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Stochastik 4.1

Aufgaben
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Biathlon

Biathlon ist eine Sportart, die sich aus den Disziplinen Skilanglauf und Schießen zusammensetzt.
Während eines Einzelrennens kommen alle Biathleten mehrmals an Schießstände. Dort versuchen sie, mit fünf Schüssen die fünf schwarzen Zielscheiben zu treffen.
a)
Eine Biathletin hat unabhängig von allen äußeren Umständen eine konstante Trefferwahrscheinlichkeit von $90\;\%$.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse.
$A$: Sie trifft an einem Schießstand alle fünf Scheiben.
$B$: Im gesamten Einzelrennen mit $20$ Schüssen hat sie höchstens einen Fehlschuss.
(4 BE)
b)
Ein Biathlet hat am Schießstand beim ersten Schuss eine Trefferwahrscheinlichkeit von nur $75\;\%$, bei den anderen vier Schüssen von jeweils $90\;\%$.
Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
$F_1$: Er hat einen Fehlschuss beim ersten Schuss, alle anderen Schüsse treffen.
$F_2$: Er hat genau einen Fehlschuss beim 2. bis 5. Schuss, alle anderen Schüsse treffen.
$F_3$: Der Biathlet hat bei seinen fünf Schüssen genau einen Fehlschuss.
(6 BE)
c)
Nach einer Wettkampfsaison wurde die Treffergenauigkeit der gesamten deutschen Biathlon-Mannschaft ausgewertet. Insgesamt gingen $5096$ Schüsse in die Auswertung ein. Dabei ergab sich, dass $811$ Fehlschüsse abgegeben wurden und dass bei den Damen von $2533$ Schüssen $2119$ das Ziel trafen.
Von den betrachteten Biathleten wird eine Person zufällig ausgewählt.
Untersucht werden die folgenden Ereignisse:
$D$: Die Person ist eine Frau.
$T$: Die Person trifft das Ziel.
Erstelle eine Vierfeldertafel zu diesem Sachverhalt.
Prüfe, ob $P_D(T)=P_{\overline{D}}(T)$ gilt.
Interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.
(6 BE)
#vierfeldertafel
Bei einem Staffelrennen, bei dem jeweils vier Biathelten einer Mannschaft nacheinander den Rundkurs absolvieren, gelten abweichende Regeln am Schießstand. Wenn nicht alle fünf Scheiben getroffen wurden, darf jetzt bis zu dreimal nachgeladen und ereneut geschossen werden. Es können also maximal acht Schüsse abgegeben werden.
Es wird im Folgenden wieder von einer konstanten Trefferwahrscheinlichkeit von $p=0,9$ ausgegangen.
d)
Begründe, warum der Term $\left[\pmatrix{5\\4}\cdot0,9^4\cdot0,1^1\right]$ geeignet ist, die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass genau ein Nachlader erforderlich ist, um alle fünf Scheiben zu treffen.
(2 BE)
e)
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei Nachlader erforderlich sind, um alle fünf Scheiben zu treffen.
(3 BE)
f)
Untersucht wird wie in Teilaufgaben d) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau ein Nachlader erforderlich ist. Die Funktion $f$ gibt diese Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Trefferwahrscheinlichkeit $p$ an.
Zeige, dass gilt: $f(p)=5p^5-5p^6$.
Ermitttle, für welchen Wert von $p$ der Funktionswert $f(p)$ maximal wird.
[Hinweis: Ein Nachweis mithilfe einer hinreichenden Bedingung ist nicht erforderlich.]
(4 BE)

(25 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse berechnenStochastik 4.1
Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(A) &=& 0,9^5 \\[5pt] &=& 0,59049 \\[5pt] &=& 59,049\,\% \end{array}$
Betrachte für das Ereignis $B$ die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der Fehlschüsse der betrachteten Biathletin unter den $20$ Schüssen des Einzelrennens beschreibt.
Da die Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Schuss unabhängig von den äußeren Umständen $90\,\%$ beträgt, kann $X$ als binomialverteilt mit $n=20$ und $p = 0,1$ beschrieben werden. Dann folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(X \leq 1) \\[5pt] &=& P(X=0) + P(X=1) \\[5pt] &=& \binom{20}{0}\cdot 0,1^{0}\cdot 0,9^{20} + \binom{20}{1}\cdot 0,1^1 \cdot 0,9^{19} \\[5pt] &\approx& 0,3917 \\[5pt] &=& 39,17\,\% \end{array}$
$ P(B)\approx 39,17\,\% $
#binomialverteilung#pfadregeln
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse berechnen
Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt für $F_1:$
$\begin{array}[t]{rll} P(F_1) &=& 0,25\cdot 0,9^4 \\[5pt] &\approx& 0,1640 \\[5pt] &=& 16,40\,\% \end{array}$
Betrachte nun die Zufallsgröße $Y,$ die die Anzahl der Fehlschüsse unter den letzten vier Schüssen des Biathleten beschreibt. Diese kann aus den gleichen Gründen wie $X$ als binomialverteilt mit $n=4$ und $p=0,1$ angenommen werden.
Zusammen mit der Pfadmultiplikationsregel folgt nun:
$\begin{array}[t]{rll} P(F_2) &=& 0,75\cdot P(Y = 1) \\[5pt] &=& 0,75 \cdot \binom{4}{1}\cdot 0,1^1\cdot 0,9^3 \\[5pt] &=& 0,2187 \\[5pt] &=& 21,87\,\% \\[10pt] P(F_3) &=& 0,25 \cdot P(Y=0) + 0,75\cdot P(Y=1) \\[5pt] &=& 0,25\cdot \binom{4}{0}\cdot 0,1^0\cdot 0,9^{4} + 0,75 \cdot \binom{4}{1}\cdot 0,1^1\cdot 0,9^3 \\[5pt] &\approx& 0,3827 \\[5pt] &=& 38,27\,\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(F_2) &=& 21,87\,\% \\[10pt] P(F_3) &\approx& 38,27\,\% \end{array}$
#pfadregeln#binomialverteilung
c)
$\blacktriangleright$  Vierfeldertafel erstellen
Fülle die Vierfeldertafel nach und nach mit den Zahlen aus der Aufgabenstellung.
$D$$\overline{D}$Gesamt
$T$$2.119$$2.166$$4.285$
$\overline{T}$$414$$397$$811$
Gesamt$2.533$$2.563$$5.096$
$\blacktriangleright$  Gleichung überprüfen
Berechne die bedingten Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Werte aus der Vierfeldertafel:
$\begin{array}[t]{rll} P_D(T)&=& \frac{2.119}{2.533} \\[5pt] &\approx& 0,8366 \\[5pt] &=& 83,66\,\% \\[10pt] P_{\overline{D}}(T)&=& \frac{2.166}{2.563} \\[5pt] &\approx& 0,8451 \\[5pt] &=& 84,51\,\% \end{array}$
Es gilt also nicht $P_D(T) = P_{\overline{D}}(T).$
$\blacktriangleright$  Ergebnis im Sachzusammenhang interpretieren
Die Trefferwahrscheinlichkeit der Damen ist leicht geringer als die Trefferwahrscheinlichkeit der anderen Biathleten.
#bedingtewahrscheinlichkeit
d)
$\blacktriangleright$  Term für die Wahrscheinlichkeit begründen
Damit ein Nachlader erforderlich ist, muss unter den ersten fünf Schüssen mindestens ein Fehlschuss sein. Damit aber nur genau ein Nachlader erforderlich ist, darf es insgesamt nur einen Fehlschuss geben. Es muss also unter den ersten fünf Schüssen genau vier Treffer geben, die Wahrscheinlichkeit dafür wird durch den Term $\binom{5}{4}\cdot 0,9^4\cdot 0,1^1$ beschrieben. Der nachgeladene Schuss muss dann ebenfalls treffen damit kein weiterer Nachlader benötigt wird. Die Wahrscheinlichkeit dafür wird durch $0,9$ beschrieben. Aufgrund der Pfadmultiplikationsregel müssen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ersten fünf Schüssen genau vier Treffer sind und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der erste Nachlader ein Treffer ist, multipliziert werden, so erhält man den angegebenen Term.
#pfadregeln
e)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für genau zwei Nachlader berechnen
Damit genau zwei Nachlader erforderlich sind, müssen unter den ersten sechs Schüssen, die bereits einen ersten Nachlader beinhalten, genau vier Treffer sein und der zweite Nachlader muss anschließend auch ein Treffer sein. Analog zu d) folgt:
$\begin{array}[t]{rll} & \binom{6}{4}\cdot 0,9^4 \cdot 0,1^2 \cdot 0,9 \\[5pt] \approx& 0,0886 \\[5pt] =& 8,86\,\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $8,86\,\%$ sind genau zwei Nachlader erforderlich um alle fünf Scheiben zu treffen.
#binomialverteilung
f)
$\blacktriangleright$  Funktionsterm zeigen
Damit bei einer Trefferwahrscheinlichkeit von $p$ genau ein Nachlader erforderlich ist, müssen unter den ersten fünf Schüssen genau vier Treffer sein. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit wird aufgrund der Formel für die Binomialverteilung beschrieben durch:
$\binom{5}{4}\cdot p^4 \cdot (1-p)^1 $
Darauf folgt dann ein Nachlader, der ein Treffer sein muss. Wegen der Pfadmultiplikationsregel muss die obige Wahrscheinlichkeit also noch einmal mit $p$ multipliziert werden:
$\begin{array}[t]{rll} f(p) =&\binom{5}{4}\cdot p^4 \cdot (1-p)^1 \cdot p \\[5pt] =& 5\cdot p^5\cdot (1-p) \\[5pt] =& 5p^5\cdot 1 - 5p^5\cdot p \\[5pt] =& 5p^5 -5p^6 \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Wert mit maximalem Funktionswert ermitteln
Bestimme die möglichen Extremstellen von $f.$
1. Schritt: Ableitungsfunktion bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(p) &=& 5p^5 -5p^6 \\[5pt] f'(p) &=& 25p^4 -30p^5 \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f'(p) &=& 0 \\[5pt] 25p^4 -30p^5 &=& 0 \\[5pt] p^4\cdot (25 -30p) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; p_1 = 0 \\[5pt] 25 -30p &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -25 \\[5pt] -30p &=& -25 &\quad \scriptsize \mid\; :(-30)\\[5pt] p &=& \frac{5}{6} \end{array}$
$ p=\frac{5}{6} $
Da in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass der Nachweis durch eine hinreichende Bedingung nicht erforderlich ist, kannst du davon ausgehen, dass $p = \frac{5}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit dem maximalen Funktionswert ist.
Für $p= \frac{5}{6}$ ist also der Funktionswert $f(p)$ maximal.
#pfadregeln#extrempunkt
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