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Stochastik 4.2

Aufgaben
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Ausflugsschiff

Ein Unternehmen organisiert Fahrten mit einem Ausflugsschiff.
Betrachtet wird zunächst eine Fahrt, bei der das Schiff mit $60$ Fahrgästen voll besetzt ist.
Zu Beginn der Fahrt werden drei Fahrgästen zufällig ausgewählt; diese erhalten jeweils ein Freigetränk.
#zentraleraufgabenpool
a)
Ermittle die Anzahl möglicher Dreiergruppen, die sich bei der Auswahl ergeben können.
(2 BE)
b)
Zwei Drittel der Fahrgästen kommen aus Deutschland, die übrigen aus anderen Ländern.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die drei ausgewählten Fahrgäste aus Deutschland kommen.
(2 BE)
c)
Unter den Fahrgästen befinden sich Erwachsene und Kinder. Die Hälfte der Fahrgäste isst während der Fahrt ein Eis, von dem Erwachsenen nur jeder Dritte, von den Kindern $75 \,\%$.
Berechne, wie viele Kindern an der Fahrt teilnehmen.
(3 BE)
Möchte man an einer Fahrt teilnehmen, so muss man dafür im Voraus eine Reservierung vornehmen. Erfahrungsgemäß erscheinen von den Personen mit Reservierung einige nicht zur Fahrt. Für die $60$ Plätze lässt das Unternehmen deshalb bis zu $62$ Reservierungen zu. Es soll davon ausgegangen werden, dass für jede Fahrt tatsächlich $62$ Reservierungen vorgenommen werden. Erscheinen mehr als $60$ Personen mit Servierung zur Fahrt, so können nur $60$ von ihnen daran teilnehmen; die übrigen müssen abgewiesen werden. Vereinfachend soll angenommen werden, dass die Anzahl der Personen mit Reservierung, die zur Fahrt erscheinen, binomialverteilt ist, wobei die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, $10 \,\%$ beträgt.
#binomialverteilung
d)
Gib einen Grund dafür an, dass es sich bei dieser Annahme im Sachzusammenhang um eine Vereinfachung handelt.
(1 BE)
e)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Person mit Reservierung abgewiesen werden muss.
(3 BE)
f)
Bei den sogenannten Mondscheinfahrten im Sommer muss erfahrungsgemäß bei $2 \,\%$ der Fahrten jemand mit Reservierung abgewiesen werden.
Ermittle, wie viele Fahrten höchstens durchgeführt werden können, damit die Wahrscheinlichkeit, dass bei mindestens einer Fahrt jemand abgewiesen werden muss, höchstens $50 \,\%$ beträgt.
(4 BE)
Das Unternehmen richtet ein Online-Portal zur Reservierung ein und vermutet, dass dadurch der Anteil der Personen mit Reservierung, die zur jeweiligen Fahrt nicht erscheinen, zunehmen könnte. Als Grundlage für die Entscheidung darüber, ob pro Fahrt künfitg mehr als $62$ Reservierungen zugeealssen werden, soll die Nullhypothese "Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens $10 \, \%.$" mithilfe einer Stichprobe von $200$ Personen mit Reservierung auf einem Signifikanzniveau von $5 \, %$ getestet werden. Vor der Durchführung des Tests wird festgelegt, die Anzahl der für eine Fahrt möglichen Reservierungen nur dann zu erhöhen, wenn die Nullhypothese aufgrund des Testergebnisses abgelehnt werden müsste.
#hypothesentest
g)
Ermittle für die beschriebenen Test die zugehörige Entscheidungsregel.
(5 BE)
h)
Entscheide, ob bei der Wahl der Nullhypothese eher das Interesse, dass weniger Plätze frei bleiben sollen, oder das Interesse, dass nicht mehr Personen mit Reservierung abgewiesen werden müssen, im Vordergrund stand. Begründe Deine Entscheidung.
(3 BE)
i)
Beschreibe den Fehler zweiter Art im Sachzusammenhang.
(2 BE)

(25 BE)
ABCDEFGHIJK
1
2
nkp
3
0,050,100,200,250,30,400,450,50
4
20000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,0000
5
10,00040,00000,00000,00000,00000,00000,00000,0000
6
20,00230,00000,00000,00000,00000,00000,00000,0000
7
30,00910,00000,00000,00000,00000,00000,00000,0000
8
40,02650,00000,00000,00000,00000,00000,00000,0000
9
50,06230,00000,00000,00000,00000,00000,00000,0000
10
60,12370,00020,00000,00000,00000,00000,00000,0000
11
70,21330,00050,00000,00000,00000,00000,00000,0000
12
80,32700,00140,00000,00000,00000,00000,00000,0000
13
90,45470,00350,00000,00000,00000,00000,00000,0000
14
100,58310,00810,00000,00000,00000,00000,00000,0000
15
110,69980,01680,00000,00000,00000,00000,00000,0000
16
120,79650,03210,00000,00000,00000,00000,00000,0000
17
130,87010,05660,00000,00000,00000,00000,00000,0000
18
140,92190,09300,00000,00000,00000,00000,00000,0000
19
150,95560,14310,00000,00000,00000,00000,00000,0000
20
160,97620,20750,00000,00000,00000,00000,00000,0000
21
170,98790,28490,00000,00000,00000,00000,00000,0000
22
180,99420,37240,00000,00000,00000,00000,00000,0000
23
190,99730,46550,00010,00000,00000,00000,00000,0000
24
200,99880,55920,00010,00000,00000,00000,00000,0000
25
210,99950,64840,00020,00000,00000,00000,00000,0000
26
220,99980,72900,00050,00000,00000,00000,00000,0000
27
230,99990,79830,00100,00000,00000,00000,00000,0000
28
240,85510,00200,00000,00000,00000,00000,0000
29
250,89950,00360,00000,00000,00000,00000,0000
30
260,93280,00640,00000,00000,00000,00000,0000
31
270,95660,01100,00010,00000,00000,00000,0000
32
280,97290,01790,00010,00000,00000,00000,0000
33
290,98370,02830,00020,00000,00000,00000,0000
34
300,99050,04300,00040,00000,00000,00000,0000
35
310,99470,06320,00080,00000,00000,00000,0000
36
320,99710,08990,00150,00000,00000,00000,0000
37
330,99850,12390,00260,00000,00000,00000,0000
38
340,99920,16560,00440,00000,00000,00000,0000
39
350,99960,21510,00730,00000,00000,00000,0000
40
360,99980,27170,01170,00010,00000,00000,0000
41
370,99990,33450,01820,00020,00000,00000,0000
42
380,40190,02760,00030,00000,00000,0000
43
390,47180,04050,00050,00000,00000,0000
44
400,54220,05790,00090,00000,00000,0000
45
410,61080,08040,00160,00000,00000,0000
46
420,67580,10890,00270,00000,00000,0000
47
430,73550,14380,00450,00000,00000,0000
48
440,78870,18520,00720,00000,00000,0000
49
450,83490,23320,01110,00000,00000,0000
50
460,87380,28700,01690,00000,00000,0000
51
470,90560,34580,02490,00000,00000,0000
52
480,93100,40830,03600,00000,00000,0000
53
490,95070,47290,05060,00000,00000,0000
54
500,96550,53790,06960,00000,00000,0000
55
510,97640,60170,09340,00000,00000,0000
56
520,98430,66260,12280,00000,00000,0000
57
530,98970,71920,15790,00000,00000,0000
58
540,99340,77070,19890,00010,00000,0000
59
550,99590,81620,24550,00020,00000,0000
60
560,99750,85550,29720,00030,00000,0000
61
570,99850,88850,35320,00050,00000,0000
62
580,99910,91570,41230,00080,00000,0000
63
590,99950,93750,47340,00130,00000,0000
64
600,99970,95460,53480,00210,00000,0000
65
610,99990,96770,59530,00340,00000,0000
66
620,99990,97750,65340,00530,00000,0000
67
630,98460,70790,00800,00010,0000
68
640,98970,75790,01190,00010,0000
69
650,99320,80280,01730,00020,0000
70
660,99560,84210,02470,00040,0000
71
670,99730,87580,03460,00060,0000
#binomialsummenfunktion
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Anzahl möglicher Dreiergruppen ermitteln Stochastik 4.2
Gesucht ist die Anzahl aller möglichen Kombinationen von $3$ Personen aus der Grundmenge der insgesamt $60$ Personen. Es geht dabei nicht um die Reihenfolge der drei Personen und keine Person kann doppelt in einer Dreiergruppe vorkommen. Es handelt sich also um eine ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen .
$\binom{60}{3} = 34.220$
Es gibt $34.220$ mögliche Dreiergruppen.
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Zwei Drittel der $60$ Fahrgäste kommen aus Deutschland. Dies sind also:
$\frac{2}{3}\cdot 60 = 40$
Mit der Pfadmultiplikationsregel erhältst du:
$\frac{40}{60} \cdot \frac{39}{59}\cdot \frac{38}{58} \approx 0,2887 = 28,87\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $28,87\,\%$ kommen die drei ausgewählten Fahrgäste aus Deutschland.
#pfadregeln
c)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Kinder berechnen
Zur Übersicht kannst du ein Baumdiagramm zeichnen. Bezeichne den gesuchten Anteil der Kinder mit $p.$
Stochastik 4.2
Abb. 1: Baumdiagramm
Stochastik 4.2
Abb. 1: Baumdiagramm
Mit den Pfadregeln ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} P(Eis)&=& 0,5 \\[5pt] p\cdot 0,75 + (1-p) \cdot\frac{1}{3} &=& 0,5 \\[5pt] \frac{5}{12}p +\frac{1}{3} &=& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{1}{3} \\[5pt] \frac{5}{12}p &=& \frac{1}{6} &\quad \scriptsize \mid\; :\frac{5}{12} \\[5pt] p &=& 0,4 \end{array}$
$ p=0,4 $
$40\,\%$ der Fahrgäste sind also Kinder. Insgesamt sind es $60$ Fahrgäste.
$0,4\cdot 60 = 24$
An der Fahrt nehmen $24$ Kinder teil.
#pfadregeln#baumdiagramm
d)
$\blacktriangleright$  Vereinfachung begründen
Um die Anzahl der zur Fahrt erscheinenden Personen als binomialverteilt zu betrachten, wird vereinfachend davon ausgegangen, dass jede Person mit einer Reservierung mit gleicher Wahrscheinlichkeit unabhängig von anderen Personen mit Reservierung erscheint oder nicht erscheint. Das ist in der Realität streng genommen nicht gegeben. Reserviert beispielsweise eine Familie mit fünf Personen, so werden vermutlich die Eltern nicht unabhängig von den Kindern entscheiden zur Fahrt anzutreten und umgekehrt, sodass man schon von einer gewissen Abhängigkeit unter den Fahrgästen ausgehen kann.
e)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Es muss mindestens eine Person mit Reservierung abgewiesen werden, wenn höchstens eine Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint. Betrachte dazu die Zufallsvariable $X,$ die die zufällige Anzahl der Personen mit Reservierung beschreibt, die nicht zur Fahrt erscheinen. Diese wird laut Aufgabenstellung als binomialverteilt mit $n=62$ und $p=0,1$ betrachtet.
$\begin{array}[t]{rll} P(X\leq 1)&=& P(X=0) + P(X=1) \\[5pt] &=& \binom{62}{0}\cdot 0,1^0\cdot 0,9^{62} + \binom{62}{1}\cdot 0,1^1\cdot 0,9^{61} \\[5pt] &\approx& 0,0115 \\[5pt] &=& 1,15\,\% \end{array}$
$ P(X\leq 1)\approx 1,15\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $1,15\,\%$ muss mindestens eine Person mit Reservierung abgewiesen werden.
f)
$\blacktriangleright$  Höchstzahl der Fahrten ermitteln
Betrachte die Zufallsgröße $Y,$ die die zufällige Anzahl der Mondscheinfahrten beschreibt, bei denen jemand abgewiesen werden muss. Da die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jemand abgewiesen werden muss erfahrungsgemäß $2\,\%$ beträgt, kann man davon ausgehen, dass diese Wahrscheinlichkeit für jede Fahrt unabhängig von den bisherigen oder zukünftigen Fahrten gilt. $Y$ kann daher als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p=0,02$ angenommen werden. Gesucht ist dann der größte Wert für $n,$ sodass folgende Ungleichung gilt:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y \geq 1 ) & \leq & 0,5 \\[5pt] 1-P(Y=0) &\leq & 0,5 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -P(Y=0) &\leq& -0,5 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] P(Y=0) &\geq & 0,5 \\[5pt] \binom{n}{0} \cdot 0,02^0 \cdot 0,98^{n}&\geq& 0,5 \\[5pt] 0,98^n &\geq& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] n\cdot \ln 0,98 &\geq & \ln 0,5 &\quad \scriptsize \mid\; : \ln 0,98 < 0 \\[5pt] n &\leq & 34 \\[5pt] \end{array}$
$ n \leq 34 $
Es dürfen höchstens $34$ Mondscheinfahrten durchgeführt werden, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei mindestens einer Fahrt jemand abgewiesen werden muss, höchstens $50\,\%$ beträgt.
#binomialverteilung
g)
$\blacktriangleright$  Entscheidungsregel ermitteln
Betrachtet wird die Zufallsgröße $Z,$ die in der Stichprobe von $200$ zufällig ausgewählten Personen mit Reservierung die zufällige Anzahl der Personen mit Reservierung beschreibt, die nicht zur Fahrt erscheinen. Diese kann als binomialverteilt mit $n=200$ und unbekanntem $p$ angenommen werden. Geht man davon aus, dass $Z$ entsprechend der Nullhypothese verteilt ist,
$H_0:\,$ „Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens $10\,\%.$“
so ist $p \leq 0,1,$ sodass man von $p=0,1$ im Extremfall ausgehen kann.
Gesucht ist nun die Entscheidungsgrenze $k,$ für die die Nullhypothese gerade noch abgelehnt wird, obwohl sie eigentlich gilt. Aufgrund des Signifikanzniveaus von $5\,\%$ ist also das kleinste $k$ gesucht, für das gerade noch folgende Ungleichung erfüllt ist:
$\begin{array}[t]{rll} P(Z \geq k)&\leq& 0,05 \\[5pt] 1-P(Z\leq k-1)&\leq& 0,05 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -P(Z\leq k-1)&\leq& -0,95 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] P(Z\leq k-1)&\geq& 0,95 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(Z \geq k)&\leq 0,05 \\[5pt] … \\[5pt] P(Z\leq k-1)&\geq 0,95 \end{array}$
Mithilfe einer Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung für $n=200$ erhältst du mit $p=0,1$ folgende Wahrscheinlichkeiten:
  • $P(Z \geq 26 )\approx 0,9328 < 0,95$
  • $P(Z \geq 27 )\approx 0,9566 > 0,95$
  • $P(Z \geq 26 )\approx …$
  • $P(Z \geq 27 )\approx …$
Es ist also $k-1\geq 27$ und damit $k\geq 28.$
Treten also $28$ oder mehr Fahrgäste aus der Stichprobe ihre Fahrt nicht an, so kann das Unternehmen auf dem Signifikanzniveau von $5\,\%$ davon ausgehen, dass sich der Anteil der Fahrgäste mit Reservierung, die nicht zur Fahrt erscheinen, erhöht hat und wird die Anzahl der für eine Fahrt möglichen Reservierungen erhöhen. Erscheinen weniger als $28$ Personen der Stichprobe nicht zur Fahrt, belässt das Unternehmen die Anzahl der möglichen Reservierungen bei $62.$
#signifikanzniveau#binomialverteilung
h)
$\blacktriangleright$  Hintergrund der Nullhypothese begründen
Die Nullhypothese, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, höchstens $10\,\%$ beträgt, wird nur dann abgelehnt, wenn signifikant mehr Fahrgäste mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheinen, als es auf dem Signifikanzniveau von $5\,\%$ angemessen wäre.
Durch das Signifikanzniveau von $5\,\%$ wird die Wahrscheinlichkeit dafür auf höchstens $5\,\%$ eingeschränkt, fälschlicherweise von einem erhöhten Ausfall auszugehen, obwohl er sich der Ausfall eigentlich doch nicht erhöht hat.
Man beschränkt also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man mehr Reservierungen möglich macht, obwohl sich der Ausfall nicht erhöht hat auf $5\,\%.$ Bei der Wahl der Nullhypothese stand daher das Interesse im Vordergrund, dass nicht mehr Personen mit Reservierung abgewiesen werden müssen.
i)
$\blacktriangleright$  Fehler zweiter Art beschreiben
Beim Fehler 2. Art wird die Nullhypothese fälschlicherweise nicht abgelehnt, obwohl eigentlich eine andere der Gegenhypothese entsprechende Wahrscheinlichkeit gilt. Im Sachzusammenhang würde das Unternehmen fälschlicherweise davon ausgehen, dass sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt antritt nicht verändert hat, obwohl sich die Wahrscheinlichkeit tatsächlich erhöht hat. Das Unternehmen würde dann nicht mehr Reservierungen möglich machen und hätte als Konsequenz vermutlich mehr freie Plätze auf den Fahrten.
Bildnachweise [nach oben]
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