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Stochastik 3.1

Aufgaben
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Aufgabe 3.1 CAS: Kartenspiel

Hinweis: Die vereinfachte Bezeichnung „Spieler“ wird im Sinne von „Spielerin oder Spieler“ verwendet, dies gilt auch für „Spielpartner“ „Gewinner“ und „Zweiter“.
Nina und Tom treffen sich zu einem Spiel mit $32$ Karten. $16$ der $32$ Karten zeigen auf einer Seite die Farbe Rot, die anderen $16$ zeigen die Farbe Schwarz. Anhand ihrer Rückseiten sind die Karten nicht zu unterscheiden.
a)
Zunächst mischt Nina und nimmt $3$ Karten vom Stapel, in dem die $32$ Karten verdeckt liegen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die $3$ Karten die gleiche Farbe haben.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wenigstens eine rote Karte unter den $3$ gezogenen Karten ist.
(6P)
#wahrscheinlichkeit
Alle $32$ Karten werden neu gemischt, das Spiel beginnt. Das Spiel besteht aus $n$ Runden. In jeder Runde zieht ein Spieler eine Karte, deckt sie auf und steckt sie wieder in den Stapel.
Zieht der Spielpartner danach die gleiche Farbe, hat er die erste Runde gewonnen.
Nach jeder Runde wird die Reihenfolge der Ziehenden gewechselt.
b)
Begründe, dass für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
$E$: „Wer zuerst zieht, gewinnt die Runde“ gilt: $P(E) = 0,5$.
(3P)
#wahrscheinlichkeit
c)
Es werden $10$ Runden gespielt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
$A$: Nina gewinnt die ersten $3$ Runden.
$B$: Nina gewinnt mindestens $5$ der $10$ Runden.
$C$: Nina gewinnt die erste Runde und von den restlichen neun noch genau $5$.
(10P)
#wahrscheinlichkeit
d)
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Tom noch genau $4$ der $5$ Runden gewinnt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Nina das Spiel gewinnt.
(7P)
#wahrscheinlichkeit
e)
Am nächsten Tag wird das Spiel verändert. Nun wird eine Karte gezogen und offen auf den Tisch gelegt. Wer als Zweiter zieht und eine Karte derselben Farbe gezogen hat, der hat die Runde gewonnen. Andernfalls hat gewonnen, wer die erste Karte gezogen hat.
Das Spiel besteht aus $m$ Runden.
Untersuche anhand geeigneter Rechnung, für welche Anzahlen $m$ der Runden diese Spielvariante fair ist.
(4P)
(30P)
#wahrscheinlichkeit
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für drei gleichfarbige Karten berechnen
Du hast in der Aufgabenstellung zwei Ereignisse zu einem Kartenspiel aus 16 roten und 16 schwarzen Karten gegeben und sollst die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Es werden drei Karten gleichzeitig von einem Stapel mit 32 Karten gezogen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Hypergeometrische Wahrscheinlichkeit berechnen
Da sich die Wahrscheinlichkeit eine rote Karte zu ziehen mit jedem Zug ändert, handelt es sich bei der Anzahl der gezogenen roten Karten um eine hypergeometrisch Verteilte Zufallsvariable. Für die Wahrscheinlichkeit einer hypergeometrisch Verteilten Zufallsvariable $X$ gilt:
$P(X=k)=\dfrac{\binom{M}{k}\cdot\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
$P(X=k)=\dfrac{\binom{M}{k}\cdot\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
Dabei bezeichnet $M$ die Anzahl der günstigen Fälle, hier also die Anzahl der roten Karten, $N$ die Anzahl aller mögliche Fälle, also die Anzahl aller Karten, $n$ die Anzahl der Züge und $k$ die Anzahl der Treffer.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Wahrscheinlichkeit über Baumdiagramm bestimmen
Zuerst suchst du die Wahrscheinlichkeit für drei gleichfarbige Karten, hierfür benötigst du die Warscheinlichkeit für eine rote Karte, um ein Baumdiagramm zu erstellen. Mit den beiden Pfadregeln kommst du abschließend auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Stochastik 3.1
Abb. 1: Baumdiagramm zum ziehen von drei Karten
Stochastik 3.1
Abb. 1: Baumdiagramm zum ziehen von drei Karten
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für mindestens eine rote Karte berechnen
Du suchst die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine rote Karte. Dies bedeutet, dass eine, zwei oder drei rote Karten von Nina gezogen werden können.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Über hypergeometrischche Verteilung berechnen
Mit der Hypergeometrischen Verteilung berechnest du wie zuvor, allerdings sind die Wahrscheinlichkeiten zu kumulieren.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Über Gegenereignis berechnen
Für dich wäre es einfacher, das Gegenereignis zu betrachten, dass also keine einzige rote Karte gezogen wird, im Baumdiagramm findest du diesen Pfad ganz rechts.
b)
$\blacktriangleright$  Die Siegwahrscheinlichkeit $\boldsymbol{p=50\%}$ begründen
Nina und Tom spielen nun das Spiel aus der Aufgabenstellung und du sollst begründen, warum die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen $50\%$ beträgt.
Nimm an, Nina beginnt und zieht eine rote Karte, merkt sich diese und legt sie zurück. Im Stapel befinden sich nun wieder 16 rote und 16 schwarze Karten.
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Ereignis A berechen
Nach der ersten Runde ist zu bestimmen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Nina die ersten drei Runden gewinnt. Wie du gerade begründet hast, beträgt die Wahrscheinlichkeit eine Runde zu gewinnen $p=0,5$. Für die zweite und dritte Runde gilt das ebenso, weil ein Spieler nach seinem Zug die Karte wieder zurücklegt. Die übrigen sieben Runden kannst du vernachlässigen, da über diese keine Aussage getroffen wurde.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für mindestens 5 von 10 Siegen berechnen
Du sollst bestimmen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Nina mindestens fünf von zehn Runden gewinnt. Hierzu betrachtest du eine Zufallsvariable $X$. Diese gibt die Anzahl der von Nina gewonnenen Runden an. Da es nur zwei Möglichkeiten gibt, wie eine Runde ausgehen kann (Verlieren und Gewinnen) und $p=0,5$ konstant ist, da die Karte immer zurückgelegt wird, ist $X$ binomialverteilt und es handelt sich um einen Bernoulli-Versuch.
Mit der Bernoulli-Formel, bei welcher $k$ die Anzahl von Ninas Siegen und $n$ die Anzahl der Spielrunden ist, kannst du diese Aufgabe lösen.
$B_{p,n}(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$B_{p,n}(k) $$=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Ereignis C berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Nina die erste und dann noch genau fünf Runden gewinnt. Für die erste Runde beträgt die Wahrscheinlichkeit wieder $p=0,5$. Für die weiteren fünf Siege aus neun Runden benutzt du am besten erneut die Bernoulli-Formel.
d)
$\blacktriangleright$  Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass Tom 4 von 5 Runden gewinnt
Vier von fünf Runden soll Tom gewinnen, Nina muss also vier von fünf verlieren und genau eine gewinnen. Diese Aufgabe kannst du wie in Teil c) durch die Bernoulligleichung lösen.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für einen Sieg von Nina berechen
Momentan hat Nina 8 und Tom 7 Runden gewonnen. Damit Nina das gesamte Spiel gewinnt braucht sie mindestens 11 gewonnene Runden, sie kann aber auch 12 oder 13 erreichen. Sie muss von den letzten fünf Runden also mindestens drei gewinnen.
e)
$\blacktriangleright$  Begründung eines fairen Spielverlaufs
Du sollst begründen, warum, ohne zurücklegen der gezogenen Karte, dass Spiel nur dann fair ist, wenn eine gerade Anzahl an Runden gespielt wird.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Vergleich der Wahrscheinlichkeiten
Nimmst du erneut an, dass Nina beginnt und eine rote Karte zieht, hat Tom die Möglichkeit eine von 15 roten Karten aus 31 übrigen zu ziehen, um zu gewinnen. Seine Siegwahrscheinlichkeit beträgt also $p=\frac{15}{31}$. Nina gewinnt, sobald Tom eine schwarze Karte zieht. Dafür kannst du die Gegenwahrscheinlichkeit $q=1-\frac{15}{31}$$=\frac{16}{31}$ betrachten.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Berechnung des Erwartungswertes
Alternativ könntest du auch den Erwartungswert, wie oft Nina in zwei Spielen gewinnt, bestimmen. Eine $1$ steht für Sieg, eine $0$ für Niederlage.
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für drei gleichfarbige Karten berechnen
Du hast in der Aufgabenstellung zwei Ereignisse zu einem Kartenspiel aus 16 roten und 16 schwarzen Karten gegeben und sollst die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Es werden drei Karten gleichzeitig von einem Stapel mit 32 Karten gezogen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Hypergeometrische Wahrscheinlichkeit berechnen
Da sich die Wahrscheinlichkeit eine rote Karte zu ziehen mit jedem Zug ändert, handelt es sich bei der Anzahl der gezogenen roten Karten um eine hypergeometrisch Verteilte Zufallsvariable. Für die Wahrscheinlichkeit einer hypergeometrisch Verteilten Zufallsvariable $X$ gilt:
$P(X=k)=\dfrac{\binom{M}{k}\cdot\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
$P(X=k)=\dfrac{\binom{M}{k}\cdot\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
Dabei bezeichnet $M$ die Anzahl der günstigen Fälle, hier also die Anzahl der roten Karten, $N$ die Anzahl aller mögliche Fälle, also die Anzahl aller Karten, $n$ die Anzahl der Züge und $k$ die Anzahl der Treffer.
Mit dem nspire berechnest du die Wahrscheinlichkeit mit $M=16$, $N=32$ und $n=3$ und $k=3$ mit dem Befehl:
Menu $\rightarrow$ Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ Kombinationen
Menu $\rightarrow$ Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ Kombinationen
Zu beachten ist, dass es sich um drei gleichfarbige Karten handelt und diese sowohl schwarz als auch rot sein können. Da es anfangs genau gleich viele schwarze wie rote Karten gibt multiplizierst du die Wahrscheinlichkeit für drei rote Karten mit $2$.
Stochastik 3.1
Abb. 1: Hypergeometrische Verteilung mit dem nspire berechnen
Stochastik 3.1
Abb. 1: Hypergeometrische Verteilung mit dem nspire berechnen
Die Wahrscheinlichkeit für drei gleichfarbige Karten beträgt $22,58\%$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Wahrscheinlichkeit über Baumdiagramm bestimmen
Zuerst suchst du die Wahrscheinlichkeit für drei gleichfarbige Karten, hierfür benötigst du die Warscheinlichkeit für eine rote Karte, um ein Baumdiagramm zu erstellen. Mit den beiden Pfadregeln kommst du abschließend auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Stochastik 3.1
Abb. 2: Baumdiagramm zum ziehen von drei Karten
Stochastik 3.1
Abb. 2: Baumdiagramm zum ziehen von drei Karten
1. Schritt: Wahrscheinlichkeit für eine rote Karte bestimmen
Von den 32 Karten im Stapel sind 16 schwarz und 16 rot. Bevor Nina die erste Karte vom Stapel zieht beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine rote Karte $p=0,5=\frac{16}{32}$, da jede zweite Karte oder eben 16 von 32 Karten rot sind, für schwarz ist es zunächst die gleiche Wahrscheinlichkeit. Nachdem die erste rote Karte gezogen wurde ändert sich die Wahrscheinlichkeit allerdings auf $p=\frac{15}{31}$ usw.
2. Schritt: Gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen
Nina zieht 3 Karten, welche alle schwarz oder alle rot sein sollen. Sie soll also 3 rote oder keine rote Karte ziehen. Nach der 2. Pfadregel kannst du die Wahrscheinlichkeiten für beide Möglichkeiten addieren, da sie zwei verschiedene Pfade im Baumdiagramm darstellen. Da es jeweils genau eine Möglichkeit gibt, 3 rote (im Baumdiagramm ganz links) oder 3 schwarze (im Baumdiagramm ganz rechts) Karten zu ziehen, kannst du den Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$ vernachlässigen.
$\begin{array}[t]{rll} P(„3\ Gleiche“)&=& P(„3\ Rote“)+P(„3\ Schwarze“) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \frac{16}{32}\cdot\frac{15}{31}\cdot\frac{14}{30}+\frac{16}{32}\cdot\frac{15}{31}\cdot\frac{14}{30} \\[5pt] &=& \frac{7}{31}\approx 22,58\% \end{array}$
$ P(„3\ Gleiche“)\approx 22,58\% $
In ca. einem Viertel aller Fälle zieht Nina also drei oder keine rote Karte.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für mindestens eine rote Karte berechnen
Du suchst die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine rote Karte. Dies bedeutet, dass eine, zwei oder drei rote Karten von Nina gezogen werden können.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Über hypergeometrischche Verteilung berechnen
Mit der Hypergeometrischen Verteilung berechnest du wie zuvor, allerdings sind die Wahrscheinlichkeiten zu kumulieren. Somit addierst du drei Brüche.
Stochastik 3.1
Abb. 3: Hypergeometrische Verteilung mit dem nspire berechnen
Stochastik 3.1
Abb. 3: Hypergeometrische Verteilung mit dem nspire berechnen
Die Wahrscheinlichkeit mindestens eine rote Karte zu ziehen beträgt $88,71\%$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Über Gegenereignis berechnen
Für dich wäre es einfacher, das Gegenereignis zu betrachten, dass also keine einzige rote Karte gezogen wird, im Baumdiagramm findest du diesen Pfad ganz rechts. Du kannst die gesuchte Wahrscheinlichkeit also bestimmen durch:
$\begin{array}[t]{rll} P(„Mindestens\ Eine“)&=& 1-P(„Keine“) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 1-\frac{16}{32}\cdot\frac{15}{31}\cdot\frac{14}{30} \\[5pt] &=& \frac{55}{62}\approx 88,71\% \end{array}$
$ P(„Mindestens\ Eine“) $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $88,71\%$ zieht Nina mindestens eine rote Karte.
#baumdiagramm#gegenwahrscheinlichkeit#pfadregeln#hypergeometrischeverteilung
b)
$\blacktriangleright$  Die Siegwahrscheinlichkeit $\boldsymbol{p=50\%}$ begründen
Nina und Tom spielen nun das Spiel aus der Aufgabenstellung und du sollst begründen, warum die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen $50\%$ beträgt.
Nimm an, Nina beginnt und zieht eine rote Karte, merkt sich diese und legt sie zurück. Im Stapel befinden sich nun wieder 16 rote und 16 schwarze Karten. Tom zieht mit einer Wahrscheinlichkeit von $q=0,5$ eine schwarze Karte und verliert somit. Nina gewinnt deshalb mit $p=1-0,5=0,5=50\%$ Wahrscheinlichkeit.
Zieht Nina zu Beginn eine schwarze Karte oder beginnt Tom ändert dies nichts an der Überlegung. Die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg beträgt immer $50\%$.
#wahrscheinlichkeit
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Ereignis A berechen
Nach der ersten Runde ist zu bestimmen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Nina die ersten drei Runden gewinnt. Wie du gerade begründet hast, beträgt die Wahrscheinlichkeit eine Runde zu gewinnen $p=0,5$. Für die zweite und dritte Runde gilt das ebenso, weil ein Spieler nach seinem Zug die Karte wieder zurücklegt. Die übrigen sieben Runden kannst du vernachlässigen, da über diese keine Aussage getroffen wurde. Für $P(A)$ ergibt sich.
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& 0,5\cdot 0,5\cdot 0,5 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 0,125=12,5\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& 12,5\% \end{array}$
Somit gewinnt Nina mit einer Wahrscheinlichkeit von $12,5\%$ alle 3 Runden.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für mindestens 5 von 10 Siegen berechnen
Du sollst bestimmen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Nina mindestens fünf von zehn Runden gewinnt. Hierzu betrachtest du eine Zufallsvariable $X$. Diese gibt die Anzahl der von Nina gewonnenen Runden an. Da es nur zwei Möglichkeiten gibt, wie eine Runde ausgehen kann (Verlieren und Gewinnen) und $p=0,5$ konstant ist, da die Karte immer zurückgelegt wird, ist $X$ binomialverteilt und es handelt sich um einen Bernoulli-Versuch.
Mit der Bernoulli-Formel, bei welcher $k$ die Anzahl von Ninas Siegen und $n$ die Anzahl der Spielrunden ist, kannst du diese Aufgabe lösen.
$B_{p,n}(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$B_{p,n}(k) $$=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
„Nina gewinnt mindestens 5 der 10 Runden“ bedeutet, dass sie auch 6 bis 10 Runden gewinnen kann. Du verwendest den Befehl:
Menu $\rightarrow$ Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ Verteilungen $\rightarrow$ Binomial CDf
IMenu $\rightarrow$ Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ Verteilungen $\rightarrow$ Binomial CDf
Stochastik 3.1
Abb. 4: Binomialverteilung mit dem nspire berechnen
Stochastik 3.1
Abb. 4: Binomialverteilung mit dem nspire berechnen
Die Wahrscheinlichkeit für mindestens $5$ aus $10$ Runden beträgt $62,30\%$.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Ereignis C berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Nina die erste und dann noch genau fünf Runden gewinnt. Für die erste Runde beträgt die Wahrscheinlichkeit wieder $p=0,5$. Für die weiteren fünf Siege aus neun Runden benutzt du am besten erneut die Bernoulli-Formel.
Stochastik 3.1
Abb. 5: Binomialverteilung mit dem nspire berechnen
Stochastik 3.1
Abb. 5: Binomialverteilung mit dem nspire berechnen
Nina gewinnt also mit einer Wahrscheinlichkeit von $12,30\%$ die erste und dann noch fünf weitere Runden.
#binomialverteilung
d)
$\blacktriangleright$  Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass Tom 4 von 5 Runden gewinnt
Vier von fünf Runden soll Tom gewinnen, Nina muss also vier von fünf verlieren und genau eine gewinnen. Diese Aufgabe kannst du wie in Teil c) durch die Bernoulligleichung lösen. Für vier von Tom zu gewinnenden aus fünf Runden erhältst du:
Stochastik 3.1
Abb. 6: Binomialverteilung mit dem nspire berechnen
Stochastik 3.1
Abb. 6: Binomialverteilung mit dem nspire berechnen
Tom gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von $15,63\%$ vier von fünf Runden.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für einen Sieg von Nina berechen
Momentan hat Nina 8 und Tom 7 Runden gewonnen. Damit Nina das gesamte Spiel gewinnt braucht sie mindestens 11 gewonnene Runden, sie kann aber auch 12 oder 13 erreichen. Sie muss von den letzten fünf Runden also mindestens drei gewinnen. Die Wahrscheinlichkeit erhältst du erneut durch Addition der Möglichkeiten 3, 4 und 5.
Stochastik 3.1
Abb. 7: Binomialverteilung mit dem nspire berechnen
Stochastik 3.1
Abb. 7: Binomialverteilung mit dem nspire berechnen
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Nina gewinnt beträgt $50\%$.
#binomialverteilung
e)
$\blacktriangleright$  Begründung eines fairen Spielverlaufs
Du sollst begründen, warum, ohne zurücklegen der gezogenen Karte, dass Spiel nur dann fair ist, wenn eine gerade Anzahl an Runden gespielt wird.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Vergleich der Wahrscheinlichkeiten
Nimmst du erneut an, dass Nina beginnt und eine rote Karte zieht, hat Tom die Möglichkeit eine von 15 roten Karten aus 31 übrigen zu ziehen, um zu gewinnen. Seine Siegwahrscheinlichkeit beträgt also $p=\frac{15}{31}$. Nina gewinnt, sobald Tom eine schwarze Karte zieht. Dafür kannst du die Gegenwahrscheinlichkeit $q=1-\frac{15}{31}$$=\frac{16}{31}$ betrachten.
Du siehst also hieran, dass nach einer Runde (also eine ungerade Anzahl) die Warscheinlichkeit für einen Sieg von Nina größer, das Spiel dementsprechend unfair ist.
In einer zweiten Runde zieht Tom zuerst. Mit einer Warscheinlichkeit von $p=0,5$ zieht er eine rote Karte. Nina gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=\frac{15}{31}$ und verliert mit $1-p$.
Beide gewinnen in den Runden nacheinander mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Damit das Spiel fair ist, muss Nina genauso oft beginnen wie Tom. Die Anzahl der Runden also gerade sein.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Berechnung des Erwartungswertes
Alternativ könntest du auch den Erwartungswert, wie oft Nina in zwei Spielen gewinnt, bestimmen. Eine $1$ steht für Sieg, eine $0$ für Niederlage.
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& 1\cdot \frac{16}{31}+0\cdot\frac{15}{31}+1\cdot \frac{15}{31}+0\cdot\frac{16}{31} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \frac{16+15}{31}=1 \end{array}$
$ E(X)=1 $
Nina gewinnt eines von zwei Spielen. Das Spiel ist somit für ein vielfaches von 2 Runden fair, dabei sind vielfache von zwei immer gerade. Das Spiel ist also genau für eine gerade Anzahl $m$ an Runden fair.
#erwartungswert
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für drei gleichfarbige Karten berechnen
Du hast in der Aufgabenstellung zwei Ereignisse zu einem Kartenspiel aus 16 roten und 16 schwarzen Karten gegeben und sollst die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Es werden drei Karten gleichzeitig von einem Stapel mit 32 Karten gezogen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Hypergeometrische Wahrscheinlichkeit berechnen
Da sich die Wahrscheinlichkeit eine rote Karte zu ziehen mit jedem Zug ändert, handelt es sich bei der Anzahl der gezogenen roten Karten um eine hypergeometrisch Verteilte Zufallsvariable. Für die Wahrscheinlichkeit einer hypergeometrisch Verteilten Zufallsvariable $X$ gilt:
$P(X=k)=\dfrac{\binom{M}{k}\cdot\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
$P(X=k)=\dfrac{\binom{M}{k}\cdot\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
Dabei bezeichnet $M$ die Anzahl der günstigen Fälle, hier also die Anzahl der roten Karten, $N$ die Anzahl aller mögliche Fälle, also die Anzahl aller Karten, $n$ die Anzahl der Züge und $k$ die Anzahl der Treffer.
Mit dem Classpad berechnest du die Wahrscheinlichkeit mit $M=16$, $N=32$ und $n=3$ und $k=3$ mit dem Befehl:
Interactive $\rightarrow$ Verteilung $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ hypergeoPDf
Interactive $\rightarrow$ Verteilung $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ hypergeoPDf
Zu beachten ist, dass es sich um drei gleichfarbige Karten handelt und diese sowohl schwarz als auch rot sein können. Da es anfangs genau gleich viele schwarze wie rote Karten gibt multiplizierst du die Wahrscheinlichkeit für drei rote Karten mit $2$.
Stochastik 3.1
Abb. 1: Hypergeometrische Verteilung mit dem Classpad berechnen
Stochastik 3.1
Abb. 1: Hypergeometrische Verteilung mit dem Classpad berechnen
Die Wahrscheinlichkeit für drei gleichfarbige Karten beträgt $22,58\%$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Wahrscheinlichkeit über Baumdiagramm bestimmen
Zuerst suchst du die Wahrscheinlichkeit für drei gleichfarbige Karten, hierfür benötigst du die Warscheinlichkeit für eine rote Karte, um ein Baumdiagramm zu erstellen. Mit den beiden Pfadregeln kommst du abschließend auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Stochastik 3.1
Abb. 2: Baumdiagramm zum ziehen von drei Karten
Stochastik 3.1
Abb. 2: Baumdiagramm zum ziehen von drei Karten
1. Schritt: Wahrscheinlichkeit für eine rote Karte bestimmen
Von den 32 Karten im Stapel sind 16 schwarz und 16 rot. Bevor Nina die erste Karte vom Stapel zieht beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine rote Karte $p=0,5=\frac{16}{32}$, da jede zweite Karte oder eben 16 von 32 Karten rot sind, für schwarz ist es zunächst die gleiche Wahrscheinlichkeit. Nachdem die erste rote Karte gezogen wurde ändert sich die Wahrscheinlichkeit allerdings auf $p=\frac{15}{31}$ usw.
2. Schritt: Gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen
Nina zieht 3 Karten, welche alle schwarz oder alle rot sein sollen. Sie soll also 3 rote oder keine rote Karte ziehen. Nach der 2. Pfadregel kannst du die Wahrscheinlichkeiten für beide Möglichkeiten addieren, da sie zwei verschiedene Pfade im Baumdiagramm darstellen. Da es jeweils genau eine Möglichkeit gibt, 3 rote (im Baumdiagramm ganz links) oder 3 schwarze (im Baumdiagramm ganz rechts) Karten zu ziehen, kannst du den Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$ vernachlässigen.
$\begin{array}[t]{rll} P(„3\ Gleiche“)&=& P(„3\ Rote“)+P(„3\ Schwarze“) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \frac{16}{32}\cdot\frac{15}{31}\cdot\frac{14}{30}+\frac{16}{32}\cdot\frac{15}{31}\cdot\frac{14}{30} \\[5pt] &=& \frac{7}{31}\approx 22,58\% \end{array}$
$ P(„3\ Gleiche“)\approx 22,58\% $
In ca. einem Viertel aller Fälle zieht Nina also drei oder keine rote Karte.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für mindestens eine rote Karte berechnen
Du suchst die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine rote Karte. Dies bedeutet, dass eine, zwei oder drei rote Karten von Nina gezogen werden können.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Über hypergeometrischche Verteilung berechnen
Mit der Hypergeometrischen Verteilung berechnest du wie zuvor, allerdings sind die Wahrscheinlichkeiten zu kumulieren. Somit verwendest du den Befehle:
Interactive $\rightarrow$ Verteilung $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ hypergeoCDf
Interactive $\rightarrow$ Verteilung $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ hypergeoCDf
Stochastik 3.1
Abb. 3: Hypergeometrische Verteilung mit dem Classpad berechnen
Stochastik 3.1
Abb. 3: Hypergeometrische Verteilung mit dem Classpad berechnen
Die Wahrscheinlichkeit mindestens eine rote Karte zu ziehen beträgt $88,71\%$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Über Gegenereignis berechnen
Für dich wäre es einfacher, das Gegenereignis zu betrachten, dass also keine einzige rote Karte gezogen wird, im Baumdiagramm findest du diesen Pfad ganz rechts. Du kannst die gesuchte Wahrscheinlichkeit also bestimmen durch:
$\begin{array}[t]{rll} P(„Mindestens\ Eine“)&=& 1-P(„Keine“) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 1-\frac{16}{32}\cdot\frac{15}{31}\cdot\frac{14}{30} \\[5pt] &=& \frac{55}{62}\approx 88,71\% \end{array}$
$ P(„Mindestens\ Eine“)… $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $88,71\%$ zieht Nina mindestens eine rote Karte.
#gegenwahrscheinlichkeit#pfadregeln#baumdiagramm#hypergeometrischeverteilung
b)
$\blacktriangleright$  Die Siegwahrscheinlichkeit $\boldsymbol{p=50\%}$ begründen
Nina und Tom spielen nun das Spiel aus der Aufgabenstellung und du sollst begründen, warum die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen $50\%$ beträgt.
Nimm an, Nina beginnt und zieht eine rote Karte, merkt sich diese und legt sie zurück. Im Stapel befinden sich nun wieder 16 rote und 16 schwarze Karten. Tom zieht mit einer Wahrscheinlichkeit von $q=0,5$ eine schwarze Karte und verliert somit. Nina gewinnt deshalb mit $p=1-0,5=0,5=50\%$ Wahrscheinlichkeit.
Zieht Nina zu Beginn eine schwarze Karte oder beginnt Tom ändert dies nichts an der Überlegung. Die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg beträgt immer $50\%$.
#wahrscheinlichkeit
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Ereignis A berechen
Nach der ersten Runde ist zu bestimmen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Nina die ersten drei Runden gewinnt. Wie du gerade begründet hast, beträgt die Wahrscheinlichkeit eine Runde zu gewinnen $p=0,5$. Für die zweite und dritte Runde gilt das ebenso, weil ein Spieler nach seinem Zug die Karte wieder zurücklegt. Die übrigen sieben Runden kannst du vernachlässigen, da über diese keine Aussage getroffen wurde. Für $P(A)$ ergibt sich.
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& 0,5\cdot 0,5\cdot 0,5 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 0,125=12,5\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& 12,5\% \end{array}$
Somit gewinnt Nina mit einer Wahrscheinlichkeit von $12,5\%$ alle 3 Runden.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für mindestens 5 von 10 Siegen berechnen
Du sollst bestimmen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Nina mindestens fünf von zehn Runden gewinnt. Hierzu betrachtest du eine Zufallsvariable $X$. Diese gibt die Anzahl der von Nina gewonnenen Runden an. Da es nur zwei Möglichkeiten gibt, wie eine Runde ausgehen kann (Verlieren und Gewinnen) und $p=0,5$ konstant ist, da die Karte immer zurückgelegt wird, ist $X$ binomialverteilt und es handelt sich um einen Bernoulli-Versuch.
Mit der Bernoulli-Formel, bei welcher $k$ die Anzahl von Ninas Siegen und $n$ die Anzahl der Spielrunden ist, kannst du diese Aufgabe lösen.
$B_{p,n}(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$B_{p,n}(k) $$=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
„Nina gewinnt mindestens 5 der 10 Runden“ bedeutet, dass sie auch 6 bis 10 Runden gewinnen kann. Du verwendest den Befehl:
Interactive $\rightarrow$ Verteilung $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDf
Interactive $\rightarrow$ Verteilung $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDf
Stochastik 3.1
Abb. 4: Binomialverteilung mit dem Classpad berechnen
Stochastik 3.1
Abb. 4: Binomialverteilung mit dem Classpad berechnen
Die Wahrscheinlichkeit für mindestens $5$ aus $10$ Runden beträgt $62,30\%$.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Ereignis C berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Nina die erste und dann noch genau fünf Runden gewinnt. Für die erste Runde beträgt die Wahrscheinlichkeit wieder $p=0,5$. Für die weiteren fünf Siege aus neun Runden benutzt du am besten erneut die Bernoulli-Formel.
Stochastik 3.1
Abb. 5: Binomialverteilung mit dem Classpad berechnen
Stochastik 3.1
Abb. 5: Binomialverteilung mit dem Classpad berechnen
Nina gewinnt also mit einer Wahrscheinlichkeit von $12,30\%$ die erste und dann noch fünf weitere Runden.
#binomialverteilung
d)
$\blacktriangleright$  Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass Tom 4 von 5 Runden gewinnt
Vier von fünf Runden soll Tom gewinnen, Nina muss also vier von fünf verlieren und genau eine gewinnen. Diese Aufgabe kannst du wie in Teil c) durch die Bernoulligleichung lösen. Für vier von Tom zu gewinnenden aus fünf Runden erhältst du:
Stochastik 3.1
Abb. 6: Binomialverteilung mit dem Classpad berechnen
Stochastik 3.1
Abb. 6: Binomialverteilung mit dem Classpad berechnen
Tom gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von $15,63\%$ vier von fünf Runden.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für einen Sieg von Nina berechen
Momentan hat Nina 8 und Tom 7 Runden gewonnen. Damit Nina das gesamte Spiel gewinnt braucht sie mindestens 11 gewonnene Runden, sie kann aber auch 12 oder 13 erreichen. Sie muss von den letzten fünf Runden also mindestens drei gewinnen. Die Wahrscheinlichkeit erhältst du erneut durch Addition der Möglichkeiten 3, 4 und 5.
Stochastik 3.1
Abb. 7: Binomialverteilung mit dem Classpad berechnen
Stochastik 3.1
Abb. 7: Binomialverteilung mit dem Classpad berechnen
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Nina gewinnt beträgt $50\%$.
#binomialverteilung
e)
$\blacktriangleright$  Begründung eines fairen Spielverlaufs
Du sollst begründen, warum, ohne zurücklegen der gezogenen Karte, dass Spiel nur dann fair ist, wenn eine gerade Anzahl an Runden gespielt wird.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Vergleich der Wahrscheinlichkeiten
Nimmst du erneut an, dass Nina beginnt und eine rote Karte zieht, hat Tom die Möglichkeit eine von 15 roten Karten aus 31 übrigen zu ziehen, um zu gewinnen. Seine Siegwahrscheinlichkeit beträgt also $p=\frac{15}{31}$. Nina gewinnt, sobald Tom eine schwarze Karte zieht. Dafür kannst du die Gegenwahrscheinlichkeit $q=1-\frac{15}{31}$$=\frac{16}{31}$ betrachten.
Du siehst also hieran, dass nach einer Runde (also eine ungerade Anzahl) die Warscheinlichkeit für einen Sieg von Nina größer, das Spiel dementsprechend unfair ist.
In einer zweiten Runde zieht Tom zuerst. Mit einer Warscheinlichkeit von $p=0,5$ zieht er eine rote Karte. Nina gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=\frac{15}{31}$ und verliert mit $1-p$.
Beide gewinnen in den Runden nacheinander mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Damit das Spiel fair ist, muss Nina genauso oft beginnen wie Tom. Die Anzahl der Runden also gerade sein.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Berechnung des Erwartungswertes
Alternativ könntest du auch den Erwartungswert, wie oft Nina in zwei Spielen gewinnt, bestimmen. Eine $1$ steht für Sieg, eine $0$ für Niederlage.
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& 1\cdot \frac{16}{31}+0\cdot\frac{15}{31}+1\cdot \frac{15}{31}+0\cdot\frac{16}{31} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \frac{16+15}{31}=1 \end{array}$
$ E(X)=1 $
Nina gewinnt eines von zwei Spielen. Das Spiel ist somit für ein vielfaches von 2 Runden fair, dabei sind vielfache von zwei immer gerade. Das Spiel ist also genau für eine gerade Anzahl $m$ an Runden fair.
#erwartungswert
Bildnachweise [nach oben]
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