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Lage der Graphen nachweisen
Damit der Graph von $f$ in dem angegebenen Intervall vollständig in dem von den Geraden begrenzten Bereich liegt, muss für alle $x\in\mathrm [0;20]$ gelten:
$g_u(x)\leq f(x) \leq g_o(x)$
Für den ersten Teil der Einschränkung folgt mit dem solve-Befehl des CAS:
$\begin{array}[t]{rll}
g_u(x)&\leq& f(x) \\[5pt]
\frac{45}{100}x-2&\leq& f(x) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt]
x&\leq& 23,06
\end{array}$
Mit dem CAS ist diese Ungleichung für alle $x\leq 23,06$ erfüllt. Für den zweiten Teil folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll}
f(x)&\leq& g_u(x)\\[5pt]
f(x)&\leq& \frac{45}{100}x+1 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt]
x&\geq& 0
\end{array}$
Für alle $x\in [0;23,06]$ sind also beide Bedingungen erfüllt. Der Graph von $f$ liegt daher für $x\in [0;20]$ innerhalb des Bereichs, der von den beiden Geraden eingeschlossen wird.
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Stelle mit dem minimalen Abstand bestimmen
Mit der Differenzenfunktion $d(x)= f(x)-g_u(x)$ wird der vertikale Abstand der beiden Graphen von $f$ und $g_u$ beschrieben.
Gesucht ist die Stelle, an der dieser minimal ist, und der minimale Abstand, also das Minimum von $d(x).$
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen $d'(x)=0$ ergibt sich wie in Teilaufgabe a) mit dem CAS:
$\begin{array}[t]{rll}
d'(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt]
x_1&=& 5\\[5pt]
x_2&=& 15\\[5pt]
\end{array}$
Für das hinreichende Kriterium gilt:
$\begin{array}[t]{rll}
d''(5)&=& 0,06 \\[5pt]
&>& 0\\[10pt]
d''(15)&=& -0,06 \\[5pt]
&<& 0
\end{array}$
Abb. 4: Berechnung mit dem CAS
Abb. 4: Berechnung mit dem CAS
An der Stelle $x = 5$ ist der vertikale Abstand zwischen den Graphen von $f$ und $g_u$ also am geringsten.
$d(5)= 2$
Der minimale Abstand beträgt $2\,\text{LE}.$