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Analysis 1.1

Aufgaben
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Holzeisenbahn

a)
Ermittle rechnerisch die Extrempunkte von $f$ und weise deren Art nach.
In den oberen Eckpunkten $A$ und $B$ geht die Oberkante des Brückenteils ohne Knick in die waagerechten Anschlussschienen über. Begründe, warum die beiden Extrempunkte von $f$ mit diesen Eckpunkten übereinstimmen müssen.
[Zur Kontrolle: $A(0\mid f(0))$ bzw. $B(20\mid f(20))$]
(8 BE)
#extrempunkt
b)
Berechne die mittlere Steigung des Brückenteils. Berechne die Stellen, an denen die lokale Steigung von $f$ den gleichen Wert hat wie die mittlere Steigung.
(4 BE)
#änderungsrate
c)
Der Hersteller verkauft batteriebetriebene Lokomotiven für die Holzeisenbahn. Dafür muss sichergestellt sein, dass der Anstiegswinkel an keiner Stelle größer als $32^{\circ}$ ist.
Bestimme rechnerisch, in welchem Punkt das Brückenteil den größten Anstieg hat. Ein Nachweis mithilfe einer hinreichenden Bedingung ist nicht erforderlich. Berechne den maximalen Anstiegswinkel und entscheide, ob das genannte Kriterium erfüllt ist.
(5 BE)
#steigung
d)
(5 BE)
#schnittwinkel#tangente
e)
Im Bereich $0 < x < 20$ gibt es eine Stelle, an der der vertikale Abstand der Gerade $g_u$ zum Graphen von $f$ am geringsten ist. Ermittle diese Stelle und den minimalen Abstand.
(10 BE)
f)
Das gesamte, in der Abbildung in Teilaufgabe e) grün dargestellte Brückenteil einschließlich der senkrechten Stütze am rechten Rand hat eine Tiefe von $4\,\text{cm}.$ Berechne das Volumen des gesamten Brückenteils.
(8 BE)

(40 BE)
Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$  Extrempunkte ermitteln
Mit dem notwendigen Kriterium für Extrempunkte $f'(x)=0$ und dem Ableitungsbefehl des CAS können mögliche Extremstellen bestimmt werden:
Abb. 1: Keyboard $\to$ Math2
Abb. 1: Keyboard $\to$ Math2
Abb. 2: Berechnung der Funktionswerte
Abb. 2: Berechnung der Funktionswerte
$\blacktriangleright$  Lage der Eckpunkte begründen
Da die Oberkante des Brückenteils knickfrei in die waagerechten Anschlussschienen übergehen soll, müssen die Tangenten an den Graphen von $f$ in diesen Übergangsstellen waagerecht sein. Der Graph von $f$ besitzt dort also die Steigung $0.$ Dies ist wie oben gezeigt nur in den Extrempunkten der Fall, weshalb diese den Endpunkten $A$ und $B$ entsprechen müssen.
b)
$\blacktriangleright$  Mittlere Steigung des Brückenteils berechnen
Die mittlere Steigung ergibt sich mithilfe des Differenzenquotienten:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\[5pt] &=& \dfrac{9-1}{20-0} \\[5pt] &=&0,4 \end{array}$
Die mittlere Steigung des Brückenteils beträgt $0,4 = 40\,\%.$
$\blacktriangleright$  Stellen mit der mittleren Steigung berechnen
Die mittlere Steigung beträgt $0,4.$ Da die erste Ableitung von $f$ die Steigung des Graphen beschreibt, ergeben sich die gesuchten Stellen durch Gleichsetzen. Mit dem solve-Befehl des CAS kann die Gleichung gelöst werden:
Abb. 3: Gleichung lösen mit dem CAS
Abb. 3: Gleichung lösen mit dem CAS
An den Stellen $x_1 = \frac{10\cdot \sqrt{3}}{3}+10 \approx 15,77$ und $x_2 = -\frac{10\cdot \sqrt{3}}{3}+10\approx 4,23$ hat die lokale Steigung von $f$ den gleichen Wert wie die mittlere Steigung.
c)
$\blacktriangleright$  Punkt mit dem größten Anstieg bestimmen
Der Punkt mit dem größten Anstieg befindet sich an der Stelle, an der die erste Ableitung $f'$ von $f$ ihr Maximum annimmt.
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen ergibt sich mithilfe des solve-Befehl des CAS:
$\begin{array}[t]{rll} f''(x) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid \; CAS \\[5pt] x&=& 10 \end{array}$
$ x =10 $
Da laut Aufgabenstellung auf den Nachweis des hinreichenden Kriteriums verzichtet werden kann, kann man davon ausgehen, dass der Anstieg an der Stelle $x = 10$ am größten ist.
$f(10)=5$
Im Punkt $P(10\mid 5)$ besitzt das Brückenteil den größten Anstieg.
$\blacktriangleright$  Maximalen Anstiegswinkel bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f'(10)&=& \frac{3}{5} \end{array}$
Mit der Formel für den Steigungswinkel ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \frac{3}{5} &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 30,96^{\circ} \end{array}$
$ \alpha\approx 30,96^{\circ}$
Da der maximale Anstiegswinkel $30,96^{\circ}$ beträgt, ist der Anstieg an keiner Stelle steiler und damit insbesondere auch an keiner Stelle steiler als $32^{\circ}.$ Das Kriterium ist also erfüllt.
d)
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel berechnen
Die Steigungen der beiden Tangenten entsprechen den Steigungen des Graphen von $f$ in diesen beiden Punkten und ergeben sich daher mithilfe der ersten Ableitung $f':$
$\begin{array}[t]{rll} m_1&=&f'(1,5)\\[5pt] &=& \frac{333}{2.000} \\[10pt] m_2&=& f'(8,5) \\[5pt] &=& \frac{1.173}{2.000}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m_1&=& \frac{333}{2.000} \\[10pt] m_2&=& \frac{1.173}{2.000}\\[5pt] \end{array}$
Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \dfrac{m_2-m_1}{1+m_1\cdot m_2} \\[5pt] \tan(\alpha)&=& \dfrac{\frac{1.173}{2.000}-\frac{333}{2.000}}{1+\frac{333}{2.000}\cdot\frac{1.173}{2.000}}&\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha&\approx&20,94^{\circ} \end{array}$
$ \alpha\approx 20,94^{\circ} $
Der Schnittwinkel zwischen den beiden Tangenten beträgt ca. $20,94^{\circ}$ und ist damit deutlich geringer als $25^{\circ}.$ Der Neigungswinkel wird also nicht zu groß.
e)
$\blacktriangleright$  Lage der Graphen nachweisen
Damit der Graph von $f$ in dem angegebenen Intervall vollständig in dem von den Geraden begrenzten Bereich liegt, muss für alle $x\in\mathrm [0;20]$ gelten:
$g_u(x)\leq f(x) \leq g_o(x)$
Für den ersten Teil der Einschränkung folgt mit dem solve-Befehl des CAS:
$\begin{array}[t]{rll} g_u(x)&\leq& f(x) \\[5pt] \frac{45}{100}x-2&\leq& f(x) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x&\leq& 23,06 \end{array}$
Mit dem CAS ist diese Ungleichung für alle $x\leq 23,06$ erfüllt. Für den zweiten Teil folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&\leq& g_u(x)\\[5pt] f(x)&\leq& \frac{45}{100}x+1 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x&\geq& 0 \end{array}$
Für alle $x\in [0;23,06]$ sind also beide Bedingungen erfüllt. Der Graph von $f$ liegt daher für $x\in [0;20]$ innerhalb des Bereichs, der von den beiden Geraden eingeschlossen wird.
$\blacktriangleright$  Stelle mit dem minimalen Abstand bestimmen
Mit der Differenzenfunktion $d(x)= f(x)-g_u(x)$ wird der vertikale Abstand der beiden Graphen von $f$ und $g_u$ beschrieben.
Abb. 4: Berechnung mit dem CAS
Abb. 4: Berechnung mit dem CAS
An der Stelle $x = 5$ ist der vertikale Abstand zwischen den Graphen von $f$ und $g_u$ also am geringsten.
$d(5)= 2$
Der minimale Abstand beträgt $2\,\text{LE}.$
f)
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Das Volumen des Brückenteils ergibt sich aus der Multiplikation der Größe der Seitenfläche mit der Tiefe.
Die Größe der Seitenfläche lässt sich über die Differenz zweier Flächeninhalte berechnen:
  • Der Inhalt $A_1$ der Fläche, die der Graph von $f$ für $x\in [0;20]$ mit der $x$-Achse begrenzt.
  • Abzüglich dem Inhalt $A_2$ des Dreiecks, das die Gerade $g_u$ von ihrer Nullstelle $x_N$ bis $x_o = 20-3 =17$ mit der $x$-Achse bildet.
Abb. 5: Keyboard $\to$ Math2
Abb. 5: Keyboard $\to$ Math2
die Nullstelle von $g_u$ kann mit dem solve-Befehl des CAS berechnet werden und ergibt sich damit zu $x_N= \frac{40}{9}.$
Die obere rechte Ecke des Dreiecks liegt im Punkt $(17\mid g_u(17)):$
$g_u(17) = \frac{113}{20}$
Das Dreieck ist rechtwinklig mit den beiden Kathetenlängen $a= 17-\frac{40}{9}$ und $b= \frac{113}{20}.$
$\begin{array}[t]{rll} A_2&=& \frac{1}{2}\cdot\left( 17-\frac{40}{9}\right)\cdot \frac{113}{20} \\[5pt] &=& \frac{12.769}{360} \\[5pt] \end{array}$
Für den Inhalt der Seitenfläche folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 100 - \frac{12.769}{360} \\[5pt] &=& \frac{23.231}{360} \end{array}$
Die Seitenfläche ist $\frac{23.231}{360}\,\text{cm}^2$ groß. Die Tiefe beträgt $4\,\text{cm}.$
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \frac{23.231}{360}\,\text{cm}^2\cdot 4\,\text{cm} \\[5pt] &=& 258,12\,\text{cm}^3 \end{array}$
$ V = 258,12\,\text{cm}^3$
Das Brückenteil besitzt ein Volumen von $258,12\,\text{cm}^3.$
#integral
Bildnachweise [nach oben]
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