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Analytische Geometrie 3.1

Aufgaben
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Tunnel

Ein Berg wird von seiner Südseite zu seiner Nordseite durch einen Autotunnel unterquert.
Der Verlauf des Autotunnels kann als Teil einer Geraden modelliert werden. Die $xy$-Ebene befindet sich auf der Höhe des Meeresspiegels. $(1\,\text{LE} = 100\,\text{m})$
Auf der Südseite beginnt der Tunnel im Punkt $S(0\mid 40\mid 6)$ und endet auf der Nordseite im Punkt $N(30\mid 65\mid 7).$
a)
Gib eine Gleichung der Geraden an, mit deren Hilfe man den Verlauf des Autotunnels modellieren kann.
Berechne die Länge des Autotunnels.
Ermittle den Winkel, in dem die Gerade zur $xy$-Ebene ansteigt.
(5 BE)
b)
In der Mitte des Autotunnels befindet sich eine Nothaltebucht, die vereinfacht modellhaft als Punkt $L$ beschrieben werden kann.
Gib die Koordinaten des Punktes $L$ an.
Von der Nothaltebucht führt ein Lüftungsrohr senkrecht zum Meeresspiegel nach oben.
Das Lüftungsrohr ragt $2\,\text{m}$ aus der Oberfläche des Berges hinaus. Die Oberfläche des Berges kann in diesem Bereich durch eine Ebene $F$ beschrieben werden mit $F:10x+5y+7z=475,5.$
Ermittle die Länge des Lüftungsrohrs.
(6 BE)
Ein Bahntunnel verläuft geradlinig zwischen den Punkten $A(20\mid 60\mid 6,5)$ und $B(60\mid 65\mid 6)$.
c)
Zeige, dass der Bahntunnel den Autotunnel nicht kreuzt.
Hinweis: Die Querschnitte der Tunnel können vernachlässigt werden.
(4 BE)
d)
Die Lok eines $700\,\text{m}$ langen Güterzuges fährt um 09:10 Uhr in den Bahntunnel hinein.
Der letzte Wagen ist um 09:13 Uhr vollständig aus dem Bahntunnel herausgefahren. Der Güterzug bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit durch den Bahntunnel.
Prüfe, ob der Zug die zulässige Höchstgeschwindigkeit von $100\,\text{km/h}$ einhält.
(3 BE)
e)
Vom Punkt $P(1\mid 51\mid 6,2)$ ist eine geradlinige Zufahrt in den Autotunnel geplant.
Bestimme den Punkt $Q$, in dem die Zufahrt auf den Autotunnel treffen muss, damit sie die kleinstmögliche Länge hat.
(5 BE)
f)
Die geradlinige Zufahrt vom Punkt $P$ zum Autotunnel wird schließlich nicht so gebaut, dass sie die kleinstmögliche Länge hat, sondern so, dass ihre Länge $1.300\,\text{m}$ beträgt.
Begründe, dass es dafür nur genau eine Möglichkeit gibt.
(2 BE)

(25 BE)
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung angebenAnalytische Geometrie 3.1
Die Gerade, die den Verlauf des Autotunnels modellieren soll, muss durch die Punkte $S(0\mid 40\mid 6)$ und $N(30\mid 65\mid 7)$ verlaufen. Du kannst beispielsweise $S$ als Stützpunkt und $\overrightarrow{SN}$ als Richtungsvektor verwenden:
$\begin{array}[t]{rll} g:\, \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OS} + r\cdot \overrightarrow{SN},\, (r\in \mathbb{R}) \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\40\\6} + r\cdot \pmatrix{30\\25\\1},\, (r\in \mathbb{R}) \\[5pt] \end{array}$
$ g:\, \overrightarrow{x} = … $
$\blacktriangleright$  Länge des Autotunnels berechnen
Die Länge des Autotunnels wird durch die Länge der Strecke $\overline{SN}$ beschrieben. Diese kannst du über den Vektorbetrag des zugehörigen Verbindungsvektors berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{SN}&=& \left|\overrightarrow{SN} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{30\\25\\1} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{30^2 +25^2 +1^2} \\[5pt] &=& \sqrt{1.526} \\[5pt] &\approx& 39,064 \end{array}$
$ \overline{SN} \approx 39,064 $
Der Tunnel ist also ca.
$ 39,064 \,\text{LE} = 3.906,4\,\text{m} = 3,9064\,\text{km}$
$ …3,9064\,\text{km} $
lang.
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
Bestimme den Schnittwinkel $\alpha$ der Geraden $g$ mit der $xy$-Ebene mithilfe der zugehörigen Formel:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha &=& \dfrac{\left|\pmatrix{30\\25\\1} \circ \pmatrix{0\\0\\1}\right| }{\left| \pmatrix{30\\25\\1}\right| \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1} \right|} \\[5pt] \sin \alpha &=& \dfrac{1}{\sqrt{1.526}\cdot 1 } \\[5pt] \sin \alpha &=& \dfrac{1}{\sqrt{1.526}} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt] \alpha &\approx& 1,467^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 1,467^{\circ} $
Die Gerade steigt zur $xy$-Ebene um ca. $1,467^{\circ}$ an.
#schnittwinkel#vektorbetrag
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten angeben
Der Punkt $L$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{SN}.$ Dessen Koordinaten kannst du mit der zugehörigen Formel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OL} &=& \frac{1}{2} \cdot \left(\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{ON} \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \left(\pmatrix{0\\40\\6} + \pmatrix{30\\65\\7} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{15\\52,5 \\ 6,5} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OL} =\pmatrix{15\\52,5 \\ 6,5} $
Die Koordinaten des Punkts $L,$ der die Nothaltebucht modellhaft beschreibt, lauten $L(15\mid 52,5\mid 6,5).$
$\blacktriangleright$  Länge des Lüftungsrohrs ermitteln
Das Lüftungsrohr beginnt im Punkt $L$ und verläuft senkrecht zum Meeresspiegel, also senkrecht zur $xy$-Ebene. Der Verlauf des Lüftungsrohrs kann also mithilfe folgender Gerade beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} l:\, \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OL} + s\cdot \pmatrix{0\\0\\1} ,\, (s\in \mathbb{R})\\[5pt] &=& \pmatrix{15\\52,5 \\ 6,5} + s\cdot \pmatrix{0\\0\\1},\, (s\in \mathbb{R}) \end{array}$
$ l:\, \overrightarrow{x} = … $
Die Gerade $l$ beschreibt also den Verlauf des Lüftungsrohrs, die Ebene $F$ aus der Aufgabenstellung beschreibt die Oberfläche des Berges.
Der Punkt, in dem das Lüftungsrohr aus dem Berg hinausragt, wird daher durch den Schnittpunkt $B$ der Geraden $l$ mit der Ebene $F$ beschrieben.
Die Koordinaten der Punkte auf $l$ lauten $(15\mid 52,5\mid 6,5 +s).$ Diese kannst du in die Ebenengleichung von $F$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 10x +5y +7z &=& 475,5 \\[5pt] 10\cdot 15 + 5 \cdot 52,5 + 7\cdot (6,5+s) &=& 475,5 \\[5pt] 458 + 7s &=& 475,5 &\quad \scriptsize \mid\; -458 \\[5pt] 7s &=& 17,5 &\quad \scriptsize \mid\; :7 \\[5pt] s &=& 2,5 \end{array}$
$ s = 2,5 $
Einsetzen von $s$ in die Geradengleichung von $l$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OB}&=& \pmatrix{15\\52,5 \\ 6,5} + 2,5\cdot \pmatrix{0\\0\\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{15 \\ 52,5 \\ 9} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OB} = \pmatrix{15 \\ 52,5 \\ 9} $
Der Punkt, an dem das Luftrohr aus dem Berg ragt, wird also durch die Koordinaten $B(15\mid 52,5\mid 9)$ beschrieben.
Die Länge des Luftrohrs, das innerhalb des Berges liegt, kann durch die Länge der Strecke $\overline{LB}$ beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} l_b &=& \left|\overrightarrow{LB} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{0\\0\\2,5} \right| \\[5pt] &=& 2,5 \\[5pt] \end{array}$
Das Luftrohr verläuft innerhalb des Berges also in einer Länge von $2,5\,\text{LE} = 250\,\text{m}.$ Aus dem Berg ragt es noch $2\,\text{m}$ hinaus. Also ist es $252\,\text{m}$ lang.
c)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass sich die Tunnel nicht kreuzen
Der Verlauf des Bahntunnels kann durch die Gerade mit der folgenden Gleichung beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} h:\, \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OA} + t\cdot \overrightarrow{AB}, \, (t\in \mathbb{R}) \\[5pt] &=& \pmatrix{20\\60\\6,5} + t\cdot \pmatrix{40\\5\\-0,5}, \, (t\in \mathbb{R}) \\[5pt] \end{array}$
$ h:\ ,\overrightarrow{x} = … $
Überprüfe nun, ob sich die Gerade $g,$ die den Verlauf des Autotunnels beschreibt, und die Gerade $h,$ die den Verlauf des Bahntunnels beschreibt, schneiden:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\40\\6} + r\cdot \pmatrix{30\\25\\1} &=& \pmatrix{20\\60\\6,5} + t\cdot \pmatrix{40\\5\\-0,5} &\quad \scriptsize \mid\;-r\cdot \pmatrix{30\\25\\1}; - \pmatrix{20\\60\\6,5} \\[5pt] \pmatrix{-20\\ -20\\ -0,5} &=& t\cdot \pmatrix{40\\5\\-0,5} - r\cdot \pmatrix{30\\25\\1} \end{array}$
$ \pmatrix{-20\\ -20\\ -0,5} = … $
Daraus erhältst du folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& -20 &=& 40t -30r \\ \text{II}\quad& -20 &=& 5t -25r \\ \text{III}\quad& -0,5 &=& -0,5t -r \\ \end{array}$
Die dritte Gleichung kannst du nach $r$ umformen:
$\begin{array}[t]{lrll} \text{III}\,& -0,5 &=& -0,5t -r &\quad \scriptsize \mid\; +r \\[5pt] &-0,5 +r &=& -0,5t &\quad \scriptsize \mid\; +0,5\\[5pt] & r &=& 0,5 -0,5t \end{array}$
$ r = 0,5 -0,5t $
Dies kannst du beispielsweise in die erste Gleichung einsetzen:
$\begin{array}[t]{lrll} \text{I}\, & -20 &=& 40t -30r &\quad \scriptsize \mid\; r = 0,5 -0,5t\\[5pt] & -20 &=& 40t -30\cdot (0,5-0,5t) \\[5pt] & -20 &=& 40t -15 + 15t \\[5pt] & -20 &=& 55t -15 &\quad \scriptsize \mid\; +15 \\[5pt] & -5 &=& 55t &\quad \scriptsize \mid\; :55 \\[5pt] & -\frac{1}{11} &=& t \end{array}$
$ t = -\frac{1}{11} $
Einsetzen in $r$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} r &=& 0,5 -0,5t &\quad \scriptsize \mid\; t = -\frac{1}{11} \\[5pt] &=& 0,5 - 0,5\cdot \left(-\frac{1}{11} \right) \\[5pt] &=& \frac{6}{11} \end{array}$
$ r = \frac{6}{11} $
Überprüfe die Ergebnisse nun durch Einsetzen in die zweite Gleichung:
$\begin{array}[t]{lrll} \text{II}\, & -20 &=& 5t -25r &\quad \scriptsize \mid\; t=-\frac{1}{11}; r= \frac{6}{11} \\[5pt] &-20 &=& 5\cdot \left( -\frac{1}{11}\right) - 25\cdot\frac{6}{11} \\[5pt] &-20 &=& -\frac{155}{11} \end{array}$
$ -20 = -\frac{155}{11} $
Dies ist eine falsche Aussage. Die berechneten Werte für $t$ und $r$ erfüllen die zweite Gleichung also nicht. Das Gleichungssystem ist daher nicht lösbar. Das bedeutet, dass sich die Geraden $g$ und $h$ nicht schneiden. Der Autotunnel und der Bahntunnel können sich also nicht kreuzen.
d)
$\blacktriangleright$  Einhalten der Geschwindigkeit überprüfen
1. Schritt: Länge des Bahntunnels berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AB} \right| &=& \left|\pmatrix{40\\ 5 \\ -0,5} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{40^2 +5^2 +(-0,5)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{1.625,25} \\[5pt] &\approx& 40,314\,\text{[LE]} \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{AB} \right| \approx 40,314\,\text{[LE]} $
Der Bahntunnel ist also ca. $ 40,314\,\text{LE} = 4.031,4\,\text{m}$ lang.
2. Schritt: Gesamtstreckenlänge berechnen
Um $09:10$ Uhr fährt die Lok des Güterzuges in den Tunnel. Der Rest des Zuges befindet sich in dem Moment also noch außerhalb des Tunnels.
Um $09:13$ Uhr ist der Güterzug vollständig aus dem Tunnel herausgefahren. Die Zugspitze befindet sich in dem Moment also bereits $700\,\text{m}$ hinter dem Tunnel.
Der Zug legt in den $3$ Minuten also die Tunnellänge und seine eigene Länge zurück. Die gesamte zurückgelegte Strecke ist also:
$ 4.031,4\,\text{m} + 700\,\text{m} = 4.7031,4\,\text{m} \approx 4,7 \,\text{km} $
$ … \approx 4,7 \,\text{km} $
3. Schritt: Geschwindigkeit berechnen
$\dfrac{4,7 \,\text{km}}{3\,\text{min}} = \dfrac{4,7\,\text{km}\cdot 20}{60\,\text{min}} = \dfrac{94\,\text{km}}{\text{h}} $
$ …= \dfrac{94\,\text{km}}{\text{h}} $
Der Zug fährt also mit einer Geschwindigkeit von ca. $94\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ durch den Tunnel. Er hält die zulässige Höchstgeschwindigkeit ein.
#vektorbetrag
e)
$\blacktriangleright$  Punkt bestimmen
Der Punkt $Q$ liegt auf der Geraden $g$ und hat daher folgende Koordinaten:
$Q(30r \mid 40 + 25r \mid 6+r )$
$r$ muss nun so gewählt werden, dass $Q$ der Punkt auf $g$ mit dem kleinsten Abstand zu $P$ ist.
Der Verbindungsvektor $\overrightarrow{PQ}$ liegt daher senkrecht zur Geraden $g.$ Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{PQ}$ mit dem Richtungsvektor von $g$ muss also Null sein.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{PQ} \circ \overrightarrow{SN} &=& 0 \\[5pt] \pmatrix{30r-1\\-11+25r\\ -0,2+r}\circ \pmatrix{30\\25\\1} &=& 0 \\[5pt] (30r -1)\cdot 30 + (-11+25r)\cdot 25 + (-0,2+r)\cdot 1 &=& 0 \\[5pt] 900r -30 -275+625r -0,2+r &=& 0 \\[5pt] 1526r -305,2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+ 305,2 \\[5pt] 1526r &=& 305,2 &\quad \scriptsize \mid\;:1526 \\[5pt] r &=& 0,2 \end{array}$
$ r = 0,2 $
Für $Q$ folgt also:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OQ} &=& \pmatrix{30\cdot 0,2 \\ 40 + 25\cdot 0,2 \\ 6+0,2} \\[5pt] &=& \pmatrix{6 \\ 45 \\ 6,2} \\[5pt] \end{array}$
Damit die Zufahrt die kleinstmögliche Länge hat, muss $Q$ die Koordinaten $Q(6\mid 45\mid 6,2)$ besitzen.
#skalarprodukt
f)
$\blacktriangleright$  Anzahl Möglichkeiten begründen
Bezeichne den neuen Punkt, in dem die Zufahrt auf den Autotunnel trifft mit $Q'.$ $Q'$ soll ebenfalls auf der Geraden $g$ liegen und hat daher Koordinaten der Form:
$Q'(30r \mid 40 +25r \mid 6+r)$
Da $Q'$ auf der Strecke $\overline{SN}$ liegen muss, muss zudem $0\leq r \leq 1$ sein.
Die Strecke $\overline{PQ'}$ soll $1.300\,\text{m} = 13\,\text{LE}$ lang sein.
$\begin{array}[t]{rll} \left| \overrightarrow{PQ'} \right| &=& 13 \\[5pt] \left| \pmatrix{30r-1\\-11+25r\\ -0,2+r}\right|&=& 13 \\[5pt] \sqrt{(30r-1)^2 +(-11+25r)^2 +(-0,2+r)^2 }&=& 13 &\quad \scriptsize \mid\; ^2\\[5pt] (30r-1)^2 +(-11+25r)^2 +(-0,2+r)^2 &=& 169 \\[5pt] 900r^2 - 60r +1 + 121 -550r+625r^2 + 0,04 - 0,4r + r^2 &=& 169 \\[5pt] 1526r^2 -610,4r + 122,04 &=& 169 &\quad \scriptsize \mid\;-169 \\[5pt] 1526r^2 -610,4r -46,96 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:1526 \\[5pt] r^2 -0,4r - \frac{587}{19.075}&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ r^2 … = 0 $
Mit der $pq$-Formel erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} r_{1/2} &=& -\frac{-0,4}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-0,4}{2}\right)^2 + \frac{587}{19.075}} \\[5pt] &=& 0,2 \pm \sqrt{\frac{54}{763}} \\[10pt] r_1&=& 0,2 +\sqrt{\frac{54}{763}} \\[5pt] &\approx& 0,47 \\[10pt] r_2&=& 0,2 -\sqrt{\frac{54}{763}} \\[5pt] &\approx& -0,07 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} r_{1/2} &=& 0,2 \pm \sqrt{\frac{54}{763}} \\[10pt] r_1 &\approx& 0,47 \\[10pt] r_2 &\approx& -0,07 \\[10pt] \end{array}$
Der zweite Wert von $r$ ist negativ, wodurch der zugehörige Punkt auf der Geraden $g$ nicht zwischen den Punkten $S$ und $N$ liegt. Bei dieser Lösung würde die Zufahrt also nicht auf den Autotunnel treffen. Es gibt nur die Lösung $r_1 \approx 0,47.$ Zu jedem Wert von $r$ gehört genau ein Punkt auf der Geraden. Es gibt also nur einen Punkt, in dem die Zufahrt auf den Autotunnel treffen kann, sodass die Zufahrt vom Punkt $P$ aus $1.300\,\text{m}$ lang wäre.
#pq-formel#vektorbetrag
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