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Analysis 1.1

Aufgaben
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Aufgabe 1.1 CAS: Medikament

Nach der Einnahme eines Medikaments geht der Wirkstoff des Medikaments in das Blut über, wobei sich die Konzentration des Wirkstoffs im Blut mit der Zeit verändert.
Die Konzentration wird für $0 \leq t \leq 6$ durch die Funktion $f$ mit $f(t)=\dfrac{1}{4}t^3 - 3 t^2 + 9t $ beschrieben (Graph siehe Abbildung 1). Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden seit Beginn der Einnahme und $f(t)$ die Konzentration in μg pro Liter.
a)
Gib anhand des Graphen die Zeitintervalle an, in denen die Konzentration des Wirkstoffs im Blut zunimmt und in denen sie abnimmt.
Das Medikament ist nur wirksam, wenn die Konzentration des Wirkstoffs im Blut mindestens $4$ μg pro Liter beträgt.
Berechne die Länge des Zeitintervalls, in dem das Medikament wirksam ist.
Bestimme die Nullstellen von $f$.
(7P)
#intervall#nullstelle
b)
Gib anhand des dargestellten Graphen die Koordinaten des Hochpunktes an.
Weise rechnerisch nach, dass die Konzentration nach $6$ Stunden ein Minimum erreicht.
(5P)
#extrempunkt
c)
Bestimme für den Zeitpunkt $t = 4\,$h die momentane Änderungsrate der Konzentration des Wirkstoffs im Blut.
Berechne den Zeitpunkt, in dem die Konzentration des Wirkstoffs im Blut am stärksten abnimmt.
(5P)
#änderungsrate
d)
Ein Pharmakonzern hat ein anderes Medikament entwickelt, bei dem die Konzentration des Wirkstoffs im Blut im Intervall $[0;5]$ durch die Funktion $k$ mit $k(t)=at^3 + bt^2 + ct$ bestimmt werden kann.
Bekannt ist, dass bei der vorgesehenen Einnahme
  • die Konzentration nach einer Stunde den Wert $3,2$ erreicht,
  • die Konzentration nach $5$ Stunden wieder den Wert null erreicht,
  • bei $t = 5$ sich die Konzentration nicht ändert, d. h. die Änderungsrate auf null sinkt.

Ermittle aus diesen Angaben die Parameter der Funktion $k$.
[Zur Kontrolle: $a = 0,2$ ; $b = −2$ ; $c = 5$]
(6P)
#ganzrationalefunktion#änderungsrate
e)
Untersuche, ob es einen Zeitpunkt $t > 0$ gibt, an dem die beiden Konzentrationen $f$ und $k$ gleich sind.
Die Änderungsraten der beiden Konzentrationen lassen sich anhand der Ableitungsfunktionen $f′$ bzw. $k′$ beschreiben.
Untersuche, ob es im Intervall $[0;5]$ einen Zeitpunkt gibt, in dem die Änderungsraten der beiden Konzentrationen gleich sind.
(8P)
#ableitung
f)
Zeichne den Graphen der Funktion $k$ in das gegebene Koordinatensystem.
Beschreibe anhand der Graphen von $f$ und $k$ drei Unterschiede in der zeitlichen Entwicklung der Konzentration der Medikamente.
Der Pharmakonzern behauptet: „Vom Medikament $f$ wird etwa doppelt so viel Wirkstoff aufgenommen wie vom Medikament $k$.“
Erläutere, wie diese Behauptung überprüft werden könnte.
(9P)
(40P)
#schaubild
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Tipps
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Aufgabe 1.1: Medikament

a)
$\blacktriangleright$  Zeitintervalle für Zunahme und Abnahme angeben
Ein markanter Punkt stellt in diesem Zusammenhang der Hochpunkt dar, da nach diesem die Funktion zunächst einmal fällt. Du kannst diesen durch Betrachten des Graphen bestimmen. Ein Zeitintervall, in dem die Konzentration zunimmt, ist der Bereich von Beginn des Definitionsbereich bis zum Hochpunkt.
$\blacktriangleright$  Zeitintervall, in dem das Medikament wirksam ist, bestimmen
Das Zeitintervall, in dem das Medikament wirksam ist, bestimmst du mit deinem CAS. Hierfür musst du die Grenzen bestimmen, an denen das Medikament eine Konzentration von 4 $\mu g$ hat. Um diese Grenzen zu bestimmen, trägst du die Funktionsgleichung zunächst im Grafics Menu in deinem CAS ein.
$\blacktriangleright$  Nullstellen von f berechnen
Die Nullstellen des Graphen der Funktion bestimmst du mit deinem CAS. Ähnlich wie im vorherigen Aufgabenteil, trägst du die Funktionsgleichung zunächst im Grafics Menu in deinem CAS ein.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Hochpunktes angeben
Hierfür kannst du den Graphen zur Hand nehmen und den Hochpunkt ablesen.
$\blacktriangleright$  Rechnerisch ein Minimum nach 6 Stunden nachweisen
Das Minimum des Graphen der Funktion bestimmst du mit deinem CAS. Ähnlich wie in den vorherigen Aufgabenteilen, trägst du die Funktionsgleichung zunächst im Grafics Menu in deinem CAS ein.
c)
$\blacktriangleright$  Momentane Änderungsrate bei $\boldsymbol{t=4h}$ bestimmen
Um diese zu bestimmen, kannst du $t=4$ in die 1. Ableitung der Funktion einsetzen oder dir mit dem richtigen Befehl den Steigungswert von deinem CAS bestimmen lassen.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt berechnen, bei dem die Konzentration am stärksten abnimmt
Um diesen Zeitpunkt zu bestimmen, kannst du die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von $f(t)$ bestimmen. Dies kannst du mit deinem CAS tun.
d)
$\blacktriangleright$  Parameter der Funktion k ermitteln
Die Form der Funktionsgleichung ist hier bereits vorgegeben. Es gibt drei Funktionsparameter $a$, $b$ und $c$, die bestimmt werden müssen. Dazu musst du die Angaben im Text in mathematische Aussagen übersetzen.
e)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit gleicher Änderungsrate der beiden Funktionen bestimmen
Um dies zu überprüfen, kannst du die Ableitungen der beiden Funktionen gleichsetzen.
f)
$\blacktriangleright$  Graphen der Funktion k zeichnen
Du kannst hier mit Hilfe der Bestimmung markanter Punkte des Graphen beginnen, um schließlich den Graphen in das gegebene Koordinatensystem einzuzeichnen.
$\blacktriangleright$  Drei Unterschiede in der zeitlichen Entwicklung der Graphen f und k beschreiben
Für diese Aufgabe kannst du die beiden Graphen nochmals betrachten und drei beliebige Unterschiede in der zeitlichen Entwicklung beschreiben.
$\blacktriangleright$  Behauptung des Pharmakonzerns überprüfen
Ein Hinweis ist hier, dass es sich um eine insgesamt aufgenommene Menge handelt. Du kannst dies so deuten, dass hier nach einem Integral gefragt ist.
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Lösungen TI
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Aufgabe 1.1: Medikament

a)
$\blacktriangleright$  Zeitintervalle für Zunahme und Abnahme angeben
Ein markanter Punkt stellt in diesem Zusammenhang der Hochpunkt dar, da nach diesem die Funktion zunächst einmal fällt. Du kannst diesen durch Betrachten des Graphen bestimmen. Ein Zeitintervall, in dem die Konzentration zunimmt, ist der Bereich von Beginn des Definitionsbereich bis zum Hochpunkt.
Der Punkt $H (2\,|\,8)$ stellt den Hochpunkt dar.
Der Bereich, in dem die Konzentration zunimmt, ist $0.
Das Zeitintervall vom Hochpunkt bis zum Ende des Definitionsbereichs stellt hier den Bereich dar, in dem die Konzentration abnimmt.
Der Bereich, in dem die Konzentration abnimmt, ist $2.
Wichtig: Beachte den Definitionsbereich $0 \le t \le 6$ der Funktion $f(t)$.
$\blacktriangleright$  Zeitintervall, in dem das Medikament wirksam ist, bestimmen
Das Zeitintervall, in dem das Medikament wirksam ist, bestimmst du mit deinem CAS. Hierfür musst du die Grenzen bestimmen, an denen das Medikament eine Konzentration von 4 $\mu \text{g}$ hat. Um diese Grenzen zu bestimmen, trägst du die Funktionsgleichung zunächst im Grafics Menu in deinem CAS ein.
Danach fügst du eine horizontale Gerade mit der Funktionsgleichung $g(x)=4$ ein. Jetzt wähle:
menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 4: Schnittpunkt
menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 4: Schnittpunkt
Dein CAS zeigt dir jetzt die Schnittpunkte und damit die Grenzen deines gesuchten Bereichs an.
Analysis 1.1
Abb. 1: Schnittpunkte
Analysis 1.1
Abb. 1: Schnittpunkte
Die Länge des Zeitintervals erhältst du aus den $t$-Werten der von dir bestimmten Grenzen.
$\begin{array}[t]{rll} l &=& t_2 - t_1 \\[5pt] l &=& 4 - 0,536 \\[5pt] l &=& 3,464 \end{array}$
Das Zeitinterval ist 3,464 Stunden lang.
$\blacktriangleright$  Nullstellen von $\boldsymbol{f}$ berechnen
Die Nullstellen des Graphen der Funktion bestimmst du mit deinem CAS. Ähnlich wie im vorherigen Aufgabenteil, trägst du die Funktionsgleichung zunächst im Grafics Menu in deinem CAS ein.
Jetzt wähle:
menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 1: Nullstelle
menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 1: Nullstelle
Analysis 1.1
Abb. 2: Nullstellen bestimmen
Analysis 1.1
Abb. 2: Nullstellen bestimmen
Achte darauf, dass du diesen Vorgang für jede Nullstelle wiederholen musst.
Die so bestimmten Nullstellen sind:
$N_1(0 \mid 0)$, $N_2(6 \mid 0)$
#nullstelle#extrempunkt
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Hochpunktes angeben
Hierfür kannst du den Graphen zur Hand nehmen und erkennen, dass der Hochpunkt bei $H=(2\,|\,8)$ liegt.
$\blacktriangleright$  Minimum nach 6 Stunden nachweisen
Das Minimum des Graphen der Funktion bestimmst du mit deinem CAS. Ähnlich wie in den vorherigen Aufgabenteilen, trägst du die Funktionsgleichung zunächst im Grafics Menu in deinem CAS ein.
Jetzt wähle:
menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 2: Minimum
menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 2: Minimum
Analysis 1.1
Abb. 3: Tiefpunkt bestimmen
Analysis 1.1
Abb. 3: Tiefpunkt bestimmen
#extrempunkt
c)
$\blacktriangleright$  Momentane Änderungsrate bei $\boldsymbol{t=4h}$ bestimmen
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A:
Um die Änderungsrate zu bestimmen, kannst du $t=4$ in die 1. Ableitung der Funktion einsetzen:
$f'(4) = \frac{3}{4}\cdot4^2-6\cdot4+9 = -3$
Die momentane Änderungsrate des Graphen bei $t = 4$ beträgt also $-3$ µg pro Liter pro Stunde.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B:
Du kannst die Änderungsrate auch mit deinem CAS bestimmen:
Analysis 1.1
Abb. 4: momentane Änderungsrate bestimmen
Analysis 1.1
Abb. 4: momentane Änderungsrate bestimmen
Wie zu sehen ist, beträgt die Änderungsrate $-3$ µg pro Liter pro Stunde.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt berechnen, bei dem die Konzentration am stärksten abnimmt
Um diesen Zeitpunkt zu bestimmen, kannst den Wendepunkt des Graphen von $f(t)$ bestimmen, da ein Wendepunkt der Punkt ist an dem die Steigung des Graphen der Funktion am höchsten (bzw. niedrigsten) ist. Diesen bestimmst du mit deinem CAS. Ähnlich wie in den vorherigen Aufgabenteilen, trägst du die Funktionsgleichung zunächst im Grafics Menu in deinem CAS ein.
Jetzt wähle:
menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 5: Wendepunkt
menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 5: Wendepunkt
Analysis 1.1
Abb. 5: Wendepunkt bestimmen
Analysis 1.1
Abb. 5: Wendepunkt bestimmen
#änderungsrate#wendepunkt#ableitung
d)
$\blacktriangleright$  Parameter der Funktion k ermitteln
Die Form der Funktionsgleichung ist hier bereits vorgegeben. Es gibt drei Funktionsparameter $a$, $b$ und $c$, die bestimmt werden müssen. Dies kannst du mit Hilfe der in der Aufgabenstellung gegebenen Aussagen und mit deinem CAS tun.
Zunächst definierst du die allgemeine Funktion $k(t)=a \cdot t^3 + b \cdot t^2 + c \cdot t$ und desen Ableitung in deinem CAS.
Danach übersetzt du die im Aufgabentext gegebenen schriftlichen Aussagen in mathematische Aussagen:
  • die Konzentration erreicht nach einer Stunde den Wert 3,2 $\rightarrow$ $f(1)=3,2$
  • die Konzentration erreicht nach 5 Stunden wieder den Wert null $\rightarrow$ $f(5)=0$
  • bei $t=5$ sinkt die Änderungsrate auf null $\rightarrow$ $f'(5)=0$
Diese fügst du mit einem solve-Befehl in deinem CAS ein.
Analysis 1.1
Abb. 6: Bestimmung der Parameter a, b und c
Analysis 1.1
Abb. 6: Bestimmung der Parameter a, b und c
So ergeben sich für die Parameter folgende Werte:
$a=0,2$
$b=-2$
$c=5$
#ganzrationalefunktion
e)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit gleichen Funktionswert der beiden Funktionen bestimmen
Um einen Zeitpunkt zu finden an dem die Konzentration der beiden Medikamente gleich groß ist, setzt du die beiden Funktionsterme der Funktionen in deinem CAS gleich.
Analysis 1.1
Abb. 7: Definieren und gleichsetzen von zwei Funktionstermen
Analysis 1.1
Abb. 7: Definieren und gleichsetzen von zwei Funktionstermen
Wie du siehst, gibt es drei theoretische Werte für $t$, an denen die Konzentration des Medikaments gleich hoch ist. Jedoch sind zwei dieser Werte außerhalb des Definitionsbereichs beider Funktionsgleichungen. $t=0$ scheidet als möglicher Zeitpunkt auch aus, da nach Zeitpunkten $t>0$ in der Aufgabenstellung gefragt ist.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit gleicher Änderungsrate der beiden Funktionen bestimmen
Um einen Zeitpunkt zu finden an dem die Änderungsrate der Konzentration der beiden Medikamente gleich groß ist, setzt du die Funktionsterme der Ableitungen der beiden Funktionen in deinem CAS gleich.
Analysis 1.1
Abb. 8: Bestimmen gleicher Änderungsraten
Analysis 1.1
Abb. 8: Bestimmen gleicher Änderungsraten
Wie du siehst, gibt es zwei theoretische Werte für $t$, an denen die Änderungsrate der Konzentration des Medikaments gleich hoch ist. Jedoch ist $t=10,88$ außerhalb des Definitionsbereichs. Damit ist nur $t=2,45$ ein gesuchter Wert innerhalb des Definitionsbereichs.
Nach 2,45 Stunden ist die Änderungsrate beider Funktionen gleich.
#änderungsrate
f)
$\blacktriangleright$  Graphen der Funktion k zeichnen
Analysis 1.1
Abb. 9: f(t) und k(t)
Analysis 1.1
Abb. 9: f(t) und k(t)
$\blacktriangleright$  Drei Unterschiede in der zeitlichen Entwicklung der Graphen f und k beschreiben
Für diese Aufgabe kannst du die beiden Graphen nochmals betrachten und drei beliebige Unterschiede in der zeitlichen Entwicklung beschreiben, beispielsweise:
  1. Die Konzentration steigt beim Medikament f im Zeitraum $0 schneller an, als beim Medikament k.
  2. Der Hochpunkt der Konzentration wird beim Medikament f zum Zeitpunkt $t_H=2$, beim Medikament k bereits früher, erreicht.
  3. Beim Medikament k ist bereits nach 5 Stunden die Konzentration auf 0 µg pro Liter abgesunken, beim Medikament f dauert dies 6 Stunden.
$\blacktriangleright$  Behauptung des Pharmakonzerns überprüfen
Ein Hinweis ist hier, dass es sich um eine insgesamt aufgenommene Menge handelt. Du kannst dies so deuten, dass hier nach einem Integral gefragt ist. Eine mögliche Lösung wäre also:
Man kann die Behauptungen überprüfen, in dem man für beide Funktionsterme über den Definitionsbereich das Integral bestimmt. Sollte das Ergebnis von $∫f(t)$ hier etwa doppelt so groß wie $∫k(t)$ ausfallen, wäre die Behauptung richtig.
#integral#schaubild
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Aufgabe 1.1: Medikament

a)
$\blacktriangleright$  Zeitintervalle für Zunahme und Abnahme angeben
Ein markanter Punkt stellt in diesem Zusammenhang der Hochpunkt dar, da nach diesem die Funktion zunächst einmal fällt. Du kannst diesen durch Betrachten des Graphen bestimmen. Ein Zeitintervall, in dem die Konzentration zunimmt, ist der Bereich von Beginn des Definitionsbereich bis zum Hochpunkt.
Der Punkt $H (2\,|\,8)$ stellt den Hochpunkt dar.
Der Bereich, in dem die Konzentration zunimmt, ist $0.
Das Zeitintervall vom Hochpunkt bis zum Ende des Definitionsbereichs stellt hier den Bereich dar, in dem die Konzentration abnimmt.
Der Bereich, in dem die Konzentration abnimmt, ist $2.
Wichtig: Beachte den Definitionsbereich $0 \le t \le 6$ der Funktion $f(t)$.
$\blacktriangleright$  Zeitintervall, in dem das Medikament wirksam ist, bestimmen
Das Zeitintervall, in dem das Medikament wirksam ist, bestimmst du mit deinem CAS. Hierfür musst du die Grenzen bestimmen, an denen das Medikament eine Konzentration von 4 $\mu \text{g}$ hat. Um diese Grenzen zu bestimmen, trägst du die Funktionsgleichung zunächst im Grafics Menu in deinem CAS ein.
Danach fügst du eine horizontale Gerade mit der Funktionsgleichung $y2(x)=4$ ein. Jetzt wähle:
Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Schnittpunkt
Analyse $\to$ 6: Grafische Lösung $\to$ Schnittpunkt
Dein CAS zeigt dir jetzt einen Schnittpunkt und damit eine Grenze deines gesuchten Bereichs an.
Mit den Pfeiltasten kannst du andere Schnittpunkte ermitteln.
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Abb. 1: Schnittpunkte
Analysis 1.1
Abb. 1: Schnittpunkte
Die Länge des Zeitintervals erhältst du aus den $t$-Werten der von dir bestimmten Grenzen.
$\begin{array}[t]{rll} l &=& t_2 - t_1 \\[5pt] l &=& 4 - 0,536 \\[5pt] l &=& 3,464 \end{array}$
Das Zeitinterval ist 3,464 Stunden lang.
$\blacktriangleright$  Nullstellen von $\boldsymbol{f}$ berechnen
Die Nullstellen des Graphen der Funktion bestimmst du mit deinem CAS. Ähnlich wie im vorherigen Aufgabenteil, trägst du die Funktionsgleichung zunächst im Grafics Menu in deinem CAS ein.
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Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Nullstelle
menu $\to$ Grafische Lösung $\to$ Nullstelle
Analysis 1.1
Abb. 2: Nullstellen bestimmen
Analysis 1.1
Abb. 2: Nullstellen bestimmen
Achte darauf, dass du diesen Vorgang für jede Nullstelle wiederholen musst.
Die so bestimmten Nullstellen sind:
$N_1(0 \mid 0)$, $N_2(6 \mid 0)$
#nullstelle#extrempunkt
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Hochpunktes angeben
Hierfür kannst du den Graphen zur Hand nehmen und erkennen, dass der Hochpunkt bei $H=(2\,|\,8)$ liegt.
$\blacktriangleright$  Minimum nach 6 Stunden nachweisen
Das Minimum des Graphen der Funktion bestimmst du mit deinem CAS. Ähnlich wie in den vorherigen Aufgabenteilen, trägst du die Funktionsgleichung zunächst im Grafics Menu in deinem CAS ein.
Jetzt wähle:
Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Minimum
Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Minimum
Analysis 1.1
Abb. 3: Tiefpunkt bestimmen
Analysis 1.1
Abb. 3: Tiefpunkt bestimmen
Die Konzentration hat ein Minimum nach 6 Stunden.
#extrempunkt
c)
$\blacktriangleright$  Momentane Änderungsrate bei $\boldsymbol{t=4h}$ bestimmen
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A:
Um die Änderungsrate zu bestimmen, kannst du $t=4$ in die 1. Ableitung der Funktion einsetzen:
$f'(4) = \frac{3}{4}\cdot4^2-6\cdot4+9 = -3$
Die momentane Änderungsrate des Graphen bei $t = 4$ beträgt also $-3$ µg pro Liter pro Stunde.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B:
Du kannst die Änderungsrate auch mit deinem CAS bestimmen:
Analysis 1.1
Abb. 4: momentane Änderungsrate bestimmen
Analysis 1.1
Abb. 4: momentane Änderungsrate bestimmen
Wie zu sehen ist, beträgt die Änderungsrate $-3$ µg pro Liter pro Stunde.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt berechnen, bei dem die Konzentration am stärksten abnimmt
Um diesen Zeitpunkt zu bestimmen, kannst den Wendepunkt des Graphen von $f(t)$ bestimmen, da ein Wendepunkt der Punkt ist an dem die Steigung des Graphen der Funktion am höchsten (bzw. niedrigsten) ist. Diesen bestimmst du mit deinem CAS. Ähnlich wie in den vorherigen Aufgabenteilen, trägst du die Funktionsgleichung zunächst im Grafics Menu in deinem CAS ein.
Jetzt wähle:
menu $\to$ 6: Grafische Lösung $\to$ Wendepunkt
menu $\to$ 6: Grafische Lösung $\to$ Wendepunkt
Analysis 1.1
Abb. 5: Wendepunkt bestimmen
Analysis 1.1
Abb. 5: Wendepunkt bestimmen
Die Konzentration nimmt nach 4 Stunden am stärksten ab.
#änderungsrate#ableitung#wendepunkt
d)
$\blacktriangleright$  Parameter der Funktion k ermitteln
Die Form der Funktionsgleichung ist hier bereits vorgegeben. Es gibt drei Funktionsparameter $a$, $b$ und $c$, die bestimmt werden müssen. Dies kannst du mit Hilfe der in der Aufgabenstellung gegebenen Aussagen und mit deinem CAS tun.
Zunächst definierst du die allgemeine Funktion $k(t)=a \cdot t^3 + b \cdot t^2 + c \cdot t$ und desen Ableitung in deinem CAS.
Danach übersetzt du die im Aufgabentext gegebenen schriftlichen Aussagen in mathematische Aussagen:
  • die Konzentration erreicht nach einer Stunde den Wert 3,2 $\rightarrow$ $f(1)=3,2$
  • die Konzentration erreicht nach 5 Stunden wieder den Wert null $\rightarrow$ $f(5)=0$
  • bei $t=5$ sinkt die Änderungsrate auf null $\rightarrow$ $f'(5)=0$
Diese fügst du mit einem solve-Befehl in deinem CAS ein.
Analysis 1.1
Abb. 6: Bestimmung der Parameter a, b und c
Analysis 1.1
Abb. 6: Bestimmung der Parameter a, b und c
So ergeben sich für die Parameter folgende Werte:
$a=0,2$
$b=-2$
$c=5$
#ganzrationalefunktion
e)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit gleichen Funktionswert der beiden Funktionen bestimmen
Um einen Zeitpunkt zu finden an dem die Konzentration der beiden Medikamente gleich groß ist, setzt du die beiden Funktionsterme der Funktionen in deinem CAS gleich.
Analysis 1.1
Abb. 7: Definieren und gleichsetzen von zwei Funktionstermen
Analysis 1.1
Abb. 7: Definieren und gleichsetzen von zwei Funktionstermen
Wie du siehst, gibt es drei theoretische Werte für $t$, an denen die Konzentration des Medikaments gleich hoch ist. Jedoch sind zwei dieser Werte außerhalb des Definitionsbereichs beider Funktionsgleichungen. $t=0$ scheidet als möglicher Zeitpunkt auch aus, da nach Zeitpunkten $t>0$ in der Aufgabenstellung gefragt ist.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit gleicher Änderungsrate der beiden Funktionen bestimmen
Um einen Zeitpunkt zu finden an dem die Änderungsrate der Konzentration der beiden Medikamente gleich groß ist, setzt du die Funktionsterme der Ableitungen der beiden Funktionen in deinem CAS gleich.
Analysis 1.1
Abb. 8: Bestimmen gleicher Änderungsraten
Analysis 1.1
Abb. 8: Bestimmen gleicher Änderungsraten
Wie du siehst, gibt es zwei theoretische Werte für $t$, an denen die Änderungsrate der Konzentration des Medikaments gleich hoch ist. Jedoch ist $t=10,88$ außerhalb des Definitionsbereichs. Damit ist nur $t=2,45$ ein gesuchter Wert innerhalb des Definitionsbereichs.
Nach 2,45 Stunden ist die Änderungsrate beider Funktionen gleich.
#änderungsrate
f)
$\blacktriangleright$  Graphen der Funktion k zeichnen
Analysis 1.1
Abb. 9: f(t) und k(t)
Analysis 1.1
Abb. 9: f(t) und k(t)
$\blacktriangleright$  Drei Unterschiede in der zeitlichen Entwicklung der Graphen f und k beschreiben
Für diese Aufgabe kannst du die beiden Graphen nochmals betrachten und drei beliebige Unterschiede in der zeitlichen Entwicklung beschreiben, beispielsweise:
  1. Die Konzentration steigt beim Medikament f im Zeitraum $0 schneller an, als beim Medikament k.
  2. Der Hochpunkt der Konzentration wird beim Medikament f zum Zeitpunkt $t_H=2$, beim Medikament k bereits früher, erreicht.
  3. Beim Medikament k ist bereits nach 5 Stunden die Konzentration auf 0 µg pro Liter abgesunken, beim Medikament f dauert dies 6 Stunden.
$\blacktriangleright$  Behauptung des Pharmakonzerns überprüfen
Ein Hinweis ist hier, dass es sich um eine insgesamt aufgenommene Menge handelt. Du kannst dies so deuten, dass hier nach einem Integral gefragt ist. Eine mögliche Lösung wäre also:
Man kann die Behauptungen überprüfen, in dem man für beide Funktionsterme über den Definitionsbereich das Integral bestimmt. Sollte das Ergebnis von $∫f(t)$ hier etwa doppelt so groß wie $∫k(t)$ ausfallen, wäre die Behauptung richtig.
#schaubild#integral
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