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Analysis 1.2

Aufgaben
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Aufgabe 1.2 CAS: Weidezelt

a)
Hersteller $A$ nutzt für die Konstruktion der bogenförmigen Rohre als Modell den Graphen $G_f$ der Funktion $f(x) = -\mathrm e^{0,3x^2} + 5$; $x \in \mathbb{R}$.
(10P)
#extrempunkt
b)
Stell dar, wie mithilfe der Ableitungsregeln die ersten beiden Ableitungen von $f$ gebildet werden.
Gib die Koordinaten des Hochpunktes an.
Weise rechnerisch nach, dass es keine Wendepunkte gibt.
Gib beim Bilden der Ableitungen die verwendeten Ableitungsregeln an.
(12P)
#extrempunkt#wendepunkt#ableitung
c)
(4P)
#rechteck#extrempunkt
d)
(5P)
#ganzrationalefunktion
e)
Weidezelte, die für Lagerzwecke genutzt werden, werden häufig mit Planen für die Frontflächen versehen.
Berechne die Größe der Frontfläche für das Zelt von Hersteller $B$.
Ermittle, um wie viel Prozent die Frontfläche bei Hersteller $B$ kleiner ist als bei Hersteller $A$.
Ein Bauer möchte im Weidezelt von Hersteller $B$ $10$ $\text{t}$ Heu lagern. $1\,\text{m}^3$ Heu hat eine Masse von $100\,\text{kg}$.
Berechne, wie lang das Weidezelt dafür sein müsste.
(9P)
(40P)
#prozentrechnen
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1.2.a
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnen
Du hast einen Funktionsgraph und seine zugehörige Funktion gegeben und sollst anhand dieser die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen berechnen. Die Schnittpunkte lassen sich auch vom gegebenen Schaubild ablesen, du sollst sie aber rechnerisch ermitteln.
Setze für den Schnittpunkt des Graphen mit der $x$-Achse den Funktionsterm gleich Null und bestimme so die Nullstellen. Für den Schnittpunkt mit der $y$-Achse musst du Null in den Funktionsterm einsetzen und nach $x$ lösen.
$\blacktriangleright$  Höhe und Breite bestimmen
Dem Schaubild kannst du entnehmen, dass der Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse dem höchsten Punkt des Zelts entspricht.
$\blacktriangleright$  Größe der Frontfläche berechnen
Den Flächeninhalt der Frontfläche berechnest du mit dem Integral der Funktion $f$. Nutze als Grenzen die beiden Schnittpunkte mit der $x$-Achse. Das Integral kannst du von Hand, aber einfacher auch mit dem CAS berechnen.
Nutze den Integral-Befehl und trage die Grenzen, die Funktion selbst und die Integrationsvariable ein. Diese ist $x$, da $f$ eine Funktion von $x$ ist.
Integral mit CAS
Keyboard $\rightarrow$ Math2 $\rightarrow$ Integral
Integral mit CAS
Keyboard $\rightarrow$ Math2 $\rightarrow$ Integral
1.2.b
$\blacktriangleright$  $f$ ableiten
Du sollst zeigen, wie mithilfe der Ableitungsregeln die ersten beiden Ableitungen von $f$ gebildet werden können. Dies bedeutet, dass du die Funktion zwei mal ableiten musst. Gib dabei, wie gefordert, immer die verwendete Ableitungsregel an.
Achte auf die inneren Ableitungen, da die $\mathrm{e}$-Funktion verkettet ist.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Extrempunkts angeben
Die Koordinaten des Extempunkts hast du in Teil a) schon ausgerechnet.
$\blacktriangleright$  Wendepunkte nachweisen
Du sollst nun rechnerisch nachweisen, dass der Graph von $f$ keine Wendepunkte hat. Für diese gibt es ein notwendiges und ein hinreichendes Kriterium. Trifft jedoch schon das notwendige Kriterium nicht zu, kann $f$ keine Wendestellen haben.
Das notwendige Kriterium lautet $f''(x)=0$. Setze $f$ ein und löse nach $x$. Achte darauf, dass die $\mathrm{e}$-Funktion nie den Wert Null annehmen kann.
1.2.c
$\blacktriangleright$  Funktion des Flächeninhalts aufstellen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die untere Begrenzung für das Netz auf einer Höhe von $2 \text{m}$ befestigt ist. Die obere Begrenzung ist durch zwei Punkte auf dem Graphen $G_f$ festgelegt. Der Flächeninhalt des Netzes ist das Produkt der Höhe und der Breite des Netzes. Um diesen zu bestimmen, gehst du wie folgt vor:
  1. Bestimme die Breite $a$ und die Höhe $b$ in Abhängigkeit von $x$.
  2. Multipliziere $a$ und $b$ um den Flächeninhalt und damit die Zielfunktion in Abhängigkeit von $x$ zu erhalten.
  3. Du sollst außerdem noch die Breite und die Höhe des Netzes bei maximalem Flächeninhalt bestimmen. Untersuche dazu die Funktion des Flächeninhalts nach Maximalstellen.
Analysis 1.2
Abb. 1: Graph $G_f$ mit eingezeichnetem Netz, sowie der Höhe und der Breite.
Analysis 1.2
Abb. 1: Graph $G_f$ mit eingezeichnetem Netz, sowie der Höhe und der Breite.
1.2.d
$\blacktriangleright$ Bestimmen der Funktionsgleichung $\boldsymbol{p(x)}$
Der Aufgabenstellung entnimmst du die allgemeine Form der Funktionsgleichung $p(x)=ax+b$ von $G_p$. Um die Werte $a$ und $b$ zu bestimmen, liest du die Koordinaten von zwei Punkten des Graphen $G_p$ ab und setzt diese in die allgemeine Funktionsgleichung ein. Damit erhältst du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.
1.2.e
$\blacktriangleright$ Größe der Frontfläche bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du den Inhalt der Fläche berechnen, die in Abbildung 3 durch den Graphen $G_p$ nach oben und durch die $x$-Achse nach unten begrenzt wird. Diesen Flächeninhalt kannst du mit dem Integral über die Funktion $p(x)$ bestimmen. Das Integrationsintervall, welches du aus der Abbildung ablesen kannst ist $[-2,2]$. Das Integral kannst du mit deinem CAS berechnen. Das Vorgehen hierfür ist bereits in Teil a) erläutert.
$\blacktriangleright$  Frontfläche von Zelt A mit Zelt B vergleichen
Du sollst berechnen, um wie viel Prozent die Frontfläche des Zelts von Hersteller B (Zelt B) kleiner ist als die Frontfläche des Zelts von Hersteller A (Zelt A). Dies bedeutet, dass die Frontfläche von Zelt A $100\%$ entspricht.
Teile die Fläche von Zelt B durch ein Prozent der Fläche von Zelt A. Damit bestimmst du, wie viel Prozent der Fläche von Zelt A die Frontfläche von Zelt B entsprechen.
$\blacktriangleright$ Länge des Weidezelts berechnen
Du kannst der Aufgabenstellung entnehmen, dass $100 \, \text{kg}$ einem Volumen von $1\text{m}^3$ entsprechen. Damit kannst du das Volumen von zehn Tonnen Heu ($10000\, \text{kg}$) berechnen. Die benötigte Länge kannst du einfach Anhand der Formel für Volumen Grundfläche mal Höhe berechnen.
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1.2.a
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnen
Du hast einen Funktionsgraph und seine zugehörige Funktion gegeben und sollst anhand dieser die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen berechnen. Die Schnittpunkte lassen sich auch vom gegebenen Schaubild ablesen, du sollst sie aber rechnerisch ermitteln.
Setze für den Schnittpunkt des Graphen mit der $x$-Achse den Funktionsterm gleich Null und bestimme so die Nullstellen. Für den Schnittpunkt mit der $y$-Achse musst du Null in den Funktionsterm einsetzen und nach $x$ lösen.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&\stackrel{!}{=}&0 \quad \scriptsize \\[5pt] -\mathrm{e}^{0,3x^{2}} +5 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] -\mathrm{e}^{0,3x^{2}}&=& -5&\quad \scriptsize \mid\; \ln()\\[5pt] 0,3x^{2}&=& \ln(5)&\quad \scriptsize \mid\; :0,3\\[5pt] x^{2}&=& \dfrac{\ln(5)}{0,3}&\quad \scriptsize \mid\; \text{Wurzel ziehen (CAS)}\\[5pt] x_{1,2}&=&\pm 2,3162 \end{array}$
$ x_{1,2}=\pm 2,3162 $
Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
$f(0)=-\mathrm{e}^{0,3\cdot0^{2}}+5= 4$
Somit schneidet der Graph die $x$-Achse an den Punkten $(\pm2,3162\mid0)$ und die $y$-Achse im Punkt $(0\mid4)$.
$\blacktriangleright$  Höhe und Breite bestimmen
Dem Schaubild kannst du entnehmen, dass der Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse dem höchsten Punkt des Zelts entspricht. Also ist das Zelt $4$m hoch. Die maximale Breite hat das Zelt auf dem Boden, sie ergibt sich aus der Distanz zwischen den beiden Schnittpunkten mit der $x$-Achse. Diese betägt $2\cdot2,3162$ und das Zelt ist so $4,6324$m breit.
$\blacktriangleright$  Größe der Frontfläche berechnen
Den Flächeninhalt der Frontfläche berechnest du mit dem Integral der Funktion $f$. Nutze als Grenzen die beiden Schnittpunkte mit der $x$-Achse. Das Integral kannst du von Hand, aber einfacher auch mit dem CAS berechnen.
Nutze den Integral-Befehl und trage die Grenzen, die Funktion selbst und die Integrationsvariable ein. Diese ist $x$, da $f$ eine Funktion von $x$ ist.
Integral mit CAS
MENU $\rightarrow$ 4: Analysis $\rightarrow$ 3: Integral
Integral mit CAS
MENU $\rightarrow$ 4: Analysis $\rightarrow$ 3: Integral
Damit ist
$A=\displaystyle\int_{-2,3162}^{2,3162}(-\mathrm{e}^{0,3x^{2}} +5)\;\mathrm dx = 14,1922$
$A= 14,1922$
.
Die Frontfläche des Zeltes beträgt $14,1922$m$^{2}$.
#nullstelle#schnittpunkt#integral
1.2.b
$\blacktriangleright$  $f$ ableiten
Du sollst zeigen, wie mithilfe der Ableitungsregeln die ersten beiden Ableitungen von $f$ gebildet werden können. Dies bedeutet, dass du die Funktion zwei mal ableiten musst. Gib dabei, wie gefordert, immer die verwendete Ableitungsregel an.
Achte auf die inneren Ableitungen, da die $\mathrm{e}$-Funktion verkettet ist.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -\mathrm{e}^{0,3x^{2}} +5 &\quad \scriptsize \mid\;\text{Kettenregel und Summenregel} \\[5pt] f'(x)&=& -\mathrm{e}^{0,3x^{2}}\cdot(2\cdot0,3x) &\quad \scriptsize \mid\;\text{Kettenregel und Produktregel} \\[5pt] f''(x)&=& -\mathrm{e}^{0,3x^{2}}\cdot(0,6x)\cdot(0,6x)-\mathrm{e}^{0,3x^{2}}\cdot(0,6) &\quad \scriptsize \\[5pt] f''(x)&=& -0,36x^{2}\mathrm{e}^{0,3x^{2}}-0,6\mathrm{e}^{0,3x^{2}}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ f''(x)=… $
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Extrempunkts angeben
Die Koordinaten des Extempunkts hast du in Teil a) schon ausgerechnet. Sie entsprechen den Koordinaten des höchsten Punkts des Zeltes und lauten somit $H(0\mid4)$.
$\blacktriangleright$  Wendepunkte nachweisen
Du sollst nun rechnerisch nachweisen, dass der Graph von $f$ keine Wendepunkte hat. Für diese gibt es ein notwendiges und ein hinreichendes Kriterium. Trifft jedoch schon das notwendige Kriterium nicht zu, kann $f$ keine Wendestellen haben.
Das notwendige Kriterium lautet $f''(x)=0$. Setze $f$ ein und löse nach $x$. Achte darauf, dass die $\mathrm{e}$-Funktion nie den Wert Null annehmen kann.
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] -0,36x^{2}\mathrm{e}^{0,3x^{2}}-0,6\mathrm{e}^{0,3x^{2}}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{Ausklammern}\\[5pt] (-0,36x^2-0,6)\cdot\mathrm{e}^{0,3x^2}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;\text{Satz vom Nullprodukt}\\[5pt] -0,36x^2-0,6&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +0,6\\[5pt] -0,36x^2&=&0,6 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,36)\\[5pt] x^2&=&-1,67 \end{array}$
$ x^2=-1,67 $
Nun müsstest du aus einer negativen Zahl die Wurzel ziehen, um $x$ zu bestimmen. Da dies aber bei rellen Zahlen nicht möglich ist, gibt es keine reelle Lösung für die Gleichung. Somit folgt aus der notwendigen Bedingung, dass $f$ keine Wendestellen hat.
#extrempunkt#ableitung#produktregel#kettenregel
1.2.c
$\blacktriangleright$  Funktion des Flächeninhalts aufstellen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die untere Begrenzung für das Netz auf einer Höhe von $2 \text{m}$ befestigt ist. Die obere Begrenzung ist durch zwei Punkte auf dem Graphen $G_f$ festgelegt. Der Flächeninhalt des Netzes ist das Produkt der Höhe und der Breite des Netzes. Um diesen zu bestimmen, gehst du wie folgt vor:
  1. Bestimme die Breite $a$ und die Höhe $b$ in Abhängigkeit von $x$.
  2. Multipliziere $a$ und $b$ um den Flächeninhalt und damit die Zielfunktion in Abhängigkeit von $x$ zu erhalten.
  3. Du sollst außerdem noch die Breite und die Höhe des Netzes bei maximalem Flächeninhalt bestimmen. Untersuche dazu die Funktion des Flächeninhalts nach Maximalstellen.
Analysis 1.2
Abb. 1: Graph $G_f$ mit eingezeichnetem Netz, sowie der Höhe und der Breite.
Analysis 1.2
Abb. 1: Graph $G_f$ mit eingezeichnetem Netz, sowie der Höhe und der Breite.
Schritt 1: Bestimmen von $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$
Die Breite $a$ ist der Abstand zwischen den beiden Punkten, an denen das Netz die Kurve berührt. Die beiden Berührpunkte von Netzt und $G_f$ sind gleich weit von der $y$-Achse entfernt. Dieser Abstand ist $x$. Damit ist $a=2\cdot x$.
Das Bestimmen der Breite ist etwas aufwendiger. Der Abstand vom Boden bis zum linken Berührpunkt des Netzes entspricht dem Abstand vom Boden bis zum rechten Berührpunkt des Netzes, nämlich gerade $f(x)$. Da das Netz aber nicht bis zum Boden geht, sondern zwei Meter oberhalb endet, ist
$b=f(x)-2$.
Schritt 2: Zielfunktion bestimmen
Die Funktion, welche den Flächeninhalt in Abhängigkeit von $x$ angibt, erhältst du durch Multiplikation von $a$ und $b$:
$Z(x)= a \cdot b = 2x \cdot (f(x)-2) = 2x \cdot (-\mathrm e^{0,3x^2} + 3)$
$ Z(x)= 2x \cdot (-\mathrm e^{0,3x^2} + 3) $
Schritt 3: Bestimmung des Wertes $\boldsymbol{x_M}$, für den der Flächeninhalt maximal wird
Du sollst hier das Maximum der Zielfunktion bestimmen. Dafür kannst du deinen CAS benutzen.
Analysis 1.2
Abb. 2: Graph der Zielfunktion mit Hochpunkt
Analysis 1.2
Abb. 2: Graph der Zielfunktion mit Hochpunkt
Anschaulich bedeutet der Hochpunkt, dass für $x=1,23$ der Flächeninhalt des Netzes maximal ist und dann $3,51$ FE beträgt. Setzte nun den Wert für $x$ in die bereits aufgestellten Gleichungen für $a$ und $b$ ein, um $a$ und $b$ des maximalen Flächeninhalts zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} b&=&-\mathrm{e}^{0,3x^2}+3 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-\mathrm{e}^{0,3(1,23)^2}+3 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&1,42561&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Damit hast du bestimmt, das für $a=2,46$ und $b\approx1,42561$ das Netz den größten Flächeninhalt hat.
#extrempunkt
1.2.d
$\blacktriangleright$ Bestimmen der Funktionsgleichung $\boldsymbol{p(x)}$
Der Aufgabenstellung entnimmst du die allgemeine Form der Funktionsgleichung $p(x)=ax+b$ von $G_p$. Um die Werte $a$ und $b$ zu bestimmen, liest du die Koordinaten von zwei Punkten des Graphen $G_p$ ab und setzt diese in die allgemeine Funktionsgleichung ein. Damit erhältst du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.
Schritt 1: Ablesen der Punkte und einsetzen in $\boldsymbol{p(x)}$
Wähle beim Ablesen der Koordinaten Gitterpunkte des Koordinatensystems, zum Beispiel die Punkte $P_1(-2 \mid 2)$ und $P_2(0 \mid 4)$.
Analysis 1.2
Abb. 3: Weidezelt von Hersteller B.
Analysis 1.2
Abb. 3: Weidezelt von Hersteller B.
Da die Punkte $P_1$ und $P_2$ auf $G_p$ liegen, müssen die folgenden Gleichungen erfüllt sein:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&p(-2)&=\quad 2 \scriptsize\text{}\text{}\text{}\\ \text{II}\quad&p(0)&=\quad4\\ \end{array}$
Nun kannst du mit dem Aufstellen des Gleichungssystems fortfahren:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&a\cdot(-2)^2+b&=\quad 2 \scriptsize\text{}\text{}\text{}\\ \text{II}\quad&a\cdot0^2+b&= \quad 4 \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&4a+b&=\quad 2 \scriptsize\text{}\text{}\text{}\\ \text{II}\quad&b&=\quad 4 \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad …\\ \text{II}\quad … \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad …\\ \text{II}\quad… \\ \end{array}$
Du kannst direkt ablesen, dass der Wert $b=4$ ist. Diesen Wert kannst du in Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach $a$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} 2&=&4a+4 &\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt] -2&=&4a &\quad \scriptsize \mid\;\div 4 \\[5pt] -0,5&=&a \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} -0,5&=&a \end{array}$
Du erhältst also die Werte $a=-0,5$ und $b=4$ und damit die Funktionsgleichung $p(x)=-0,5 x^2+4$.
#ganzrationalefunktion
1.2.e
$\blacktriangleright$ Größe der Frontfläche bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du den Inhalt der Fläche berechnen, die in Abbildung 3 durch den Graphen $G_p$ nach oben und durch die $x$-Achse nach unten begrenzt wird. Diesen Flächeninhalt kannst du mit dem Integral über die Funktion $p(x)$ bestimmen. Das Integrationsintervall, welches du aus der Abbildung ablesen kannst ist $[-2,2]$. Das Integral kannst du mit deinem CAS berechnen. Das Vorgehen hierfür ist bereits in Teil a) erläutert.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}(-0,5x^2+4)\;\mathrm dx&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 13,3333 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 13,3333 \end{array}$
Da alle Angaben in Metern sind, beträgt die Größe der Frontfläche $13,3 \, \text{m}^2$
$\blacktriangleright$  Frontfläche von Zelt A mit Zelt B vergleichen
Du sollst berechnen, um wie viel Prozent die Frontfläche des Zelts von Hersteller B (Zelt B) kleiner ist als die Frontfläche des Zelts von Hersteller A (Zelt A). Dies bedeutet, dass die Frontfläche von Zelt A $100\%$ entspricht.
Teile die Fläche von Zelt B durch ein Prozent der Fläche von Zelt A. Damit bestimmst du, wie viel Prozent der Fläche von Zelt A die Frontfläche von Zelt B entsprechen.
$\begin{array}[t]{rll} A_A&=& 14,1922 &\mathrel{\widehat{=}}& 100\%\quad \scriptsize \\[5pt] &&0,141922&\mathrel{\widehat{=}}&1\%&\quad \scriptsize \\[10pt] \dfrac{A_B}{1\%}&=&\dfrac{13,3333}{0,141922}\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 93,9481 \end{array}$
$ A_B\mathrel{\widehat{=}}93,9481\% $
Der Flächeninhalt der Frontfläche von Zelt B entspricht also $93,9481\%$ der Frontfläche von Zelt A. Somit ist $A_B$ $6,0519\%$ kleiner als $A_A$.
$\blacktriangleright$ Länge des Weidezelts berechnen
Du kannst der Aufgabenstellung entnehmen, dass $100 \, \text{kg}$ einem Volumen von $1\text{m}^3$ entsprechen. Damit kannst du das Volumen von zehn Tonnen Heu ($10000\, \text{kg}$) berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 100 \, \text{kg}&\mathrel{\widehat{=}}& 1 \text{m}^3&\quad \scriptsize \\[5pt] 10000\, \text{kg}&\mathrel{\widehat{=}}& 100\, \text{m}^3 \end{array}$
Die Querschnittsfläche des Weidezelts hat eine Größe von $13,3333\, \text{m}^2$. Um die benötigte Länge zu berechnen, musst du das geforderte Volumen des Zelts durch die Größe der Querschnittsfläche teilen:
$100\, \text{m}^3 \div 13,3333\, \text{m}^2 = 7,50019 \, \text{m}$
$100\, \text{m}^3 …$
.
Das Weidezelt müsste demnach ungefähr $7,5\, \text{m}$ lang sein.
#integral
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1.2.a
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnen
Du hast einen Funktionsgraph und seine zugehörige Funktion gegeben und sollst anhand dieser die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen berechnen. Die Schnittpunkte lassen sich auch vom gegebenen Schaubild ablesen, du sollst sie aber rechnerisch ermitteln.
Setze für den Schnittpunkt des Graphen mit der $x$-Achse den Funktionsterm gleich Null und bestimme so die Nullstellen. Für den Schnittpunkt mit der $y$-Achse musst du Null in den Funktionsterm einsetzen und nach $x$ lösen.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&\stackrel{!}{=}&0 \quad \scriptsize \\[5pt] -\mathrm{e}^{0,3x^{2}} +5 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] -\mathrm{e}^{0,3x^{2}}&=& -5&\quad \scriptsize \mid\; \ln()\\[5pt] 0,3x^{2}&=& \ln(5)&\quad \scriptsize \mid\; :0,3\\[5pt] x^{2}&=& \dfrac{\ln(5)}{0,3}&\quad \scriptsize \mid\; \text{Wurzel ziehen (CAS)}\\[5pt] x_{1,2}&=&\pm 2,3162 \end{array}$
$ x_{1,2}=\pm 2,3162 $
Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
$f(0)=-\mathrm{e}^{0,3\cdot0^{2}}+5= 4$
Somit schneidet der Graph die $x$-Achse an den Punkten $(\pm2,3162\mid0)$ und die $y$-Achse im Punkt $(0\mid4)$.
$\blacktriangleright$  Höhe und Breite bestimmen
Dem Schaubild kannst du entnehmen, dass der Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse dem höchsten Punkt des Zelts entspricht. Also ist das Zelt $4$m hoch. Die maximale Breite hat das Zelt auf dem Boden, sie ergibt sich aus der Distanz zwischen den beiden Schnittpunkten mit der $x$-Achse. Diese betägt $2\cdot2,3162$ und das Zelt ist so $4,6324$m breit.
$\blacktriangleright$  Größe der Frontfläche berechnen
Den Flächeninhalt der Frontfläche berechnest du mit dem Integral der Funktion $f$. Nutze als Grenzen die beiden Schnittpunkte mit der $x$-Achse. Das Integral kannst du von Hand, aber einfacher auch mit dem CAS berechnen.
Nutze den Integral-Befehl und trage die Grenzen, die Funktion selbst und die Integrationsvariable ein. Diese ist $x$, da $f$ eine Funktion von $x$ ist.
Integral mit CAS
Keyboard $\rightarrow$ Math2 $\rightarrow$ Integral
Integral mit CAS
Keyboard $\rightarrow$ Math2 $\rightarrow$ Integral
Damit ist
$A=\displaystyle\int_{-2,3162}^{2,3162}(-\mathrm{e}^{0,3x^{2}} +5)\;\mathrm dx = 14,1922$
$A=14,1922$
.
Die Frontfläche des Zeltes beträgt $14,1922$m$^{2}$.
#nullstelle#schnittpunkt#integral
1.2.b
$\blacktriangleright$  $f$ ableiten
Du sollst zeigen, wie mithilfe der Ableitungsregeln die ersten beiden Ableitungen von $f$ gebildet werden können. Dies bedeutet, dass du die Funktion zwei mal ableiten musst. Gib dabei, wie gefordert, immer die verwendete Ableitungsregel an.
Achte auf die inneren Ableitungen, da die $\mathrm{e}$-Funktion verkettet ist.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -\mathrm{e}^{0,3x^{2}} +5 &\quad \scriptsize \mid\;\text{Kettenregel und Summenregel} \\[5pt] f'(x)&=& -\mathrm{e}^{0,3x^{2}}\cdot(2\cdot0,3x) &\quad \scriptsize \mid\;\text{Kettenregel und Produktregel} \\[5pt] f''(x)&=& -\mathrm{e}^{0,3x^{2}}\cdot(0,6x)\cdot(0,6x)-\mathrm{e}^{0,3x^{2}}\cdot(0,6) &\quad \scriptsize \\[5pt] f''(x)&=& -0,36x^{2}\mathrm{e}^{0,3x^{2}}-0,6\mathrm{e}^{0,3x^{2}}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ f''(x)=… $
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Extrempunkts angeben
Die Koordinaten des Extempunkts hast du in Teil a) schon ausgerechnet. Sie entsprechen den Koordinaten des höchsten Punkts des Zeltes und lauten somit $H(0\mid4)$.
$\blacktriangleright$  Wendepunkte nachweisen
Du sollst nun rechnerisch nachweisen, dass der Graph von $f$ keine Wendepunkte hat. Für diese gibt es ein notwendiges und ein hinreichendes Kriterium. Trifft jedoch schon das notwendige Kriterium nicht zu, kann $f$ keine Wendestellen haben.
Das notwendige Kriterium lautet $f''(x)=0$. Setze $f$ ein und löse nach $x$. Achte darauf, dass die $\mathrm{e}$-Funktion nie den Wert Null annehmen kann.
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] -0,36x^{2}\mathrm{e}^{0,3x^{2}}-0,6\mathrm{e}^{0,3x^{2}}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{Ausklammern}\\[5pt] (-0,36x^2-0,6)\cdot\mathrm{e}^{0,3x^2}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;\text{Satz vom Nullprodukt}\\[5pt] -0,36x^2-0,6&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +0,6\\[5pt] -0,36x^2&=&0,6 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,36)\\[5pt] x^2&=&-1,67 \end{array}$
$ x^2=-1,67 $
Nun müsstest du aus einer negativen Zahl die Wurzel ziehen, um $x$ zu bestimmen. Da dies aber bei rellen Zahlen nicht möglich ist, gibt es keine reelle Lösung für die Gleichung. Somit folgt aus der notwendigen Bedingung, dass $f$ keine Wendestellen hat.
#satzvomnullprodukt#produktregel#kettenregel#extrempunkt#ableitung
1.2.c
$\blacktriangleright$  Funktion des Flächeninhalts aufstellen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die untere Begrenzung für das Netz auf einer Höhe von $2 \text{m}$ befestigt ist. Die obere Begrenzung ist durch zwei Punkte auf dem Graphen $G_f$ festgelegt. Der Flächeninhalt des Netzes ist das Produkt der Höhe und der Breite des Netzes. Um diesen zu bestimmen, gehst du wie folgt vor:
  1. Bestimme die Breite $a$ und die Höhe $b$ in Abhängigkeit von $x$.
  2. Multipliziere $a$ und $b$ um den Flächeninhalt und damit die Zielfunktion in Abhängigkeit von $x$ zu erhalten.
  3. Du sollst außerdem noch die Breite und die Höhe des Netzes bei maximalem Flächeninhalt bestimmen. Untersuche dazu die Funktion des Flächeninhalts nach Maximalstellen.
Analysis 1.2
Abb. 1: Graph $G_f$ mit eingezeichnetem Netz, sowie der Höhe und der Breite.
Analysis 1.2
Abb. 1: Graph $G_f$ mit eingezeichnetem Netz, sowie der Höhe und der Breite.
Schritt 1: Bestimmen von $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$
Die Breite $a$ ist der Abstand zwischen den beiden Punkten, an denen das Netz die Kurve berührt. Die beiden Berührpunkte von Netzt und $G_f$ sind gleich weit von der $y$-Achse entfernt. Dieser Abstand ist $x$. Damit ist $a=2\cdot x$.
Das Bestimmen der Breite ist etwas aufwendiger. Der Abstand vom Boden bis zum linken Berührpunkt des Netzes entspricht dem Abstand vom Boden bis zum rechten Berührpunkt des Netzes, nämlich gerade $f(x)$. Da das Netz aber nicht bis zum Boden geht, sondern zwei Meter oberhalb endet, ist
$b=f(x)-2$.
Schritt 2: Zielfunktion bestimmen
Die Funktion, welche den Flächeninhalt in Abhängigkeit von $x$ angibt, erhältst du durch Multiplikation von $a$ und $b$:
$Z(x)= a \cdot b = 2x \cdot (f(x)-2) = 2x \cdot (-\mathrm e^{0,3x^2} + 3)$
$ Z(x)= 2x \cdot (-\mathrm e^{0,3x^2} + 3) $
Schritt 3: Bestimmung des Wertes $\boldsymbol{x_M}$, für den der Flächeninhalt maximal wird
Du sollst hier das Maximum der Zielfunktion bestimmen. Dafür kannst du deinen CAS benutzen.
Analysis 1.2
Abb. 2: Graph der Zielfunktion mit Hochpunkt
Analysis 1.2
Abb. 2: Graph der Zielfunktion mit Hochpunkt
Anschaulich bedeutet der Hochpunkt, dass für $x=1,2292$ der Flächeninhalt des Netzes maximal ist und dann $3,507$ FE beträgt. Setzte nun den Wert für $x$ in die bereits aufgestellten Gleichungen für $a$ und $b$ ein, um $a$ und $b$ des maximalen Flächeninhalts zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} b&=&-\mathrm{e}^{0,3x^2}+3 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-\mathrm{e}^{0,3(1,2292)^2}+3 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&1,4265&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Damit hast du bestimmt, das für $a=2,4584$ und $b\approx1,4265$ das Netz den größten Flächeninhalt hat.
#extrempunkt
1.2.d
$\blacktriangleright$ Bestimmen der Funktionsgleichung $\boldsymbol{p(x)}$
Der Aufgabenstellung entnimmst du die allgemeine Form der Funktionsgleichung $p(x)=ax+b$ von $G_p$. Um die Werte $a$ und $b$ zu bestimmen, liest du die Koordinaten von zwei Punkten des Graphen $G_p$ ab und setzt diese in die allgemeine Funktionsgleichung ein. Damit erhältst du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.
Schritt 1: Ablesen der Punkte und einsetzen in $\boldsymbol{p(x)}$
Wähle beim Ablesen der Koordinaten Gitterpunkte des Koordinatensystems, zum Beispiel die Punkte $P_1(-2 \mid 2)$ und $P_2(0 \mid 4)$.
Analysis 1.2
Abb. 3: Weidezelt von Hersteller B.
Analysis 1.2
Abb. 3: Weidezelt von Hersteller B.
Da die Punkte $P_1$ und $P_2$ auf $G_p$ liegen, müssen die folgenden Gleichungen erfüllt sein:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&p(-2)&=\quad 2 \scriptsize\text{}\text{}\text{}\\ \text{II}\quad&p(0)&=\quad4\\ \end{array}$
Nun kannst du mit dem Aufstellen des Gleichungssystems fortfahren:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&a\cdot(-2)^2+b&=\quad 2 \scriptsize\text{}\text{}\text{}\\ \text{II}\quad&a\cdot0^2+b&= \quad 4 \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&4a+b&=\quad 2 \scriptsize\text{}\text{}\text{}\\ \text{II}\quad&b&=\quad 4 \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad …\\ \text{II}\quad …\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad …\\ \text{II}\quad … \\ \end{array}$
Du kannst direkt ablesen, dass der Wert $b=4$ ist. Diesen Wert kannst du in Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach $a$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} 2&=&4a+4 &\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt] -2&=&4a &\quad \scriptsize \mid\;\div 4 \\[5pt] -0,5&=&a \end{array}$
Du erhältst also die Werte $a=-0,5$ und $b=4$ und damit die Funktionsgleichung $p(x)=-0,5 x^2+4$.
#ganzrationalefunktion
1.2.e
$\blacktriangleright$ Größe der Frontfläche bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du den Inhalt der Fläche berechnen, die in Abbildung 3 durch den Graphen $G_p$ nach oben und durch die $x$-Achse nach unten begrenzt wird. Diesen Flächeninhalt kannst du mit dem Integral über die Funktion $p(x)$ bestimmen. Das Integrationsintervall, welches du aus der Abbildung ablesen kannst ist $[-2,2]$. Das Integral kannst du mit deinem CAS berechnen. Das Vorgehen hierfür ist bereits in Teil a) erläutert.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}(-0,5x^2+4)\;\mathrm dx&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 13,3333 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 13,3333 \end{array}$
Da alle Angaben in Metern sind, beträgt die Größe der Frontfläche $13,3 \, \text{m}^2$
$\blacktriangleright$  Frontfläche von Zelt A mit Zelt B vergleichen
Du sollst berechnen, um wie viel Prozent die Frontfläche des Zelts von Hersteller B (Zelt B) kleiner ist als die Frontfläche des Zelts von Hersteller A (Zelt A). Dies bedeutet, dass die Frontfläche von Zelt A $100\%$ entspricht.
Teile die Fläche von Zelt B durch ein Prozent der Fläche von Zelt A. Damit bestimmst du, wie viel Prozent der Fläche von Zelt A die Frontfläche von Zelt B entsprechen.
$\begin{array}[t]{rll} A_A&=& 14,1922 &\mathrel{\widehat{=}}& 100\%\quad \scriptsize \\[5pt] &&0,141922&\mathrel{\widehat{=}}&1\%&\quad \scriptsize \\[10pt] \dfrac{A_B}{1\%}&=&\dfrac{13,3333}{0,141922}\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 93,9481 \end{array}$
$ A_B\mathrel{\widehat{=}}93,9481\% $
Der Flächeninhalt der Frontfläche von Zelt B entspricht also $93,9481\%$ der Frontfläche von Zelt A. Somit ist $A_B$ $6,0519\%$ kleiner als $A_A$.
$\blacktriangleright$ Länge des Weidezelts berechnen
Du kannst der Aufgabenstellung entnehmen, dass $100 \, \text{kg}$ einem Volumen von $1\text{m}^3$ entsprechen. Damit kannst du das Volumen von zehn Tonnen Heu ($10000\, \text{kg}$) berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 100 \, \text{kg}&\mathrel{\widehat{=}}& 1 \text{m}^3&\quad \scriptsize \\[5pt] 10000\, \text{kg}&\mathrel{\widehat{=}}& 100\, \text{m}^3 \end{array}$
Die Querschnittsfläche des Weidezelts hat eine Größe von $13,3333\, \text{m}^2$. Um die benötigte Länge zu berechnen, musst du das geforderte Volumen des Zelts durch die Größe der Querschnittsfläche teilen:
$100\, \text{m}^3 \div 13,3333\, \text{m}^2 = 7,50019 \, \text{m}$
$100\, \text{m}^3 …$
Das Weidezelt müsste demnach ungefähr $7,5\, \text{m}$ lang sein.
#integral
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