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Aufgabe 1

Aufgaben
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Aufgabe 1

1.1
Das Schaubild einer Funktion $3$. Grades berührt die $x$-Achse bei $x=-3$ und verläuft durch den Ursprung.
Weiterhin liegt der Punk $A\left(1\mid\dfrac{16}{3}\right)$ auf dem Schaubild der Funktion.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion.
(6P)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-\dfrac{1}{3}x^3-2x^2-3x$;    $x\in\mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
1.2
Bestimme die Koordinaten der gemeinsamen Punkte von $K_f$ mit der $x$-Achse sowie der Extrem- und Wendepunkte von $K_f$.
Zeichne $K_f$ in ein geeignetes Koordinatensystem.
(7P)
1.3
$K_f$ schließt mit der $x$-Achse eine Fläche ein.
Bestimme den Flächeninhalt.
Berechne mithilfe einer Stammfunktion, für welchen Wert
von $u$ mit $u>-3$ gilt: $\displaystyle\int_{-3}^{u}\;f(x)\;\mathrm dx=0$.
(6P)
Gegeben sind die Funktionen $g$ mit $g(x)=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{7}{2}$    und    $h(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}$;    $x\in\mathbb{R}$.
Das Schaubild von $g$ ist $K_g$ , das Schaubild von $h$ ist $K_h$.
1.4
$K_h$ soll in $y$-Richtung so verschoben werden, dass $K_g$ den verschobenen Graphen auf der $y$-Achse schneidet.
Bestimme den neuen Funktionsterm.
(4P)
1.5
Die Kurve $K_g$, und die Gerade mit der Gleichung $y=-8$ begrenzen eine Fläche. In diese Fläche soll ein zur $y$-Achse symmetrisches Dreieck mit den Eckpunkten $S(0\mid-8)$ und $P(u\mid g(u))$ mit $0\leq u\leq3$ einbeschrieben werden.
Skizziere diesen Sachverhalt für $u=2$.
Berechne den Inhalt des Dreiecks mit dem größten möglichen Flächeninhalt.
(7P)

(30P)
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Tipps
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$   Funktionsterm aus Eigenschaften des Schaubildes bestimmen
Deine Aufgabe besteht darin, aus verschiedenen Angaben im Text den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion dritten Grades zu bestimmen. Die allgemeine Form des Term einer solchen Funktion $f$ ist z. B.
$ f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$
$ f(x) $=$ a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$
für jedes $ x \in \mathbb{R} $ und unbekannten reellen Parametern $ a, \; b, \; c $ und $d.$ Du benötigst also vier Bedingungen, die du den Angaben aus dem Text entnehmen sollst, um die vier unbekannten Größen zu ermitteln.
Du weisst Folgendes über das Schaubild der Funktion:
  1. Es berührt die $x$–Achse bei $ x = -3.$
  2. Es verläuft durch den Ursprung.
  3. Der Punkt $ A \left( 1 \mid \frac{16}{3} \right) $ liegt auf ihm.
Versuche, jede Information in eine Gleichung zu übersetzen, und schaue in der Formelsammlung nach, was es bedeutet, wenn ein Schaubild die $x$–Achse an einer Stelle berührt.
Berühren bedeutet mehr als nur Schneiden: Das Schaubild besitzt an der Stelle eine waagerechte Tangente, d. h. die Steigung ist dort Null. Schreibe nun die vier Gleichungen mithilfe von $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{f'}$ auf.
Kontrollergebnis:
  1. $ \, \boldsymbol{f(-3) = 0} $ und $ \boldsymbol{f'(-3) = 0.}$
  2. $ \, \boldsymbol{f(0) = 0.}$
  3. $ \, \boldsymbol{f(1) = \frac{16}{3}.}$
Um weitermachen zu können, musst du also die Ableitungsfunktion von $f$ berechnen.
Kontrollergebnis: $ f'(x) = 3 \cdot a \cdot x^2 + 2 \cdot b \cdot x + c$
Übertrage diese Zuordnungen in ein Gleichungssystem, das aus vier Gleichungen mit vier Unbekannten besteht, und vereinfache es.
Die vereinfachte Form des linearen Gleichungssystems lässt sich nun schriftlich oder mit dem GTR lösen:
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von CASIO Die Lösungen kannst du mit dem GTR durch Eingabe des Gleichungssystems im Menü EQUA–Lineares Gleichungssystem–3 Unbekannte berechnen lassen.
[Abb. 1]: Eingabe des LGS
[Abb. 1]: Eingabe des LGS
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von TI im Menü MATRIX Die Lösungen kannst du mit dem GTR durch Eingabe des Gleichungssystems als $(4 \times 5)$–Matrix $A$ und Umformung dieser Matrix auf Diagonalgestalt ermitteln. Der zugehörige Tastaturaufruf ist
MATRIX $\to$ MATH $\to$ B: rref $\to$ MATRIX A $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER.
MATRIX $\to$ MATH $\to$ B: rref $\to$ MATRIX A $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER.
[Abb. 1]: Eingabe des LGS
[Abb. 1]: Eingabe der Matrix
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Das obige lineare Gleichungssystems lässt sich für die schriftliche Berechnung weiter vereinfachen, weil aus der dritten Gleichung $ d = 0 $ folgt und in die anderen Gleichungen eingesetzt werden kann:
$ \begin{array}{rcrcrcrcll} \text{I} &:& -27 \cdot a &+& 9 \cdot b &-& 3 \cdot c &=& 0\\ \text{II} &:& 27\cdot a &-& 6 \cdot b &+& c &=& 0 &\\ \text{III} &:& a &+& b &+& c &=& \frac{16}{3} & \\ \hline \end{array} $ Löse das Gleichungssystem z. B. mit dem Additionsverfahren.
Kontrollergebnis: Die Lösung des Gleichungssystems ist $ a = \frac{1}{3}, \; b = 2, \; c = 3 $ und $ d = 0.$

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$   Koordinaten der gemeinsamen Punkte von $\boldsymbol{K_f}$ mit der $x$–Achse bestimmen
Für die Funktion $f$ mit $ f(x) = -\frac{1}{3} \cdot x^3 - 2 \cdot x^2 - 3 \cdot x $ sollst du die Koordinaten der gemeinsamen Punkte ihres Schaubildes mit der $x$–Achse berechnen. Im Schnittpunkt des Schaubildes mit der $x$–Achse ist der $y$–Wert Null. Wegen $ y = f(x) $ gilt es also, die Gleichung $ \boldsymbol{f(x) = 0} $ zu lösen.
Die Lösungen können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden:
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von CASIO
Im Graph–Menü kannst du den Funktionsterm von $f$ eingeben, dir das Schaubild anzeigen und dir mit
G–SOLV–ROOT
G–SOLV–ROOT
die Schnittpunkte ausgeben lassen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von TI
Im GTR rufst du nach Eingabe des Funktionsterms das Untermenü mit
CALC $\to$ 2: zero $\to$ ENTER
CALC $\to$ 2: zero $\to$ ENTER
auf. Du wirst aufgefordert, z. B. die linke Nullstelle einzugrenzen. Weil sie zwischen $-3$ und $-2$ liegt, kannst du diese Werte für die Begrenzung eingeben.
2. Möglichkeit: Schriftliche Lösung
Die Gleichung $ f(x) = 0 $ kannst du lösen, indem du durch Ausklammern ein Nullprodukt erstellst und den Satz vom Nullprodukt anwendest: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Mithilfe der Lösungsformel (Mitternachtsformel) oder der binomischen Formel rückwärts lassen sich alle Nullstellen berechnen.
$\blacktriangleright$   Koordinaten der Extrempunkte von $\boldsymbol{K_f}$ bestimmen
Das Schaubild $K_f$ soll auf Hoch- und Tiefpunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f$ auf Extremstellen untersuchen. Die Extrempunkte eines Schaubildes können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von CASIO
Im Graph–Menü kannst du den Funktionsterm von $f$ eingeben, dir das Schaubild anzeigen und dir mit
G–SOLV–MAX bzw. G–SOLV–MIN
G–SOLV–MAX bzw. G–SOLV–MIN
die Extrempunkte ausgeben lassen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von TI
Im Graph–Menü kannst du den Funktionsterm von $f$ eingeben und anhand des Schaubildes vermuten, wo die Minimalstelle liegen könnte. Mithilfe des CALCULATE–Menüs und durch die Eingabe der Grenzen $-3$ und $3$ für den Suchbereich erhältst du durch die Tastenfolge
CALC $\to$ 3: $\to$ minimum $\to -3 \to 3 \to 2 \to$ ENTER
CALC $\to$ 3: $\to$ minimum $\to -3 \to 3 \to 2 \to$ ENTER
den Tiefpunkt bzw. durch
CALC $\to$ 4: maximum $\to -3 \to 3 \to 0 \to$ ENTER
CALC $\to$ 4: maximum $\to -3 \to 3 \to 0 \to$ ENTER
den Hochpunkt ausgegeben.
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_f$ vor und die Ableitungsfunktion $f'$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktion $f$ und untersuche diese auf Nullstellen. Verwende für die Nullstellenberechnung den Satz vom Nullprodukt: Er besagt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $\boldsymbol{f''(x_0) < 0,}$ so handelt es sich um einen Hochpunkt, gilt $\boldsymbol{f''(x_0) > 0}$, so liegt ein Tiefpunkt vor. Berechne abschließend den Funktionswert an diesen Stellen und gib die Koordinaten an.
$\blacktriangleright$ Koordinaten der Wendepunkte von $\boldsymbol{K_f}$ bestimmen
Das Schaubild soll auf Wendepunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f'$ auf Extremstellen untersuchen. Auch Wendepunkte eines Schaubildes können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von CASIO
Im Graph–Menü kannst du den Funktionsterm von $f'$ eingeben, ohne die Ableitung ausrechnen zu müssen. Verwende dazu die Eingabe
Y2: OPT $\to$ CALC $\to$ d/dx $\to$ Y1)
Y2: OPT $\to$ CALC $\to$ d/dx $\to$ Y1)
wobei du bei Y1 den Funktionsterm von $f$ schon eingegeben hast. Das zugehörige Schaubild $K_f$ blendest du aus und lässt dir nur das Schaubild von $K_{f'}$ anzeigen. Bestimme mit dem GTR alle Extremstellen der Ableitungsfunktion, denn jede Extremstelle von $K_{f'}$ ist eine Wendestelle von $K_f.$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von TI
Im Graph–Menü kannst du den Funktionsterm von $f'$ eingeben. Bestimme mit dem CALCULATE–Menü wie oben alle Extremstellen der Ableitungsfunktion, denn jede Extremstelle von $K_{f'}$ ist eine Wendestelle von $K_f.$
Kontrollergebnis: Die Stelle $\boldsymbol{x_1\approx -2}$ ist die Extremstelle von $K_{f'}$. Um den Wendepunkt von $K_f$ anzugeben, lässt du dir den zugehörigen Funktionswert z. B. im Table–Menü ausgeben.
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
An einer Extremstelle $f'$ liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_{f'}$ vor und die Ableitungsfunktion $f''$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f'$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt noch zusätzlich die dritte Ableitung der Funktion $f$ und untersuche $f''$ auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Wenn sie erfüllt ist, so handelt es sich um einen Wendepunkt. Um seine vollständigen Koordinaten zu ermitteln, berechnest du die $y$–Koordinate durch Einsetzen von $x_0$ in den Funktionsterm und berechnen des Funktionswertes.
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -5 \leq x \leq 1,5 $ und $ -11 \leq y \leq 7 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$   Inhalt der Fläche bestimmen, die $\boldsymbol{K_f}$ mit der $\boldsymbol{x}$–Achse einschließt
Die Fläche im II. Qauadranten ist in der obigen Zeichnung bereits markiert. Deine Aufgabe ist es, den Flächeninhalt der markierten Fläche zu berechnen. Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du die Integralformel für Flächeninhalte
$ A = \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x $
$ A = \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x $
anwenden und überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind. Der Zeichnung und deiner Berechnung der Nullstellen in Teilaufgabe 1.2 kannst du entnehmen, dass $ a = -3 $ und $ b = 0 $ die Schnittstellen des Schaubildes $K_f$ mit der $\boldsymbol{x}$–Achse sind.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Du sollst also den Flächeninhalts $A = \mathop {\int}\limits_{-3}^0 f(x) \, \mathrm{d}x$ berechnen. Im Graph–Menü hast du bereits bei Y1 den Funktionsterm von $f$ eingegeben. Zeichne das Schaubild und ermittle den Flächeninhalt zwischen dem Schaubild und der $x$–Achse in den Grenzen $-3$ und $0.$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von CASIO
Gib im Graph–Menü die Tastenfolge
G–SOLV $\to$ F6 $\to \displaystyle \int $ dx $\to$ Eingabe -3 $\to$ Eingabe 0 $\to$ EXE
G–SOLV $\to$ F6 $\to \displaystyle \int $ dx $\to$ Eingabe -3 $\to$ Eingabe 0 $\to$ EXE
ein.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von TI
Gib die Tastenfolge
CALC $\to 7: \displaystyle \int $ f(x) dx $\to$ ENTER $\to$ Eingabe 0 $\to$ ENTER $\to$ Eingabe 1 $\to$ ENTER
CALC $\to 7: \displaystyle \int $ f(x) dx $\to$ ENTER $\to$ Eingabe 0 $\to$ ENTER $\to$ Eingabe 1 $\to$ ENTER
ein.
Kontrollergebnis: $ A = \mathop {\int}\limits_{-3}^0 f(x) \, \mathrm{d}x = 2,25 = \frac{9}{4} $
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Du kannst den Flächeninhalts $A = \mathop {\int}\limits_{-3}^0 f(x) \, \mathrm{d}x$ auch schriftlich mithilfe einer Stammfunktion berechnen. Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r \, (r \neq-1) $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1} $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1} $
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{u > -3}$ so berechnen, dass $ \boldsymbol{\mathop {\int}\limits_{-3}^u f(x) \, \mathrm{d}x = 0} $
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Deine Aufgabe besteht darin, mithilfe einer Stammfunktion die Obergrenze $ u > -3 $ so zu bestimmen, dass das Integral $ \mathop {\int}\limits_{-3}^u f(x) \, \mathrm{d}x = 0 $ ist. Die Stammfunktion berechnest du mit der oben angegebenen Formel. Für das Integral kannst du mithilfe der Integralformel schreiben $ 0 = \mathop {\int}\limits_{-3}^u f(x) \, \mathrm{d}x = \left[ F(x) \right]_{-3}^u = F(u) - F(-3). $ Berechne den Funktionswert $ F(-3) $ und stelle diese Gleichung in der Variablen $u$ auf. Eine Lösung ist nur mit dem GTR möglich.
Zwischenergebnis: $ F(u) = -\dfrac{1}{12}u^4 - \dfrac{2}{3}u^3 - \dfrac{3}{2} u^2 $ und $ F(-3) = -2,25 = -\dfrac{9}{4}. $
Diese Gleichung kannst du nicht schriftlich lösen, stattdessen berechnest du die Lösungen z.B. im Graph–Menü, indem du die Nullstellen berechnest. Versuche trotzdem, eine Lösung durch Einsetzen ganzer Zahlen zu erraten. Es ist nicht schwer.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$   Funktionsterm nach Verschiebung des Schaubildes von $ \boldsymbol{K_h} $ in $y$–Richtung bestimmen
Die Schaubilder von $K_g$ und des in $y$–Richtung verschobenen Schaubildes von $K_h$ sollen sich auf der $y$–Achse schneiden. Du sollst bestimmen, um wie viele Einheiten das Schaubild $K_h$ verschoben werden muss und den zugehörigen Funktionsterm bestimmen.
Überlege dir, welchen Wert $x$ haben muss, wenn sich die beiden Schaubilder auf der $y$–Achse schneiden sollen. Wenn $h^*$ die gesuchte Funktion ist, gilt $ h^*(x) = h(x) + c $ mit einer konstanten Zahl $ c \in \mathbb{R}, $ welche das Maß für die Verschiebung angibt. Im Schnittpunkt müssen die Funktionswerte von $g$ und $h^*$ gleich sein. Nutze diese Gleichheit aus, um $c$ zu berechnen.

Aufgabe 1.5

$\blacktriangleright$   Sachverhalt skizzieren für $ \boldsymbol{u = 2} $
Das Schaubild $K_g$ und die Gerade mit der Gleichung $ y = - 8 $ begrenzen eine Fläche. Skizziere diese Schaubilder zuerst. Weil das Dreieck symmetrisch zur $y$–Achse liegt, ist $ Q(-2 \mid g(-2)) $ der dritte Eckpunkt des Dreiecks. Berechne also $ g(-2) = g(2) $ und zeichne dann die Punkte $Q$ und $ S(0 \mid -8) $ sowie $ P(2 \mid g(2)) $ mit den Koordinaten ein.
[Abb. 13]: Skizze des Dreiecks
[Abb. 13]: Skizze des Dreiecks
$\blacktriangleright$   Inhalt des Dreiecks mit dem größten Flächeninhalt berechnen
Deine Aufgabe besteht darin, das Dreieck so zu bestimmen, dass sein Flächeninhalt maximal wird. Um eine Formel $A(u)$ für den Flächeninhalt eines solchen beliebigen Dreiecks mit $ 0 \leq u \leq 3 $ zu bestimmen, ist es möglicherweise als Übung sinnvoll, den Flächeninhalt des skizzierten Dreiecks zu berechnen. Suche eine Formel in der Formelsammlung und bestimme $A(2).$
Kontrollergebnis: $ A(2) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2,5 = 5 $ Flächeneinheiten.
Du hast vermutlich den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Formel
$ A_{PQS} = \frac{1}{2} \cdot $ Länge der Grundseite $ \cdot $ Länge der Höhe auf die Grundseite
$ A_{PQS} = \frac{1}{2} \cdot $ Länge der Grundseite $ \cdot $ Länge der Höhe auf die Grundseite
berechnet. Diese kannst du jetzt auf das allgemeine Dreieck übetragen. Die Koordinaten der Punkte des Dreiecks $PQS$ sind $ P(u \mid g(u)), \, Q(-u \mid g(-u)) $ und $ S(0 \mid -8). $ Als Grundseite wählst du wie im obigen Beispiel $ \overline{PQ}. $ Die Höhe auf die Grundseite ist $ \overline{MS}, $ wenn $ M(0 \mid g(u)) $ der Mittelpunkt der Strecke $ \overline{PQ} $ ist.
Für die Streckenlängen in Abhängigkeit von $u$ gilt:
Für eine Strecke $ \overline{GH}, $ die parallel zur $x$–Achse verläuft mit $x_G < x_H$ ($G$ liegt links von $H$), ist die Streckenlänge gegeben durch
Streckenlänge parallel zur $x$–Achse: $ \overline{GH} = x_H - x_G $
Streckenlänge parallel zur $x$–Achse: $ \overline{GH} = x_H - x_G $
Für eine Strecke $ \overline{GH}, $ die parallel zur $y$–Achse verläuft mit $y_G < y_H$ ($G$ liegt unterhalb von $H$), ist die Streckenlänge gegeben durch
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{GH} = y_H - y_G $
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{GH} = y_H - y_G $
Stelle nun die Länge der Grundseite und die Länge der Höhe auf die Grundseite als Term in Abhängigkeit von $u$ auf und anschließend den Term für $A(u).$ Fasse den Term $A(u)$ als Funktionsterm auf und berechne das Maximum der Funktion $A$ mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung. Um das Dreieck mit dem maximalen Flächeninhalt zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Möglichkeit:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von CASIO
Verwende die Maximierungs–Funktion: Sie wird durch die Tastenfolge
OPTN $\to$ CALC $\to$ F6 $\to$ FMax(Funktionsterm,Untergrenze, Obergrenze)
OPTN $\to$ CALC $\to$ F6 $\to$ FMax(Funktionsterm,Untergrenze, Obergrenze)
aufrufen kannst. Sie verlangt die Eingabe der zu maxmierenden Funktion $A$ in Abhängigkeit von $x$ und die untere Grenze $0$ sowie die obere Grenze $3$. Sie berücksichtigt automatisch auch die Vergleichswerte an den Rändern für $u=0$ und $u=3$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von TI
Verwende die Maximierungs–Funktion:
MATH 7: fmax(Funktionsterm,Variable,Untergrenze, Obergrenze)
MATH 7: fmax(Funktionsterm,Variable,Untergrenze, Obergrenze)
Sie verlangt die Eingabe der zu maxmierenden Funktion $U$ in Abhängigkeit von $x$ und die untere Grenze $0$ sowie die obere Grenze $3$. Sie berücksichtigt automatisch auch die Vergleichswerte an den Rändern für $u=0$ und $u=3$.
2. Möglichkeit:
Für die Zielfunktion $A$ mit $ A(u) = -\dfrac{1}{2}u^3 + \dfrac{9}{2}u $ und $ 0 \leq u \leq 3 $ werden die Extrempunkte bestimmt.
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$   Funktionsterm aus Eigenschaften des Schaubildes bestimmen
Deine Aufgabe besteht darin, aus verschiedenen Angaben im Text den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion dritten Grades zu bestimmen. Die allgemeine Form des Term einer solchen Funktion $f$ ist z. B.
$ f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$
für jedes $ x \in \mathbb{R} $ und unbekannten reellen Parametern $ a, \; b, \; c $ und $d.$ Du benötigst also vier Bedingungen, die du den Angaben aus dem Text entnehmen sollst, um die vier unbekannten Größen zu ermitteln.
Du weisst Folgendes über das Schaubild der Funktion:
  1. Es berührt die $x$–Achse bei $ x = -3.$
  2. Es verläuft durch den Ursprung.
  3. Der Punkt $ A \left( 1 \mid \frac{16}{3} \right) $ liegt auf ihm.
Versuche, jede Information in eine Gleichung zu übersetzen, und schaue in der Formelsammlung nach, was es bedeutet, wenn ein Schaubild die $x$–Achse an einer Stelle berührt.
Berühren bedeutet mehr als nur Schneiden: Das Schaubild besitzt an der Stelle eine waagerechte Tangente, d. h. die Steigung ist dort Null. Schreibe nun die vier Gleichungen mithilfe von $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{f'}$ auf.
Kontrollergebnis:
  1. $ \, \boldsymbol{f(-3) = 0} $ und $ \boldsymbol{f'(-3) = 0.}$
  2. $ \, \boldsymbol{f(0) = 0.}$
  3. $ \, \boldsymbol{f(1) = \frac{16}{3}.}$
Um weitermachen zu können, musst du also die Ableitungsfunktion von $f$ berechnen.
Kontrollergebnis: $ f'(x) = 3 \cdot a \cdot x^2 + 2 \cdot b \cdot x + c$
Übertrage diese Zuordnungen in ein Gleichungssystem, das aus vier Gleichungen mit vier Unbekannten besteht, und vereinfache es.
Gleichungssystem:
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} f(-3) &=& 0 & & a \cdot (-3)^3 &+& b \cdot (-3)^2 &+& c \cdot (-3) &+& d &=& 0 \\ f'(-3) &=& 0 & & 3 \cdot a \cdot (-3)^2 &+& 2 \cdot b \cdot (-3) &+& c & & &=& 0 \\ f(0) &=& 0 & & a \cdot 0^3 &+& b \cdot 0^2 &+& c \cdot 0 &+& d &=& 0 \\ f(1) &=& \frac{16}{3} & & a \cdot 1^3 &+& b \cdot 1^2 &+& c \cdot 1 &+& d &=& \frac{16}{3} \\ \hline \end{array} \]
Die vereinfachte Form des linearen Gleichungssystems lässt sich nun schriftlich oder mit dem GTR lösen:
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} f(-3) &=& 0 & & -27 \cdot a &+& 9 \cdot b &+& (-3) \cdot c &+& 1 \cdot d &=& 0 \\ f'(-3) &=& 0 & & 27\cdot a &+& (-6) \cdot b &+& 1 \cdot c &+& 0 \cdot d &=& 0 \\ f(0) &=& 0 & & 0 \cdot a &+& 0 \cdot b &+& 0 \cdot c &+& 1 \cdot d &=& 0 \\ f(1) &=& \frac{16}{3} & & 1 \cdot a &+& 1 \cdot b &+& 1 \cdot c &+& 1 \cdot d &=& \frac{16}{3} \\ \hline \end{array} \]
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Die Lösungen kannst du mit dem GTR durch Eingabe des Gleichungssystems als $(4 \times 5)$–Matrix $A$ und Umformung dieser Matrix auf Diagonalgestalt ermitteln. Der zugehörige Tastaturaufruf ist
MATRIX $\to$ MATH $\to$ B: rref $\to$ MATRIX A $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER.
[Abb. 1]: Eingabe des LGS
[Abb. 1]: Eingabe des LGS
[Abb. 2]: Ergebnis des LGS
[Abb. 2]: Ergebnis des LGS
Die Lösung des Gleichungssystems ist $ a = \frac{1}{3}, \; b = 2, \; c = 3 $ und $ d = 0.$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Das obige lineare Gleichungssystems lässt sich für die schriftliche Berechnung weiter vereinfachen, weil aus der dritten Gleichung $ d = 0 $ folgt und in die anderen Gleichungen eingesetzt werden kann:
\[ \begin{array}{rcrcrcrcll} \text{I} &:& -27 \cdot a &+& 9 \cdot b &-& 3 \cdot c &=& 0 & \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II} &:& 27\cdot a &-& 6 \cdot b &+& c &=& 0 &\\ \text{III} &:& a &+& b &+& c &=& \frac{16}{3} & \scriptsize\mid\;\text{Rechne: } \text{I} + 27 \cdot \text{III} \\ \hline \end{array} \] Du erhältst ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten: \[ \begin{array}{rcrcrcrcll} \text{IV} &:& 3 \cdot b &-& 2 \cdot c &=& 0 & \scriptsize\mid\;\text{Rechne: } 12 \cdot \text{IV}+\text{V}\\ \text{V} &:& 36 \cdot b &+& 24 \cdot c &=& 144 &\\ \hline \end{array} \]
und daraus $ 72 \cdot b = 144 $ bzw. $ b = 2 $. Durch Einsetzen von $b$ z. B. in die Gleichung IV folgt $ 6 - 2 \cdot c = 0 $ und $ c = 3. $
Schließlich berechnest du durch Einsetzen von $b$ und $c$ z. B. in die Gleichung III: $ a + 5 = \frac{16}{3} $ und $ a = \frac{1}{3}.$
Der Funktionsterm der Funktion $ f $ ist $ f(x) = \frac{1}{3} \cdot x^3 + 2 \cdot x^2 + 3 \cdot x .$

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$   Koordinaten der gemeinsamen Punkte von $\boldsymbol{K_f}$ mit der $x$–Achse bestimmen
Für die Funktion $f$ mit $ f(x) = -\frac{1}{3} \cdot x^3 - 2 \cdot x^2 - 3 \cdot x $ sollst du die Koordinaten der gemeinsamen Punkte ihres Schaubildes mit der $x$–Achse berechnen. Im Schnittpunkt des Schaubildes mit der $x$–Achse ist der $y$–Wert Null. Wegen $ y = f(x) $ gilt es also, die Gleichung $ f(x) = 0 $ zu lösen.
Die Lösungen können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden:
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Im GTR rufst du nach Eingabe des Funktionsterms das Untermenü mit
CALC $\to$ 2: zero $\to$ ENTER
auf. Du wirst aufgefordert, z. B. die linke Nullstelle einzugrenzen. Weil sie zwischen $-4$ und $-2$ liegt, kannst du diese Werte für die Begrenzung eingeben.
[Abb. 3]: Berechnung des ersten Schnittpunktes
[Abb. 3]: Berechnung des ersten Schnittpunktes
[Abb. 4]: Berechnung des zweiten Schnittpunktes
[Abb. 4]: Berechnung des zweiten Schnittpunktes
Die Koordinaten der gemeinsamen Punkte von $ K_f $ mit der $x$–Achse sind $ (0 \mid 0) $ und $ (-3 \mid 0). $
2. Möglichkeit: Schriftliche Lösung
Die Gleichung $ f(x) = 0 $ kannst du lösen, indem du durch Ausklammern ein Nullprodukt erstellst und den Satz vom Nullprodukt anwendest: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Mithilfe der Lösungsformel (Mitternachtsformel) oder der binomischen Formel rückwärts lassen sich alle Nullstellen berechnen. \begin{array}{rcll} f(x) &=& 0 \\ -\frac{1}{3} \cdot x^3 - 2 \cdot x^2 - 3 \cdot x &=& 0 & \mid \; \scriptsize \text{Ausklammern} \\[5pt] x \cdot \left( -\frac{1}{3} \cdot x^2 - 2 \cdot x - 3 \right) &=& 0 & \mid \; \scriptsize \text{Satz vom Nullprodukt} \\[5pt] x_1 &=& 0 \\[5pt] -\frac{1}{3} \cdot x^2 - 2 \cdot x - 3 &=& 0 & \mid \; \scriptsize \cdot (-3) \\[5pt] x^2 + 6 \cdot x + 9 &=& 0 & \mid \; \scriptsize \text{1. binomische Formel rückwärts} \\[5pt] (x + 3)^2 &=& 0 & \mid \; \scriptsize \sqrt{} \\[5pt] x + 3 &=& 0 \\[5pt] x_{1,2} &=& -3 \\[5pt] \end{array} Alternative Berechnung mit der Lösungsformel: \[ D = b^2 - 4 \cdot a \cdot c = (-2)^2 - 4 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) \cdot (-3) = 4 - 4 = 0 \quad \quad x_{1,2} = -\frac{b}{2 \cdot a} = -\frac{-2}{2 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right)}= 3 \]
$ x_1 $ ist eine einfache Nullstelle von $f$ und deutet auf einen Vorzeichenwechsel von $f$ an dieser Stelle hin. Die doppelte Nullstelle $ x_{1,2} $ weist darauf hin, dass dort eine Extremstelle ist.
$\blacktriangleright$   Koordinaten der Extrempunkte von $\boldsymbol{K_f}$ bestimmen
Das Schaubild $K_f$ soll auf Hoch- und Tiefpunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f$ auf Extremstellen untersuchen. Die Extrempunkte eines Schaubildes können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Im Graph–Menü kannst du den Funktionsterm von $f$ eingeben und anhand des Schaubildes vermuten, wo die Minimalstelle liegen könnte. Mithilfe des CALCULATE–Menüs und durch die Eingabe der Grenzen $-4$ und $1$ für den Suchbereich erhältst du durch die Tastenfolge
CALC $\to$ 3: $\to$ minimum $\to -4 \to 1 \to$ ENTER
den Tiefpunkt bzw. durch
CALC $\to$ 4: maximum $\to -4 \to 1 \to$ ENTER
den Hochpunkt ausgegeben.
[Abb. 5]: Berechnung des Hochpunktes
[Abb. 5]: Berechnung des Hochpunktes
[Abb. 6]: Berechnung des Tiefpunktes
[Abb. 6]: Berechnung des Tiefpunktes
Die Koordinaten der Extrempunkte sind $ H \left(-1 \mid \frac{4}{3} \right) $ und $ T(-3 \mid 0). $
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_f$ vor und die Ableitungsfunktion $f'$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktion $f$ und untersuche diese auf Nullstellen. Verwende für die Nullstellenberechnung den Satz vom Nullprodukt: Er besagt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $\boldsymbol{f''(x_0) < 0,}$ so handelt es sich um einen Hochpunkt, gilt $\boldsymbol{f''(x_0) > 0}$, so liegt ein Tiefpunkt vor.
1. Schritt: Ableitungen der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
\begin{align*} f'(x) &= -\dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot x^2 - 2 \cdot 2 \cdot x^1 - 3 \cdot 1 = -x^2 - 4 \cdot x - 3 \\[5pt] f''(x) &= -2 \cdot x^1 - 4 \cdot 1 - 0 = -2 \cdot x - 4 \end{align*}
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Extremstelle muss die erste Bedingung $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$ erfüllt sein.
\begin{array}{rcll} f'(x) &=& 0 \\ -x^2 - 4x - 3 &=& 0 & \mid \; \scriptsize \text{Lösungsformel}\\[5pt] D &=& b^2 - 4 \cdot a \cdot c \\[5pt] &=& (-4)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-3) \\[5pt] &=& 16 - 12 \\[5pt] &=& 4 \\[5pt] x_{1,2} &=& \dfrac{-b \pm \sqrt {D}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{-(-4) \pm \sqrt {4}}{2 \cdot (-1)} \\[5pt] &=& \dfrac{4 \pm 2}{-2} \\[5pt] &=& -2 \mp 1 \\[5pt] x_1 &=& -3 \\[5pt] x_2 &=& -1 \end{array}
Die Stellen $\boldsymbol{x_1=-3}$ und $\boldsymbol{x_2=-1}$ sind mögliche Extremstellen. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich Extremstellen sind und von welcher Art diese sind, kannst du die zweite Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Extremstelle tatsächlich Extremstelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$ prüfen. Du setzt also jeweils die ermittelten Stellen $x_1=-3$ und $x_2=-1$ in den Term der zweiten Ableitung ein und berechnest den Funktionswert. Wenn ein Extrempunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
Wegen $ f''(-3) = -2 \cdot (-3) - 4 = 6 - 4 = 2 < 0 $ liegt in $x_1=-3$ eine Minimmalstelle vor. Da $x_1=-3$ auch eine Nullstelle von $f$ ist (siehe oben), gilt $ f(-3) = 0. $ Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $ T(-3 \mid 0).$
Die Berechnung für die zwei weiteren möglichen Extremstellen ergibt \[ f''(-1) = -2 \cdot (-1) - 4 = 2 - 4 = -2 < 0. \] Also liegt in $x_2=-1$ eine Maximalstelle vor. Wegen \[ f(-1) = -\dfrac{1}{3} \cdot (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 - 3 \cdot (-1) = -\dfrac{1}{3} \cdot (-1) - 2 \cdot 1 + 3 = \dfrac{1}{3} \cdot (-1) - 2 + 3 = \dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{4}{3} \] hat der Hochpunkt die Koordinaten $ H \left( -1 \mid \dfrac{4}{3} \right). $
Die Koordinaten aller Extrempunkte von $K_f$ sind $ H \left( -1 \mid \dfrac{4}{3} \right) $ und $ T(-3 \mid 0). $
$\blacktriangleright$ Koordinaten der Wendepunkte von $\boldsymbol{K_f}$ bestimmen
Das Schaubild soll auf Wendepunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f'$ auf Extremstellen untersuchen. Auch Wendepunkte eines Schaubildes können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Im Graph–Menü kannst du den Funktionsterm von $f'$ eingeben. Bestimme mit dem CALCULATE–Menü wie oben alle Extremstellen der Ableitungsfunktion, denn jede Extremstelle von $K_{f'}$ ist eine Wendestelle von $K_f.$
[Abb. 7]: Berechnung der Wendestelle
[Abb. 7]: Berechnung der Wendestelle
Die Stelle $\boldsymbol{x_1\approx -2}$ ist die Extremstelle von $K_{f'}$. Um den Wendepunkt von $K_f$ anzugeben, lässt du dir den zugehörigen Funktionswert z. B. im Table–Menü ausgeben.
[Abb. 8]: Koordinaten des Wendepunktes
[Abb. 8]: Koordinaten des Wendepunktes
Die Koordinaten des Wendepunktes sind $ W \left( -2 \mid \dfrac{2}{3} \right). $
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
An einer Extremstelle $f'$ liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_{f'}$ vor und die Ableitungsfunktion $f''$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f'$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt noch zusätzlich die dritte Ableitung der Funktion $f$ und untersuche $f''$ auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Wenn sie erfüllt ist, so handelt es sich um einen Wendepunkt. Um seine vollständigen Koordinaten zu ermitteln, berechnest du die $y$–Koordinate durch Einsetzen von $x_0$ in den Funktionsterm und berechnen des Funktionswertes.
1. Schritt: 3. Ableitung der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
\begin{align*} f'''(x) &= -2 \cdot 1 - 0 = -2 \end{align*}
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Wendestelle muss die notwendige Bedingung $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$ erfüllt sein.
\begin{array}{rcll} f''(x) &=& 0 \\ -2 \cdot x - 4 &=& 0 & \mid \; \scriptsize + 4 \\[5pt] -2 \cdot x &=& 4 & \mid \; \scriptsize : (-2) \\[5pt] x &=& -2 \end{array}
Die Stelle $\boldsymbol{x_1=-2}$ ist eine mögliche Wendestelle. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich eine Wendestelle ist, kannst du die hinreichende Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Wendestelle tatsächlich Wendestelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$ prüfen. Du setzt also jeweils die ermittelte Stelle $x_1=-2$ in den Term der dritten Ableitung ein und berechnest den Funktionswert. Wenn ein Wendepunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
\begin{array}{rcll} f'''(-2) &=& -2 \neq 0 \\[5pt] f(-2) &=& -\dfrac{1}{3} \cdot (-2)^3 - 2 \cdot (-2)^2 - 3 \cdot (-2) \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{3} \cdot (-8) - 2 \cdot 4 + 6 \\[5pt] &=& \dfrac{8}{3} - 8 + 6 \\[5pt] &=& \dfrac{8}{3} -2 \\[5pt] &=& \frac{2}{3} \end{array} Die Koordinaten des Wendepunktes von $K_f$ sind $ W \left( -2 \mid \frac{2}{3} \right). $
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -5 \leq x \leq 1,5 $ und $ -11 \leq y \leq 7 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
[Abb. 9]: Schaubild der Funktion $f$
[Abb. 9]: Schaubild der Funktion $f$

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$   Inhalt der Fläche bestimmen, die $\boldsymbol{K_f}$ mit der $\boldsymbol{x}$–Achse einschließt
Die Fläche im II. Qauadranten ist in der obigen Zeichnung bereits markiert. Deine Aufgabe ist es, den Flächeninhalt der markierten Fläche zu berechnen. Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du die Integralformel für Flächeninhalte
$ A = \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x $
anwenden und überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind. Der Zeichnung und deiner Berechnung der Nullstellen in Teilaufgabe 1.2 kannst du entnehmen, dass $ a = -3 $ und $ b = 0 $ die Schnittstellen des Schaubildes $K_f$ mit der $\boldsymbol{x}$–Achse sind.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Du sollst also den Flächeninhalts $A = \mathop {\int}\limits_{-3}^0 f(x) \, \mathrm{d}x$ berechnen. Im Graph–Menü hast du bereits bei Y1 den Funktionsterm von $f$ eingegeben. Zeichne das Schaubild und ermittle den Flächeninhalt zwischen dem Schaubild und der $x$–Achse in den Grenzen $-3$ und $0.$ Gib die Tastenfolge
CALC $\to 7: \displaystyle \int $ f(x) dx $\to$ ENTER $\to$ Eingabe 0 $\to$ ENTER $\to$ Eingabe 1 $\to$ ENTER
ein.
[Abb. 10]: Berechnung des Flächeninhalts
[Abb. 10]: Berechnung des Flächeninhalts
ein. Ergebnis: $ A = \mathop {\int}\limits_{-3}^0 f(x) \, \mathrm{d}x = 2,25 = \frac{9}{4} $
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Du kannst den Flächeninhalts $A = \mathop {\int}\limits_{-3}^0 f(x) \, \mathrm{d}x$ auch schriftlich mithilfe einer Stammfunktion berechnen. Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r \, (r \neq-1) $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1} $
\begin{align*} f(x) & = -\dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 3x \\[5pt] F(x) &= -\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot x^4 - 2 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot x^3 - 3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x^2 \\[5pt] &= -\dfrac{1}{12}x^4 - \dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{3}{2} x^2\\[5pt] F(-3) &= -\dfrac{1}{12} \cdot (-3)^4 - \dfrac{2}{3} \cdot (-3)^3 - \dfrac{3}{2} \cdot (-3)^2 \\[5pt] &= -\dfrac{1}{12} \cdot 81 - \dfrac{2}{3} \cdot (-27) - \dfrac{3}{2} \cdot 9 \\[5pt] &= -\dfrac{81}{12} + \dfrac{54}{3} - \dfrac{27}{2} \\[5pt] &= -\dfrac{27}{4} + 18 - \dfrac{27}{2} \\[5pt] &= -6,75 + 18 - 13,5 \\[5pt] &= -2,25 \\[5pt] &= -\dfrac{9}{4} \\[5pt] F(0) &= -\dfrac{1}{12} \cdot 0^4 - \dfrac{2}{3} \cdot 0^3 - \dfrac{3}{2} \cdot 0^2 \\ &= 0 \end{align*} Somit ergibt sich für den Flächeninhalt: \[ A = \mathop {\int}\limits_{-3}^0 f(x))\, \mathrm{d}x = \left[ F(x) \right]_{-3}^0 = F(0) - F(-3) = 0 - (-2,25) = 2,25 = \dfrac{9}{4} \] Der Inhalt $A$ der Fläche, die $K_f$ und die $x$–Achse und im 2. Quadranten einschließen, beträgt $ A = 2,25 = \frac{9}{4} .$
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{u > -3}$ so berechnen, dass $ \boldsymbol{\mathop {\int}\limits_{-3}^u f(x) \, \mathrm{d}x = 0} $
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Deine Aufgabe besteht darin, mithilfe einer Stammfunktion die Obergrenze $ u > -3 $ so zu bestimmen, dass das Integral $ \mathop {\int}\limits_{-3}^u f(x) \, \mathrm{d}x = 0 $ ist. Die Stammfunktion berechnest du mit der oben angegebenen Formel. Für das Integral kannst du mithilfe der Integralformel schreiben \[ 0 = \mathop {\int}\limits_{-3}^u f(x) \, \mathrm{d}x = \left[ F(x) \right]_{-3}^u = F(u) - F(-3). \] Berechne den Funktionswert $ F(-3) $ und stelle diese Gleichung in der Variablen $u$ auf. Eine Lösung ist nur mit dem GTR möglich.
Zwischenergebnis: $ F(u) = -\dfrac{1}{12}u^4 - \dfrac{2}{3}u^3 - \dfrac{3}{2} u^2 $ und $ F(-3) = -2,25 = -\dfrac{9}{4}. $
Aufstellen der Gleichung: \begin{array}{rcll} 0 &=& F(u) - F(-3) \\[5pt] 0 &=& -\dfrac{1}{12} \cdot u^4 - \dfrac{2}{3} \cdot u^3 - \dfrac{3}{2} \cdot u^2 - \left( -\dfrac{9}{4} \right) & \mid \; \scriptsize \cdot \, (-12) \\[5pt] 0 &=& u^4 + 8 \cdot u^3 + 18 \cdot u^2 - 27 \end{array}
Diese Gleichung kannst du nicht schriftlich lösen, stattdessen berechnest du die Lösungen z. B. im Graph–Menü, indem du die Nullstellen berechnest. Versuche trotzdem, eine Lösung durch Einsetzen ganzer Zahlen zu erraten. Es ist nicht schwer.
Im GTR rufst du nach Eingabe des Funktionsterms das Untermenü mit
CALC $\to$ 2: zero $\to$ ENTER
auf. Du wirst aufgefordert, z. B. die rechte Nullstelle einzugrenzen. Weil sie zwischen $0$ und $2$ liegt, kannst du diese Werte für die Begrenzung eingeben.
[Abb. 11]: Berechnung der Nullstelle
[Abb. 11]: Berechnung der Nullstelle
Nur eine Lösung erfüllt die Vorraussetzung $ u > -3, $ und zwar die Lösung $ u = 1. $
Für $ u = 1 $ gilt $ \mathop {\int}\limits_{-3}^u f(x) \, \mathrm{d}x = 0. $
Bemerkung: Die Gleichung besagt, dass das Flächenstück unterhalb der $x$–Achse im IV. Quadranten zwischen $0$ und $1$ genauso groß ist wie das schon berechnete Flächenstück im II. Quadranten. Das liegt daran, dass das Integral eine Flächeninhaltsbilanz berechnet. Flächenstücke oberhalb der $x$–Achse werden positiv und Flächenstücke unterhalb der $x$–Achse werden negativ bewertet.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$   Funktionsterm nach Verschiebung des Schaubildes von $ \boldsymbol{K_h} $ in $y$–Richtung bestimmen
Die Schaubilder von $K_g$ und des in $y$–Richtung verschobenen Schaubildes von $K_h$ sollen sich auf der $y$–Achse schneiden. Du sollst bestimmen, um wie viele Einheiten das Schaubild $K_h$ verschoben werden muss und den zugehörigen Funktionsterm bestimmen.
Überlege dir, welchen Wert $x$ haben muss, wenn sich die beiden Schaubilder auf der $y$–Achse schneiden sollen. Wenn $h^*$ die gesuchte Funktion ist, gilt $ h^*(x) = h(x) + c $ mit einer konstanten Zahl $ c \in \mathbb{R}, $ welche das Maß für die Verschiebung angibt. Im Schnittpunkt müssen die Funktionswerte von $g$ und $h^*$ gleich sein. Nutze diese Gleichheit aus, um $c$ zu berechnen.
Wegen $ g(0) = -\frac{1}{2} \cdot 0^2 - \frac{7}{2} = -\frac{7}{2} $ und \begin{array}{rcll} h^*(0) &=& g(0) \\[5pt] h(0) + c &=& -\dfrac{7}{2} \\[5pt] e^{\frac{1}{2} \cdot 0} + c &=& -\dfrac{7}{2} \\[5pt] e^{0} + c &=& -\dfrac{7}{2} \\[5pt] 1 + c &=& -\dfrac{7}{2} & \mid \; \scriptsize \text{-1} \\[5pt] c &=& -\dfrac{9}{2} \\ \end{array} ist $ c = -\frac{9}{2} = - 4,5. $
Der Funktionsterm der gesuchten Funktion ist $ h^*(x) = e^{\frac{1}{2} \cdot x} - 4,5 $ für alle $ x \in \mathbb{R}.$

Aufgabe 1.5

$\blacktriangleright$   Sachverhalt skizzieren für $ \boldsymbol{u = 2} $
Das Schaubild $K_g$ und die Gerade mit der Gleichung $ y = - 8 $ begrenzen eine Fläche. Skizziere diese Schaubilder zuerst. Weil das Dreieck symmetrisch zur $y$–Achse liegt, ist $ Q(-2 \mid g(-2)) $ der dritte Eckpunkt des Dreiecks. Berechne also $ g(-2) = g(2) $ und zeichne dann die Punkte $Q$ und $ S(0 \mid -8) $ sowie $ P(2 \mid g(2)) $ mit den Koordinaten ein.
[Abb. 12]: Skizze des Sachverhalts für $u=2$
[Abb. 12]: Skizze des Sachverhalts für $u=2$
$\blacktriangleright$   Inhalt des Dreiecks mit dem größten Flächeninhalt berechnen
Deine Aufgabe besteht darin, das Dreieck so zu bestimmen, dass sein Flächeninhalt maximal wird. Um eine Formel $A(u)$ für den Flächeninhalt eines solchen beliebigen Dreiecks mit $ 0 \leq u \leq 3 $ zu bestimmen, ist es möglicherweise als Übung sinnvoll, den Flächeninhalt des skizzierten Dreiecks zu berechnen. Suche eine Formel in der Formelsammlung und bestimme $A(2).$
Kontrollergebnis: $ A(2) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2,5 = 5 $ Flächeneinheiten.
Du hast vermutlich den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Formel
$ A_{PQS} = \frac{1}{2} \cdot $ Länge der Grundseite $ \cdot $ Länge der Höhe auf die Grundseite
berechnet. Diese kannst du jetzt auf das allgemeine Dreieck übetragen. Die Koordinaten der Punkte des Dreiecks $PQS$ sind $ P(u \mid g(u)), \, Q(-u \mid g(-u)) $ und $ S(0 \mid -8). $ Als Grundseite wählst du wie im obigen Beispiel $ \overline{PQ}. $ Die Höhe auf die Grundseite ist $ \overline{MS}, $ wenn $ M(0 \mid g(u)) $ der Mittelpunkt der Strecke $ \overline{PQ} $ ist.
[Abb. 13]: Skizze des Dreiecks
[Abb. 13]: Skizze des Dreiecks
Für die Streckenlängen in Abhängigkeit von $u$ gilt:
Für eine Strecke $ \overline{GH}, $ die parallel zur $x$–Achse verläuft mit $x_G < x_H$ ($G$ liegt links von $H$), ist die Streckenlänge gegeben durch
Streckenlänge parallel zur $x$–Achse: $ \overline{GH} = x_H - x_G $
Für eine Strecke $ \overline{GH}, $ die parallel zur $y$–Achse verläuft mit $y_G < y_H$ ($G$ liegt unterhalb von $H$), ist die Streckenlänge gegeben durch
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{GH} = y_H - y_G $
Stelle nun die Länge der Grundseite und die Länge der Höhe auf die Grundseite als Term in Abhängigkeit von $u$ auf und anschließend den Term für $A(u).$ Fasse den Term $A(u)$ als Funktionsterm auf und berechne das Maximum der Funktion $A$ mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung.
$ \overline{PQ(u)} = x_P - x_Q = u - (-u) = 2u $
$ \overline{MS(u)} = y_M - y_S = g(u) - (-8) = g(u) + 8. $
Der Flächeninhalt $ A(u) $ in Abhängigkeit von $u$ ist folglich
\begin{align*} A(u) &= \dfrac{1}{2} \cdot \overline{PQ(u)} \cdot \overline{MS(u)} \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot 2u \cdot (g(u) + 8) \\[5pt] &= u \cdot (g(u) + 8) \\[5pt] &= u \cdot (-\dfrac{1}{2}u^2 - \dfrac{7}{2} + 8) \\ &= u \cdot (-\dfrac{1}{2}u^2 + \dfrac{9}{2}) \\ &= -\dfrac{1}{2}u^3 + \dfrac{9}{2}u. \end{align*}
Um das Dreieck mit dem maximalen Flächeninhalt zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Möglichkeit:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Verwende die Maximierungs–Funktion:
MATH 7: fmax(Funktionsterm,Variable,Untergrenze, Obergrenze)
Sie verlangt die Eingabe der zu maxmierenden Funktion $U$ in Abhängigkeit von $x$ und die untere Grenze $0$ sowie die obere Grenze $3$. Sie berücksichtigt automatisch auch die Vergleichswerte an den Rändern für $u=0$ und $u=3$.
Aufruf der Funktion und Eingaben:
[Abb. 14]: Aufruf der Maximum–Funktion
[Abb. 14]: Aufruf der Maximum–Funktion
Auswertung der Funktion:
[Abb. 15]: Auswertung
[Abb. 15]: Auswertung
Der erste Wert entspricht $ u_{max} \approx 1,73. $ Der zweite Wert gibt den gesuchten maximalen Flächeninhalt an. Er beträgt etwa $5,20$ Flächeneinheiten.
2. Möglichkeit:
Für die Zielfunktion $A$ mit $ A(u) = -\dfrac{1}{2}u^3 + \dfrac{9}{2}u $ und $ 0 \leq u \leq 3 $ werden die Extrempunkte bestimmt.
\begin{align*} A(u) &= -\dfrac{1}{2}u^3 + \dfrac{9}{2}u \\[5pt] A'(u) &= -\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot u^2 + \dfrac{9}{2} \cdot 1 \\[5pt] &= -\dfrac{3}{2} \cdot u^2 + \dfrac{9}{2} \\[5pt] A''(u) &= -\dfrac{3}{2} \cdot 2 \cdot u^1 + 0 \\[5pt] &= -\dfrac{3}{2} \cdot u \end{align*}
Bestimmung der möglichen Extremstellen: \begin{align*} A'(u) &= 0 \\[5pt] -\dfrac{3}{2} \cdot u^2 + \dfrac{9}{2} &= 0 \\[5pt] -\dfrac{3}{2} \cdot u^2 &= -\dfrac{9}{2} \\[5pt] u^2 &= 3 \\[5pt] u &= \pm \sqrt{3} \end{align*}
Wegen $ 0 \leq u \leq 3 $ kommt nur die postive Lösung in Frage. Wegen $ A'(u) = -\dfrac{3}{2} \cdot \sqrt{3} < 0 $ liegt ein Maximum vor. Die Randwerte der Zielfunktion sind $ A(0) = -\dfrac{1}{2} \cdot 0^3 + \dfrac{9}{2} \cdot 0 = 0 $ und
$ A(3) = -\dfrac{1}{2} \cdot 3^3 + \dfrac{9}{2} \cdot 3 = -\dfrac{27}{2} + \dfrac{27}{2} = 0, $ so dass für $ u = \sqrt{3} \approx 1,73 $ der maximale Flächeninhalt von \begin{align*} A(\sqrt{3}) &= -\dfrac{1}{2} \cdot (\sqrt{3})^3 + \dfrac{9}{2} \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= -\dfrac{1}{2} \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} + \dfrac{9}{2} \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= -\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + \dfrac{9}{2} \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= -\dfrac{3}{2} \cdot \sqrt{3} + \dfrac{9}{2} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{6}{2} \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= 3 \cdot \sqrt{3} \approx 5,20 \end{align*} erreicht wird.
Der maximale Flächeninhalt des Dreiecks $PQS$ für $ u_{max} \approx 1,73 $ beträgt $5,20$ Flächeneinheiten.
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$   Funktionsterm aus Eigenschaften des Schaubildes bestimmen
Deine Aufgabe besteht darin, aus verschiedenen Angaben im Text den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion dritten Grades zu bestimmen. Die allgemeine Form des Term einer solchen Funktion $f$ ist z. B.
$ f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$
für jedes $ x \in \mathbb{R} $ und unbekannten reellen Parametern $ a, \; b, \; c $ und $d.$ Du benötigst also vier Bedingungen, die du den Angaben aus dem Text entnehmen sollst, um die vier unbekannten Größen zu ermitteln.
Du weisst Folgendes über das Schaubild der Funktion:
  1. Es berührt die $x$–Achse bei $ x = -3.$
  2. Es verläuft durch den Ursprung.
  3. Der Punkt $ A \left( 1 \mid \frac{16}{3} \right) $ liegt auf ihm.
Versuche, jede Information in eine Gleichung zu übersetzen, und schaue in der Formelsammlung nach, was es bedeutet, wenn ein Schaubild die $x$–Achse an einer Stelle berührt.
Berühren bedeutet mehr als nur Schneiden: Das Schaubild besitzt an der Stelle eine waagerechte Tangente, d. h. die Steigung ist dort Null. Schreibe nun die vier Gleichungen mithilfe von $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{f'}$ auf.
Kontrollergebnis:
  1. $ \, \boldsymbol{f(-3) = 0} $ und $ \boldsymbol{f'(-3) = 0.}$
  2. $ \, \boldsymbol{f(0) = 0.}$
  3. $ \, \boldsymbol{f(1) = \frac{16}{3}.}$
Um weitermachen zu können, musst du also die Ableitungsfunktion von $f$ berechnen.
Kontrollergebnis: $ f'(x) = 3 \cdot a \cdot x^2 + 2 \cdot b \cdot x + c$
Übertrage diese Zuordnungen in ein Gleichungssystem, das aus vier Gleichungen mit vier Unbekannten besteht, und vereinfache es.
Gleichungssystem:
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} f(-3) &=& 0 & & a \cdot (-3)^3 &+& b \cdot (-3)^2 &+& c \cdot (-3) &+& d &=& 0 \\ f'(-3) &=& 0 & & 3 \cdot a \cdot (-3)^2 &+& 2 \cdot b \cdot (-3) &+& c & & &=& 0 \\ f(0) &=& 0 & & a \cdot 0^3 &+& b \cdot 0^2 &+& c \cdot 0 &+& d &=& 0 \\ f(1) &=& \frac{16}{3} & & a \cdot 1^3 &+& b \cdot 1^2 &+& c \cdot 1 &+& d &=& \frac{16}{3} \\ \hline \end{array} \]
Die vereinfachte Form des linearen Gleichungssystems lässt sich nun schriftlich oder mit dem GTR lösen:
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} f(-3) &=& 0 & & -27 \cdot a &+& 9 \cdot b &+& (-3) \cdot c &+& 1 \cdot d &=& 0 \\ f'(-3) &=& 0 & & 27\cdot a &+& (-6) \cdot b &+& 1 \cdot c &+& 0 \cdot d &=& 0 \\ f(0) &=& 0 & & 0 \cdot a &+& 0 \cdot b &+& 0 \cdot c &+& 1 \cdot d &=& 0 \\ f(1) &=& \frac{16}{3} & & 1 \cdot a &+& 1 \cdot b &+& 1 \cdot c &+& 1 \cdot d &=& \frac{16}{3} \\ \hline \end{array} \]
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Die Lösungen kannst du mit dem GTR durch Eingabe des Gleichungssystems im Menü EQUA–Lineares Gleichungssystem–3 Unbekannte berechnen lassen.
[Abb. 1]: Eingabe des LGS
[Abb. 1]: Eingabe des LGS
[Abb. 2]: Ergebnis des LGS
[Abb. 2]: Ergebnis des LGS
Die Lösung des Gleichungssystems ist $ a = \frac{1}{3}, \; b = 2, \; c = 3 $ und $ d = 0.$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Das obige lineare Gleichungssystems lässt sich für die schriftliche Berechnung weiter vereinfachen, weil aus der dritten Gleichung $ d = 0 $ folgt und in die anderen Gleichungen eingesetzt werden kann:
\[ \begin{array}{rcrcrcrcll} \text{I} &:& -27 \cdot a &+& 9 \cdot b &-& 3 \cdot c &=& 0 & \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II} &:& 27\cdot a &-& 6 \cdot b &+& c &=& 0 &\\ \text{III} &:& a &+& b &+& c &=& \frac{16}{3} & \scriptsize\mid\;\text{Rechne: } \text{I} + 27 \cdot \text{III} \\ \hline \end{array} \] Du erhältst ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten: \[ \begin{array}{rcrcrcrcll} \text{IV} &:& 3 \cdot b &-& 2 \cdot c &=& 0 & \scriptsize\mid\;\text{Rechne: } 12 \cdot \text{IV}+\text{V}\\ \text{V} &:& 36 \cdot b &+& 24 \cdot c &=& 144 &\\ \hline \end{array} \]
und daraus $ 72 \cdot b = 144 $ bzw. $ b = 2 $. Durch Einsetzen von $b$ z. B. in die Gleichung IV folgt $ 6 - 2 \cdot c = 0 $ und $ c = 3. $
Schließlich berechnest du durch Einsetzen von $b$ und $c$ z. B. in die Gleichung III: $ a + 5 = \frac{16}{3} $ und $ a = \frac{1}{3}.$
Der Funktionsterm der Funktion $ f $ ist $ f(x) = \frac{1}{3} \cdot x^3 + 2 \cdot x^2 + 3 \cdot x .$

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$   Koordinaten der gemeinsamen Punkte von $\boldsymbol{K_f}$ mit der $x$–Achse bestimmen
Für die Funktion $f$ mit $ f(x) = -\frac{1}{3} \cdot x^3 - 2 \cdot x^2 - 3 \cdot x $ sollst du die Koordinaten der gemeinsamen Punkte ihres Schaubildes mit der $x$–Achse berechnen. Im Schnittpunkt des Schaubildes mit der $x$–Achse ist der $y$–Wert Null. Wegen $ y = f(x) $ gilt es also, die Gleichung $ f(x) = 0 $ zu lösen.
Die Lösungen können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden:
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Im Graph–Menü kannst du den Funktionsterm von $f$ eingeben, dir das Schaubild anzeigen und dir mit
G–SOLV–ROOT
die Schnittpunkte ausgeben lassen.
[Abb. 3]: Berechnung des ersten Schnittpunktes
[Abb. 3]: Berechnung des ersten Schnittpunktes
[Abb. 4]: Berechnung des zweiten Schnittpunktes
[Abb. 4]: Berechnung des zweiten Schnittpunktes
Die Koordinaten der gemeinsamen Punkte von $ K_f $ mit der $x$–Achse sind $ (0 \mid 0) $ und $ (-3 \mid 0). $
2. Möglichkeit: Schriftliche Lösung
Die Gleichung $ f(x) = 0 $ kannst du lösen, indem du durch Ausklammern ein Nullprodukt erstellst und den Satz vom Nullprodukt anwendest: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Mithilfe der Lösungsformel (Mitternachtsformel) oder der binomischen Formel rückwärts lassen sich alle Nullstellen berechnen. \begin{array}{rcll} f(x) &=& 0 \\ -\frac{1}{3} \cdot x^3 - 2 \cdot x^2 - 3 \cdot x &=& 0 & \mid \; \scriptsize \text{Ausklammern} \\[5pt] x \cdot \left( -\frac{1}{3} \cdot x^2 - 2 \cdot x - 3 \right) &=& 0 & \mid \; \scriptsize \text{Satz vom Nullprodukt} \\[5pt] x_1 &=& 0 \\[5pt] -\frac{1}{3} \cdot x^2 - 2 \cdot x - 3 &=& 0 & \mid \; \scriptsize \cdot (-3) \\[5pt] x^2 + 6 \cdot x + 9 &=& 0 & \mid \; \scriptsize \text{1. binomische Formel rückwärts} \\[5pt] (x + 3)^2 &=& 0 & \mid \; \scriptsize \sqrt{} \\[5pt] x + 3 &=& 0 \\[5pt] x_{1,2} &=& -3 \\[5pt] \end{array} Alternative Berechnung mit der Lösungsformel: \[ D = b^2 - 4 \cdot a \cdot c = (-2)^2 - 4 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) \cdot (-3) = 4 - 4 = 0 \quad \quad x_{1,2} = -\frac{b}{2 \cdot a} = -\frac{-2}{2 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right)}= 3 \]
$ x_1 $ ist eine einfache Nullstelle von $f$ und deutet auf einen Vorzeichenwechsel von $f$ an dieser Stelle hin. Die doppelte Nullstelle $ x_{1,2} $ weist darauf hin, dass dort eine Extremstelle ist.
$\blacktriangleright$   Koordinaten der Extrempunkte von $\boldsymbol{K_f}$ bestimmen
Das Schaubild $K_f$ soll auf Hoch- und Tiefpunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f$ auf Extremstellen untersuchen. Die Extrempunkte eines Schaubildes können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Im Graph–Menü kannst du den Funktionsterm von $f$ eingeben, dir das Schaubild anzeigen und dir mit
G–SOLV–MAX bzw. G–SOLV–MIN
die Extrempunkte ausgeben lassen.
[Abb. 5]: Berechnung des Hochpunktes
[Abb. 5]: Berechnung des Hochpunktes
[Abb. 6]: Berechnung des Tiefpunktes
[Abb. 6]: Berechnung des Tiefpunktes
Die Koordinaten der Extrempunkte sind $ H \left(-1 \mid \frac{4}{3} \right) $ und $ T(-3 \mid 0). $
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_f$ vor und die Ableitungsfunktion $f'$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktion $f$ und untersuche diese auf Nullstellen. Verwende für die Nullstellenberechnung den Satz vom Nullprodukt: Er besagt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $\boldsymbol{f''(x_0) < 0,}$ so handelt es sich um einen Hochpunkt, gilt $\boldsymbol{f''(x_0) > 0}$, so liegt ein Tiefpunkt vor.
1. Schritt: Ableitungen der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
\begin{align*} f'(x) &= -\dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot x^2 - 2 \cdot 2 \cdot x^1 - 3 \cdot 1 = -x^2 - 4 \cdot x - 3 \\[5pt] f''(x) &= -2 \cdot x^1 - 4 \cdot 1 - 0 = -2 \cdot x - 4 \end{align*}
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Extremstelle muss die erste Bedingung $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$ erfüllt sein.
\begin{array}{rcll} f'(x) &=& 0 \\ -x^2 - 4x - 3 &=& 0 & \mid \; \scriptsize \text{Lösungsformel}\\[5pt] D &=& b^2 - 4 \cdot a \cdot c \\[5pt] &=& (-4)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-3) \\[5pt] &=& 16 - 12 \\[5pt] &=& 4 \\[5pt] x_{1,2} &=& \dfrac{-b \pm \sqrt {D}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{-(-4) \pm \sqrt {4}}{2 \cdot (-1)} \\[5pt] &=& \dfrac{4 \pm 2}{-2} \\[5pt] &=& -2 \mp 1 \\[5pt] x_1 &=& -3 \\[5pt] x_2 &=& -1 \end{array}
Die Stellen $\boldsymbol{x_1=-3}$ und $\boldsymbol{x_2=-1}$ sind mögliche Extremstellen. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich Extremstellen sind und von welcher Art diese sind, kannst du die zweite Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Extremstelle tatsächlich Extremstelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$ prüfen. Du setzt also jeweils die ermittelten Stellen $x_1=-3$ und $x_2=-1$ in den Term der zweiten Ableitung ein und berechnest den Funktionswert. Wenn ein Extrempunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
Wegen $ f''(-3) = -2 \cdot (-3) - 4 = 6 - 4 = 2 < 0 $ liegt in $x_1=-3$ eine Minimmalstelle vor. Da $x_1=-3$ auch eine Nullstelle von $f$ ist (siehe oben), gilt $ f(-3) = 0. $ Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $ T(-3 \mid 0).$
Die Berechnung für die zwei weiteren möglichen Extremstellen ergibt \[ f''(-1) = -2 \cdot (-1) - 4 = 2 - 4 = -2 < 0. \] Also liegt in $x_2=-1$ eine Maximalstelle vor. Wegen \[ f(-1) = -\dfrac{1}{3} \cdot (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 - 3 \cdot (-1) = -\dfrac{1}{3} \cdot (-1) - 2 \cdot 1 + 3 = \dfrac{1}{3} \cdot (-1) - 2 + 3 = \dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{4}{3} \] hat der Hochpunkt die Koordinaten $ H \left( -1 \mid \dfrac{4}{3} \right). $
Die Koordinaten aller Extrempunkte von $K_f$ sind $ H \left( -1 \mid \dfrac{4}{3} \right) $ und $ T(-3 \mid 0). $
$\blacktriangleright$ Koordinaten der Wendepunkte von $\boldsymbol{K_f}$ bestimmen
Das Schaubild soll auf Wendepunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f'$ auf Extremstellen untersuchen. Auch Wendepunkte eines Schaubildes können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Im Graph–Menü kannst du den Funktionsterm von $f'$ eingeben, ohne die Ableitung ausrechnen zu müssen. Verwende dazu die Eingabe
Y2: OPT $\to$ CALC $\to$ d/dx $\to$ Y1)
wobei du bei Y1 den Funktionsterm von $f$ schon eingegeben hast. Das zugehörige Schaubild $K_f$ blendest du aus und lässt dir nur das Schaubild von $K_{f'}$ anzeigen. Bestimme mit dem GTR alle Extremstellen der Ableitungsfunktion, denn jede Extremstelle von $K_{f'}$ ist eine Wendestelle von $K_f.$
[Abb. 7]: Berechnung der Wendestelle
[Abb. 7]: Berechnung der Wendestelle
Die Stelle $\boldsymbol{x_1\approx -2}$ ist die Extremstelle von $K_{f'}$. Um den Wendepunkt von $K_f$ anzugeben, lässt du dir den zugehörigen Funktionswert z. B. im Table–Menü ausgeben.
[Abb. 8]: Koordinaten des Wendepunktes
[Abb. 8]: Koordinaten des Wendepunktes
Die Koordinaten des Wendepunktes sind $ W \left( -2 \mid \dfrac{2}{3} \right). $
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
An einer Extremstelle $f'$ liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_{f'}$ vor und die Ableitungsfunktion $f''$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f'$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt noch zusätzlich die dritte Ableitung der Funktion $f$ und untersuche $f''$ auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Wenn sie erfüllt ist, so handelt es sich um einen Wendepunkt. Um seine vollständigen Koordinaten zu ermitteln, berechnest du die $y$–Koordinate durch Einsetzen von $x_0$ in den Funktionsterm und berechnen des Funktionswertes.
1. Schritt: 3. Ableitung der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
\begin{align*} f'''(x) &= -2 \cdot 1 - 0 = -2 \end{align*}
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Wendestelle muss die notwendige Bedingung $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$ erfüllt sein.
\begin{array}{rcll} f''(x) &=& 0 \\ -2 \cdot x - 4 &=& 0 & \mid \; \scriptsize + 4 \\[5pt] -2 \cdot x &=& 4 & \mid \; \scriptsize : (-2) \\[5pt] x &=& -2 \end{array}
Die Stelle $\boldsymbol{x_1=-2}$ ist eine mögliche Wendestelle. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich eine Wendestelle ist, kannst du die hinreichende Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Wendestelle tatsächlich Wendestelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$ prüfen. Du setzt also jeweils die ermittelte Stelle $x_1=-2$ in den Term der dritten Ableitung ein und berechnest den Funktionswert. Wenn ein Wendepunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
\begin{array}{rcll} f'''(-2) &=& -2 \neq 0 \\[5pt] f(-2) &=& -\dfrac{1}{3} \cdot (-2)^3 - 2 \cdot (-2)^2 - 3 \cdot (-2) \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{3} \cdot (-8) - 2 \cdot 4 + 6 \\[5pt] &=& \dfrac{8}{3} - 8 + 6 \\[5pt] &=& \dfrac{8}{3} -2 \\[5pt] &=& \frac{2}{3} \end{array} Die Koordinaten des Wendepunktes von $K_f$ sind $ W \left( -2 \mid \frac{2}{3} \right). $
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -5 \leq x \leq 1 $ und $ -3 \leq y \leq 5 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
[Abb. 9]: Schaubild der Funktion $f$
[Abb. 9]: Schaubild der Funktion $f$

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$   Inhalt der Fläche bestimmen, die $\boldsymbol{K_f}$ mit der $\boldsymbol{x}$–Achse einschließt
Die Fläche im II. Qauadranten ist in der obigen Zeichnung bereits markiert. Deine Aufgabe ist es, den Flächeninhalt der markierten Fläche zu berechnen. Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du die Integralformel für Flächeninhalte
$ A = \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x $
anwenden und überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind. Der Zeichnung und deiner Berechnung der Nullstellen in Teilaufgabe 1.2 kannst du entnehmen, dass $ a = -3 $ und $ b = 0 $ die Schnittstellen des Schaubildes $K_f$ mit der $\boldsymbol{x}$–Achse sind.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Du sollst also den Flächeninhalts $A = \mathop {\int}\limits_{-3}^0 f(x) \, \mathrm{d}x$ berechnen. Im Graph–Menü hast du bereits bei Y1 den Funktionsterm von $f$ eingegeben. Zeichne das Schaubild und ermittle den Flächeninhalt zwischen dem Schaubild und der $x$–Achse in den Grenzen $-3$ und $0.$ Gib die Tastenfolge
G–SOLV $\to$ F6 $\to \displaystyle \int $ dx $\to$ Eingabe -3 $\to$ Eingabe 0 $\to$ EXE
[Abb. 10]: Berechnung des Flächeninhalts
[Abb. 10]: Berechnung des Flächeninhalts
ein. Ergebnis: $ A = \mathop {\int}\limits_{-3}^0 f(x) \, \mathrm{d}x = 2,25 = \frac{9}{4} $
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Du kannst den Flächeninhalts $A = \mathop {\int}\limits_{-3}^0 f(x) \, \mathrm{d}x$ auch schriftlich mithilfe einer Stammfunktion berechnen. Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r \, (r \neq-1) $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1} $
\begin{align*} f(x) & = -\dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 3x \\[5pt] F(x) &= -\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot x^4 - 2 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot x^3 - 3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x^2 \\[5pt] &= -\dfrac{1}{12}x^4 - \dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{3}{2} x^2\\[5pt] F(-3) &= -\dfrac{1}{12} \cdot (-3)^4 - \dfrac{2}{3} \cdot (-3)^3 - \dfrac{3}{2} \cdot (-3)^2 \\[5pt] &= -\dfrac{1}{12} \cdot 81 - \dfrac{2}{3} \cdot (-27) - \dfrac{3}{2} \cdot 9 \\[5pt] &= -\dfrac{81}{12} + \dfrac{54}{3} - \dfrac{27}{2} \\[5pt] &= -\dfrac{27}{4} + 18 - \dfrac{27}{2} \\[5pt] &= -6,75 + 18 - 13,5 \\[5pt] &= -2,25 \\[5pt] &= -\dfrac{9}{4} \\[5pt] F(0) &= -\dfrac{1}{12} \cdot 0^4 - \dfrac{2}{3} \cdot 0^3 - \dfrac{3}{2} \cdot 0^2 \\ &= 0 \end{align*} Somit ergibt sich für den Flächeninhalt: \[ A = \mathop {\int}\limits_{-3}^0 f(x))\, \mathrm{d}x = \left[ F(x) \right]_{-3}^0 = F(0) - F(-3) = 0 - (-2,25) = 2,25 = \dfrac{9}{4} \] Der Inhalt $A$ der Fläche, die $K_f$ und die $x$–Achse und im 2. Quadranten einschließen, beträgt $ A = 2,25 = \frac{9}{4} .$
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{u > -3}$ so berechnen, dass $ \boldsymbol{\mathop {\int}\limits_{-3}^u f(x) \, \mathrm{d}x = 0} $
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Deine Aufgabe besteht darin, mithilfe einer Stammfunktion die Obergrenze $ u > -3 $ so zu bestimmen, dass das Integral $ \mathop {\int}\limits_{-3}^u f(x) \, \mathrm{d}x = 0 $ ist. Die Stammfunktion berechnest du mit der oben angegebenen Formel. Für das Integral kannst du mithilfe der Integralformel schreiben \[ 0 = \mathop {\int}\limits_{-3}^u f(x) \, \mathrm{d}x = \left[ F(x) \right]_{-3}^u = F(u) - F(-3). \] Berechne den Funktionswert $ F(-3) $ und stelle diese Gleichung in der Variablen $u$ auf. Eine Lösung ist nur mit dem GTR möglich.
Zwischenergebnis: $ F(u) = -\dfrac{1}{12}u^4 - \dfrac{2}{3}u^3 - \dfrac{3}{2} u^2 $ und $ F(-3) = -2,25 = -\dfrac{9}{4}. $
Aufstellen der Gleichung: \begin{array}{rcll} 0 &=& F(u) - F(-3) \\[5pt] 0 &=& -\dfrac{1}{12} \cdot u^4 - \dfrac{2}{3} \cdot u^3 - \dfrac{3}{2} \cdot u^2 - \left( -\dfrac{9}{4} \right) & \mid \; \scriptsize \cdot \, (-12) \\[5pt] 0 &=& u^4 + 8 \cdot u^3 + 18 \cdot u^2 - 27 \end{array}
Diese Gleichung kannst du nicht schriftlich lösen, stattdessen berechnest du die Lösungen z. B. im Graph–Menü, indem du die Nullstellen berechnest. Versuche trotzdem, eine Lösung durch Einsetzen ganzer Zahlen zu erraten. Es ist nicht schwer.
Im Graph–Menü gibst du den Funktionsterm ein, lässt dir das Schaubild anzeigen und mit
G–SOLV–ROOT
die Nullstellen ausgeben lassen.
[Abb. 11]: Berechnung des Schnittpunktes
[Abb. 11]: Berechnung des Schnittpunktes
Nur eine Lösung erfüllt die Vorraussetzung $ u > -3, $ und zwar die Lösung $ u = 1. $
Für $ u = 1 $ gilt $ \mathop {\int}\limits_{-3}^u f(x) \, \mathrm{d}x = 0. $
Bemerkung: Die Gleichung besagt, dass das Flächenstück unterhalb der $x$–Achse im IV. Quadranten zwischen $0$ und $1$ genauso groß ist wie das schon berechnete Flächenstück im II. Quadranten. Das liegt daran, dass das Integral eine Flächeninhaltsbilanz berechnet. Flächenstücke oberhalb der $x$–Achse werden positiv und Flächenstücke unterhalb der $x$–Achse werden negativ bewertet.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$   Funktionsterm nach Verschiebung des Schaubildes von $ \boldsymbol{K_h} $ in $y$–Richtung bestimmen
Die Schaubilder von $K_g$ und des in $y$–Richtung verschobenen Schaubildes von $K_h$ sollen sich auf der $y$–Achse schneiden. Du sollst bestimmen, um wie viele Einheiten das Schaubild $K_h$ verschoben werden muss und den zugehörigen Funktionsterm bestimmen.
Überlege dir, welchen Wert $x$ haben muss, wenn sich die beiden Schaubilder auf der $y$–Achse schneiden sollen. Wenn $h^*$ die gesuchte Funktion ist, gilt $ h^*(x) = h(x) + c $ mit einer konstanten Zahl $ c \in \mathbb{R}, $ welche das Maß für die Verschiebung angibt. Im Schnittpunkt müssen die Funktionswerte von $g$ und $h^*$ gleich sein. Nutze diese Gleichheit aus, um $c$ zu berechnen.
Wegen $ g(0) = -\frac{1}{2} \cdot 0^2 - \frac{7}{2} = -\frac{7}{2} $ und \begin{array}{rcll} h^*(0) &=& g(0) \\[5pt] h(0) + c &=& -\dfrac{7}{2} \\[5pt] e^{\frac{1}{2} \cdot 0} + c &=& -\dfrac{7}{2} \\[5pt] e^{0} + c &=& -\dfrac{7}{2} \\[5pt] 1 + c &=& -\dfrac{7}{2} & \mid \; \scriptsize \text{-1} \\[5pt] c &=& -\dfrac{9}{2} \\ \end{array} ist $ c = -\frac{9}{2} = - 4,5. $
Der Funktionsterm der gesuchten Funktion ist $ h^*(x) = e^{\frac{1}{2} \cdot x} - 4,5 $ für alle $ x \in \mathbb{R}.$

Aufgabe 1.5

$\blacktriangleright$   Sachverhalt skizzieren für $ \boldsymbol{u = 2} $
Das Schaubild $K_g$ und die Gerade mit der Gleichung $ y = - 8 $ begrenzen eine Fläche. Skizziere diese Schaubilder zuerst. Weil das Dreieck symmetrisch zur $y$–Achse liegt, ist $ Q(-2 \mid g(-2)) $ der dritte Eckpunkt des Dreiecks. Berechne also $ g(-2) = g(2) $ und zeichne dann die Punkte $Q$ und $ S(0 \mid -8) $ sowie $ P(2 \mid g(2)) $ mit den Koordinaten ein.
[Abb. 12]: Skizze des Sachverhalts für $u=2$
[Abb. 12]: Skizze des Sachverhalts für $u=2$
$\blacktriangleright$   Inhalt des Dreiecks mit dem größten Flächeninhalt berechnen
Deine Aufgabe besteht darin, das Dreieck so zu bestimmen, dass sein Flächeninhalt maximal wird. Um eine Formel $A(u)$ für den Flächeninhalt eines solchen beliebigen Dreiecks mit $ 0 \leq u \leq 3 $ zu bestimmen, ist es möglicherweise als Übung sinnvoll, den Flächeninhalt des skizzierten Dreiecks zu berechnen. Suche eine Formel in der Formelsammlung und bestimme $A(2).$
Kontrollergebnis: $ A(2) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2,5 = 5 $ Flächeneinheiten.
Du hast vermutlich den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Formel
$ A_{PQS} = \frac{1}{2} \cdot $ Länge der Grundseite $ \cdot $ Länge der Höhe auf die Grundseite
berechnet. Diese kannst du jetzt auf das allgemeine Dreieck übetragen. Die Koordinaten der Punkte des Dreiecks $PQS$ sind $ P(u \mid g(u)), \, Q(-u \mid g(-u)) $ und $ S(0 \mid -8). $ Als Grundseite wählst du wie im obigen Beispiel $ \overline{PQ}. $ Die Höhe auf die Grundseite ist $ \overline{MS}, $ wenn $ M(0 \mid g(u)) $ der Mittelpunkt der Strecke $ \overline{PQ} $ ist.
[Abb. 13]: Skizze des Dreiecks
[Abb. 13]: Skizze des Dreiecks
Für die Streckenlängen in Abhängigkeit von $u$ gilt:
Für eine Strecke $ \overline{GH}, $ die parallel zur $x$–Achse verläuft mit $x_G < x_H$ ($G$ liegt links von $H$), ist die Streckenlänge gegeben durch
Streckenlänge parallel zur $x$–Achse: $ \overline{GH} = x_H - x_G $
Für eine Strecke $ \overline{GH}, $ die parallel zur $y$–Achse verläuft mit $y_G < y_H$ ($G$ liegt unterhalb von $H$), ist die Streckenlänge gegeben durch
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{GH} = y_H - y_G $
Stelle nun die Länge der Grundseite und die Länge der Höhe auf die Grundseite als Term in Abhängigkeit von $u$ auf und anschließend den Term für $A(u).$ Fasse den Term $A(u)$ als Funktionsterm auf und berechne das Maximum der Funktion $A$ mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung.
$ \overline{PQ(u)} = x_P - x_Q = u - (-u) = 2u $
$ \overline{MS(u)} = y_M - y_S = g(u) - (-8) = g(u) + 8. $
Der Flächeninhalt $ A(u) $ in Abhängigkeit von $u$ ist folglich
\begin{align*} A(u) &= \dfrac{1}{2} \cdot \overline{PQ(u)} \cdot \overline{MS(u)} \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot 2u \cdot (g(u) + 8) \\[5pt] &= u \cdot (g(u) + 8) \\[5pt] &= u \cdot (-\dfrac{1}{2}u^2 - \dfrac{7}{2} + 8) \\ &= u \cdot (-\dfrac{1}{2}u^2 + \dfrac{9}{2}) \\ &= -\dfrac{1}{2}u^3 + \dfrac{9}{2}u. \end{align*}
Um das Dreieck mit dem maximalen Flächeninhalt zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Möglichkeit:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Verwende die Maximierungs–Funktion: Sie wird durch die Tastenfolge
OPTN $\to$ CALC $\to$ F6 $\to$ FMax(Funktionsterm,Untergrenze, Obergrenze)
aufrufen kannst. Sie verlangt die Eingabe der zu maxmierenden Funktion $A$ in Abhängigkeit von $x$ und die untere Grenze $0$ sowie die obere Grenze $3$. Sie berücksichtigt automatisch auch die Vergleichswerte an den Rändern für $u=0$ und $u=3$.
Aufruf der Funktion und Eingaben im Run–Menü:
[Abb. 14]: Aufruf der Maximum–Funktion
[Abb. 14]: Aufruf der Maximum–Funktion
Auswertung der Funktion:
[Abb. 15]: Auswertung
[Abb. 15]: Auswertung
Der erste Wert entspricht $ u_{max} \approx 1,73. $ Der zweite Wert gibt den gesuchten maximalen Flächeninhalt an. Er beträgt etwa $5,20$ Flächeneinheiten.
2. Möglichkeit:
Für die Zielfunktion $A$ mit $ A(u) = -\dfrac{1}{2}u^3 + \dfrac{9}{2}u $ und $ 0 \leq u \leq 3 $ werden die Extrempunkte bestimmt.
\begin{align*} A(u) &= -\dfrac{1}{2}u^3 + \dfrac{9}{2}u \\[5pt] A'(u) &= -\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot u^2 + \dfrac{9}{2} \cdot 1 \\[5pt] &= -\dfrac{3}{2} \cdot u^2 + \dfrac{9}{2} \\[5pt] A''(u) &= -\dfrac{3}{2} \cdot 2 \cdot u^1 + 0 \\[5pt] &= -\dfrac{3}{2} \cdot u \end{align*}
Bestimmung der möglichen Extremstellen: \begin{align*} A'(u) &= 0 \\[5pt] -\dfrac{3}{2} \cdot u^2 + \dfrac{9}{2} &= 0 \\[5pt] -\dfrac{3}{2} \cdot u^2 &= -\dfrac{9}{2} \\[5pt] u^2 &= 3 \\[5pt] u &= \pm \sqrt{3} \end{align*}
Wegen $ 0 \leq u \leq 3 $ kommt nur die postive Lösung in Frage. Wegen $ A'(u) = -\dfrac{3}{2} \cdot \sqrt{3} < 0 $ liegt ein Maximum vor. Die Randwerte der Zielfunktion sind $ A(0) = -\dfrac{1}{2} \cdot 0^3 + \dfrac{9}{2} \cdot 0 = 0 $ und
$ A(3) = -\dfrac{1}{2} \cdot 3^3 + \dfrac{9}{2} \cdot 3 = -\dfrac{27}{2} + \dfrac{27}{2} = 0, $ so dass für $ u = \sqrt{3} \approx 1,73 $ der maximale Flächeninhalt von \begin{align*} A(\sqrt{3}) &= -\dfrac{1}{2} \cdot (\sqrt{3})^3 + \dfrac{9}{2} \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= -\dfrac{1}{2} \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} + \dfrac{9}{2} \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= -\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + \dfrac{9}{2} \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= -\dfrac{3}{2} \cdot \sqrt{3} + \dfrac{9}{2} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{6}{2} \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= 3 \cdot \sqrt{3} \approx 5,20 \end{align*} erreicht wird.
Der maximale Flächeninhalt des Dreiecks $PQS$ für $ u_{max} \approx 1,73 $ beträgt $5,20$ Flächeneinheiten.
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