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Analysis 2.2

Aufgaben
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Funktionenschar

1
Für jeden Wert von $k\in\mathbb{R}^+$ ist eine Funktion $f_k$ durch $f_k(x)=8k\cdot(kx-1)^2\cdot(kx+1)^2;$ $x\in\mathbb{R}$ festgelegt. Die Graphen von $f_k$ werden mit $G_k$ bezeichnet.
#funktionenschar
$\,$
a)
(5 BE)
$\,$
b)
Beschreibe, wie die Graphen $G_{2k}$ aus $G_k$ hervorgehen.
Begründe, dass $f_k(x)=8k\cdot(k^2x^2-1)^2$ gilt, und zeige, dass $G_k$ symmetrisch bezüglich der $y$-Achse sind.
(5 BE)
#symmetrie
$\,$
c)
Für einen Wert von $k$ gibt es einen Punkt $(x_1\mid f_k(x_1))$ mit $x_1>1$, für den die Gleichung
$\dfrac{f_k(x_1)-0}{x_1-0}=-\dfrac{1}{f'_k(x_1)}$ gilt.
Beschreibe die geometrische Bedeutung dieser Gleichung.
(5 BE)
$\,$
$\,$
d)
Berechne den Inhalt des Flächenstücks.
(4 BE)
$\,$
e)
Bei Rotation des Rechtecks um die $x$-Achse entsteht ein Körper, ebenso bei Rotation um die $y$-Achse.
Skizziere einen der beiden Körper und beschriften Sie die Skizze mit den Maßen des Körpers.
Ermittle denjenigen Wert von $k$, für den die beiden Körper das gleiche Volumen haben.
(5 BE)
#rotationsvolumen
$\,$
f)
Bei Rotation des grau markierten Flächenstücks um die $y$-Achse entsteht ein weiterer Körper.
Begründe, dass das Volumen dieses Körpers mit zunehmendem Wert von $k$ beliebig klein wird.
(4 BE)
2
Im Folgenden werden die in $\mathbb R$ definierten Funktionen $f$ mit
$f(x)=\dfrac{1}{4}x^4-2x^2+4$ und $g$ mit $g(x)=(x-2)^2\cdot \mathrm e^x$ betrachtet.
$\,$
a)
Die Funktion $f$ ist eine Funktion der Schar aus Aufgabe 1.
Ermittle den zugehörigen Wert von $k$.
Zwei Extrempunkte des Graphen von $f$ liegen auf dem Graphen von $g$.
Berechne die Koordinaten dieser Punkte.
(6 BE)
#extrempunkt
$\,$
b)
(2 BE)
$\,$
c)
Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von $g$ im Punkt $P(p\mid g(p))$ mit $0< p <2$.
Ermittle rechnerisch denjenigen Wert von $p$, für den diese Tangente die $x$-Achse im Punkt $Q(2\mid 0)$ schneidet.
(6 BE)

(40 BE)
#tangente
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Lösungen
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1
a)
$\blacktriangleright$  Gemeinsame Punkte mit den Achsen berechnenAnalysis 2.2
Für die gemeinsamen Punkte mit der $x$-Achse muss $f_k(x)=0$ gelten:
$\begin{array}[t]{rll} f_k(x) &=& 0 \\[5pt] 8k\cdot (kx-1 )^2 \cdot (kx+1)^2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :8k \\[5pt] (kx-1 )^2 \cdot (kx+1)^2 &=& 0 \end{array}$
$ (kx-1 )^2 \cdot (kx+1)^2=0 $
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt nun, dass $\text{I})\, kx-1 =0$ oder $\text{II})\, kx+1 =0 $ sein muss:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I})\, & kx-1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] & kx &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :k \\[5pt] & x_1 &=& \frac{1}{k} \\[5pt] \end{array}$
$ x_1 = \frac{1}{k} $
$\begin{array}[t]{rll} \text{II})\, & kx+1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] & kx &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; :k \\[5pt] & x_2 &=& -\frac{1}{k} \\[5pt] \end{array}$
$ x_2 = -\frac{1}{k} $
Die gemeinsamen Punkte mit der $x$-Achse sind also $S_{x_1}\left(\frac{1}{k} \mid 0\right)$ und $S_{x_2}\left(-\frac{1}{k} \mid 0\right).$ Für die Schnittpunkte mit der $y$-Achse erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} f_k(0) &=& 8k\cdot (k\cdot 0-1 )^2 \cdot (k\cdot 0+1)^2 \\[5pt] &=& 8k \end{array}$
$ f_k(0) = 8k $
Der Graph von $f_k$ hat mit der $y$-Achse also den Punkt $S_y(0\mid 8k)$ gemeinsam.
$\blacktriangleright$  Achsen skalieren
Orientiere dich an den berechneten Koordinaten der gemeinsamen Punkte mit den Achsen. Für $k =0,25$ gilt:
$S_{x_1}\left(4 \mid 0\right),$ $S_{x_2}\left(-4 \mid 0\right)$ und $S_y(0\mid 2).$
Analysis 2.2
Abb. 1: Skalierung für $G_{0,25}$
Analysis 2.2
Abb. 1: Skalierung für $G_{0,25}$
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Zusammenhang der Graphen beschreiben
Es ist:
$\begin{array}[t]{rll} f_{2k}(x) &=& 8\cdot 2\cdot k \cdot \left(2\cdot k \cdot x -1 \right)^2 \cdot \left(2\cdot k \cdot x + 1 \right)^2 \\[5pt] &=& 2\cdot \left(8\cdot k \cdot \left( k \cdot (2\cdot x) -1 \right)^2 \cdot \left( k \cdot (2\cdot x) + 1 \right)^2\right) \\[5pt] &=& 2\cdot f_k(2x)\\[5pt] \end{array}$
$ f_{2k}(x) = 2\cdot f_k(2x) $
Durch den Faktor $2$ direkt vor dem $x$ findet im Graphen eine Stauchung in $x$-Richtung um den Faktor $2$ statt. Durch den Faktor $2$ vor dem Funktionsterm findet eine Streckung in $y$-Richtung statt. Der Graph von $G_{2k}$ geht aus dem Graphen von $G_k$ also durch eine Stauchung in $x$-Richtung um den Faktor $2$ und eine anschließende Streckung in $y$-Richtung um den Faktor $2$ hervor.
$\blacktriangleright$  Funktionsterm begründen
$\begin{array}[t]{rll} f_k(x) &=& 8k\cdot (kx-1)^2 \cdot (kx+1)^2 \\[5pt] &=& 8k\cdot (kx-1)\cdot (kx-1) \cdot (kx+1)\cdot (kx+1)\\[5pt] &=& 8k\cdot (kx-1)\cdot (kx+1) \cdot (kx-1)\cdot (kx+1) \\[5pt] &=& 8k\cdot \left((kx-1)\cdot (kx+1)\right)^2 \\[5pt] &=& 8k\cdot \left((kx)^2 -1^2 \right)^2 \\[5pt] &=& 8k\cdot \left(k^2x^2 -1 \right)^2 \\[5pt] \end{array}$
$ f_k(x) = … $
$\blacktriangleright$  Symmetrie zeigen
$\begin{array}[t]{rll} f_k(-x) &=& 8k\cdot \left(k^2\cdot(-x)^2 -1 \right)^2 \\[5pt] &=& 8k\cdot \left(k^2\cdot x^2 -1 \right)^2 \\[5pt] &=& f_k(x) \\[5pt] \end{array}$
$ f_k(-x) = f_k(x) $
Es gilt also $f_k(-x)= f_k(x).$ $G_k$ ist also symmetrisch zur $y$-Achse.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Geometrische Bedeutung beschreiben
Der Term $\dfrac{f_k(x_1) -0 }{x_1 -0}$ beschreibt die Steigung der Geraden durch den Punkt $(x_1\mid f_k(x_1))$ und den Koordinatenursprung.
Der Term $f_k'(x_1)$ beschreibt die Steigung der Tangente an den Graphen von $f_k$ im Punkt $(x_1\mid f_k(x_1)).$ Daher beschreibt $-\dfrac{1}{f_k'(x_1)}$ die Steigung der Normalen zum Graphen von $f_k$ im Punkt $(x_1\mid f_k(x_1)).$ Mit der Gleichung kann also die Stelle $x_1$ bestimmt werden, durch die eine Gerade verläuft, die an dieser Stelle zum Graphen von $f_k$ orthogonal ist und, die durch den Koordinatenursprung verläuft.
#steigung#ableitung#normalengleichung
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Den Inhalt des Flächenstücks kannst du mithilfe eines Integrals berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} F &=& \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{k}} f_k(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{k}} 8k\cdot (k^2x^2-1)^2\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{k}} 8k\cdot (k^4x^4-2\cdot k^2x^2+1)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& 8k\cdot \left[\frac{k^4}{5}x^5-\frac{2\cdot k^2}{3}x^3+x \right]_0^{\frac{1}{k}} \\[5pt] &=& 8k\cdot \left(\frac{k^4}{5}\cdot \left(\frac{1}{k} \right)^5-\frac{2\cdot k^2}{3}\cdot \left(\frac{1}{k} \right)^3+\frac{1}{k}\right) - 8k\cdot\left( \frac{k^4}{5}\cdot 0^5-\frac{2\cdot k^2}{3}\cdot 0^3+0\right)\\[5pt] &=&8k \left(\frac{k^4}{5}\cdot\frac{1}{k^5}-\frac{2\cdot k^2}{3}\cdot\frac{1}{k^3}+\frac{1}{k}\right) \\[5pt] &=& 8k\left( \frac{1}{5k}-\frac{2}{3k}+\frac{1}{k}\right) \\[5pt] &=& \frac{64}{15} \end{array}$
$ F=\frac{64}{15} $
Der Inhalt des Flächenstücks beträgt $\frac{64}{15}$ Flächeneinheiten.
#integral
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Körper skizzieren und beschriften
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Rotation um die $y$-Achse
Analysis 2.2
Abb. 3: Rotation um die $y$-Achse
Analysis 2.2
Abb. 3: Rotation um die $y$-Achse
$\blacktriangleright$  Parameterwert ermitteln
Bei der Rotation des Rechtecks um eine der Achsen entsteht ein Zylinder. Das Volumen eines Zylinders hängt von seiner Höhe und seinem Radius ab. Für beide möglichen Zylinder sind diese beiden Größen in der jeweiligen Abbildung eingetragen.
Bei der Rotation um die $x$-Achse gilt:
$\begin{array}[t]{rll} V_x &=& \pi \cdot r_x^2 \cdot h_x \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(8k \right)^2 \cdot \frac{1}{k} \\[5pt] &=& 64\pi\cdot k \\[5pt] \end{array}$
$ V_x=64\pi\cdot k $
Für die Rotation um die $y$-Achse gilt:
$\begin{array}[t]{rll} V_y &=& \pi \cdot r_y^2 \cdot h_y \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(\frac{1}{k} \right)^2 \cdot 8k \\[5pt] &=& \frac{8\pi}{k} \\[5pt] \end{array}$
$ V_y =\frac{8\pi}{k} $
Beide Volumina sollen nun gleich groß sein:
$\begin{array}[t]{rll} V_x &=& V_y \\[5pt] 64\pi\cdot k &=& \frac{8\pi}{k} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot k \\[5pt] 64\pi \cdot k^2 &=& 8\pi&\quad \scriptsize \mid\; : (64\pi) \\[5pt] k^2 &=& \frac{1}{8} \\[5pt] k &=& \frac{1}{\sqrt{8}} \end{array}$
$ k=\frac{1}{\sqrt{8}} $
Für $k= \frac{1}{\sqrt{8}}$ haben beide Körper das gleiche Volumen.
#zylinder
$\,$
f)
$\blacktriangleright$  Beliebig kleines Volumen begründen
Die graumarkierte Fläche liegt in jedem Fall in dem zugehörigen Rechteck. Das Volumen des Körpers, der durch Rotation des Rechtecks um die $y$-Achse entsteht, kann laut Aufgabenteil 1 e) wie folgt berechnet werden:
$V_y = \frac{8\pi}{k}$
Für $k\to \infty$ gilt für das Volumen des Körpers, der durch Rotation des Rechtecks um die $y$-Achse entsteht:
$V_y = \frac{8\pi}{k} \to 0$
Das Volumen des Rotationskörpers, der durch die Rotation des Rechtecks um die $y$-Achse entsteht, wird mit zunehmendem Wert von $k$ also beliebig klein. Da die grau markierte Fläche innerhalb des Rechtecks liegt und dadurch kleiner als das Rechteck ist, gilt dies also auch für das Volumen des Rotationskörpers, der bei Rotation der grau markierten Fläche um die $y$-Achse entsteht.
2
a)
$\blacktriangleright$  Zugehörigen Parameterwert ermitteln
Es ist $k$ gesucht, sodass $f(x)=f_k(x):$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& f_k(x) \\[5pt] \frac{1}{4}x^4 -2x^2 +4 &=& 8k\cdot (kx-1)^2\cdot (kx+1)^2 \\[5pt] \frac{1}{4}x^4 -2x^2 +4 &=& 8k\cdot \left(k^2x^2-1\right)^2 \\[5pt] \frac{1}{4}x^4 -2x^2 +4 &=& 8k \cdot \left(k^4x^4-2k^2x^2 +1 \right) \\[5pt] \frac{1}{4}x^4 -2x^2 +4 &=& 8k^5x^4-16k^3x^2 +8k \end{array}$
$ … = … $
Durch einen Vergleich der Koeffizienten erhältst du beispielsweise:
$\begin{array}[t]{rll} 4 &=& 8k &\quad \scriptsize \mid\;:8 \\[5pt] \frac{1}{2} &=& k \end{array}$
$ k=\frac{1}{2} $
Da in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass $f$ eine Funktion der Schar $f_k$ ist, musst du die übrigen Koeffzienten nicht überprüfen. Es ist also $f= f_{k}$ mit $k = \frac{1}{2}.$
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Extrempunkte berechnen
Bestimme alle möglichen Extremstellen von $f.$
1. Schritt: Ableitungsfunktion bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& \frac{1}{4}x^4 -2x^2 +4 \\[10pt] f'(x) &=& x^3 -4x \\[10pt] \end{array}$
$ f'(x) = x^3 -4x $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[5pt] x^3-4x &=& 0 \\[5pt] x\cdot (x^2 -4) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 = 0 \\[5pt] x^2 -4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] x^2 &=& 4 \\[5pt] x_2 &=& -2 \\[5pt] x_3 &=& 2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 0 \\[5pt] x_2 &=& -2 \\[5pt] x_3 &=& 2 \end{array}$
3. Schritt: Zugehörige Funktionswerte überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& \frac{1}{4}\cdot 0^4 -2\cdot 0^2 + 4 \\[5pt] &=& 4 \\[10pt] f(-2)&=& \frac{1}{4}\cdot (-2)^4 -2\cdot (-2)^2 + 4 \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] f(2) &=& \frac{1}{4}\cdot 2^4 -2\cdot 2^2 +4 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& 4 \\[10pt] f(-2)&=& 0 \\[10pt] f(2) &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
4. Schritt: Funktionswerte von $g$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} g(0) &=& (0-2)^2 \cdot \mathrm e^{0} \\[5pt] &=& 4 \\[10pt] g(-2)&=& (-2-2)^2 \cdot \mathrm e^{-2} \\[5pt] &=& 16\mathrm e^{-2} \\[10pt] f(2) &=& (2-2)^2 \cdot \mathrm e^{-2} \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g(0) &=& 4 \\[10pt] g(-2)&=& 16\mathrm e^{-2} \\[10pt] f(2) &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
An den beiden möglichen Extremstellen $x_1 = 0$ und $x_3 = 2$ stimmen die Funktionswerte von $f$ und $g$ überein. Die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von $f,$ die auf dem Graphen von $g$ liegen lauten also $E_1(0\mid 4)$ und $E_2(2\mid 0).$
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
Du kannst beispielsweise die Funktionswerte von $f$ und $g$ an der Stelle $x=1$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} f(1) &=& \frac{1}{4}\cdot 1^4 -2\cdot 1^2 +4 \\[5pt] &=&\frac{9}{4} \\[5pt] &=& 2,25 \\[10pt] g(1) &=& (1-2)^2 \cdot \mathrm e^1 \\[5pt] &=& \mathrm e^1 \\[5pt] &\approx& 2,72 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(1) &=& 2,25 \\[10pt] g(1) &\approx& 2,72 \end{array}$
Der Funktionswert von $g$ an der Stelle $x=1$ ist also größer als der von $f.$ Graph $\text{II}$ gehört daher zur Funktion $g$ und Graph $\text{I}$ gehört zu $f.$
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Wert berechnen
Die gesuchte Tangente $t$ soll durch den Punkt $P(p\mid g(p))$ und den Punkt $Q(2\mid 0)$ verlaufen. Ihre Steigung kann also in Abhängigkeit von $p$ mithilfe des Differenzenquotienten wie folgt dargestellt werden:
$m_t = \dfrac{g(p) - 0}{p-2} =\dfrac{ (p-2)^2\cdot \mathrm e^p}{p-2} = (p-2)\cdot \mathrm e^p $
$ m_t = (p-2)\cdot \mathrm e^p$
Zudem soll $t$ eine Tangente an den Graphen von $g$ an der Stelle $p$ sein. Also muss für die Steigung zusätzlich gelten:
$m_t = g'(p) $
Mithilfe der Produktregel und der Kettenregel erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& (x-2)^2 \cdot \mathrm e^x \\[10pt] g'(x) &=& 2\cdot (x-2)\cdot 1 \cdot \mathrm e^x + (x-2)^2 \cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& \left(2\cdot (x-2)\cdot 1 + (x-2)^2\right) \cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& \left(2\cdot 1 + x-2\right) \cdot (x-2)\cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& x\cdot (x-2)\cdot \mathrm e^x \\[5pt] \end{array}$
$ g'(x) =x\cdot (x-2)\cdot \mathrm e^x $
Es ist also auch:
$m_t = g'(p)= p\cdot (p-2)\cdot \mathrm e^p$
Beides kannst du nun gleichsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} m_t &=& m_t \\[5pt] (p-2)\cdot \mathrm e^p &=& p\cdot (p-2)\cdot \mathrm e^p &\quad \scriptsize \mid\; :\left((p-2)\cdot \mathrm e^p \right) \\[5pt] 1 &=& p \end{array}$
$ p = 1 $
Für den Wert $p=1$ schneidet die Tangente an den Graphen von $g$ im Punkt $P(p\mid g(p))$ die $x$-Achse im Punkt $Q(2\mid 0).$
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