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Analytische Geometrie 2.1

Aufgaben
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Startbahn Ost

Bei östlichen Winden wird vom Flughafen in Berlin-Tegel von einer Startbahn gestartet, die in eine nordöstliche Richtung zeigt. Ein Jet hebt im Punkt $P_0(1.140\mid 240\mid 0)$ von der Startbahn ab und erreicht eine Sekunde später die Position $P_1(1.200\mid 251\mid 30).$
Der Jet verändert seine Richtung beim Starten nicht nach rechts oder links.
Der Jet fliegt geradlinig und verändert seine Geschwindigkeit zunächst nicht.
Der Flughafen und Berlin liegen in der $x$-$y$-Ebene. Es gilt $1\,\text{LE} = 1\,\text{m}.$
#vektoren
a)
Gib den Richtungsvektor $\overrightarrow{r}= \overrightarrow{P_0P_1}$ und eine Gleichung der Geraden $g$ an, auf der der Jet unmittelbar nach dem Start fliegt.
Berechne die Länge der Strecke, die der Jet in einer Sekunde zurücklegt.
Berechne die Startgeschwindigkeit des Jets in der Einheit $\frac{\text{km}}{\text{h}}.$
Berechne den Winkel, mit dem der Jet gestartet ist.
(7 BE)
b)
In gerader Verlängerung der Startbahn liegt $7\,\text{km}$ vom Punkt $P_0(1.140\mid 240\mid 0)$ entfernt das Rathaus Pankow.
Ermittle die Koordinaten des Rathauses. Runde auch Zwischenergebnisse ganzzahlig.
[Zur Kontrolle: $R(8.040\mid 1.505\mid 0)$]
(5 BE)
c)
$10$ Sekunden nach dem Start ändert der Jet im Punkt $P_{10}(1.740\mid 350\mid 300)$ seine Geschwindigkeit und fliegt weniger steil mit der Richtung $\overrightarrow{r}_{neu} = \pmatrix{90\\16,5\\4,5}$ weiter.
Weise rechnerisch nach, dass der Jet das Rathaus überfliegt.
Bestimme die Höhe, in der das Rathaus überflogen wird.
(4 BE)
d)
In der Ebene $E$ mit der Gleichung $x-20z = - 1.560$ befindet sich die untere Begrenzung einer dichten Wolkendecke.
Weise nach, dass die neue Flugbahn parallel zu der unteren Begrenzung der Wolkendecke verläuft.
Der Bürgermeister schaut vom Rathaus im dem Moment nach oben, in dem sich der Jet genau über dem Rathaus befindet.
Untersuche, ob der Bürgermeister den Jet sehen kann oder nur die Wolkendecke.
(4 BE)

(20 BE)
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a)
$\blacktriangleright$  Richtungsvektor angeben
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{r}&=& \overrightarrow{P_0P_1} \\[5pt] &=& \overrightarrow{OP_1}- \overrightarrow{OP_0} \\[5pt] &=& \pmatrix{1.200\\251\\30}-\pmatrix{1.140\\ 240\\ 0} \\[5pt] &=& \pmatrix{60\\11\\30}\\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{r} = \pmatrix{60\\11\\30} $
Der Richtungsvektor ist $\overrightarrow{r} = \pmatrix{60\\11\\30}.$
$\blacktriangleright$  Geradengleichung angeben
Der Richtungsvektor der Gerade ist $\overrightarrow{r} = \pmatrix{60\\11\\30}.$ Als Stützektor kann der Ortsvektor des Startpunkts $P_0$ verwendet werden.
$\begin{array}[t]{rll} g:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OP_0} + t\cdot \overrightarrow{r} \\[5pt] &=& \pmatrix{1.140\\ 240\\ 0} +s\cdot \pmatrix{60\\11\\30} \end{array}$
$ g:\quad \overrightarrow{x}=… $
Eine Gleichung der Geraden, auf der der Jet nach dem Start fliegt, lautet
$g:\quad \overrightarrow{x}= \pmatrix{1.140\\ 240\\ 0} +s\cdot \pmatrix{60\\11\\30}.$
$g:\quad \overrightarrow{x}=… $
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke berechnen
In einer Sekunde legt der Jet die Strecke zwischen den Punkten $P_0$ und $P_1$ zurück. Die Länge der Strecke zwischen diesen beiden Punkten ergibt sich über den Betrag des Verbindungsvektors:
$\begin{array}[t]{rll} d(P_0,P_1)&=& \left|\overrightarrow{P_0P_1} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{60\\11\\30}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{60^2 +11^2 +30^2} \\[5pt] &\approx& 67,98\,\text{LE} \\[5pt] &=& 67,98\,\text{m} \end{array}$
$ d(P_0,P_1) \approx 67,98\,\text{m} $
In einer Sekunde legt der Jet eine Strecke von ca. $67,98\,\text{m}$ zurück.
$\blacktriangleright$  Startgeschwindigkeit berechnen
Die Geschwindigkeit wurde bereits berechnet und muss noch in eine andere Einheit umgeformt werden:
$\begin{array}[t]{rll} v&=& 67,98\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \\[5pt] &=& 4.078,8\,\dfrac{\text{m}}{\text{min}} \\[5pt] &=& 244.728\,\dfrac{\text{m}}{\text{h}} \\[5pt] &=& 244,728\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}} \\[5pt] \end{array}$
$ v \approx 244,728\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
Die Startgeschwindigkeit des Jets beträgt ca. $245\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}.$
$\blacktriangleright$  Startwinkel berechnen
Der Winkel des Jets beim Start entspricht dem Schnittwinkel der Geraden $g$ mit der $xy$-Ebene. Ein Normalenvektor der $xy$-Ebene ist $\overrightarrow{n}= \pmatrix{0\\0\\1}.$ Mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{r}$ und der Formel für den Schnittwinkel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha &=& \dfrac{\left| \overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{r} \right|}{\left| \overrightarrow{n}\right| \cdot \left|\overrightarrow{r}\right|}\\[5pt] \sin \alpha &=& \dfrac{\left| \pmatrix{0\\0\\1}\circ\pmatrix{60\\11\\30} \right|}{\left| \pmatrix{0\\0\\1}\right| \cdot \left|\pmatrix{60\\11\\30}\right|}\\[5pt] \sin \alpha &=&\dfrac{30}{1 \cdot \sqrt{60^2+11^2+30^2}} \\[5pt] \sin \alpha &=& \dfrac{30}{\sqrt{4.621}}&\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \alpha& \approx& 26,2 ^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 26,2 ^{\circ}$
Der Jet ist mit einem Winkel von ca. $26,2^{\circ}$ gestartet.
#vektorbetrag#schnittwinkel
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Rathauses ermitteln
Da das Rathaus in der $xy$-Ebene liegt, besitzt es die $z$-Koordinate $z_R=0.$ Die $x$- und $y$-Koordinaten müssen einem Punkt auf der Flugbahn des Flugzeugs entsprechen, also die ersten beiden Zeilen der Geradengleichung von $g$ erfüllen:
$\overrightarrow{OR} = \pmatrix{1.140+60s\\240 + 11s\\0}$
Die Entfernung zum Punkt $P_0$ soll $7\,\text{km} = 7.000\,\text{LE}$ betragen.
$\begin{array}[t]{rll} d(R,P_0)&=&7.000 \\[5pt] \left|\overrightarrow{RP_0} \right|&=&7.000 \\[5pt] \left|\pmatrix{-60s\\-11s\\0} \right|&=&7.000 \\[5pt] \sqrt{(-60s)^2 +(-11s)^2 +0^2}&=& 7.000 \\[5pt] \sqrt{3.721s^2}&=&7.000 \\[5pt] 61s&=& 7.000 &\quad \scriptsize \mid\;:61\\[5pt] s&\approx& 115 \end{array}$
$ s\approx 115 $
Einsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OR}&=& \pmatrix{1.140+60\cdot 115\\240 + 11\cdot 115\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{8.040\\1.505\\0} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OR}=\pmatrix{8.040\\1.505\\0} $
Die Koordinaten des Rathauses lauten $R(8.040\mid 1.050\mid 0).$
c)
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass der Jet das Rathaus überfliegt
Die neue Flugbahn des Jets kann mit folgender Gerade beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} g_{neu}:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OP_{10}}+t\cdot \overrightarrow{r}_{neu} \\[5pt] &=&\pmatrix{1.740\\350\\300} +t\cdot \pmatrix{90\\16,5\\4,5} \end{array}$
$ g_{neu}:\quad \overrightarrow{x} = … $
Der Jet überfliegt das Rathaus, wenn es auf der Geraden einen Punkt $P_t$ mit den $x$- und $y$-Koordinaten des Rathauses gibt, für den $t$ positiv ist.
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 8.040 &=& 1.740 + t \cdot 90 \\ \text{II}\quad& 1.505 &=& 350 + t\cdot 16,5 \\ \end{array}$
Aus der ersten Gleichung ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} 8.040 &=& 1.740 + t \cdot 90 &\quad \scriptsize \mid\; -1.740 \\[5pt] 6.300 &=& t\cdot 90 &\quad \scriptsize \mid\;:90 \\[5pt] 70&=& t \end{array}$
$ 70 = t $
Aus der zweiten Gleichung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 1.505 &=& 350 + t\cdot 16,5 &\quad \scriptsize \mid\; -350 \\[5pt] 1.155 &=& t\cdot 16,5 &\quad \scriptsize \mid\;:16,5 \\[5pt] 70&=& t \end{array}$
$ 70 = t $
Da beide Gleichungen dieselbe Lösung liefern, gibt es auf der Flugbahn also einen Punkt, der die gleiche $x$- und $y$-Koordinate wie das Rathaus besitzt. Der Jet überfliegt das Rathaus also.
$\blacktriangleright$  Höhe berechnen
Die Höhe wird durch die $z$-Koordinate des Punkts $P$ auf der Flugbahn beschrieben, der direkt über dem Rathaus liegt. Der Parameterwert $t=70$ für diesen Punkt wurde oben bereits berechnet.
$\overrightarrow{OP} = \pmatrix{1.740\\350\\300} +70\cdot \pmatrix{90\\16,5\\4,5} = \pmatrix{8.040\\1.505\\615}$
$ \overrightarrow{OP} = \pmatrix{8.040\\1.505\\615}$
Das Rathaus wird also in einer Höhe von $615\,\text{m}$ überflogen.
d)
$\blacktriangleright$  Parallelen Verlauf nachweisen
Ein Normalenvektor der Ebene $E,$ in der die untere Begrenzung der Wolkendecke liegt, ist
$\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\0\\-20}$
Die Richtung des Jets wird durch den Richtungsvektor $\overrightarrow{r}_{neu} = \pmatrix{90\\16,5\\4,5}$ beschrieben. Es ist:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{r}_{neu} &=& \pmatrix{1\\0\\-20} \circ \pmatrix{90\\16,5\\4,5} \\[5pt] &=& 1\cdot 90 + 0\cdot 16,5 -20\cdot 4,5 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ \overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{r}_{neu} = 0$
Da das Skalarprodukt null ist, sind die beiden Vektoren orthogonal bzw. senkrecht zueinander. Daher verläuft der Richtungsvektor $\overrightarrow{r}_{neu}$ und damit auch die Gerade $g_{neu}$ wiederum parallel zur Ebene $E.$ Die neue Flugbahn verläuft also parallel zur unteren Begrenzung der Wolkendecke.
$\blacktriangleright$  Untersuchen, ob der Bürgermeister den Jet sehen kann
Es wurde bereits berechnet, dass das Flugzeug das Rathaus in einer Höhe von $615\,\text{m}$ überfliegt. Die Höhe der Wolkendecke über dem Rathaus kann ähnlich bestimmt werden. Der Punkt $W$ der Wolkendecke, der sich direkt über dem Rathaus befindet, besitzt ebenfalls die gleichen $x$- und $y$-Koordinaten wie das Rathaus $R,$ also $x_W= 8.040$ und $y_W= 1.505.$
Einsetzen in die Ebenengleichung von $E$ liefert die zugehörige $z$-Koordinate:
$\begin{array}[t]{rll} E: \quad x-20z&=& -1.560 &\quad \scriptsize \mid\; x_W= 8.040\\[5pt] 8.040-20z_W&=& -1.560 &\quad \scriptsize \mid\;-8.040 \\[5pt] -20z_W&=& -9.600 &\quad \scriptsize \mid\; :(-20) \\[5pt] z_W&=& 480 \end{array}$
$ z_W = 480 $
Über dem Rathaus befindet sich die Wolkendecke also in einer Höhe von $480\,\text{m}$ und liegt daher zwischen Rathaus und Jet. Der Bürgermeister kann den Jet also nicht sehen, sondern nur die Wolkendecke.
#skalarprodukt
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