Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BE, Integrierte Sekundarschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Mittlerer Schulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Abitur GK (CA...
Prüfung
wechseln
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Mittlerer Schulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Analytische Geometrie 2.2

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord

Aufgabe 2.2 CAS: Gartenhaus

#pyramide#fünfeck
a)
(9P)
#vektoren
b)
Die Firstkanten des Daches sind die vier Kanten der Pyramide, die sich im Punkt $S$ treffen.
Berechne die Länge einer Firstkante und die Größe des Winkels, den zwei benachbarte Firstkanten an der Spitze $S$ einschließen.
(6P)
#winkel
c)
Das Dach soll mit Dachziegeln gedeckt werden. Ein Paket Dachziegel reicht für $3,1\,\text{m}^2$ Dachfläche.
Untersuche, ob drei Pakete ausreichend sind, um das gesamte Dach zu decken.
(5P)
#pyramide
d)
Zu einer bestimmten Tageszeit fällt das Sonnenlicht parallel zur Dachkante $\overline{D_1S}$ ein und erzeugt von $D_1$ und $S$ einen gemeinsamen Schattenpunkt $S_1$ und von $D_2$ einen Schattenpunkt $S_2$ in der $x$-$y$-Ebene.
Berechne die Koordinaten der beiden Schattenpunkte.
Weise nach, dass die Schattenlinie $\overline{S_1S_2}$ parallel zur Dachkante $\overline{D_1D_2}$ verläuft.
(6P)
#vektoren#parallel
e)
Wähle zwei geeignete Eckpunkte des Daches so aus, dass deren Schattenlinie senkrecht zu $\overline{S_1S_2}$ verläuft. Begründe deine Wahl.
(4P)
(30P)
#orthogonal
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF
a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten angeben
In diesem Aufgabenteil sollst du die Koordinaten der Punkte $G_1, G_3$, und $D_2$ bestimmen. Als Hilfe dient dir dabei die Skizze des Grundrisses.
In der Skizze erkennt man, dass die $x$-Koordinate des Punktes $G_1$ gleich der des Punktes $G_2$ ist. .
Analog zur Bestimmung von $G_1$ gehst du auch bei $G_3$ vor.
Da der Punkt $D_2$ senkrecht zur $x$-$y$-Ebene über $G_2$ liegt, kannst du dessen $x$- und $y$-Koordinaten von $G_2$ übernehmen. Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass die Punkte der Decke um $z $ höher sind als die der Grundfäche.
$\blacktriangleright$  Punkt auf der Geraden nachweisen
Nun sollst du nachweisen, dass der Punkt $D_1(2\mid0\mid2)$ auf folgender Geraden liegt:
$g : \vec{x} =\begin{pmatrix} 5\\ -3 \\ 0,8\end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\ -1\\-0,4\end{pmatrix}$.
Dazu setzt du den Punkt $D_2$ mit der Geraden $g$ gleich und überprüfst, ob das Gleichungssystem lösbar ist.
$\blacktriangleright$  Höhe des Gartenhauses bestimmen
Im letzten Teil sollst du nun die Höhe $h$ des Gartenhauses berechnen. In der Aufgabenstellung ist gegeben, dass der Punkt $S(0,5\mid1,5\mid h)$ auf der Geraden $g$ liegt. Da du bereits die $x$- und $y$-Koordinaten von Punkt $S$ kennst, kannst du diese mit der Geraden $g$ gleichsetzen und damit $h$ bestimmen.
b)
$\blacktriangleright$  Länge der Firstkanten berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Länge einer Firstkante bestimmen. Die Firstkanten sind hierbei die Kanten der Pyramide. Zur besseren Vorstellung kannst du die Firstkanten in den Grundriss einzeichnen.
Skizze:
Du berechnest nun die Länge der Firstkante von $D_1$ nach $S$. Es kann auch jede andere Firstkante analog dazu bestimmt werden. Hierzu subtrahierst du die Koordinaten von Punkt $S$ von den Koordinaten von Punkt $D_1$, um den Abstand zu bestimmen.
Mithilfe des CAS kannst du jetzt die Länge der Strecke von $D_1$ nach $S$ bestimmen.
$\blacktriangleright$  Größe des Winkels zwischen zwei benachbarten Firstkanten berechnen
Die Größe des Winkels zwischen zwei Firstkanten bestimmst du mithilfe der Cosinusfunktion. In der Skizze ist der Winkel $\alpha$, dessen Größe du bestimmen willst, eingezeichnet. Außerdem sind die Seitenlängen des Dreiecks, die Firstkante und die Gegenkatete gekennzeichnet.
Skizze:
Da du hier nur die Hälfte der Größe des Winkels, welchen zwei Firstkanten aufspannen, bestimmt hast, musst du $\alpha$ noch mit zwei multiplizieren
Je nach CAS kannst du den Winkel zwischen den Firstkanten auch über die Vektoren $\overrightarrow{S D_1}$ und $\overrightarrow{S D_2}$ mit einem entsprechenden Befehl bestimmen.
c)
$\blacktriangleright$  Dachfläche bestimmen
In diesem Aufgabeteil sollst du untersuchen, ob das Dach mit 3 Ziegelpaketen gedeckt werden kann. Dazu bestimmst du zuerst den Flächeninhalt der gesamten Dachfläche. Dann bestimmst du den Flächeninhalt der Fläche, welche mit 3 Ziegelpaketen maximal gedeckt werden kann. Am Schluss vergleichst du, ob die Ziegel für das Dach ausreichen.
Zuerst bestimmst du die Höhe h, welche in der Skizze eingezeichnet ist. Sie lässt sich beispielsweise mit dem Satz des Pythagoras bestimmen.
Den Flächeninhalt einer Dachfläche kannst du nun mit der Flächeninhaltsformel für Dreiecke bestimmen.
Da das Dach aus vier solcher Flächen besteht multiplizierst du den Flächeninhalt noch mit $4$.
Nun bestimmst du den Flächeninhalt, welchen du mit 3 Ziegelpaketen bedecken kannst.
Am Schluss vergleichst du die Größen der beiden Dachflächen.
d)
$\blacktriangleright$  Schattenpunkt $S_1$ bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Koordinaten vom Schattenpunkt $S_1$ bestimmen, welchen die Punkte $S$ und $D$ erzeugen. In der Aufgabenstellung ist bereits gegeben, dass die Sonne in der Verlängerung der Verbindungslinie von $S$ und $D_1$ steht. Diese Verbindungslinie ist durch die Gerade $g$ aus Aufgabenteil b gegeben. Außerdem weißt du, dass der Schatten auf der $x$-$y$ -Ebene liegt. Dadurch muss die $z$- Koordinate Null sein. Nun kannst du die dritte Zeile der Geraden $g$ mit Null gleichsetzen und nach r umstellen.
Nun kannst du $r$ in die erste und die zweite Zeile einsetzen, um die $x$- und die $y$- Koordinate zu berechnen.
Analog kannst du die $y$- Koordinate bestimmen.
$\blacktriangleright$  Parallelität zweier Kanten nachweisen
In diesem Aufgabenteil sollst du nachweisen, dass die Dachkante von $D_1$nach $D_2$ parallel zur Schattenkante von $S_1$zu $S_2$ verläuft. Zum besseren Verständnis kannst du eine Skizze anfertigen, in der du alle vier Punkte einträgst und dann die Verbindunglinien einzeichnest. Skizze:…..
In der Skizze erkennst du, dass beide Geraden parallel zur $y$-Achse verlaufen. Außerdem liegt die Gerade, welche die beiden Schattenpunkte erzeugen, in der $x$-$y$ - Ebene. Die Gerade, welche die beiden Dachpunkte erzeugen liegt bei $y$ = $2$ parallel zur $x$-$y$ - Ebene.
Rechnerisch kannst du das folgendermaßen nachweisen:
Du subtrahierst die Koordinaten von Punkt $D_2$ von denen von Punkt $D_1$, um die Dachkante $\overrightarrow{D_1D_2}$ zu bestimmen. Analog dazu gehst du mit der Schattenkante $\overrightarrow{S_2S_1}$ vor.
e)
$\blacktriangleright$  Eckpunkte für senkrechte Schattenkante bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du zwei Eckpunkte des Daches so auswählen, dass deren Schattenkante parallel zur Schattenkannte $\overrightarrow{S_2S_1}$ liegt. Zur besseren Vorstellung kannst du eine beliebige Senkrechte zu $\overrightarrow{S_2S_1}$ einzeichnen. Skizze:
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
© 2016 – SchulLV.
[4]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen TI
Download als Dokument:PDF
a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten angeben
In diesem Aufgabenteil sollst du die Koordinaten der Punkte $G_1, G_3$, und $D_2$ bestimmen. Als Hilfe dient dir dabei die Skizze des Grundrisses.
In der Skizze erkennt man, dass die $x$-Koordinate des Punktes $G_1$ gleich der des Punktes $G_2$, also $2$ ist. Die $y$-Koordinate ist Null, da der Punkt auf der $x$-Achse liegt. Da der Punkt auf dem Boden - also der $x$-$y$-Ebene - liegt, ist die $z$-Koordinate Null.
$G_1(2\mid0\mid0)$
Analog zur Bestimmung von $G_1$ gehst du auch bei $G_3$ vor. Dieser hat die gleiche $x$-Koordinate wie $G_4$ und dieselbe $y$-Koordinate wie $G_2$.
$G_3(-1\mid3\mid0)$
Da der Punkt $D_2$ senkrecht zur $x$-$y$-Ebene über $G_2$ liegt, kannst du dessen $x$- und $y$-Koordinaten von $G_2$ übernehmen. Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass die Punkte der Decke um $z = 2$ höher sind als die der Grundfäche.
$D_2(2\mid3\mid2)$
$\blacktriangleright$  Punkt auf der Geraden nachweisen
Nun sollst du nachweisen, dass der Punkt $D_1(2\mid0\mid2)$ auf folgender Geraden liegt:
$g : \vec{x} =\begin{pmatrix} 5\\ -3 \\ 0,8\end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\ -1\\-0,4\end{pmatrix}$.
Dazu setzt du den Punkt $D_2$ mit der Geraden $g$ gleich und überprüfst, ob das Gleichungssystem lösbar ist.
$\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5\\ -3 \\ 0,8\end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\ -1\\-0,4\end{pmatrix}$
Zuerst subtrahierst du den Vektor $ \begin{pmatrix}5\\-3\\0,8\end{pmatrix}$ auf beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst:
$\begin{pmatrix} -3\\ 3 \\ 1,2\end{pmatrix} = r\cdot \begin{pmatrix} 1\\ -1\\-0,4\end{pmatrix}$
Nun schreibst du die erste Zeile als Gleichung und löst sie nach r auf: $-3 = r\cdot 1$. $r$ ist damit $-3$. Zur Kontrolle kannst du $r = -3$ nun in die zweite und die dritte Zeile einsetzten. Jetzt erkennst du die Lösung $r=-3$ für $x$,$y$ und $z$.
Damit hast du bewiesen, dass der Punkt $D_1$ auf der Geraden $g$ liegt.
$\blacktriangleright$  Höhe des Gartenhauses bestimmen
Im letzten Teil sollst du nun die Höhe $h$ des Gartenhauses berechnen. In der Aufgabenstellung ist gegeben, dass der Punkt $S(0,5\mid1,5\mid h)$ auf der Geraden $g$ liegt. Da du bereits die $x$- und $y$-Koordinaten von Punkt $S$ kennst, kannst du diese mit der Geraden $g$ gleichsetzen und damit $h$ bestimmen.
$\begin{pmatrix}0,5\\1,5\\h\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5\\ -3 \\ 0,8\end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\ -1\\-0,4\end{pmatrix}$
Zuerst subtrahierst du wieder den Vektor $ \begin{pmatrix}5\\-3\\0,8\end{pmatrix}$ auf beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst:
$\begin{pmatrix} -4,5\\ 4,5 \\ h-0,8\end{pmatrix} = r\cdot \begin{pmatrix} 1\\ -1\\-0,4\end{pmatrix}$
Für $x$ und $y$ ist die Gleichung mit $r = -4,5$ lösbar.
Um nun $h$ zu bestimmen, betrachtest du die letzte Zeile der Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} h-0,8 &=& r\cdot(-0,4) &\quad \scriptsize \mid\;+0,8 \\[5pt] h&=& r\cdot(-0,4)+0,8 \end{array}$
$ h=2,6 $
Jetzt kannst du für $ r = -4,5$ einsetzen.
$h = 2,6$
Die Höhe des Gartenhauses ist also $2,6$ m.
#vektoren#geradengleichung
b)
$\blacktriangleright$  Länge der Firstkanten berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Länge einer Firstkante bestimmen. Die Firstkanten sind hierbei die Kanten der Pyramide. Zur besseren Vorstellung kannst du die Firstkanten in den Grundriss einzeichnen.
Skizze:
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 1 : Grundriss des Gartenhauses
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 1 : Grundriss des Gartenhauses
Du berechnest nun die Länge der Firstkante von $D_1$ nach $S$. Es kann auch jede andere Firstkante analog dazu bestimmt werden. Hierzu subtrahierst du die Koordinten von Punkt $S$ von den Koordinaten von Punkt $D_1$, um den Abstand zu bestimmen.
$\begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0,5\\ 1,5\\2,6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1,5\\ -1,5 \\ -0,6\end{pmatrix} $
Mithilfe des CAS kannst du die Länge der Strecke von $D_1$ nach $S$ bestimmen.
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 2: Länge berechnen
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 2: Länge berechnen
Die Firstkante ist somit ca. $2,2$ m lang.
$\blacktriangleright$  Größe des Winkels zwischen zwei benachbarten Firstkanten berechnen
Die Größe des Winkels zwischen zwei Firstkanten bestimmst du mithilfe der Cosinusfunktion. In der Skizze ist der Winkel $\alpha$, dessen Größe du bestimmen willst, eingezeichnet. Außerdem sind die Seitenlängen des Dreiecks, die Firstkante und die Gegenkatete gekennzeichnet.
Skizze:
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 3: Winkel der Firstkanten
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 3: Winkel der Firstkanten
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{1,5\text{ m}}{2,2\text{ m}} &\\[5pt] \alpha&=&\sin^{-1}\left(\dfrac{1,5\text{ m}}{2,2\text{ m}}\right) & \\[5pt] \alpha&\approx&43° \end{array}$
Da du hier nur die Hälfte der Größe des Winkels, welchen zwei Firstkanten aufspannen, bestimmt hast, musst du $\alpha$ noch mit zwei multiplizieren
$\alpha \approx 86°$
Die Größe des Winkels $\alpha$ ist ca. $86°$.
#sinus
c)
$\blacktriangleright$  Dachfläche bestimmen
In diesem Aufgabeteil sollst du untersuchen, ob das Dach mit 3 Ziegelpaketen gedeckt werden kann. Dazu bestimmst du zuerst den Flächeninhalt der gesamten Dachfläche. Dann bestimmst du den Flächeninhalt der Fläche, welche mit 3 Ziegelpaketen maximal gedeckt werden kann. Am Schluss vergleichst du, ob die Ziegel für das Dach ausreichen.
Zuerst bestimmst du die Höhe h, welche in der Skizze eingezeichnet ist. Sie lässt sich beispielsweise mit dem Satz des Pythagoras bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} h&=&\sqrt{2,2^{2}-1,5^{2}} \\[5pt] h&\approx& 1,6 \end{array}$
Den Flächeninhalt einer Dachfläche kannst du nun mit der Flächeninhaltsformel für Dreiecke bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=&\frac{1}{2}\cdot g \cdot h \\[5pt] &\approx&\frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 1,6 \\[5pt] &=& 2,4 \end{array}$
Da das Dach aus vier solcher Flächen besteht multiplizierst du den Flächeninhalt noch mit $4$.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&4\cdot A_1 \\[5pt] A&=&4\cdot 2,4 \\[5pt] A&=& 9,6 \end{array}$
Nun bestimmst du den Flächeninhalt, welchen du mit 3 Ziegelpaketen bedecken kannst.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&3\cdot3,1 \\[5pt] A&=& 9,3 \end{array}$
Die Ziegelpakete reichen für eine Dachfläche von $9,3$ m$^2$, das Dach hat aber einen Flächeninhalt von $9,6$ m$^2.$ Also kannst du das Dach nicht vollständig mit Ziegeln decken.
#pyramide
d)
$\blacktriangleright$  Schattenpunkt $S_1$ bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Koordinaten vom Schattenpunkt $S_1$ bestimmen, welchen die Punkte $S$ und $D$ erzeugen. In der Aufgabenstellung ist bereits gegeben, dass die Sonne in der Verlängerung der Verbindungslinie von $S$ und $D_1$ steht. Diese Verbindungslinie ist durch die Gerade $g$ aus Aufgabenteil b gegeben. Außerdem weißt du, dass der Schatten auf der $x$-$y$ -Ebene liegt. Dadurch muss die $z$- Koordinate Null sein. Nun kannst du die dritte Zeile der Geraden $g$ mit Null gleichsetzen und nach r umstellen. $\begin{array}[t]{rll} 0,8-0,4r&=& 0 \\[5pt] r&=& 2 \end{array}$
Nun kannst du $r$ in die erste und die zweite Zeile einsetzen, um die $x$- und die $y$- Koordinate zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x&=& 5+2\cdot 1 \\[5pt] x&=&7 \end{array}$
Analog kannst du die $y$- Koordinate bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -3+2\cdot(-1) \\[5pt] y&=& -5 \end{array}$
$S_1(7\mid-5\mid0)$
Der Schattenpunkt $S_1$ hat die Koordinaten $(7\mid -5\mid0)$.
$\blacktriangleright$  Parallelität zweier Kanten nachweisen
In diesem Aufgabenteil sollst du nachweisen, dass die Dachkante von $D_1$nach $D_2$ parallel zur Schattenkante von $S_1$zu $S_2$ verläuft. Zum besseren Verständnis kannst du eine Skizze anfertigen, in der du alle vier Punkte einträgst und dann die Verbindunglinien einzeichnest. Skizze:…..
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 4: Skizze der Schattenkante
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 4: Skizze der Schattenkante
In der Skizze erkennst du, dass beide Geraden parallel zur $y$-Achse verlaufen. Außerdem liegt die Gerade, welche die beiden Schattenpunkte erzeugen, in der $x$-$y$ - Ebene. Die Gerade, welche die beiden Dachpunkte erzeugen liegt bei $y$ = $2$ parallel zur $x$-$y$ - Ebene.
Rechnerisch kannst du das folgendermaßen nachweisen:
Du subtrahierst die Koordinaten von Punkt $D_2$ von denen von Punkt $D_1$, um die Dachkante $\overrightarrow{D_1D_2}$ zu bestimmen. Analog dazu gehst du mit der Schattenkante $\overrightarrow{S_2S_1}$ vor.
$g : D_1D_2 = \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-3\\0\end{pmatrix} $
$g: S_2S_1 = \begin{pmatrix}7\\-2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7\\-5\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-3\\0\end{pmatrix}$
$g : D_1D_2 = \begin{pmatrix}0\\-3\\0\end{pmatrix} $
$g: S_2S_1 = \begin{pmatrix}0\\-3\\0\end{pmatrix}$
Jetzt kannst du erkennen, das die beiden Vektoren $\overrightarrow{D_1D_2}$ und $\overrightarrow{S_2S_1}$ genau gleich sind, also parallel zueinander liegen.
#parallel
e)
$\blacktriangleright$  Eckpunkte für senkrechte Schattenkante bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du zwei Eckpunkte des Daches so auswählen, dass deren Schattenkante parallel zur Schattenkannte $\overrightarrow{S_2S_1}$ liegt. Zur besseren Vorstellung kannst du eine beliebige Senkrechte zu $\overrightarrow{S_2S_1}$ einzeichnen. Skizze:
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 5: Parallele Schattenkanten
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 5: Parallele Schattenkanten
Dann erkennst du, dass diese Schattenkante parallel zu Dachkante $\overrightarrow{D_4D_1}$ verläuft. Also ist dies die gesuchte Dachkante. Die Dachkanten $\overrightarrow{D_1D_2}$ und $\overrightarrow{D_4D_1}$ sind senkrecht zueinander. Da die Schattenkannte $\overrightarrow{S_2S_1}$ paralell zur Dachkannte$\overrightarrow{D_1D_2}$ liegt sind die beiden Schattenkanten senkrecht zuenander. Die beiden Kanten sind parallel, da du die Dachkante $\overrightarrow{D_4D_1}$ nur in Richtung der Geraden $g$ auf die $x$-$y$ - Ebene projizierst.
#orthogonal
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
© 2016 – SchulLV.
[4]
© 2016 – SchulLV.
[5]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF
a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten angeben
In diesem Aufgabenteil sollst du die Koordinaten der Punkte $G_1, G_3$, und $D_2$ bestimmen. Als Hilfe dient dir dabei die Skizze des Grundrisses.
In der Skizze erkennt man, dass die $x$-Koordinate des Punktes $G_1$ gleich der des Punktes $G_2$, also $2$ ist. Die $y$-Koordinate ist Null, da der Punkt auf der $x$-Achse liegt. Da der Punkt auf dem Boden - also der $x$-$y$-Ebene - liegt, ist die $z$-Koordinate Null.
$G_1(2\mid0\mid0)$
Analog zur Bestimmung von $G_1$ gehst du auch bei $G_3$ vor. Dieser hat die gleiche $x$-Koordinate wie $G_4$ und dieselbe $y$-Koordinate wie $G_2$.
$G_3(-1\mid3\mid0)$
Da der Punkt $D_2$ senkrecht zur $x$-$y$-Ebene über $G_2$ liegt, kannst du dessen $x$- und $y$-Koordinaten von $G_2$ übernehmen. Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass die Punkte der Decke um $z = 2$ höher sind als die der Grundfäche.
$D_2(2\mid3\mid2)$
$\blacktriangleright$  Punkt auf der Geraden nachweisen
Nun sollst du nachweisen, dass der Punkt $D_1(2\mid0\mid2)$ auf folgender Geraden liegt:
$g : \vec{x} =\begin{pmatrix} 5\\ -3 \\ 0,8\end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\ -1\\-0,4\end{pmatrix}$.
Dazu setzt du den Punkt $D_2$ mit der Geraden $g$ gleich und überprüfst, ob das Gleichungssystem lösbar ist.
$\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5\\ -3 \\ 0,8\end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\ -1\\-0,4\end{pmatrix}$
Zuerst subtrahierst du den Vektor $ \begin{pmatrix}5\\-3\\0,8\end{pmatrix}$ auf beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst:
$\begin{pmatrix} -3\\ 3 \\ 1,2\end{pmatrix} = r\cdot \begin{pmatrix} 1\\ -1\\-0,4\end{pmatrix}$
Nun schreibst du die erste Zeile als Gleichung und löst sie nach r auf: $-3 = r\cdot 1$. $r$ ist damit $-3$. Zur Kontrolle kannst du $r = -3$ nun in die zweite und die dritte Zeile einsetzten. Jetzt erkennst du die Lösung $r=-3$ für $x$,$y$ und $z$.
Damit hast du bewiesen, dass der Punkt $D_1$ auf der Geraden $g$ liegt.
$\blacktriangleright$  Höhe des Gartenhauses bestimmen
Im letzten Teil sollst du nun die Höhe $h$ des Gartenhauses berechnen. In der Aufgabenstellung ist gegeben, dass der Punkt $S(0,5\mid1,5\mid h)$ auf der Geraden $g$ liegt. Da du bereits die $x$- und $y$-Koordinaten von Punkt $S$ kennst, kannst du diese mit der Geraden $g$ gleichsetzen und damit $h$ bestimmen.
$\begin{pmatrix}0,5\\1,5\\h\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5\\ -3 \\ 0,8\end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\ -1\\-0,4\end{pmatrix}$
Zuerst subtrahierst du wieder den Vektor $ \begin{pmatrix}5\\-3\\0,8\end{pmatrix}$ auf beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst:
$\begin{pmatrix} -4,5\\ 4,5 \\ h-0,8\end{pmatrix} = r\cdot \begin{pmatrix} 1\\ -1\\-0,4\end{pmatrix}$
Für $x$ und $y$ ist die Gleichung mit $r = -4,5$ lösbar.
Um nun $h$ zu bestimmen, betrachtest du die letzte Zeile der Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} h-0,8 &=& r\cdot(-0,4) &\quad \scriptsize \mid\;+0,8 \\[5pt] h&=& r\cdot(-0,4)+0,8 \end{array}$
$ h=2,6 $
Jetzt kannst du für $ r = -4,5$ einsetzen.
$h = 2,6$
Die Höhe des Gartenhauses ist also $2,6$ m.
#geradengleichung#vektoren
b)
$\blacktriangleright$  Länge der Firstkanten berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Länge einer Firstkante bestimmen. Die Firstkanten sind hierbei die Kanten der Pyramide. Zur besseren Vorstellung kannst du die Firstkanten in den Grundriss einzeichnen.
Skizze:
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 1 : Grundriss des Gartenhauses
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 1 : Grundriss des Gartenhauses
Du berechnest nun die Länge der Firstkante von $D_1$ nach $S$. Es kann auch jede andere Firstkante analog dazu bestimmt werden. Hierzu subtrahierst du die Koordinten von Punkt $S$ von den Koordinaten von Punkt $D_1$, um den Abstand zu bestimmen.
$\begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0,5\\ 1,5\\2,6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1,5\\ -1,5 \\ -0,6\end{pmatrix} $
Mithilfe des CAS kannst du die Länge der Strecke von $D_1$ nach $S$ bestimmen.
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 2: Länge berechnen
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 2: Länge berechnen
Die Firstkante ist somit ca. $2,2$ m lang.
$\blacktriangleright$  Größe des Winkels zwischen zwei benachbarten Firstkanten berechnen
In der Skizze ist der Winkel $\alpha$, dessen Größe du bestimmen willst, eingezeichnet. Außerdem sind die Seitenlängen des Dreiecks, die Firstkante und die Gegenkatete gekennzeichnet.
Skizze:
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 3: Winkel der Firstkanten
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 3: Winkel der Firstkanten
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Du kannst den Winkel zwischen den Firstkanten mit Hilfe deines CAS bestimmen.
Hierzu stellst du zunächst die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{S D_1}$ und $\overrightarrow{S D_2}$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{S D_1}&=& \pmatrix{2 - 0,5 \\ 0 - 1,5 \\ 2 - 2,6} &=& \pmatrix{1,5 \\ -1,5 \\ -0,6} \\[5pt] \overrightarrow{S D_1}&=& \pmatrix{2 - 0,5 \\ 3 - 1,5 \\ 2 - 2,6} &=& \pmatrix{1,5 \\ 1,5 \\ -0,6} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{S D_1} &=& \pmatrix{1,5 \\ -1,5 \\ -0,6} \\[5pt] \overrightarrow{S D_1} &=& \pmatrix{1,5 \\ 1,5 \\ -0,6} \\[5pt] \end{array}$
Den Winkel zwischen diesen Vektoren bestimmst du nun mit deinem CAS.
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 4: Bestimmung des Winkels mit dem CAS
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 4: Bestimmung des Winkels mit dem CAS
Die Größe des Winkels ist ca. $85,75°$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: ohne CAS
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{1,5\text{ m}}{2,2\text{ m}} &\\[5pt] \alpha&=&\sin^{-1}\left(\dfrac{1,5\text{ m}}{2,2\text{ m}}\right) & \\[5pt] \alpha&\approx&43° \end{array}$
Da du hier nur die Hälfte der Größe des Winkels, welchen zwei Firstkanten aufspannen, bestimmt hast, musst du $\alpha$ noch mit zwei multiplizieren
$\alpha \approx 86°$
Die Größe des Winkels $\alpha$ ist ca. $86°$.
#sinus
c)
$\blacktriangleright$  Dachfläche bestimmen
In diesem Aufgabeteil sollst du untersuchen, ob das Dach mit 3 Ziegelpaketen gedeckt werden kann. Dazu bestimmst du zuerst den Flächeninhalt der gesamten Dachfläche. Dann bestimmst du den Flächeninhalt der Fläche, welche mit 3 Ziegelpaketen maximal gedeckt werden kann. Am Schluss vergleichst du, ob die Ziegel für das Dach ausreichen.
Zuerst bestimmst du die Höhe h, welche in der Skizze eingezeichnet ist. Sie lässt sich beispielsweise mit dem Satz des Pythagoras bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} h&=&\sqrt{2,2^{2}-1,5^{2}} \\[5pt] h&\approx& 1,6 \end{array}$
Den Flächeninhalt einer Dachfläche kannst du nun mit der Flächeninhaltsformel für Dreiecke bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=&\frac{1}{2}\cdot g \cdot h \\[5pt] &\approx&\frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 1,6 \\[5pt] &=& 2,4 \end{array}$
Da das Dach aus vier solcher Flächen besteht multiplizierst du den Flächeninhalt noch mit $4$.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&4\cdot A_1 \\[5pt] A&=&4\cdot 2,4 \\[5pt] A&=& 9,6 \end{array}$
Nun bestimmst du den Flächeninhalt, welchen du mit 3 Ziegelpaketen bedecken kannst.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&3\cdot3,1 \\[5pt] A&=& 9,3 \end{array}$
Die Ziegelpakete reichen für eine Dachfläche von $9,3$ m$^2$, das Dach hat aber einen Flächeninhalt von $9,6$ m$^2.$ Also kannst du das Dach nicht vollständig mit Ziegeln decken.
#pyramide
d)
$\blacktriangleright$  Schattenpunkt $S_1$ bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Koordinaten vom Schattenpunkt $S_1$ bestimmen, welchen die Punkte $S$ und $D$ erzeugen. In der Aufgabenstellung ist bereits gegeben, dass die Sonne in der Verlängerung der Verbindungslinie von $S$ und $D_1$ steht. Diese Verbindungslinie ist durch die Gerade $g$ aus Aufgabenteil b gegeben. Außerdem weißt du, dass der Schatten auf der $x$-$y$ -Ebene liegt. Dadurch muss die $z$- Koordinate Null sein. Nun kannst du die dritte Zeile der Geraden $g$ mit Null gleichsetzen und nach r umstellen. $\begin{array}[t]{rll} 0,8-0,4r&=& 0 \\[5pt] r&=& 2 \end{array}$
Nun kannst du $r$ in die erste und die zweite Zeile einsetzen, um die $x$- und die $y$- Koordinate zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x&=& 5+2\cdot 1 \\[5pt] x&=&7 \end{array}$
Analog kannst du die $y$- Koordinate bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -3+2\cdot(-1) \\[5pt] y&=& -5 \end{array}$
$S_1(7\mid-5\mid0)$
Der Schattenpunkt $S_1$ hat die Koordinaten $(7\mid -5\mid0)$.
$\blacktriangleright$  Parallelität zweier Kanten nachweisen
In diesem Aufgabenteil sollst du nachweisen, dass die Dachkante von $D_1$nach $D_2$ parallel zur Schattenkante von $S_1$zu $S_2$ verläuft. Zum besseren Verständnis kannst du eine Skizze anfertigen, in der du alle vier Punkte einträgst und dann die Verbindunglinien einzeichnest. Skizze:…..
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 5: Skizze der Schattenkante
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 5: Skizze der Schattenkante
In der Skizze erkennst du, dass beide Geraden parallel zur $y$-Achse verlaufen. Außerdem liegt die Gerade, welche die beiden Schattenpunkte erzeugen, in der $x$-$y$ - Ebene. Die Gerade, welche die beiden Dachpunkte erzeugen liegt bei $y$ = $2$ parallel zur $x$-$y$ - Ebene.
Rechnerisch kannst du das folgendermaßen nachweisen:
Du subtrahierst die Koordinaten von Punkt $D_2$ von denen von Punkt $D_1$, um die Dachkante $\overrightarrow{D_1D_2}$ zu bestimmen. Analog dazu gehst du mit der Schattenkante $\overrightarrow{S_2S_1}$ vor.
$g : D_1D_2 = \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-3\\0\end{pmatrix} $
$g: S_2S_1 = \begin{pmatrix}7\\-2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7\\-5\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-3\\0\end{pmatrix}$
$g : D_1D_2 =\begin{pmatrix}0\\-3\\0\end{pmatrix} $
$g: S_2S_1 =\begin{pmatrix}0\\-3\\0\end{pmatrix}$
Jetzt kannst du erkennen, das die beiden Vektoren $\overrightarrow{D_1D_2}$ und $\overrightarrow{S_2S_1}$ genau gleich sind, also parallel zueinander liegen.
#parallel
e)
$\blacktriangleright$  Eckpunkte für senkrechte Schattenkante bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du zwei Eckpunkte des Daches so auswählen, dass deren Schattenkante parallel zur Schattenkannte $\overrightarrow{S_2S_1}$ liegt. Zur besseren Vorstellung kannst du eine beliebige Senkrechte zu $\overrightarrow{S_2S_1}$ einzeichnen. Skizze:
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 6: Parallele Schattenkanten
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 6: Parallele Schattenkanten
Dann erkennst du, dass diese Schattenkante parallel zu Dachkante $\overrightarrow{D_4D_1}$ verläuft. Also ist dies die gesuchte Dachkante. Die Dachkanten $\overrightarrow{D_1D_2}$ und $\overrightarrow{D_4D_1}$ sind senkrecht zueinander. Da die Schattenkannte $\overrightarrow{S_2S_1}$ paralell zur Dachkannte$\overrightarrow{D_1D_2}$ liegt sind die beiden Schattenkanten senkrecht zuenander. Die beiden Kanten sind parallel, da du die Dachkante $\overrightarrow{D_4D_1}$ nur in Richtung der Geraden $g$ auf die $x$-$y$ - Ebene projizierst.
#orthogonal#parallel
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
© 2016 – SchulLV.
[4]
© 2016 – SchulLV.
[5]
© 2016 – SchulLV.
[6]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App