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Analytische Geometrie 2.2

Aufgaben
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Schokotrüffel

#pyramide#vektoren
a)
Die Punkte $B(10\mid 10\mid 0),$ $D(0\mid 0\mid 0)$ und $F(9\mid 9\mid 6)$ sind Eckpunkte des Pyramidenstumpfes.
Die Spitze der aufgesetzten Pyramide ist $S(5\mid 5 \mid 9).$
Gib die Koordinaten der Eckpunkte $A,$ $E$ und $H$ an.
(2 BE)
b)
Bestimme eine Gleichung der Ebene $E_1,$ in der die Seitenwand $ABFE$ liegt, in Koordinatenform.
[Zur Kontrolle: $E_1:\, 6x+z = 60 $]
(4 BE)
#ebenengleichung#koordinatenform
c)
Ermittle die Größe des Winkels $\gamma,$ den die Seitenwand $ABFE$ mit der angrenzenden dreieckigen Deckelfläche $EFS$ einschließt.
Berechne den größten Abstand zweier Punkte innerhalb der Verpackung.
(6 BE)
d)
Die vier Flächen des Deckels werden mit Goldfolie überzogen. Berechne, wie viele $\text{cm}^2$ Goldfolie für einen Deckel benötigt werden.
(3 BE)
e)
(5 BE)

(20 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Eckpunkte angeben
Aufgrund der Kantenlängen und der bereits gegebenen Koordinaten ergibt sich:
$A(10\mid 0\mid 0),$ $E(9\mid 1\mid 6)$ und $H(1\mid 1\mid 6)$
b)
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung bestimmen
Ein Normalenvektor der Ebene $E_1$ kann durch das Kreuzprodukt zweier Vektoren bestimmt werden, die in der Ebene liegen, also beispielsweise zweier Verbindungsvektoren der Punkte $A,$ $B,$ $F$ und $E.$ Das Kreuzprodukt kann auch mithilfe des crossP-Befehls des CAS berechnet werden.
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 1: Keyboard $\to$ Math2
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 1: Keyboard $\to$ Math2
Es kann nun sowohl der berechnete als auch der gekürzte Normalenvektor verwendet werden, da es hierbei nur auf die Richtung ankommt.
Durch Einsetzen in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform und einer Punktprobe mit dem Punkt $E$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} E_1:\quad n_1\cdot x +n_2\cdot y +n_3\cdot z &=& d \\[5pt] 6x +1z&=& d &\quad \scriptsize E(9\mid 1\mid 6) \\[5pt] 6\cdot 9 +1\cdot 6 &=&d \\[5pt] 60 &=& d \end{array}$
$ 60 = d $
Eine Gleichung der Ebene $E_1,$ in der die Seitenwand $ABFE$ liegt, lautet:
$E_1: \quad 6x + z = 60$
#kreuzprodukt
c)
$\blacktriangleright$  Größe des Winkels berechnen
Die Seitenfläche $ABFE$ liegt in der Ebene $E_1.$ Die Deckelfläche $EFS$ liegt ebenfalls in einer Ebene. Ein Normalenvektor kann auch hier mit dem Kreuzprodukt bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}_2&=& \overrightarrow{ES}\times \overrightarrow{FS} \\[5pt] &=& \pmatrix{-4\\4\\3}\times \pmatrix{-4\\-4\\3} \\[5pt] &=& \pmatrix{4\cdot 3 -3\cdot (-4)\\ 3\cdot (-4) -(-4)\cdot 3 \\ -4\cdot (-4)-4\cdot (-4)} \\[5pt] &=& \pmatrix{24\\0 \\ 32} \end{array}$
Der gesuchte Winkel entspricht dem größeren der beiden Winkel zwischen diesen beiden Ebenen.
Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen und dem bereits bestimmten Normalenvektor von $E_1$ ergibt sich der Schnittwinkel der beiden Ebenen:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{n}_2 \circ \overrightarrow{n}_{E_1}\right|}{\left| \overrightarrow{n}_2\right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_{E_1}\right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{\left| \pmatrix{24\\0 \\ 32} \circ \pmatrix{6\\0\\1}\right|}{\left| \pmatrix{24\\0 \\ 32}\right| \cdot \left|\pmatrix{6\\0\\1}\right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{176}{\sqrt{24^2+0^2+32^2} \cdot \sqrt{6^2 +0^2 +1^2}} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{176}{40\sqrt{37}} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 43,67^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 43,67^{\circ}$
$\gamma$ ist der Gegenwinkel zu diesem Schnittwinkel:
$180^{\circ}-43,67^{\circ} = 136,33^{\circ}.$
Die Seitenwand $ABFE$ schließt mit der Deckelfläche $EFS$ einen Winkel der Größe $ 136,33^{\circ}$ ein.
$\blacktriangleright$  Größten Abstand berechnen
Der größte Abstand zwischen zwei Punkten innerhalb der Verpackung ist die Länge der Raumdiagonalen, also beispielsweise der Abstand der beiden Punkte $D$ und $F.$ Dieser kann über den Betrag des zugehörigen Verbindungsvektors berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} d(F,D)&=& \left|\overrightarrow{DF} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{9\\9\\6} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{9^2+9^2+6^2} \\[5pt] &=& \sqrt{198} \\[5pt] &\approx& 14,07 \end{array}$
$ d(F,D)\approx 14,07 $
Der größte Abstand zweier Punkte innerhalb der Verpackung beträgt ca. $14,07\,\text{cm}.$
#vektorbetrag#schnittwinkel
d)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Die vier Flächen des Deckels sind gleich groß, da es sich bei dem Deckel um eine gerade quadratische Pyramide handelt. Es handelt sich um Dreiecke, die von Vektoren aufgespannt werden. Die vordere Fläche wird beispielsweise von den beiden Vektoren $\overrightarrow{ES}$ und $\overrightarrow{FS}$ aufgespannt. Der Flächeninhalt ergibt sich daher mithilfe des Kreuzprodukts wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& \frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{ES}\times \overrightarrow{FS} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{24\\0 \\ 32} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{24^2+0^2+32^2} \\[5pt] &=& 20 \\[5pt] \end{array}$
$ A_1=20 $
Die Größe der Gesamtfläche, die mit Gold ausgestattet werden soll, ergibt sich dann zu:
$A = 4\cdot 20 = 80$
Es werden $80\,\text{cm}^2$ Goldfolie benötigt.
#kreuzprodukt#vektorbetrag
e)
$\blacktriangleright$  Länge des benötigten Drahtes bestimmen
Es werden insgesamt $8$ Stücke Draht der gleichen Länge benötigt. Diese Länge entspricht beispielsweise dem Abstand der beiden Punkte $P_1$ und $B.$
Die Koordinaten von $B$ sind bekannt. Da sich $P_1$ in $3\,\text{cm}$ Höhe über der Grundfläche befindet, ist die $z$-Koordinate $z_1= 3.$ $P_1$ liegt auf der Geraden durch $A$ und $E,$ welche durch folgende Gleichung beschrieben werden kann:
$\begin{array}[t]{rll} AE:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AE} \\[5pt] &=& \pmatrix{10\\0\\0}+s\cdot \pmatrix{-1\\1\\6}\\[5pt] \end{array}$
$ AE:\quad \overrightarrow{x} = … $
Mit der vorgegebenen $z$-Koordinate von $z_1=3$ ergibt sich für $s:$
$\begin{array}[t]{rll} z&=& 0+s\cdot 6 \\[5pt] 3&=& s\cdot 6 &\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] 0,5&=& s \end{array}$
$ 0,5 = s$
Durch Einsetzen in die Geradengleichung ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP_1}&=& \pmatrix{10\\0\\0}+0,5\cdot \pmatrix{-1\\1\\6} \\[5pt] &=& \pmatrix{9,5\\ 0,5\\ 3} \end{array}$
$ \overrightarrow{OP_1} = \pmatrix{9,5\\ 0,5\\ 3} $
Die Koordinaten von $P_1$ lauten also $P_1(9,5\mid 0,5\mid 3).$ Die Länge eines Drahtstückes ergibt sich nun über den Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{P_1B}:$
$\begin{array}[t]{rll} l_1&=& \left|\overrightarrow{P_1B} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{0,5\\9,5\\-3} \right|\\[5pt] &=& \sqrt{0,5^2 + 9,5^2 +(-3)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{99,5} \end{array}$
$ l_1 = \sqrt{99,5} $
Die Gesamtlänge des benötigten Drahtes beträgt daher:
$\begin{array}[t]{rll} l&=& 8\cdot \sqrt{99,5} \\[5pt] &=&4\sqrt{398} \\[5pt] &\approx& 79,80\,\text{LE} \end{array}$
$ l \approx 79,80\,\text{LE} $
Es werden also ca. $79,80\,\text{cm}$ Draht benötigt, damit reichen $80\,\text{cm}$ Draht aus.
#vektorbetrag
Bildnachweise [nach oben]
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