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Aufgabe 1

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Aufgabe 1

1.1
Das Schaubild einer Funktion $3$. Grades berührt die $x$-Achse bei $x=-3$ und verläuft durch den Ursprung.
Weiterhin liegt der Punk $A\left(1\mid\dfrac{16}{3}\right)$ auf dem Schaubild der Funktion.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion.
(6P)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-\dfrac{1}{3}x^3-2x^2-3x$;    $x\in\mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
1.2
Bestimme die Koordinaten der gemeinsamen Punkte von $K_f$ mit der $x$-Achse sowie der Extrem- und Wendepunkte von $K_f$.
Zeichne $K_f$ in ein geeignetes Koordinatensystem.
(7P)
1.3
$K_f$ schließt mit der $x$-Achse eine Fläche ein.
Bestimme den Flächeninhalt.
Berechne mithilfe einer Stammfunktion, für welchen Wert
von $u$ mit $u>-3$ gilt: $\displaystyle\int_{-3}^{u}\;f(x)\;\mathrm dx=0$.
(6P)
Gegeben sind die Funktionen $g$ mit $g(x)=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{7}{2}$    und    $h(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}$;    $x\in\mathbb{R}$.
Das Schaubild von $g$ ist $K_g$ , das Schaubild von $h$ ist $K_h$.
1.4
$K_h$ soll in $y$-Richtung so verschoben werden, dass $K_g$ den verschobenen Graphen auf der $y$-Achse schneidet.
Bestimme den neuen Funktionsterm.
(4P)
1.5
Die Kurve $K_g$, und die Gerade mit der Gleichung $y=-8$ begrenzen eine Fläche. In diese Fläche soll ein zur $y$-Achse symmetrisches Dreieck mit den Eckpunkten $S(0\mid-8)$ und $P(u\mid g(u))$ mit $0\leq u\leq3$ einbeschrieben werden.
Skizziere diesen Sachverhalt für $u=2$.
Berechne den Inhalt des Dreiecks mit dem größten möglichen Flächeninhalt.
(7P)

(30P)
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