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Stochastik 3.1

Aufgaben
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Smartphone

Ein Hersteller bringt ein neues Smartphone auf den Markt.
Ein Händler erhält eine Lieferung dieser Smartphones.
#zentraleraufgabenpool
a)
Die gelieferten Geräte haben sechs verschiedene Farben. Für die Auslage einiger Geräte im Schaufenster sollen vier Farben ausgewählt werden.
Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten für diese Auswahl.
(2 BE)
b)
Die Lieferung umfasst $50$ Geräte; davon sind drei fehlerhaft. Aus der Lieferung werden zehn Geräte zufällig ausgewählt.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
„Von den zehn ausgewählten Geräten ist keines fehlerhaft.“
„Von den zehn ausgewählten Geräten ist mindestens eines fehlerhaft.“
(3 BE)
Die Geräte werden in vier Werken in jeweils großer Stückzahl hergestellt. Der Tabelle können für jedes Werk folgende Daten entnommen werden:
  • der Anteil der in diesem Werk hergestellten Geräte an der Gesamtzahl aller hergestellten Geräte;
  • der Anteil der fehlerhaften Geräte unter den in diesem Werk hergestellten Geräten.
WerkABCD
Anteil an der Gesamtzahl $10\,\%$$30\,\%$$20\,\%$$40\,\%$
Anteil der fehlerhaften Geräte$5\,\%$$3\,\%$$4\,\%$$2\,\%$
c)
Weise nach, dass der Anteil der fehlerhaften Geräte unter allen hergestellten Geräten $3\,\%$ beträgt.
(2 BE)
d)
Ein unter allen hergestellten Geräten zufällig ausgewähltes Gerät ist fehlerhaft.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es im Werk $A$ hergestellt wurde.
(3 BE)
e)
Von im Werk A hergestellten Geräten werden $250$ zufällig ausgewählt.
Ermittle die Anzahl fehlerhafter Geräte, die darunter mit der größten Wahrscheinlichkeit auftritt.
(2 BE)
f)
Gib einen Wert von $s$ an, für den mit dem Term $200\cdot 0,98^s\cdot 0,02+0,98^{200}$ im Sachzusammenhang die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet werden kann.
Beschreibe das zugehörige Ereignis.
(4 BE)
#ereignis
g)
Ermittle, wie viele im Werk C hergestellte Geräte mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit sich darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $9\,\%$ mindestens $500$ Geräte befinden, die nicht fehlerhaft sind.
(4 BE)

(20 BE)
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a)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Möglichkeiten bestimmen
Bei der Auswahl der Farben handelt sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Es ist die Anzahl der möglichen Kombinationen gesucht. Mit dem Binomialkoeffizienten ergibt sich:
$\binom{6}{4} = 15$
Es gibt insgesamt $15$ verschiedene Möglichkeiten vier Farben aus den sechs auszuwählen.
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Es handelt sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen. Mit der Pfadmultiplikationsregel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& \frac{47}{50}\cdot \frac{46}{49}\cdot \frac{45}{48}\cdot \frac{44}{47}\cdot \frac{43}{46}\cdot \frac{42}{45}\cdot \frac{41}{44}\cdot \frac{40}{43}\cdot \frac{39}{42}\cdot \frac{38}{41} \\[5pt] &\approx& 0,5041 \\[5pt] &=& 50,41\,\% \end{array}$
$ P(A)= 50,41\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $50,41\,\%$ befindet sich unter den zehn ausgewählten Geräten kein fehlerhaftes.
Ereignis $B$ ist das Gegenereignis zu $A,$ es tritt also genau dann ein, wenn $A$ nicht eintritt:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&1-P(A) \\[5pt] &\approx& 1- 0,5041\\[5pt] &=& 0,4959 \\[5pt] &=& 49,59\,\% \\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $49,59\,\%$ befindet sich unter den zehn ausgewählten Geräten mindestens ein fehlerhaftes.
#pfadregeln#gegenereignis
c)
$\blacktriangleright$  Anteil der fehlerhaften Geräte nachweisen
Wird das Ereignis eines fehlerhaften Geräts mit $F$ bezeichnet, ergibt sich mit den Pfadregeln folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} P(F)&=& 0,1\cdot 0,05 + 0,3\cdot 0,03+0,2\cdot 0,04+ 0,4\cdot 0,02 \\[5pt] &=& 0,03\\[5pt] &=& 3\,\% \end{array}$
$ P(F)=3\,\% $
Unter allen hergestellten Geräten befinden sich $3\,\%$ fehlerhafte Geräte.
#pfadregeln
d)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_F(A).$ Mit dem Satz von Bayes ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P_F(A)&=& \dfrac{P_A(F)\cdot P(A)}{P(F)}\\[5pt] &=& \dfrac{0,05\cdot 0,1}{0,03}\\[5pt] &\approx& 0,1667\\[5pt] &=& 16,67\,\% \end{array}$
$ P_F(A) \approx 16,67\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $16,67\,\%$ stammt ein von allen hergestellten Geräten zufällig ausgewähltes Gerät aus Werk A.
#satzvonbayes
e)
$\blacktriangleright$  Anzahl mit größter Wahrscheinlichkeit ermitteln
Betrachtet wird die Zufallsgrößte $X,$ die die Anzahl der fehlerhaften Geräte unter den $250$ zufällig ausgewählten Geräten aus Werk A beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit den Parametern $n=250$ und $p=0,05$ angenommen werden, da die Geräte laut Aufgabenstellung in großer Stückzahl produkziert werden und man daher davon ausgehen kann, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler bei jedem Gerät, unabhängig von den anderen, gleich ist.
Die größte Wahrscheinlichkeit hat bei einer binomialverteilten Zufallsgröße der Erwartungswert, der wie folgt berechnet werden kann:
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=& 250\cdot 0,05\\[5pt] &=& 12,5\\[5pt] \end{array}$
Da nur ganzzahlige Werte im Sachzusammenhang Sinn ergeben, muss der gesuchte Wert entweder $12$ oder $13$ sein. Für die Wahrscheinlichkeiten gilt mit der Formel für die Binomialverteilung:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=12)&=&\binom{250}{12}\cdot 0,05^{12}\cdot 0,95^{238} \\[5pt] &\approx& 0,1160\\[5pt] &=& 11,60\,\% \\[10pt] P(X=13)&=&\binom{250}{13}\cdot 0,05^{13}\cdot 0,95^{237} \\[5pt] &\approx& 0,1117\\[5pt] &=& 11,17\,\% \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=12)&\approx& 11,60\,\% \\[10pt] P(X=13)&\approx& 11,17\,\% \\[10pt] \end{array}$
Die Anzahl fehlerhafter Geräte, die mit der größten Wahrscheinlichkeit auftritt beträgt $12.$
#binomialverteilung#erwartungswert
f)
$\blacktriangleright$  Wert angeben
Vergleicht man den angegebenen Term mit der Formel für die Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ $P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k},$ kann man den Term wie folgt umformen:
$\begin{array}[t]{rll} 200\cdot 0,98^s\cdot 0,02 + 0,98^{200}&=& 200\cdot 0,98^{s}\cdot 0,02^{1}+0,98^{200} \\[5pt] &=& \binom{200}{1}\cdot 0,98^{200-1}\cdot 0,02^{1}+0,98^{200} \\[5pt] &=& P(X_{200;0,02}=1)+ P(X_{200;0,02} = 0) \\[5pt] &=& P(X_{200;0,02}\leq 1) \\[5pt] \end{array}$
$ … =P(X_{200;0,02}\leq 1) $
$0,02= 20\,\%$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Gerät aus Werk D fehlerhaft ist. Für $s=199$ gibt der Term also die Wahrscheinlichkeit an, dass unter $200$ zufällig ausgewählten Geräten aus Werk D höchstens eines fehlerhaft ist.
#binomialverteilung
g)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Geräte ermitteln
Betrachtet wird die Zufallsgröße $Y_n,$ die die zufällige Anzahl der nicht fehlerhaften Geräte in einer Stichprobe von $n$ zufällig ausgewählten Geräten aus Werk C beschreibt.
Diese kann aus den gleichen Gründen wie $X$ als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p= 1-0,04= 0,96$ angenommen werden.
Gesucht ist das kleinste $n,$ sodass gerade noch folgende Ungleichung erfüllt ist:
$P(Y_n\geq 500) \geq 0,9$
Stochastik 3.1
Abb. 1: binomialCDf(k,n,p)
Stochastik 3.1
Abb. 1: binomialCDf(k,n,p)
Es müssen mindestens $527$ Geräte untersucht werden.
#binomialverteilung
Bildnachweise [nach oben]
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