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Stochastik 3.2

Aufgaben
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Freizeit

Fernsehen ist die mit Abstand häufigste Freizeitbeschäftigung der deutschen Bevölkerung ab 14 Jahre: $96 \,\%$ aller Personen sehen mindestens einmal pro Woche fern. Zwei weitere beliebte Freizeitbeschäftigungen der Bevölkerung sind beispielsweise Lesen (Zeitungen, Zeitschriften und Bücher): $72,6\,\%$ und Arbeit am Computer: $60,3\,\%.$
a)
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
Zufällig ausgewählte Personen werden nacheinander befragt. Erst die fünfte befragte Person antwortet, dass sie gern am Computer arbeitet.
Nur die dritte und fünfte von acht zufällig ausgewählten Personen arbeitet gern am Computer.
Unter $20$ zufällig ausgewählten Personen befinden sich mehr als $18$ Personen, die mindestens einmal pro Woche fernsehen.
(8 BE)
#ereignis
b)
Berechne die Anzahl der Personen, die mindestens befragt werden müssten, um mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $98\,\%$ wenigstens eine Person zu finden, die in ihrer Freizeit nicht gern liest.
(4 BE)
c)
$76\,\%$ der weiblichen Bevölkerung und $69\,\%$ der männlichen Bevölkerung lesen in ihrer Freizeit gern. Berechne den Anteil der Frauen in der deutschen Bevölkerung. Veranschauliche deinen Lösungsansatz z. B. durch ein (reduziertes) Baumdiagramm oder eine Vierfeldertafel.
(5 BE)
#vierfeldertafel#baumdiagramm
Ein Buchhändler organisiert eine Lesung des aktuellen Bestsellers eines beliebten Autors. Die Veranstaltung findet in einem Saal mit einer Kapazität von $175$ Plätzen statt. Da im Mittel $5\,\%$ der bestellten Karten storniert werden, lässt der Buchhändler $180$ Kartenreservierungen annehmen.
d)
Es ist $k$ die Anzahl der stornierten Karten. Gib einen Term für $P(k)$ an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass genau $k$ der $180$ bestellten Karten storniert werden.
Ermittle den größten Wert dieser Wahrscheinlichkeit $P(k).$
(4 BE)
e)
Tatsächlich nehmen $174$ Besucher an der Lesung teil, darunter ein Deutschkurs und dessen Lehrerin. Es werden fünf Personen ausgelost, die eine Freikarte für die nächste Veranstaltung des Buchhändlers erhalten. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Lehrerin unter den Gewinnern einer Freikarte ist. Begründe, dass das Modell der Binomialverteilung für die Berechnung ungeeignet ist.
(4 BE)
#binomialverteilung
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{A}$ berechnen
Die ersten vier Personen antworten, dass sie nicht gern am Computer arbeiten, die fünfte, dass sie gern am Computer arbeitet. Die Antworten der folgenden Personen sind irrelevant. Mit der Pfadmultiplikationsregel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& (1-0,603)^4\cdot 0,603 \\[5pt] &\approx& 0,0150 \\[5pt] &=&1,5\,\% \end{array}$
$ P(A)\approx 1,5\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit, dass erst die fünfte befragte Person angibt, gern am Computer zu arbeiten, beträgt ca. $1,5\,\%.$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B}$ berechnen
Analog zu oben ergibt sich hier mit der Pfadmultiplikationsregel:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&(1-0,603)^2\cdot 0,603 \cdot (1-0,603)\cdot 0,603\cdot (1-0,603)^3 \\[5pt] &\approx& 0,0014 \\[5pt] &=& 0,14\,\% \end{array}$
$ P(B)\approx 0,14\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $0,14\,\%$ gibt nur die dritte und die fünfte von acht zufällig befragten Personen an, gern am Computer zu arbeiten.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{C}$ berechnen
Betrachtet wird die Zufallsvariable $X,$ die die zufällige Anzahl der Personen beschreibt, die bei einer Befragung von $20$ Personen angeben, mindestens einmal pro Woche fern zu sehen. Da sich der angegebene Anteil auf die gesamte deutsche Bevölkerung im Alter von mindestens 14 Jahren bezieht, kann man davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit bei jeder Person gleich und unabhängig von den anderen Personen ist. Daher kann $X$ als binomialverteilt mit den Parametern $n= 20$ und $p = 0,96$ angenommen werden.
Mit der Formel für die Binomialverteilung ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=& P(X > 18) \\[5pt] &=& P(X=19) + P(X=20) \\[5pt] &=& \binom{20}{19}\cdot 0,96^{19}\cdot 0,04^1 + \binom{20}{20}\cdot0,96^{20}\cdot 0,04^0 \\[5pt] &=& \binom{20}{19}\cdot 0,96^{19}\cdot 0,04 + 0,96^{20}\\[5pt] &\approx& 0,8103 \\[5pt] &=& 81,03\,\% \end{array}$
$ P(C)\approx 81,03\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $81,03\,\%$ befinden sich unter $20$ zufällig ausgewählten Personen mehr als $18$ Personen, die mindestens einmal pro Woche fernsehen.
#pfadregeln#binomialverteilung
b)
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl der Personen berechnen
Betrachtet wird die Zufallsvariable $Y_n,$ die die zufällige Anzahl der Personen beschreibt, die bei einer Befragung von $n$ Personen angeben, in ihrer Freizeit nicht gern zu lesen. Da sich der angegebene Anteil von $72,6\,\%$ der Bevölkerung, der gerne liest, auf die gesamte deutsche Bevölkerung im Alter von mindestens 14 Jahren bezieht, kann man davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit bei jeder Person gleich und unabhängig von den anderen Personen ist. Daher kann $Y_n$ als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p = 1-0,726 = 0,274$ angenommen werden.
Mit dem Gegenereignis und der Formel für die Binomialverteilung ergibt sich folgende Ungleichung:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y_n\geq 1 )&\geq& 0,98 \\[5pt] 1-P(Y_n=0)&\geq& 0,98 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -P(Y_n =0)&\geq&-0,02 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] P(Y_n=0)&\leq& 0,02 \\[5pt] \binom{n}{0}\cdot 0,274^0\cdot 0,726^n&\leq& 0,02 \\[5pt] 0,726^n&\leq& 0,02 &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] n\cdot \ln 0,726&\leq& \ln 0,02&\quad \scriptsize \mid\; : \ln 0,726 <0\\[5pt] n&\geq& 13 \end{array}$
$ n\geq 13 $
Es müssen mindestens $13$ Personen zufällig ausgewählt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $98\,\%$ mindestens eine von ihnen angibt, in der Freizeit nicht gern zu lesen.
#binomialverteilung#gegenereignis
c)
$\blacktriangleright$  Anteil der Frauen berechnen
Es werden folgende Bezeichnungen für Ereignisse verwendet:
  • $W:\quad$ Bei einer befragten Person handelt es sich um eine Frau.
  • $M:\quad$ Bei einer befragten Person handelt es sich um einen Mann.
  • $L:\quad$ Eine befragte Person liest gern in der Freizeit.
Abb. 1: Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
Es gilt folgende Gleichung mit den Pfadregeln und dem Baumdiagramm:
$\begin{array}[t]{rll} P(L)&=& P(W)\cdot P_W(L)+ P(M)\cdot P_M(L) &\quad \scriptsize \mid\; P(M)= 1-P(W) \\[5pt] P(L)&=& P(W)\cdot P_W(L)+ (1-P(W))\cdot P_M(L) \\[5pt] 0,726&=& P(W)\cdot 0,76 + (1-P(W))\cdot 0,69 \\[5pt] 0,726&=& P(W)\cdot 0,76 + 0,69- P(W)\cdot 0,69&\quad \scriptsize \mid\;-0,69 \\[5pt] 0,036&=&P(W)\cdot 0,07 &\quad \scriptsize \mid\;: 0,07 \\[5pt] 0,5143&\approx& P(W) \end{array}$
$ 0,5143\approx P(W) $
Der Anteil der Frauen in der deutschen Bevölkerung beträgt ca. $51,43\,\%.$
d)
$\blacktriangleright$  Term für die Wahrscheinlichkeit angeben
Betrachtet wird die Zufallsvariable $S,$ die die zufällige Anzahl der Stornierungen bei $180$ reservierten Karten angibt. Man kann davon ausgehen, dass Karten unabhängig voneinander storniert werden, bei jeder Karte also die Wahrscheinlichkeit für eine Stornierung $5\,\%$ beträgt. Daher kann $S$ als binomialverteilt mit den Parametern $n= 180$ und $p = 0,05$ angenommen werden.
Mit der Formel für die Binomialverteilung ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} P(k)&=& P(S = k) \\[5pt] &=& \binom{180}{k}\cdot 0,05^k\cdot 0,95^{180-k} \end{array}$
$ P(k)= … $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau $k$ der $180$ Karten storniert werden, kann mit dem Term $\binom{180}{k}\cdot 0,05^k\cdot 0,95^{180-k} $ berechnet werden.
$\blacktriangleright$  Größten Wert berechnen
Der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsvariable ist immer der Erwartungswert. Dieser lässt sich wie folgt berechnen:
$\mu = n\cdot p = 180\cdot 0,05 = 9$
$\mu = 9 $
Für die zugehörige Wahrscheinlichkeit gilt:
$\begin{array}[t]{rll} P(9)&=& \binom{180}{9}\cdot 0,05^9\cdot 0,95^{171} \\[5pt] &\approx& 0,1352 \\[5pt] &=&13,52\,\% \end{array}$
$ P(9)\approx 13,52\,\% $
Der größte Wert der Wahrscheinlichkeiten $P(k)$ ist $P(9)\approx 13,52\,\%.$
#binomialverteilung#erwartungswert
e)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Man kann die Gewinnverlosung auch wie folgt betrachten:
Mit dem Kauf der Karte für die Veranstaltung wird ein Los aus einem Lostopf gekauft. In diesem Lostop sind in diesem Fall insgesamt $174$ Karten, von denen $5$ Gewinne sind. Jeder Besucher hat genau ein Los gekauft und bei der Veranstaltung wird aufgedeckt, welche Lose Gewinne oder Nieten sind. Jeder Besucher hat daher mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{5}{174} \approx 0,0287 = 2,87\,\%$ ein Gewinnlos, was also auch für die Lehrerin gilt.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,87\,\%$ ist die Lehrerin des Deutschkurses unter den Gewinnern einer Freikarte.
$\blacktriangleright$  Begründen, dass die Binomialverteilung ungeeignet ist
Betrachtet man die Verlosung des Gewinns als Zufallsexperiment, bei dem aus der Menge der $174$ Zuschauer nacheinander $5$ Personen gezogen werden und das Ziehen der Lehrerin des Deutschkurses als Erfolg gilt, das Ziehen der anderen Personen als Misserfolg, so handelt es sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen, da ein Erfolg nur einmal möglich ist. Die Lehrerin kann entweder die erste ausgewählte Person sein, die zweite, dritte, vierte, fünfte oder gar nicht darunter sein. Mit jeder weiteren ausgewählten Person ändert sich die Wahrscheinlichkeit, abhängig davon, welche Personen bereits ausgewählt wurden.
Bei der Binomialverteilung ist aber vor allem wichtig, dass ein Erfolg in jeder Runde stattfinden kann und zwar mit derselben Wahrscheinlichkeit unabhängig von den übrigen Versuchen.
Die Binomialverteilung ist also ungeeignet, da pro Person nur genau ein Gewinn möglich ist.
Bildnachweise [nach oben]
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