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Analytische Geometrie 2.1

Aufgaben
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Aufgabe 2.1 CAS: Ikarus

Ein Ballon mit Forschern schwebt in der Ebene $E$: $\vec{x}=\pmatrix{10 \\ 5 \\ 2}+r \cdot \pmatrix{2 \\ 1 \\ 0}+s \cdot \pmatrix{0 \\ 4 \\ 1}$; $r,s \in \mathbb{R}$.
#ebenengleichung
a)
Bestimme den Vektor $\vec{AB}$ und gib eine Gleichung der Geraden $g$ an, auf der die Flugbahn von Ikarus liegt.
Berechne die Länge des Weges, den Ikarus in einer Minute zurücklegt.
Ermittle die Geschwindigkeit von Ikarus in der Einheit $\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
(6P)
#vektoren#geradengleichung
b)
Ikarus ist in der $x$-$y$-Ebene gestartet.
Berechne die Koordinaten des Startpunktes.
Gib an, um welche Uhrzeit Ikarus gestartet ist. Begründe deine Aussage.
(5P)
c)
Bestimme für die Ebene $E$, in der der Ballon mit den Forschern schwebt, eine Gleichung in Normalenform.
[Ein Kontrollergebnis: Ein Normalenvektor für $E$ ist z.B. $\vec{n}=\pmatrix{-1 \\ 2 \\ -8}$.]
Zu einem bestimmten Zeitpunkt war Ikarus im Punkt $Q(-5 \mid -3 \mid 1,5)$.
Weise nach, dass Ikarus zu diesem Zeitpunkt mehr als $250\,\text{m}$ von den Forschern entfernt war.
(6P)
#normalenform#normalenvektor
d)
Berechne die Koordinaten des Punktes, in dem Ikarus die Ebene $E$ des Ballons der Forscher erreicht.
Ikarus trifft in einem sehr kleinen Winkel auf die Ebene $E$.
Bestimme die Größe dieses Winkels.
(9P)
#schnittwinkel
e)
Die Forscher schweben mit ihrem Ballon in ihrer Ebene $E$ längs einer Geraden.
Der Ballon erreicht die Flugbahn des Ikarus in einem Punkt $P$.
Gib mit einer Begründung die Koordinaten von $P$ an.
Ermittle, wie viele Minuten Ikarus nicht weiter als $100\,\text{m}$ von der Ebene des Forscherballons entfernt ist.
(4P)
(30P)
#abstand
Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung $\boldsymbol{g}$ angeben
Du solltst eine Gleichung $g$ angeben, die die Flugbahn von Ikarus zwischen den Punkten $A$ und $B$ beschreibt. Da Ikarus' Flugbahn geradlinig verläuft, handelt es sich bei $g$ um eine Geradengleichung der Form:
$g: \text{ } \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \lambda \cdot \overrightarrow{v}. $
$g: \text{ } \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{v} $
Dabei ist $\vec{a}$ der Ortsvektor des Aufpunkts, also ein beliebiger Punkt auf der Geraden. Hast du zwei Punkte auf der Geraden gegeben, so kannst du den Richtungsvektor $\vec{v}$ der Geraden bestimmen. $\lambda$ ist dabei ein Skalar, also eine variable Größe. Die angegebene Form der Geradengleichung wird als Parameterform bezeichnet.
Da du die Punkte $A$ und $B$ auf der Geraden gegeben hast, kannst du als Aufpunkt den Punkt $A$ und als Richtungsvektor $\overrightarrow{AB}$ nehmen.
$\blacktriangleright$  Zurückgelegte Strecke von Ikarus berechnen
Du sollst hier die Länge des Weges berechnen, den Ikarus in einer Minute zurücklegt, was nichts anderes ist als die Länge des Vektors $\overrightarrow{AB}$. Die Länge eines Vektors $\vec{d} = \pmatrix{a \\ b \\ c}$ bezeichnet man als Betrag. Diesen berechnest du mit der allgemeinen Formel
$|\vec{d}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.$
$|\vec{d}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.$
$\blacktriangleright$  Geschwindigkeit berechnen
Nun sollst du die Geschwindigkeit von Ikarus in der Einheit $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ bestimmen. Du weißt aus dem vorherigen Schritt, dass Ikarus innerhalb einer Minute eine Strecke von $0,7$ km zurückgelegt hat, also war er $0,7$ $\frac{\text{km}}{\text{min}}$ schnell. Eine Stunde hat $60$ Minuten. Um also die Geschwindigkeit in der Einheit $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ anzugeben, musst die Geschwindigkeit $0,7$ $\frac{\text{km}}{\text{min}}$ mit dem Faktor $60$ erweitern.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Startpunkts berechnen
Ikarus startet im Punkt $C$ in der $x$-$y$-Ebene, d.h. $C$ hat die Koordinaten $\overrightarrow{OC} = \pmatrix{c_1 \\ c_2 \\ 0}$. Die Bewegung von Ikarus hast du schon in Teilaufgabe a) mithilfe der Geradengleichung $g$ beschrieben. Um die $x$- und $y$-Koordinaten von $C$ zu bestimmen, musst du $C$ in die Geradengleichung $g$ einsetzen.
$\blacktriangleright$  Startuhrzeit von Ikarus angeben
Du weißt, dass Ikarus für die Strecke $\overline{AB}$ eine Minute braucht. Er ist in $C$ in der $x$-$y$-Ebene gestartet und hat $100$ Strecken (da $\lambda = -100$) der Länge $|\overrightarrow{AB}|$ zurückgelegt bis er um $12$ Uhr in $A$ angekommen ist.
c)
$\blacktriangleright$  Normalenform der Ebenengleichung bestimmen
Du kannst eine Ebene mit Hilfe eines Punktes $P$ (bezeichne $\vec{p}$ als Ortsvektor von $P$) in der Ebene und einem Normalenvektor $\boldsymbol{\vec{n}}$ eindeutig festlegen. Ein Normalenvektor ist dabei ein Vektor, der senkrecht zur Ebene steht. Die Normalenform einer Ebenengleichug ist somit
$E: \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right) \circ \overrightarrow{n}=0. $
$E: \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right)\cdot \overrightarrow{n}=0.$
$\blacktriangleright$  Abstand von mehr als $\boldsymbol{250}$ m nachweisen
Hast du die Normalenform einer Ebene gegeben, so ist der Abstand $d$ zu einem Punkt $P$ gegeben durch
$d = \dfrac{|(\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}.$
$d = \dfrac{|(\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}.$
d)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Ikarus' Flug wird mithilfe der Geradengleichung $g$ beschrieben. Gesucht sind nun die Koordinaten des Punkts $S$ bei dem Ikarus die Ebene $E$ erreicht, d.h. gesucht ist der Schnittpunkt $S$ der Geraden $g$ und der Ebene $E$.
Dafür schreibst du die Ebenengleichung $E$ in Koordinatenform um, setzt die Geradengleichung $g$ in $E$ ein und bestimmst $\lambda$, um $\lambda$ anschließend in die Geradengleichung einzusetzen und den gesuchten Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel Gerade zu Ebene bestimmen
Ikarus trifft bei seinem Flug im Punkt $S$ in einem bestimmten Winkel auf die Ebene der Forscher. Musst du den Schnittwinkel $\boldsymbol{\alpha}$ einer Geraden mit einer Ebenen bestimmen, so kannst du folgende Formel zur Hand nehmen:
$\alpha = \arcsin \left( \dfrac{\left| \vec{u} \circ \vec{n} \right| }{\left| \vec{u} \right| \circ \left| \vec{n} \right| } \right).$
$\alpha = \arcsin \left( \dfrac{|\vec{u} \circ \vec{n}|}{|\vec{u}| \circ |\vec{n}| } \right)$
Dabei ist $\vec{n}$ der Normalenvektor der Ebene und $\vec{u}$ der Richtungsvektor der Geraden.
Da dir beide Vektoren schon bekannt sind, musst du diese nur noch in die gegebene Formel einsetzen.
e)
$\blacktriangleright$  Koordinaten vom Punkt $P$ angeben
Eine Gerade liegt entweder in der Ebene oder schneidet die Ebene in genau einem Punkt.
$\blacktriangleright$  Abstand von $100$ m zur Ebene $E$
Betrachte die nachfolgende Skizze. Du erkennst, dass es sich bei $PSR_1$ und $QSR_2$ um rechtwinklige Dreiecke handelt.
Analytische Geometrie 2.1
Abb. 1: Schnitt der Flugbahn von Ikarus und der Ebene der Forscher
Analytische Geometrie 2.1
Abb. 1: Schnitt der Flugbahn von Ikarus und der Ebene der Forscher
Die Zeit, die Ikarus höchstens $100$ m von der Ebene $E$ entfernt ist, ist die Zeit, die er für die Strecke $\overline{PQ}$ braucht. Die Strecke $\overline{PQ}$ kannst du in die beiden Strecken $\overline{PS}$ und $\overline{SQ}$ aufteilen. Um nun die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ zu berechnen, reicht es dir die Länge einer dieser beiden Strecken zu berechnen, da sie gleich lang sind. Bestimme die Länge der Strecke $\overline{PS}$, die du mithilfe der Winkelfunktionen berechnen kannst.
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a)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung $\boldsymbol{g}$ angeben
Du solltst eine Gleichung $g$ angeben, die die Flugbahn von Ikarus zwischen den Punkten $A$ und $B$ beschreibt. Da Ikarus' Flugbahn geradlinig verläuft, handelt es sich bei $g$ um eine Geradengleichung der Form:
$g: \text{ } \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \lambda \cdot \overrightarrow{v}. $
$g: \text{ } \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{v} $
Dabei ist $\vec{a}$ der Ortsvektor des Aufpunkts, also ein beliebiger Punkt auf der Geraden. Hast du zwei Punkte auf der Geraden gegeben, so kannst du den Richtungsvektor $\vec{v}$ der Geraden bestimmen. $\lambda$ ist dabei ein Skalar, also eine variable Größe. Die angegebene Form der Geradengleichung wird als Parameterform bezeichnet.
Da du die Punkte $A$ und $B$ auf der Geraden gegeben hast, kannst du als Aufpunkt den Punkt $A$ und als Richtungsvektor $\overrightarrow{AB}$ nehmen.
1.Schritt: Richtungsvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{AB}}$ bestimmen
Um den Richtungsvektor $\overrightarrow{AB}$ zu bestimmen, bildest du die Differenz zwischen dem Ortsvektor
$\overrightarrow{OA}$ = $\pmatrix{10 \\ 6 \\ 2}$
und dem Ortsvektor
$\overrightarrow{OB}$ = $\pmatrix{10,6 \\ 6,36 \\ 2,02}.$
Somit beträgt $\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{OB}$ - $\overrightarrow{OA}$ = $\pmatrix{10,6 \\ 6,36 \\ 2,02}$ - $\pmatrix{10 \\ 6 \\ 2}$ = $\pmatrix{0,6 \\ 0,36 \\ 0,02}.$
2.Schritt: Geradengleichung $\boldsymbol{g}$ aufstellen
Da du den Richtungsvektor $\vec{v}$ im 1.Schritt bestimmt hast und als Ortsvektor für den Aufpunkt $\vec{a}$ den Ortsvektor $\vec{OA}$ nehmen kannst, lautet die Geradengleichung $g$
$\begin{array}[t]{rll} \vec{x} &=& \overrightarrow{OA} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB} \\[5pt] &=& \pmatrix{10 \\ 6 \\ 2} + \lambda \cdot \pmatrix{0,6 \\ 0,36 \\ 0,02}. \end{array}$
$\blacktriangleright$  Zurückgelegte Strecke von Ikarus berechnen
Du sollst hier die Länge des Weges berechnen, den Ikarus in einer Minute zurücklegt, was nichts anderes ist als die Länge des Vektors $\overrightarrow{AB}$. Die Länge eines Vektors $\vec{d} = \pmatrix{a \\ b \\ c}$ bezeichnet man als Betrag. Diesen berechnest du mit der allgemeinen Formel
$|\vec{d}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.$
$|\vec{d}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.$
Benutze zur Berechnung von $d$ die Befehlsfolge
menu $\rightarrow$ 7: Matrix und Vektoren $\rightarrow$ 7: Normen $\rightarrow$ 1: Norm.
menu $\rightarrow$ 7: Matrix und Vektoren $\rightarrow$ 7: Normen $\rightarrow$ 1: Norm.
Da eine Längeneinheit einem Kilometer entspricht, hat Ikarus in einer Minute ungefähr $0,7$ km zurückgelegt.
$\blacktriangleright$  Geschwindigkeit berechnen
Nun sollst du die Geschwindigkeit von Ikarus in der Einheit $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ bestimmen. Du weißt aus dem vorherigen Schritt, dass Ikarus innerhalb einer Minute eine Strecke von $0,7$ km zurückgelegt hat, also war er $0,7$ $\frac{\text{km}}{\text{min}}$ schnell. Eine Stunde hat $60$ Minuten. Um also die Geschwindigkeit in der Einheit $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ anzugeben, musst die Geschwindigkeit $0,7$ $\frac{\text{km}}{\text{min}}$ mit dem Faktor $60$ erweitern
$0,7 \text{ } \frac{\text{km}}{\text{min}} \cdot 60 \text{ }\frac{\text{min}}{\text{h}} = 42 \text{ } \frac{\text{km}}{\text{h}}.$
Ikarus fliegt demnach auf der Strecke $\overline{AB}$ mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $42$ $\frac{\text{km}}{\text{h}}$.
#geradengleichung
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Startpunkts berechnen
Ikarus startet im Punkt $C$ in der $x$-$y$-Ebene, d.h. $C$ hat die Koordinaten $\overrightarrow{OC} = \pmatrix{c_1 \\ c_2 \\ 0}$. Die Bewegung von Ikarus hast du schon in Teilaufgabe a) mithilfe der Geradengleichung $g$ beschrieben. Um die $x$- und $y$-Koordinaten von $C$ zu bestimmen, musst du $C$ in die Geradengleichung $g$ einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \vec{C} &=& \overrightarrow{OA} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB} \\[5pt] \pmatrix{c_1 \\ c_2 \\ 0} &=& \pmatrix{10 \\ 6 \\ 2} + \lambda \cdot \pmatrix{0,6 \\ 0,36 \\ 0,02} \\[5pt] \end{array}$
Nun hast du drei Gleichungen gegeben und drei Unbekannte $c_1$, $c_2$ und $\lambda$ sind gesucht. $\lambda$ kannst du mithilfe der letzten Gleichung $0 = 2 + \lambda \cdot 0,02$ bestimmen, sodass sich $c_1$ und $c_2$ direkt ergeben.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 2 + \lambda \cdot 0,02&\quad \scriptsize \mid\ -2; ~ :0,02 \\[5pt] \lambda &=& -100. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 2 + \lambda \cdot 0,02&\quad \\[5pt] \lambda &=& -100. \end{array}$
Folglich sind die Koordinaten von $C$ durch
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{c_1 \\ c_2 \\ 0} &=& \pmatrix{10 \\ 6 \\ 2} - 100 \cdot \pmatrix{0,6 \\ 0,36 \\ 0,02} \\[5pt] &=& \pmatrix{10 \\ 6 \\ 2} - \pmatrix{60 \\ 36 \\ 2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-50 \\ -30 \\ 0} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{c_1 \\ c_2 \\ 0} &=& \pmatrix{-50 \\ -30 \\ 0} \end{array}$
gegeben.
$\blacktriangleright$  Startuhrzeit von Ikarus angeben
Du weißt, dass Ikarus für die Strecke $\overline{AB}$ eine Minute braucht. Er ist in $C$ in der $x$-$y$-Ebene gestartet und hat $100$ Strecken (da $\lambda = -100$) der Länge $|\overrightarrow{AB}|$ zurückgelegt bis er um $12$ Uhr in $A$ angekommen ist, d.h. er hat $100$ Minuten gebraucht, um von $C$ nach $A$ zu fliegen.
Folglich ist Ikarus um $10.20$ Uhr gestartet.
#vektoren
c)
$\blacktriangleright$  Normalenform der Ebenengleichung bestimmen
Du kannst eine Ebene mit Hilfe eines Punktes $P$ (bezeichne $\vec{p}$ als Ortsvektor von $P$) in der Ebene und einem Normalenvektor $\boldsymbol{\vec{n}}$ eindeutig festlegen. Ein Normalenvektor ist dabei ein Vektor, der senkrecht zur Ebene steht. Die Normalenform einer Ebenengleichug ist somit
$E: \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right) \circ \overrightarrow{n}=0. $
$E: \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right)\cdot \overrightarrow{n}=0.$
1.Schritt: Normalenvektor $\boldsymbol{\vec{n}}$ bestimmen
Der Normalenvektor $\vec{n}$ steht senkrecht zur Ebene $E$, d.h. er steht zu den beiden Richtungsvektoren $\vec{r}$ und $\vec{s}$ senkrecht. Das bedeutet, dass das Skalarprodukt von $\vec{n}$ und $\vec{r}$ bzw. $\vec{s}$ gleich Null sein soll.
$\vec{n} \circ \vec{r} = \pmatrix{n_1 \\ n_2 \\ n_3} \circ \pmatrix{2 \\ 1 \\ 0} = 2n_1 + n_2 = 0$
$\vec{n} \circ \vec{r} = \pmatrix{n_1 \\ n_2 \\ n_3} \circ \pmatrix{0 \\ 4 \\ 1} = 4n_2 + n_3 = 0$
$\vec{n} \circ \vec{r} = 0$
$\vec{n} \circ \vec{r} = 0$
Nun hast du $2$ Gleichungen und $3$ unbekannte Variablen gegeben, d.h. du kannst eine unbekannte Variable frei wählen. Wähle also z.B. $n_2 = 2$, demnach folgt für $n_1$ und $n_3$
$\begin{array}[t]{rll} 2n_1 + 2 &=& 0 \\[5pt] n_1 &=& -1 \\[5pt] 4 \cdot 2 + n_3 &=& 0 \\[5pt] n_3 &=& -8 \end{array}$
2.Schritt: Normalenform aufstellen
Der Normalenvektor $\vec{n}$ lautet also $\vec{n} = \pmatrix{-1 \\ 2 \\ -8}$. Somit lautet die Normalenform der Ebenengleichung (wähle dabei als Stützvektor $\pmatrix{10 \\ 5 \\ 2}$)
$E: \left( \overrightarrow{x} - \pmatrix{10 \\ 5 \\ 2} \right) \circ \pmatrix{-1 \\ 2 \\ -8}=0.$
$\blacktriangleright$  Abstand von mehr als $\boldsymbol{250}$ m nachweisen
Hast du die Normalenform einer Ebene gegeben, so ist der Abstand $d$ zu einem Punkt $P$ gegeben durch
$d = \dfrac{|(\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}.$
$d = \dfrac{|(\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}.$
Somit gilt für den Abstand $d$ zwischen dem Punkt $Q$ und der Ebene $E$
$\begin{array}[t]{rll} d &=& \dfrac{\left|\big(\pmatrix{-5 \\ -3 \\ 1,5} - \pmatrix{10 \\ 5 \\ 2} \big) \cdot \pmatrix{-1 \\ 2 \\ -8}\right|}{\left|\pmatrix{-1 \\ 2 \\ -8}\right|} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} d &=& … \end{array}$
Der Abstand beträgt laut Taschenrechner ungefähr $0,36$ km und somit größer als $250$ m.
#normalenform#normalenvektor
d)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Ikarus' Flug wird mithilfe der Geradengleichung $g$ beschrieben. Gesucht sind nun die Koordinaten des Punkts $S$ bei dem Ikarus die Ebene $E$ erreicht, d.h. gesucht ist der Schnittpunkt $S$ der Geraden $g$ und der Ebene $E$.
Dafür schreibst du die Ebenengleichung $E$ in Koordinatenform um, setzt die Geradengleichung $g$ in $E$ ein und bestimmst $\lambda$, um $\lambda$ anschließend in die Geradengleichung einzusetzen und den gesuchten Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.
1.Schritt: Koordinatenform aufstellen
Die Koordinatenform einer Ebene hat die Form
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d. $
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d. $
$E:$

Dabei sind $n_1$, $n_2$, $n_3$ die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene $E$. $d$ ist ein Parameter, der mit Hilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten eines Punktes aus der Ebene ermittelt werden kann. Folglich lautet die Koordinatenform der Ebene $E$
$E: - x_1 + 2 \cdot x_2 - 8 \cdot x_3 = -16. $
2.Schritt: Geradengleichung in Koordinatenform einsetzen
Im letzten Schritt hast du die Koordinatenform der Ebene $E$ bestimmt. Als nächstes setzt du die Geradengleichung $g:$ $\vec{x} = \pmatrix{10 \\ 6 \\ 2} + \lambda \cdot \pmatrix{0,6 \\ 0,36 \\ 0,02}$ in die Koordinatenform der Ebene $E$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} -(10 + \lambda \cdot 0,6) + 2 \cdot (6 + \lambda \cdot 0,36) - 8 \cdot (2 + \lambda \cdot 0,02)&=& -16 \end{array}$
$\lambda = 50$
Löst du diese Gleichung mit dem solve()-Befehl, so erhälst du für $\lambda = 50.$
3.Schritt: Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ bestimmen
Im letzten Schritt setzt du den berechneten Wert für $\lambda$ in die Geradengleichung ein, um den Ortsvektor des Schnittpunkts $S$ zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=& \pmatrix{10 \\ 6 \\ 2} + 50 \cdot \pmatrix{0,6 \\ 0,36 \\ 0,02} \\[5pt] &=& \pmatrix{10 \\ 6 \\ 2} + \pmatrix{30 \\ 18 \\ 1} \\[5pt] &=& \pmatrix{40 \\ 24 \\ 3} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=& \pmatrix{40 \\ 24 \\ 3} \end{array}$
Somit hat der gesuchte Schnittpunkt $S$ die Koordinaten $(40 \mid 24 \mid 3).$
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel Gerade zu Ebene bestimmen
Ikarus trifft bei seinem Flug im Punkt $S$ in einem bestimmten Winkel auf die Ebene der Forscher. Musst du den Schnittwinkel $\boldsymbol{\alpha}$ einer Geraden mit einer Ebenen bestimmen, so kannst du folgende Formel zur Hand nehmen:
$\alpha = \arcsin \left( \dfrac{\left| \vec{u} \circ \vec{n} \right| }{\left| \vec{u} \right| \circ \left| \vec{n} \right| } \right).$
$\alpha = \arcsin \left( \dfrac{|\vec{u} \circ \vec{n}|}{|\vec{u}| \circ |\vec{n}| } \right)$
Dabei ist $\vec{n}$ der Normalenvektor der Ebene und $\vec{u}$ der Richtungsvektor der Geraden.
Da dir beide Vektoren schon bekannt sind, musst du diese nur noch in die gegebene Formel einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \alpha &=& \arcsin \left( \dfrac{\left| \pmatrix{0,6 \\ 0,36 \\ 0,02} \circ \pmatrix{-1 \\ 2 \\ -8} \right| }{\left| \pmatrix{0,6 \\ 0,36 \\ 0,02} \right| \circ \left| \pmatrix{-1 \\ 2 \\ -8} \right| } \right) \\[5pt] &\approx& \arcsin \left( \dfrac{0,04}{0,7 \cdot \sqrt{69}} \right) \\[5pt] &\approx& \arcsin \left( 0,007 \right) \\[5pt] &\approx& 0,4° \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \alpha &\approx& 0,4° \end{array}$
Somit beträgt die Größe des Schnittwinkels $0,4°$.
#schnittwinkel
e)
$\blacktriangleright$  Koordinaten vom Punkt $P$ angeben
Die Forscher schweben auf einer Geraden in der Ebene $E$. Da Ikarus die Ebene nur einmal schneidet, muss $P$ mit dem Schnittpunkt $S$ identisch sein. Also hat $P$ die Koordinaten $(40 \mid 24 \mid 3)$.
$\blacktriangleright$  Abstand von $100$ m zur Ebene $E$
Betrachte die nachfolgende Skizze. Du erkennst, dass es sich bei $PSR_1$ und $QSR_2$ um rechtwinklige Dreiecke handelt.
Analytische Geometrie 2.1
Abb. 2: Schnitt der Flugbahn von Ikarus und der Ebene der Forscher
Analytische Geometrie 2.1
Abb. 2: Schnitt der Flugbahn von Ikarus und der Ebene der Forscher
Die Zeit, die Ikarus höchstens $100$ m von der Ebene $E$ entfernt ist, ist die Zeit, die er für die Strecke $\overline{PQ}$ braucht. Die Strecke $\overline{PQ}$ kannst du in die beiden Strecken $\overline{PS}$ und $\overline{SQ}$ aufteilen. Um nun die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ zu berechnen, reicht es dir die Länge einer dieser beiden Strecken zu berechnen, da sie gleich lang sind. Bestimme die Länge der Strecke $\overline{PS}$, die du mithilfe der Winkelfunktionen berechnen kannst.
$\overline{PS} \approx \dfrac{0,1 \text{ km}}{\sin(0,4°)} \approx 14,3 \text{ km}.$
Die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ entspricht gerade dem Doppelten der Länge von $\overline{PS}$, also
$\overline{PQ} = 2 \cdot 14,3 \text{ km} = 28,6 \text{ km}.$
Da Ikarus mit einer Geschwindigkeit von $42 \frac{\text{ km}}{\text{h}}$ fliegt, braucht er für die Strecke $\dfrac{28,6}{42} \text{ h} \approx 0,68$ h. Also ist er ca. $41$ Minuten nicht weiter als $100$ Meter von der Ebene der Forscher entfernt.
#rechtwinkligesdreieck
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a)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung $\boldsymbol{g}$ angeben
Du solltst eine Gleichung $g$ angeben, die die Flugbahn von Ikarus zwischen den Punkten $A$ und $B$ beschreibt. Da Ikarus' Flugbahn geradlinig verläuft, handelt es sich bei $g$ um eine Geradengleichung der Form:
$g: \text{ } \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \lambda \cdot \overrightarrow{v}. $
$g: \text{ } \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{v} $
Dabei ist $\vec{a}$ der Ortsvektor des Aufpunkts, also ein beliebiger Punkt auf der Geraden. Hast du zwei Punkte auf der Geraden gegeben, so kannst du den Richtungsvektor $\vec{v}$ der Geraden bestimmen. $\lambda$ ist dabei ein Skalar, also eine variable Größe. Die angegebene Form der Geradengleichung wird als Parameterform bezeichnet.
Da du die Punkte $A$ und $B$ auf der Geraden gegeben hast, kannst du als Aufpunkt den Punkt $A$ und als Richtungsvektor $\overrightarrow{AB}$ nehmen.
1.Schritt: Richtungsvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{AB}}$ bestimmen
Um den Richtungsvektor $\overrightarrow{AB}$ zu bestimmen, bildest du die Differenz zwischen dem Ortsvektor
$\overrightarrow{OA}$ = $\pmatrix{10 \\ 6 \\ 2}$
und dem Ortsvektor
$\overrightarrow{OB}$ = $\pmatrix{10,6 \\ 6,36 \\ 2,02}.$
Somit beträgt $\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{OB}$ - $\overrightarrow{OA}$ = $\pmatrix{10,6 \\ 6,36 \\ 2,02}$ - $\pmatrix{10 \\ 6 \\ 2}$ = $\pmatrix{0,6 \\ 0,36 \\ 0,02}.$
2.Schritt: Geradengleichung $\boldsymbol{g}$ aufstellen
Da du den Richtungsvektor $\vec{v}$ im 1.Schritt bestimmt hast und als Ortsvektor für den Aufpunkt $\vec{a}$ den Ortsvektor $\vec{OA}$ nehmen kannst, lautet die Geradengleichung $g$
$\begin{array}[t]{rll} \vec{x} &=& \overrightarrow{OA} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB} \\[5pt] &=& \pmatrix{10 \\ 6 \\ 2} + \lambda \cdot \pmatrix{0,6 \\ 0,36 \\ 0,02}. \end{array}$
$\blacktriangleright$  Zurückgelegte Strecke von Ikarus berechnen
Du sollst hier die Länge des Weges berechnen, den Ikarus in einer Minute zurücklegt, was nichts anderes ist als die Länge des Vektors $\overrightarrow{AB}$. Die Länge eines Vektors $\vec{d} = \pmatrix{a \\ b \\ c}$ bezeichnet man als Betrag. Diesen berechnest du mit der allgemeinen Formel
$|\vec{d}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.$
$|\vec{d}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.$
Somit gilt für den Betrag des Vektors:
Da eine Längeneinheit einem Kilometer entspricht, hat Ikarus in einer Minute ungefähr $0,7$ km zurückgelegt.
$\blacktriangleright$  Geschwindigkeit berechnen
Nun sollst du die Geschwindigkeit von Ikarus in der Einheit $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ bestimmen. Du weißt aus dem vorherigen Schritt, dass Ikarus innerhalb einer Minute eine Strecke von $0,7$ km zurückgelegt hat, also war er $0,7$ $\frac{\text{km}}{\text{min}}$ schnell. Eine Stunde hat $60$ Minuten. Um also die Geschwindigkeit in der Einheit $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ anzugeben, musst die Geschwindigkeit $0,7$ $\frac{\text{km}}{\text{min}}$ mit dem Faktor $60$ erweitern
$0,7 \text{ } \frac{\text{km}}{\text{min}} \cdot 60 \text{ }\frac{\text{min}}{\text{h}} = 42 \text{ } \frac{\text{km}}{\text{h}}.$
Ikarus fliegt demnach auf der Strecke $\overline{AB}$ mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $42$ $\frac{\text{km}}{\text{h}}$.
#geradengleichung
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Startpunkts berechnen
Ikarus startet im Punkt $C$ in der $x$-$y$-Ebene, d.h. $C$ hat die Koordinaten $\overrightarrow{OC} = \pmatrix{c_1 \\ c_2 \\ 0}$. Die Bewegung von Ikarus hast du schon in Teilaufgabe a) mithilfe der Geradengleichung $g$ beschrieben. Um die $x$- und $y$-Koordinaten von $C$ zu bestimmen, musst du $C$ in die Geradengleichung $g$ einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \vec{C} &=& \overrightarrow{OA} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB} \\[5pt] \pmatrix{c_1 \\ c_2 \\ 0} &=& \pmatrix{10 \\ 6 \\ 2} + \lambda \cdot \pmatrix{0,6 \\ 0,36 \\ 0,02} \\[5pt] \end{array}$
Nun hast du drei Gleichungen gegeben und drei Unbekannte $c_1$, $c_2$ und $\lambda$ sind gesucht. $\lambda$ kannst du mithilfe der letzten Gleichung $0 = 2 + \lambda \cdot 0,02$ bestimmen, sodass sich $c_1$ und $c_2$ direkt ergeben.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 2 + \lambda \cdot 0,02&\quad \scriptsize \mid\ -2; ~ :0,02 \\[5pt] \lambda &=& -100. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \lambda &=& -100. \end{array}$
Folglich sind die Koordinaten von $C$ durch
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{c_1 \\ c_2 \\ 0} &=& \pmatrix{10 \\ 6 \\ 2} - 100 \cdot \pmatrix{0,6 \\ 0,36 \\ 0,02} \\[5pt] &=& \pmatrix{10 \\ 6 \\ 2} - \pmatrix{60 \\ 36 \\ 2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-50 \\ -30 \\ 0} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{c_1 \\ c_2 \\ 0} &=& \pmatrix{-50 \\ -30 \\ 0} \end{array}$
gegeben.
$\blacktriangleright$  Startuhrzeit von Ikarus angeben
Du weißt, dass Ikarus für die Strecke $\overline{AB}$ eine Minute braucht. Er ist in $C$ in der $x$-$y$-Ebene gestartet und hat $100$ Strecken (da $\lambda = -100$) der Länge $|\overrightarrow{AB}|$ zurückgelegt bis er um $12$ Uhr in $A$ angekommen ist, d.h. er hat $100$ Minuten gebraucht, um von $C$ nach $A$ zu fliegen.
Folglich ist Ikarus um $10.20$ Uhr gestartet.
#vektoren
c)
$\blacktriangleright$  Normalenform der Ebenengleichung bestimmen
Du kannst eine Ebene mit Hilfe eines Punktes $P$ (bezeichne $\vec{p}$ als Ortsvektor von $P$) in der Ebene und einem Normalenvektor $\boldsymbol{\vec{n}}$ eindeutig festlegen. Ein Normalenvektor ist dabei ein Vektor, der senkrecht zur Ebene steht. Die Normalenform einer Ebenengleichug ist somit
$E: \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right) \circ \overrightarrow{n}=0. $
$E: \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right)\cdot \overrightarrow{n}=0.$
1.Schritt: Normalenvektor $\boldsymbol{\vec{n}}$ bestimmen
Der Normalenvektor $\vec{n}$ steht senkrecht zur Ebene $E$, d.h. er steht zu den beiden Richtungsvektoren $\vec{r}$ und $\vec{s}$ senkrecht. Das bedeutet, dass das Skalarprodukt von $\vec{n}$ und $\vec{r}$ bzw. $\vec{s}$ gleich Null sein soll.
$\vec{n} \circ \vec{r} = \pmatrix{n_1 \\ n_2 \\ n_3} \circ \pmatrix{2 \\ 1 \\ 0} = 2n_1 + n_2 = 0$
$\vec{n} \circ \vec{r} = \pmatrix{n_1 \\ n_2 \\ n_3} \circ \pmatrix{0 \\ 4 \\ 1} = 4n_2 + n_3 = 0$
$\vec{n} \circ \vec{r} = 0$
$\vec{n} \circ \vec{r} = 0$
Nun hast du $2$ Gleichungen und $3$ unbekannte Variablen gegeben, d.h. du kannst eine unbekannte Variable frei wählen. Wähle also z.B. $n_2 = 2$, demnach folgt für $n_1$ und $n_3$
$\begin{array}[t]{rll} 2n_1 + 2 &=& 0 \\[5pt] n_1 &=& -1 \\[5pt] 4 \cdot 2 + n_3 &=& 0 \\[5pt] n_3 &=& -8 \end{array}$
2.Schritt: Normalenform aufstellen
Der Normalenvektor $\vec{n}$ lautet also $\vec{n} = \pmatrix{-1 \\ 2 \\ -8}$. Somit lautet die Normalenform der Ebenengleichung (wähle dabei als Stützvektor $\pmatrix{10 \\ 5 \\ 2}$)
$E: \left( \overrightarrow{x} - \pmatrix{10 \\ 5 \\ 2} \right) \circ \pmatrix{-1 \\ 2 \\ -8}=0.$
$\blacktriangleright$  Abstand von mehr als $\boldsymbol{250}$ m nachweisen
Hast du die Normalenform einer Ebene gegeben, so ist der Abstand $d$ zu einem Punkt $P$ gegeben durch
$d = \dfrac{|(\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}.$
$d = \dfrac{|(\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}.$
Somit gilt für den Abstand $d$ zwischen dem Punkt $Q$ und der Ebene $E$
$\begin{array}[t]{rll} d &=& \dfrac{\left|\big(\pmatrix{-5 \\ -3 \\ 1,5} - \pmatrix{10 \\ 5 \\ 2} \big) \cdot \pmatrix{-1 \\ 2 \\ -8}\right|}{\left|\pmatrix{-1 \\ 2 \\ -8}\right|} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} d &=& … \end{array}$
Der Abstand beträgt laut Taschenrechner ungefähr $0,36$ km und somit größer als $250$ m.
#normalenform#normalenvektor
d)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Ikarus' Flug wird mithilfe der Geradengleichung $g$ beschrieben. Gesucht sind nun die Koordinaten des Punkts $S$ bei dem Ikarus die Ebene $E$ erreicht, d.h. gesucht ist der Schnittpunkt $S$ der Geraden $g$ und der Ebene $E$.
Dafür schreibst du die Ebenengleichung $E$ in Koordinatenform um, setzt die Geradengleichung $g$ in $E$ ein und bestimmst $\lambda$, um $\lambda$ anschließend in die Geradengleichung einzusetzen und den gesuchten Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.
1.Schritt: Koordinatenform aufstellen
Die Koordinatenform einer Ebene hat die Form
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d. $
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d. $
$E:$

Dabei sind $n_1$, $n_2$, $n_3$ die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene $E$. $d$ ist ein Parameter, der mit Hilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten eines Punktes aus der Ebene ermittelt werden kann. Folglich lautet die Koordinatenform der Ebene $E$
$E: - x_1 + 2 \cdot x_2 - 8 \cdot x_3 = -16. $
2.Schritt: Geradengleichung in Koordinatenform einsetzen
Im letzten Schritt hast du die Koordinatenform der Ebene $E$ bestimmt. Als nächstes setzt du die Geradengleichung $g:$ $\vec{x} = \pmatrix{10 \\ 6 \\ 2} + \lambda \cdot \pmatrix{0,6 \\ 0,36 \\ 0,02}$ in die Koordinatenform der Ebene $E$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} -(10 + \lambda \cdot 0,6) + 2 \cdot (6 + \lambda \cdot 0,36) - 8 \cdot (2 + \lambda \cdot 0,02)&=& -16 \end{array}$
$\lambda = 50$
Löst du diese Gleichung mit dem solve()-Befehl, so erhälst du für $\lambda = 50.$
3.Schritt: Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ bestimmen
Im letzten Schritt setzt du den berechneten Wert für $\lambda$ in die Geradengleichung ein, um den Ortsvektor des Schnittpunkts $S$ zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=& \pmatrix{10 \\ 6 \\ 2} + 50 \cdot \pmatrix{0,6 \\ 0,36 \\ 0,02} \\[5pt] &=& \pmatrix{10 \\ 6 \\ 2} + \pmatrix{30 \\ 18 \\ 1} \\[5pt] &=& \pmatrix{40 \\ 24 \\ 3} \end{array}$
Somit hat der gesuchte Schnittpunkt $S$ die Koordinaten $(40 \mid 24 \mid 3).$
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel Gerade zu Ebene bestimmen
Ikarus trifft bei seinem Flug im Punkt $S$ in einem bestimmten Winkel auf die Ebene der Forscher. Musst du den Schnittwinkel $\boldsymbol{\alpha}$ einer Geraden mit einer Ebenen bestimmen, so kannst du folgende Formel zur Hand nehmen:
$\alpha = \arcsin \left( \dfrac{\left| \vec{u} \circ \vec{n} \right| }{\left| \vec{u} \right| \circ \left| \vec{n} \right| } \right).$
$\alpha = \arcsin \left( \dfrac{|\vec{u} \circ \vec{n}|}{|\vec{u}| \circ |\vec{n}| } \right)$
Dabei ist $\vec{n}$ der Normalenvektor der Ebene und $\vec{u}$ der Richtungsvektor der Geraden.
Da dir beide Vektoren schon bekannt sind, musst du diese nur noch in die gegebene Formel einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \alpha &=& \arcsin \left( \dfrac{\left| \pmatrix{0,6 \\ 0,36 \\ 0,02} \circ \pmatrix{-1 \\ 2 \\ -8} \right| }{\left| \pmatrix{0,6 \\ 0,36 \\ 0,02} \right| \circ \left| \pmatrix{-1 \\ 2 \\ -8} \right| } \right) \\[5pt] &\approx& \arcsin \left( \dfrac{0,04}{0,7 \cdot \sqrt{69}} \right) \\[5pt] &\approx& \arcsin \left( 0,007 \right) \\[5pt] &\approx& 0,4° \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \alpha&\approx& 0,4° \end{array}$
Somit beträgt die Größe des Schnittwinkels $0,4°$.
#schnittwinkel
e)
$\blacktriangleright$  Koordinaten vom Punkt $P$ angeben
Die Forscher schweben auf einer Geraden in der Ebene $E$. Da Ikarus die Ebene nur einmal schneidet, muss $P$ mit dem Schnittpunkt $S$ identisch sein. Also hat $P$ die Koordinaten $(40 \mid 24 \mid 3)$.
$\blacktriangleright$  Abstand von $100$ m zur Ebene $E$
Betrachte die nachfolgende Skizze. Du erkennst, dass es sich bei $PSR_1$ und $QSR_2$ um rechtwinklige Dreiecke handelt.
Analytische Geometrie 2.1
Abb. 2: Schnitt der Flugbahn von Ikarus und der Ebene der Forscher
Analytische Geometrie 2.1
Abb. 2: Schnitt der Flugbahn von Ikarus und der Ebene der Forscher
Die Zeit, die Ikarus höchstens $100$ m von der Ebene $E$ entfernt ist, ist die Zeit, die er für die Strecke $\overline{PQ}$ braucht. Die Strecke $\overline{PQ}$ kannst du in die beiden Strecken $\overline{PS}$ und $\overline{SQ}$ aufteilen. Um nun die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ zu berechnen, reicht es dir die Länge einer dieser beiden Strecken zu berechnen, da sie gleich lang sind. Bestimme die Länge der Strecke $\overline{PS}$, die du mithilfe der Winkelfunktionen berechnen kannst.
$\overline{PS} \approx \dfrac{0,1 \text{ km}}{\sin(0,4°)} \approx 14,3 \text{ km}.$
Die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ entspricht gerade dem Doppelten der Länge von $\overline{PS}$, also
$\overline{PQ} = 2 \cdot 14,3 \text{ km} = 28,6 \text{ km}.$
Da Ikarus mit einer Geschwindigkeit von $42 \frac{\text{ km}}{\text{h}}$ fliegt, braucht er für die Strecke $\dfrac{28,6}{42} \text{ h} \approx 0,68$ h. Also ist er ca. $41$ Minuten nicht weiter als $100$ Meter von der Ebene der Forscher entfernt.
#rechtwinkligesdreieck
Bildnachweise [nach oben]
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