!}{9!\cdot(n-10)!} : \dfrac{n!}{10!\cdot(n-10)!}&\le& 0,8 \\ \dfrac{(n-1)!\cdot 10!}{9!\cdot n!} &\le& 0,8 \\ \dfrac{10}{n}&\le& 0,8\scriptsize &\mid\; : 0,8 \cdot n\\ n&\le& 12,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} n&\le& 12,5 \end{array}$
Es dürfen somit maximal $12$ Teilnehmer im Kochkurs sein.
#binomialverteilung#laplaceexperiment
Bildnachweise [nach oben]
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