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Aufgabe 3

Aufgaben
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Aufgabe 3

Die Abbildungen zeigen die Schaubilder $K_g$ und $K_h$ der Funktionen $g$ und $h$.
3.1
Begründe mit Hilfe von vier Eigenschaften, dass $K_h$ das Schaubild der Ableitungsfunktion von $g$ ist.
(4P)
Zum Schaubild $K_h$ gehört der Funktionsterm $h(x)=-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{2}x^2$;    $x\in\mathbb{R}$.
3.2
Berechne alle Stammfunktionen der Funktion $h$.
Welche dieser Stammfunktionen gehört zu $K_g$?
(3P)
3.3
Vom Punkt $P(2\mid4,5)$ aus wird eine Tangente an $K_h$ gelegt.
Berechne die Gleichung dieser Tangente.
(6P)
Gegeben sind die Funktionen $u$ und $v$ mit
$u(x)=2\cos(x)+3$    und    $v(x)=-2\cos(x)+1$,    $x\in[0;2\pi]$.
Ihre Schaubilder heißen $K_u$ und $K_v$.
3.4
Gib den Wertebereich sowie die exakte Periodenlänge der Funktion $u$ an.
Zeige, dass die Wendepunkte von $K_u$ auf der Geraden $y=3$ liegen.
(5P)
3.5
Zeichne die Schaubilder $K_u$ und $K_v$ in ein gemeinsames Koordinatensystem.
Beschreibe, wie das Schaubild $K_v$ aus dem Schaubild $K_u$ hervorgeht.
(7P)
3.6
Lena bereitet sich auf die anstehende Mathematikprüfung vor.
In ihrem Heft findet sie folgenden Aufschrieb:
$u(x)=v(x)$
$2\cos(x)+3=-2\cos(x)+1$
$4\cos(x)=-2$
$\cos(x)=-0,5$
$x=\dfrac{2}{3}\pi$
$A=\displaystyle\int_{0}^{\frac{2}{3}\pi}\;((2\cos(x)+3)-(-2\cos(x)+1))\mathrm dx=2\sqrt{3}+\dfrac{4}{3}\pi$.
Formuliere eine passende Aufgabenstellung.
(5P)

(30P)
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Tipps
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[Abb. 1]: Schaubild $K_g$
[Abb. 1]: Schaubild $K_g$
[Abb. 2]: Schaubild $K_h$
[Abb. 2]: Schaubild $K_h$

Aufgabe 3.1

$\blacktriangleright$   Mit Hilfe von vier Eigenschaften begründen, dass $\boldsymbol{K_h}$ das Schaubild der Ableitungsfunktion von $\boldsymbol{g}$ ist
Anhand von vier (verschiedenen) Eigenschaften sollst du begründen, dass $K_h$ das Schaubild der Ableitungsfunktion von $g$ ist.
Erinnere dich daran, welche Zusammenhänge es zwischen den markanten Punkten (Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt) eines Schaubildes $K_g$ und den Eigenschaften der Ableitungsfunktion $g'$ gibt. $ g'(x) $ gibt die Steigung der Funktion und die Steigung der Tangente an der Stelle $x$ an. Im Extrempunkt besitzt das Schaubild $K_g$ eine waagerechte Tangente. Im Wendepunkt ändert sich die Krümmungsrichtung des Schaubildes und auch die Steigungen der Tangenten so, dass jede Wendestelle von $g$ eine Extremstelle von $g'$ ist.
Untersuche zunächst das Schaubild von $K_g$ auf markante Punkte und folgere daraus die zugehörigen Eigenschaften von $K_h.$

Aufgabe 3.2

$\blacktriangleright$   Alle Stammenfunktionen der Funktion $\boldsymbol{h}$ berechnen
Du sollst schriftlich alle Stammfunktionen Stammfunktion der Funktion $h$ mit $ h(x) = -\frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{2} x^2 $ berechnen. Es reicht aus, eine Stammfunktion $H$ zu bestimmen, weil sich zwei Stammfunktionen nur durch eine konstante Zahl $ c \in \mathbb{R} $ unterscheiden. Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r \, (r \neq-1) $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1} $
$\blacktriangleright$   Eine Stammenfunktion dem Schaubild von $\boldsymbol{K_g}$ zuordnen
Aus dem Schaubild $K_g$ kannst du einen Punkt gut ablesen, den du für die Punktprobe benötigst. Setzt seine Koordinaten ein und berechne dann $c.$

Aufgabe 3.3

$\blacktriangleright$ Gleichung der Tangente vom Punkt $\boldsymbol{P(2 \mid 4,5)}$ aus an $K_g$ berechnen
Für dich besteht die Aufgabe darin, die Gleichung einer Tangente zu bestimmen, die vom dem Punkt $ P(2 \mid 4,5) $ aus an das Schaubild $K_g$ gelegt wird. Der Punkt gehört nicht zu $K_g,$ wie du der Zeichnung entnehmen kannst.
Du benötigst du die Formel für die Gleichung der Tangenten in einem Punkt $(z \mid f(z)) $ des Schaubildes einer Funktion $f:$
$ t(x) = f'(z) \cdot (x - z) + f(z). $
Die Berührstelle $z$ der Tangente ist nicht bekannt. Du kannst allerdings durch die Punktprobe mit $P$ eine Gleichung erstellen, die sich schriftlich oder mit dem GTR lösen, um die Berührstelle zu berechnen. Abschließend bestimmst du die Gleichung der Tangente an dieser Stelle mit dem GTR oder schriftlich.
Berechne zunächst die Ableitungsfunktion von $h.$ Mache dann die Punktprobe. Gebe in deinen GTR die Funktionen $ Y1: x^3 - \dfrac{9}{2} \cdot x^2 + 6 \cdot x $ und $ Y2 : 4,5 $ ein und bestimme im Graph–Menü die Schnittstelle.
Kontrollergebnis: $ z = 3. $
Bestimme nun die Gleichung der Tangente an der Stelle $ z = 3 $ mithilfe der obigen Formel.

Aufgabe 3.4

$\blacktriangleright$   Wertebereich und exakte Periodenlänge der Funktion $\boldsymbol{u}$ angeben
Wenn du den Wertebereich der Funktion $u$ bestimmen sollst, solltest du wissen, das die Funktion $ \cos (x) $ den Wertebereich $ [-1; 1] $ und die Periodenlänge $ P = 2\pi $ besitzt. Der Faktor $-2$ vor der Variablen $x$ beeinflusst die Periodenlänge von $ \cos (x) $ nicht wohl aber ihren Wertebereich. Berechne den kleinsten und den größten Funktionswert der Funktion $u.$ Sie bestimmen die Intervallgrenzen des Wertebreiches.
$\blacktriangleright$   Zeigen, dass die Wendepunkte von $\boldsymbol{K_u}$ auf der Geraden $\boldsymbol{y = 3}$
Du sollst zeigen, dass alle Wendepunkte des Schaubildes $K_u$ auf der Geraden $ y = 3 $ liegen. Die kannst mithilfe deines Grundwissens über die Funktion $ \cos(x) $ argumentieren odert aber rechnerisch nachweisen, welche Koordinaten die Wendepunkte haben.
Erinnere dich, welche Wendepunkte die Funktion $ \cos(x) $ im Intervall $ [0;\; 2\pi] $ besitzt und welchen Einfluss der Summand $ + 3 $ im Funktionsterm für das Schaubild $K_u$ hat.
Für den rechnerischen Nachweis einer Wendestelle $x_0$ der Funktion $f'$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt noch zusätzlich die dritte Ableitung der Funktion $f$ und untersuche $f''$ auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Wenn sie erfüllt ist, so handelt es sich um einen Wendepunkt. Um seine vollständigen Koordinaten zu ermitteln, berechnest du die $y$–Koordinate durch Einsetzen von $x_0$ in den Funktionsterm und berechnen des Funktionswertes.

Aufgabe 3.5

$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_u}$ und $\boldsymbol{K_v}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktionen $u$ und $v$ mit $ 0 \leq x \leq 2\pi $ ist eine Darstellung z. B. im Bereich und $ -2 \leq y \leq 6 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
[Abb. 3]: Schaubilder der Funktionen $u$ und $v$
[Abb. 3]: Schaubilder der Funktionen $u$ und $v$
$\blacktriangleright$   Beschreiben, wie das Schaubild $\boldsymbol{K_v}$ aus dem Schaubild von $\boldsymbol{K_u}$ hervorgeht
Du sollst rechnerisch oder mithilfe von Abbildungen beschreibend erklären, wie das Schaubild $K_v$ aus dem Schaubild $K_u$ hervorgeht. Vergleiche die Vorzeichen vor dem $\cos(x)$–Term der beiden Funktionsterme, um ausgehend vom Funktionsterm $u(x)$ rechnerisch die Veränderungen durchzuführen.
Versuche auch mithilfe von Abbildungen (Streckung/Stauchung; Verschiebung; Spiegelung) zu erklären, wie $K_v$ aus dem Schaubild $K_u$ hervorgeht.

Aufgabe 3.6

$\blacktriangleright$   Eine passende Aufgabenstellung formulieren
Überlege dir zunächst, was berechnet wird, wenn die Funktionsterme zweier Funktion gleichgesetzt werden. Verfolge die weiteren Umformungen bis zum Ergebnis.
Der Buchstabe $A$ hat in dieser Aufgabenstellung eine bestimmte Bedeutung. Formuliere ihre Bedeutung und beschreibe, wie die rechte Seite der Gleichung zustande kommt. Achte auch auf die Form des Ergebnisses.
Formuliere zusammenfassend und abschließend eine passende Aufgabenstellung.
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[Abb. 1]: Schaubild $K_g$
[Abb. 1]: Schaubild $K_g$
[Abb. 2]: Schaubild $K_h$
[Abb. 2]: Schaubild $K_h$

Aufgabe 3.1

$\blacktriangleright$   Mit Hilfe von vier Eigenschaften begründen, dass $\boldsymbol{K_h}$ das Schaubild der Ableitungsfunktion von $\boldsymbol{g}$ ist
Anhand von vier (verschiedenen) Eigenschaften sollst du begründen, dass $K_h$ das Schaubild der Ableitungsfunktion von $g$ ist.
Erinnere dich daran, welche Zusammenhänge es zwischen den markanten Punkten (Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt) eines Schaubildes $K_g$ und den Eigenschaften der Ableitungsfunktion $g'$ gibt. $ g'(x) $ gibt die Steigung der Funktion und die Steigung der Tangente an der Stelle $x$ an. Im Extrempunkt besitzt das Schaubild $K_g$ eine waagerechte Tangente. Im Wendepunkt ändert sich die Krümmungsrichtung des Schaubildes und auch die Steigungen der Tangenten so, dass jede Wendestelle von $g$ eine Extremstelle von $g'$ ist.
Untersuche zunächst das Schaubild von $K_g$ auf markante Punkte und folgere daraus die zugehörigen Eigenschaften von $K_h.$
  • An der Stelle $ x = 3 $ besitzt $K_g$ einen Hochpunkt und $h$ passend dazu eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-.$
  • $ x = 2 $ ist eine Wendestelle von $K_g$ und eine Extremstelle von $K_h.$
  • $ x = 0 $ ist eine Wendestelle von $K_g$ und eine Extremstelle von $K_h.$
  • An der Stelle $ x = 0 $ besitzt $K_g$ eine waagrechte Tangente und $h$ eine Nullstelle.
Bemerkung: $K_g$ besitzt an der Stelle $ x = 0 $ einen Sattelpunkt, also einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

Aufgabe 3.2

$\blacktriangleright$   Alle Stammenfunktionen der Funktion $\boldsymbol{h}$ berechnen
Du sollst schriftlich alle Stammfunktionen Stammfunktion der Funktion $h$ mit $ h(x) = -\frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{2} x^2 $ berechnen. Es reicht aus, eine Stammfunktion $H$ zu bestimmen, weil sich zwei Stammfunktionen nur durch eine konstante Zahl $ c \in \mathbb{R} $ unterscheiden. Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r \, (r \neq-1) $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1} $
\[ \begin{array}{rclcll} h(x) &=& -\dfrac{1}{2} \cdot x^3 + \dfrac{3}{2} \cdot x^2 \\[5pt] H(x) &=& -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot x^4 + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot x^3 \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{8} \cdot x^4 + \dfrac{1}{2} \cdot x^3 \\[5pt] H_c(x) &=& -\dfrac{1}{8} \cdot x^4 + \dfrac{1}{2} \cdot x^3 + c \\[5pt] \end{array} \] $ H_c(x) = -\dfrac{1}{8} \cdot x^4 + \dfrac{1}{2} \cdot x^3 + c $ mit $ c \in \mathbb{R} $ sind alle Stammfunktionen der Funktion $h.$
$\blacktriangleright$   Eine Stammenfunktion dem Schaubild von $\boldsymbol{K_g}$ zuordnen
Aus dem Schaubild $K_g$ kannst du einen Punkt gut ablesen, den du für die Punktprobe benötigst. Setzt seine Koordinaten ein und berechne dann $c.$
Der Punkt $ (0 \mid 1) $ gehört zum Schaubild $K_g.$ Die Punktprobe ergibt: \[ \begin{array}{rclcll} 1 &=& H_c(0) \\[5pt] 1 &=& -\dfrac{1}{8} \cdot 0^4 + \dfrac{1}{2} \cdot 0^3 + c \\[5pt] 1 &=& -\dfrac{1}{8} \cdot 0 + \dfrac{1}{2} \cdot 0 + c \\[5pt] 1 &=& 0 + 0 + c \\[5pt] 1 &=& c \\[5pt] \end{array} \] Die Stammfunktion $ H_1(x) = -\dfrac{1}{8} \cdot x^4 + \dfrac{1}{2} \cdot x^3 + 1 $ gehört zu $K_g.$

Aufgabe 3.3

$\blacktriangleright$ Gleichung der Tangente vom Punkt $\boldsymbol{P(2 \mid 4,5)}$ aus an $K_g$ berechnen
Für dich besteht die Aufgabe darin, die Gleichung einer Tangente zu bestimmen, die vom dem Punkt $ P(2 \mid 4,5) $ aus an das Schaubild $K_g$ gelegt wird. Der Punkt gehört nicht zu $K_g,$ wie du der Zeichnung entnehmen kannst.
Du benötigst du die Formel für die Gleichung der Tangenten in einem Punkt $(z \mid f(z)) $ des Schaubildes einer Funktion $f:$
$ t(x) = f'(z) \cdot (x - z) + f(z). $
Die Berührstelle $z$ der Tangente ist nicht bekannt. Du kannst allerdings durch die Punktprobe mit $P$ eine Gleichung erstellen, die sich schriftlich oder mit dem GTR lösen, um die Berührstelle zu berechnen. Abschließend bestimmst du die Gleichung der Tangente an dieser Stelle mit dem GTR oder schriftlich.
Berechne zunächst die Ableitungsfunktion von $h.$ \[ \begin{array}{rclcll} h(x) &=& -\dfrac{1}{2} \cdot x^3 + \dfrac{3}{2} \cdot x^2 \\[5pt] h'(x) &=& -\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot x^2 + \dfrac{3}{2} \cdot 2 \cdot x^1 \\[5pt] &=& -\dfrac{3}{2} \cdot x^2 + 3 \cdot x \end{array} \] Mache dann die Punktprobe. \[ \begin{array}{rclcll} 4,5 &=& t(2) \\[5pt] 4,5 &=& h'(z) \cdot (2 - z) + h(z) \\[5pt] 4,5 &=& (-\dfrac{3}{2} \cdot z^2 + 3 \cdot z) \cdot (2 - z) + (-\dfrac{1}{2} \cdot z^3 + \dfrac{3}{2} \cdot z^2) \\[5pt] 4,5 &=& -3 \cdot z^2 + \dfrac{3}{2} \cdot z^3 + 6 \cdot z - 3 \cdot z^2 -\dfrac{1}{2} \cdot z^3 + \dfrac{3}{2} \cdot z^2 \\[5pt] 4,5 &=& z^3 - \dfrac{9}{2} \cdot z^2 + 6 \cdot z \\[5pt] \end{array} \] Gebe in deinen GTR die Funktionen $ Y1: x^3 - \dfrac{9}{2} \cdot x^2 + 6 \cdot x $ und $ Y2 : 4,5 $ ein und bestimme im Graph–Menü die Schnittstelle.
Kontrollergebnis: $ z = 3. $
Bestimme nun die Gleichung der Tangente an der Stelle $ z = 3 $ mithilfe der obigen Formel. \[ \begin{array}{rclcll} h(3) &=& -\dfrac{1}{2} \cdot 3^3 + \dfrac{3}{2} \cdot 3^2 \\[5pt] &=& -\dfrac{27}{2} + \dfrac{27}{2} \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] h'(3) &=& -\dfrac{3}{2} \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 \\[5pt] &=& -\dfrac{27}{2} + 9 \\[5pt] &=& -\dfrac{9}{2} \\[5pt] t(x) &=& h'(3) \cdot (x - 3) + h(3) \\[5pt] &=& -\dfrac{9}{2} \cdot (x - 3) + 0 \\[5pt] &=& -\dfrac{9}{2}x + \dfrac{27}{2} \end{array} \] Die Gleichung der Tangente im Berührpunkt $ (3 \mid 0) $ durch den Punkt $ P(2 \mid 4,5) $ lautet $ y = -\dfrac{9}{2}x + -\dfrac{27}{2}. $

Aufgabe 3.4

$\blacktriangleright$   Wertebereich und exakte Periodenlänge der Funktion $\boldsymbol{u}$ angeben
Wenn du den Wertebereich der Funktion $u$ bestimmen sollst, solltest du wissen, das die Funktion $ \cos (x) $ den Wertebereich $ [-1; 1] $ und die Periodenlänge $ P = 2\pi $ besitzt. Der Faktor $-2$ vor der Variablen $x$ beeinflusst die Periodenlänge von $ \cos (x) $ nicht wohl aber ihren Wertebereich. Berechne den kleinsten und den größten Funktionswert der Funktion $u.$ Sie bestimmen die Intervallgrenzen des Wertebreiches. Der kleinste Funktionswert der Funktion $u$ ist $ 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1 $ und ihr größter Funktionswert $ 2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5. $
Alternative Begründung:
Das Schaubild der Funktion $ u(x) $ entsteht aus der dem Schaubild der Funktion $ \cos(x), $ indem das Schaubild von $ \cos(x) $
  1. mit dem Faktor $2$ in $y$–Richtung gestreckt wird; neuer Wertebereich ist $ [-2; 2]; $
  2. abschließend in $y$–Richtung um $3$ Einheiten nach oben verschoben; der Wertebereich von $h$ ist $ [-2+3; 2+3] = [1; 5]. $
Eine Funktion $u$ mit $ u(x) = 2\cos (x) + 3 $ hat den Wertebereich $[1; 5]$ und eine Periodenlänge von $ P = 2\pi.$
$\blacktriangleright$   Zeigen, dass die Wendepunkte von $\boldsymbol{K_u}$ auf der Geraden $\boldsymbol{y = 3}$
Du sollst zeigen, dass alle Wendepunkte des Schaubildes $K_u$ auf der Geraden $ y = 3 $ liegen. Die kannst mithilfe deines Grundwissens über die Funktion $ \cos(x) $ argumentieren odert aber rechnerisch nachweisen, welche Koordinaten die Wendepunkte haben.
Erinnere dich, welche Wendepunkte die Funktion $ \cos(x) $ im Intervall $ [0;\; 2\pi] $ besitzt und welchen Einfluss der Summand $ + 3 $ im Funktionsterm für das Schaubild $K_u$ hat.
Für den rechnerischen Nachweis einer Wendestelle $x_0$ der Funktion $f'$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt noch zusätzlich die dritte Ableitung der Funktion $f$ und untersuche $f''$ auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Wenn sie erfüllt ist, so handelt es sich um einen Wendepunkt. Um seine vollständigen Koordinaten zu ermitteln, berechnest du die $y$–Koordinate durch Einsetzen von $x_0$ in den Funktionsterm und berechnen des Funktionswertes.
Nachweis durch Argumentieren
Die Wendepunkte der Funktion $ \cos(x) $haben die Koordinaten $ (\frac{1}{2}\pi \mid 0) $ und $ (\frac{1}{2}\pi \mid 0). $ Die Streckung des Schaubildes mit Faktor $2$ in $y$–Richtung hat keine Auswirkung auf die Lage der Wendestellen dieser Funktion. Der Summand $ + 3 $ im Funktionsterm von $u$ bedeutet eine Verschiebung um $3$ Längeneinheiten in positive $y$–Richtung.
Damit verschiebt sich auch der ursprüngliche y–Wert von $0$ auf $3,$ so dass die Wendepunkte von $K_u$ nunmehr $ W_1(\frac{1}{2}\pi \mid 3) $ und $ W_2(\frac{1}{2}\pi \mid 3) $ sind. Diese liegen auf der Geraden $ y = 3.$
Nachweis durch Rechnen \[ \begin{array}{rclcll} u(x) &=& 2 \cdot \cos(x) + 3 \\[5pt] u'(x) &=& 2 \cdot (-\sin(x)) + 0 \\[5pt] &=& -2 \cdot \sin(x) \\[5pt] u''(x) &=& -2 \cdot \cos(x) \\[5pt] u'''(x) &=& -2 \cdot (-\sin(x)) \\[5pt] &=& 2 \cdot \sin(x) \\[5pt] \end{array} \] Berechnung der möglichen Wendestellen von $K_u:$ \[ \begin{array}{rclcll} u''(x) &=& 0 \\[5pt] -2 \cdot \cos(x) &=& 0 & & \scriptsize \mid \; : (-2) \\[5pt] \cos(x) &=& 0 \end{array} \] Im Intervall $ [0; 2\pi] $ sind die möglichen Wendestellen $ x_1 = \frac{1}{2}\pi $ und $ x_2 = \frac{3}{2}\pi. $ Wegen $ u'''(x_1) = 2 \cdot \sin(\frac{1}{2}\pi) = 2 \cdot 1 = 2 \ne 0 $ und $ u'''(x_2) = 2 \cdot \sin(\frac{3}{2}\pi) = 2 \cdot 1 = 2 \ne 0 $ liegen an diesen Stellen tatsächliche Wendepunkte vor.
Es gilt $ u(x_1) = 2 \cdot \cos(\frac{1}{2}\pi) + 3 = 2 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3 $ und
$ u(x_2) = 2 \cdot \cos(\frac{3}{2}\pi) + 3 = 2 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3, $ so dass die Wendepunkte auf der Geraden $ y = 3 $ liegen.

Aufgabe 3.5

$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_u}$ und $\boldsymbol{K_v}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktionen $u$ und $v$ mit $ 0 \leq x \leq 2\pi $ ist eine Darstellung z. B. im Bereich und $ -2 \leq y \leq 6 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
[Abb. 3]: Schaubilder der Funktionen $u$ und $v$
[Abb. 3]: Schaubilder der Funktionen $u$ und $v$
$\blacktriangleright$   Beschreiben, wie das Schaubild $\boldsymbol{K_v}$ aus dem Schaubild von $\boldsymbol{K_u}$ hervorgeht
Du sollst rechnerisch oder mithilfe von Abbildungen beschreibend erklären, wie das Schaubild $K_v$ aus dem Schaubild $K_u$ hervorgeht. Vergleiche die Vorzeichen vor dem $\cos(x)$--Term der beiden Funktionsterme, um ausgehend vom Funktionsterm $u(x)$ rechnerisch die Veränderungen durchzuführen.
\[ \begin{array}{rclcll} u(x) &=& 2 \cdot \cos(x) + 3 & & \scriptsize \mid \; \cdot (-1) \\[5pt] -u(x) &=& -2 \cdot \cos(x) - 3 & & \scriptsize \mid \; + 4 \\[5pt] -u(x) + 4 &=& -2 \cdot \cos(x) + 1 \\[5pt] -u(x) + 4 &=& v(x) \end{array} \] Versuche auch mithilfe von Abbildungen (Streckung/Stauchung; Verschiebung; Spiegelung) zu erklären, wie $K_v$ aus dem Schaubild $K_u$ hervorgeht.
Das Schaubild $K_v$ entsteht aus dem Schaubild $K_u$
  • durch Spiegelung an der $x$–Achse und
  • anschließende Verschiebung des gespiegelten Schaubildes um vier Längeneinheiten in die positive $y$–Richtung.
Bemerkung: Auch eine umgekehrte Reihenfolge von Verschiebung und Spiegelung ist möglich:
Das Schaubild $K_v$ entsteht aus dem Schaubild $K_u$
  • durch Verschiebung des Schaubildes $K_u$ um vier Längeneinheiten in die negative $y$–Richtung $(u(x) - 4 = 2 \cdot \cos(x) + 1)$
  • und anschließende Spiegelung des verschobenen Schaubildes an der $x$–Achse $(-u(x) + 4 = -2 \cdot \cos(x) - 1 = v(x))$

Aufgabe 3.6

$\blacktriangleright$   Eine passende Aufgabenstellung formulieren
Überlege dir zunächst, was berechnet wird, wenn die Funktionsterme zweier Funktion gleichgesetzt werden. Verfolge die weiteren Umformungen bis zum Ergebnis.
Die Schnittstelle der Funktionen $u$ und $v$ wird berechnet. Die einzige Schnittstelle im Intervall $ [0; 2\pi] $ ist $ x = \frac{2}{3}\pi. $
Der Buchstabe $A$ hat in dieser Aufgabenstellung eine bestimmte Bedeutung. Formuliere ihre Bedeutung und beschreibe, wie die rechte Seite der Gleichung zustande kommt. Achte auch auf die Form des Ergebnisses.
$A$ steht für das Maß einer Fläche. Es wird das Integral $ A = \int_0^{\frac{2}{3}\pi} (u(x) - v(x)) \mathrm{d}x $ berechnet. Dem gemeinsamen Schaubild kann man entnehmen, dass es sich um die Berechnung des Flächeninhalts zwischen $K_u$ und $K_v$ in den Grenzen von $ [0; 2\pi] $ handelt. Null ist keine gemeinsame Schnittstelle der Funktionen, so dass die $y$--Achse die Fläche zur links begrenzt. Aufgrund des Ergebnis in exakter Form wird der Wert des Integrals mit einer Stammfunktion berechnet worden sein. Sie ist allerdings nicht angegeben. Auch auf eine weitere Zusammenfassung der Differenz der beiden Funktionsterms wurde verzichtet.
Formuliere zusammenfassend und abschließend eine passende Aufgabenstellung.
Gegeben sind die Funktionen $ u(x) = 2\cos(x) + 3 $ und $ v(x) = -2cos(x) + 1 $ für $ x \in [0; 2\pi]. $ Die Schaubilder $K_u$ und $K_v$ schließen gemeinsam mit der $y$--Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche exakt.
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[Abb. 1]: Schaubild $K_g$
[Abb. 1]: Schaubild $K_g$
[Abb. 2]: Schaubild $K_h$
[Abb. 2]: Schaubild $K_h$

Aufgabe 3.1

$\blacktriangleright$   Mit Hilfe von vier Eigenschaften begründen, dass $\boldsymbol{K_h}$ das Schaubild der Ableitungsfunktion von $\boldsymbol{g}$ ist
Anhand von vier (verschiedenen) Eigenschaften sollst du begründen, dass $K_h$ das Schaubild der Ableitungsfunktion von $g$ ist.
Erinnere dich daran, welche Zusammenhänge es zwischen den markanten Punkten (Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt) eines Schaubildes $K_g$ und den Eigenschaften der Ableitungsfunktion $g'$ gibt. $ g'(x) $ gibt die Steigung der Funktion und die Steigung der Tangente an der Stelle $x$ an. Im Extrempunkt besitzt das Schaubild $K_g$ eine waagerechte Tangente. Im Wendepunkt ändert sich die Krümmungsrichtung des Schaubildes und auch die Steigungen der Tangenten so, dass jede Wendestelle von $g$ eine Extremstelle von $g'$ ist.
Untersuche zunächst das Schaubild von $K_g$ auf markante Punkte und folgere daraus die zugehörigen Eigenschaften von $K_h.$
  • An der Stelle $ x = 3 $ besitzt $K_g$ einen Hochpunkt und $h$ passend dazu eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-.$
  • $ x = 2 $ ist eine Wendestelle von $K_g$ und eine Extremstelle von $K_h.$
  • $ x = 0 $ ist eine Wendestelle von $K_g$ und eine Extremstelle von $K_h.$
  • An der Stelle $ x = 0 $ besitzt $K_g$ eine waagrechte Tangente und $h$ eine Nullstelle.
Bemerkung: $K_g$ besitzt an der Stelle $ x = 0 $ einen Sattelpunkt, also einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

Aufgabe 3.2

$\blacktriangleright$   Alle Stammenfunktionen der Funktion $\boldsymbol{h}$ berechnen
Du sollst schriftlich alle Stammfunktionen Stammfunktion der Funktion $h$ mit $ h(x) = -\frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{2} x^2 $ berechnen. Es reicht aus, eine Stammfunktion $H$ zu bestimmen, weil sich zwei Stammfunktionen nur durch eine konstante Zahl $ c \in \mathbb{R} $ unterscheiden. Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r \, (r \neq-1) $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1} $
\[ \begin{array}{rclcll} h(x) &=& -\dfrac{1}{2} \cdot x^3 + \dfrac{3}{2} \cdot x^2 \\[5pt] H(x) &=& -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot x^4 + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot x^3 \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{8} \cdot x^4 + \dfrac{1}{2} \cdot x^3 \\[5pt] H_c(x) &=& -\dfrac{1}{8} \cdot x^4 + \dfrac{1}{2} \cdot x^3 + c \\[5pt] \end{array} \] $ H_c(x) = -\dfrac{1}{8} \cdot x^4 + \dfrac{1}{2} \cdot x^3 + c $ mit $ c \in \mathbb{R} $ sind alle Stammfunktionen der Funktion $h.$
$\blacktriangleright$   Eine Stammenfunktion dem Schaubild von $\boldsymbol{K_g}$ zuordnen
Aus dem Schaubild $K_g$ kannst du einen Punkt gut ablesen, den du für die Punktprobe benötigst. Setzt seine Koordinaten ein und berechne dann $c.$
Der Punkt $ (0 \mid 1) $ gehört zum Schaubild $K_g.$ Die Punktprobe ergibt: \[ \begin{array}{rclcll} 1 &=& H_c(0) \\[5pt] 1 &=& -\dfrac{1}{8} \cdot 0^4 + \dfrac{1}{2} \cdot 0^3 + c \\[5pt] 1 &=& -\dfrac{1}{8} \cdot 0 + \dfrac{1}{2} \cdot 0 + c \\[5pt] 1 &=& 0 + 0 + c \\[5pt] 1 &=& c \\[5pt] \end{array} \] Die Stammfunktion $ H_1(x) = -\dfrac{1}{8} \cdot x^4 + \dfrac{1}{2} \cdot x^3 + 1 $ gehört zu $K_g.$

Aufgabe 3.3

$\blacktriangleright$ Gleichung der Tangente vom Punkt $\boldsymbol{P(2 \mid 4,5)}$ aus an $K_g$ berechnen
Für dich besteht die Aufgabe darin, die Gleichung einer Tangente zu bestimmen, die vom dem Punkt $ P(2 \mid 4,5) $ aus an das Schaubild $K_g$ gelegt wird. Der Punkt gehört nicht zu $K_g,$ wie du der Zeichnung entnehmen kannst.
Du benötigst du die Formel für die Gleichung der Tangenten in einem Punkt $(z \mid f(z)) $ des Schaubildes einer Funktion $f:$
$ t(x) = f'(z) \cdot (x - z) + f(z). $
Die Berührstelle $z$ der Tangente ist nicht bekannt. Du kannst allerdings durch die Punktprobe mit $P$ eine Gleichung erstellen, die sich schriftlich oder mit dem GTR lösen, um die Berührstelle zu berechnen. Abschließend bestimmst du die Gleichung der Tangente an dieser Stelle mit dem GTR oder schriftlich.
Berechne zunächst die Ableitungsfunktion von $h.$ \[ \begin{array}{rclcll} h(x) &=& -\dfrac{1}{2} \cdot x^3 + \dfrac{3}{2} \cdot x^2 \\[5pt] h'(x) &=& -\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot x^2 + \dfrac{3}{2} \cdot 2 \cdot x^1 \\[5pt] &=& -\dfrac{3}{2} \cdot x^2 + 3 \cdot x \end{array} \] Mache dann die Punktprobe. \[ \begin{array}{rclcll} 4,5 &=& t(2) \\[5pt] 4,5 &=& h'(z) \cdot (2 - z) + h(z) \\[5pt] 4,5 &=& (-\dfrac{3}{2} \cdot z^2 + 3 \cdot z) \cdot (2 - z) + (-\dfrac{1}{2} \cdot z^3 + \dfrac{3}{2} \cdot z^2) \\[5pt] 4,5 &=& -3 \cdot z^2 + \dfrac{3}{2} \cdot z^3 + 6 \cdot z - 3 \cdot z^2 -\dfrac{1}{2} \cdot z^3 + \dfrac{3}{2} \cdot z^2 \\[5pt] 4,5 &=& z^3 - \dfrac{9}{2} \cdot z^2 + 6 \cdot z \\[5pt] \end{array} \] Gebe in deinen GTR die Funktionen $ Y1: x^3 - \dfrac{9}{2} \cdot x^2 + 6 \cdot x $ und $ Y2 : 4,5 $ ein und bestimme im Graph–Menü die Schnittstelle.
Kontrollergebnis: $ z = 3. $
Bestimme nun die Gleichung der Tangente an der Stelle $ z = 3 $ mithilfe der obigen Formel. \[ \begin{array}{rclcll} h(3) &=& -\dfrac{1}{2} \cdot 3^3 + \dfrac{3}{2} \cdot 3^2 \\[5pt] &=& -\dfrac{27}{2} + \dfrac{27}{2} \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] h'(3) &=& -\dfrac{3}{2} \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 \\[5pt] &=& -\dfrac{27}{2} + 9 \\[5pt] &=& -\dfrac{9}{2} \\[5pt] t(x) &=& h'(3) \cdot (x - 3) + h(3) \\[5pt] &=& -\dfrac{9}{2} \cdot (x - 3) + 0 \\[5pt] &=& -\dfrac{9}{2}x + \dfrac{27}{2} \end{array} \] Die Gleichung der Tangente im Berührpunkt $ (3 \mid 0) $ durch den Punkt $ P(2 \mid 4,5) $ lautet $ y = -\dfrac{9}{2}x + -\dfrac{27}{2}. $

Aufgabe 3.4

$\blacktriangleright$   Wertebereich und exakte Periodenlänge der Funktion $\boldsymbol{u}$ angeben
Wenn du den Wertebereich der Funktion $u$ bestimmen sollst, solltest du wissen, das die Funktion $ \cos (x) $ den Wertebereich $ [-1; 1] $ und die Periodenlänge $ P = 2\pi $ besitzt. Der Faktor $-2$ vor der Variablen $x$ beeinflusst die Periodenlänge von $ \cos (x) $ nicht wohl aber ihren Wertebereich. Berechne den kleinsten und den größten Funktionswert der Funktion $u.$ Sie bestimmen die Intervallgrenzen des Wertebreiches. Der kleinste Funktionswert der Funktion $u$ ist $ 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1 $ und ihr größter Funktionswert $ 2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5. $
Alternative Begründung:
Das Schaubild der Funktion $ u(x) $ entsteht aus der dem Schaubild der Funktion $ \cos(x), $ indem das Schaubild von $ \cos(x) $
  1. mit dem Faktor $2$ in $y$–Richtung gestreckt wird; neuer Wertebereich ist $ [-2; 2]; $
  2. abschließend in $y$–Richtung um $3$ Einheiten nach oben verschoben; der Wertebereich von $h$ ist $ [-2+3; 2+3] = [1; 5]. $
Eine Funktion $u$ mit $ u(x) = 2\cos (x) + 3 $ hat den Wertebereich $[1; 5]$ und eine Periodenlänge von $ P = 2\pi.$
$\blacktriangleright$   Zeigen, dass die Wendepunkte von $\boldsymbol{K_u}$ auf der Geraden $\boldsymbol{y = 3}$
Du sollst zeigen, dass alle Wendepunkte des Schaubildes $K_u$ auf der Geraden $ y = 3 $ liegen. Die kannst mithilfe deines Grundwissens über die Funktion $ \cos(x) $ argumentieren odert aber rechnerisch nachweisen, welche Koordinaten die Wendepunkte haben.
Erinnere dich, welche Wendepunkte die Funktion $ \cos(x) $ im Intervall $ [0;\; 2\pi] $ besitzt und welchen Einfluss der Summand $ + 3 $ im Funktionsterm für das Schaubild $K_u$ hat.
Für den rechnerischen Nachweis einer Wendestelle $x_0$ der Funktion $f'$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt noch zusätzlich die dritte Ableitung der Funktion $f$ und untersuche $f''$ auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Wenn sie erfüllt ist, so handelt es sich um einen Wendepunkt. Um seine vollständigen Koordinaten zu ermitteln, berechnest du die $y$–Koordinate durch Einsetzen von $x_0$ in den Funktionsterm und berechnen des Funktionswertes.
Nachweis durch Argumentieren
Die Wendepunkte der Funktion $ \cos(x) $haben die Koordinaten $ (\frac{1}{2}\pi \mid 0) $ und $ (\frac{1}{2}\pi \mid 0). $ Die Streckung des Schaubildes mit Faktor $2$ in $y$–Richtung hat keine Auswirkung auf die Lage der Wendestellen dieser Funktion. Der Summand $ + 3 $ im Funktionsterm von $u$ bedeutet eine Verschiebung um $3$ Längeneinheiten in positive $y$–Richtung.
Damit verschiebt sich auch der ursprüngliche y–Wert von $0$ auf $3,$ so dass die Wendepunkte von $K_u$ nunmehr $ W_1(\frac{1}{2}\pi \mid 3) $ und $ W_2(\frac{1}{2}\pi \mid 3) $ sind. Diese liegen auf der Geraden $ y = 3.$
Nachweis durch Rechnen \[ \begin{array}{rclcll} u(x) &=& 2 \cdot \cos(x) + 3 \\[5pt] u'(x) &=& 2 \cdot (-\sin(x)) + 0 \\[5pt] &=& -2 \cdot \sin(x) \\[5pt] u''(x) &=& -2 \cdot \cos(x) \\[5pt] u'''(x) &=& -2 \cdot (-\sin(x)) \\[5pt] &=& 2 \cdot \sin(x) \\[5pt] \end{array} \] Berechnung der möglichen Wendestellen von $K_u:$ \[ \begin{array}{rclcll} u''(x) &=& 0 \\[5pt] -2 \cdot \cos(x) &=& 0 & & \scriptsize \mid \; : (-2) \\[5pt] \cos(x) &=& 0 \end{array} \] Im Intervall $ [0; 2\pi] $ sind die möglichen Wendestellen $ x_1 = \frac{1}{2}\pi $ und $ x_2 = \frac{3}{2}\pi. $ Wegen $ u'''(x_1) = 2 \cdot \sin(\frac{1}{2}\pi) = 2 \cdot 1 = 2 \ne 0 $ und $ u'''(x_2) = 2 \cdot \sin(\frac{3}{2}\pi) = 2 \cdot 1 = 2 \ne 0 $ liegen an diesen Stellen tatsächliche Wendepunkte vor.
Es gilt $ u(x_1) = 2 \cdot \cos(\frac{1}{2}\pi) + 3 = 2 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3 $ und
$ u(x_2) = 2 \cdot \cos(\frac{3}{2}\pi) + 3 = 2 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3, $ so dass die Wendepunkte auf der Geraden $ y = 3 $ liegen.

Aufgabe 3.5

$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_u}$ und $\boldsymbol{K_v}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktionen $u$ und $v$ mit $ 0 \leq x \leq 2\pi $ ist eine Darstellung z. B. im Bereich und $ -2 \leq y \leq 6 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
[Abb. 3]: Schaubilder der Funktionen $u$ und $v$
[Abb. 3]: Schaubilder der Funktionen $u$ und $v$
$\blacktriangleright$   Beschreiben, wie das Schaubild $\boldsymbol{K_v}$ aus dem Schaubild von $\boldsymbol{K_u}$ hervorgeht
Du sollst rechnerisch oder mithilfe von Abbildungen beschreibend erklären, wie das Schaubild $K_v$ aus dem Schaubild $K_u$ hervorgeht. Vergleiche die Vorzeichen vor dem $\cos(x)$--Term der beiden Funktionsterme, um ausgehend vom Funktionsterm $u(x)$ rechnerisch die Veränderungen durchzuführen.
\[ \begin{array}{rclcll} u(x) &=& 2 \cdot \cos(x) + 3 & & \scriptsize \mid \; \cdot (-1) \\[5pt] -u(x) &=& -2 \cdot \cos(x) - 3 & & \scriptsize \mid \; + 4 \\[5pt] -u(x) + 4 &=& -2 \cdot \cos(x) + 1 \\[5pt] -u(x) + 4 &=& v(x) \end{array} \] Versuche auch mithilfe von Abbildungen (Streckung/Stauchung; Verschiebung; Spiegelung) zu erklären, wie $K_v$ aus dem Schaubild $K_u$ hervorgeht.
Das Schaubild $K_v$ entsteht aus dem Schaubild $K_u$
  • durch Spiegelung an der $x$–Achse und
  • anschließende Verschiebung des gespiegelten Schaubildes um vier Längeneinheiten in die positive $y$–Richtung.
Bemerkung: Auch eine umgekehrte Reihenfolge von Verschiebung und Spiegelung ist möglich:
Das Schaubild $K_v$ entsteht aus dem Schaubild $K_u$
  • durch Verschiebung des Schaubildes $K_u$ um vier Längeneinheiten in die negative $y$–Richtung $(u(x) - 4 = 2 \cdot \cos(x) + 1)$
  • und anschließende Spiegelung des verschobenen Schaubildes an der $x$–Achse $(-u(x) + 4 = -2 \cdot \cos(x) - 1 = v(x))$

Aufgabe 3.6

$\blacktriangleright$   Eine passende Aufgabenstellung formulieren
Überlege dir zunächst, was berechnet wird, wenn die Funktionsterme zweier Funktion gleichgesetzt werden. Verfolge die weiteren Umformungen bis zum Ergebnis.
Die Schnittstelle der Funktionen $u$ und $v$ wird berechnet. Die einzige Schnittstelle im Intervall $ [0; 2\pi] $ ist $ x = \frac{2}{3}\pi. $
Der Buchstabe $A$ hat in dieser Aufgabenstellung eine bestimmte Bedeutung. Formuliere ihre Bedeutung und beschreibe, wie die rechte Seite der Gleichung zustande kommt. Achte auch auf die Form des Ergebnisses.
$A$ steht für das Maß einer Fläche. Es wird das Integral $ A = \int_0^{\frac{2}{3}\pi} (u(x) - v(x)) \mathrm{d}x $ berechnet. Dem gemeinsamen Schaubild kann man entnehmen, dass es sich um die Berechnung des Flächeninhalts zwischen $K_u$ und $K_v$ in den Grenzen von $ [0; 2\pi] $ handelt. Null ist keine gemeinsame Schnittstelle der Funktionen, so dass die $y$--Achse die Fläche zur links begrenzt. Aufgrund des Ergebnis in exakter Form wird der Wert des Integrals mit einer Stammfunktion berechnet worden sein. Sie ist allerdings nicht angegeben. Auch auf eine weitere Zusammenfassung der Differenz der beiden Funktionsterms wurde verzichtet.
Formuliere zusammenfassend und abschließend eine passende Aufgabenstellung.
Gegeben sind die Funktionen $ u(x) = 2\cos(x) + 3 $ und $ v(x) = -2cos(x) + 1 $ für $ x \in [0; 2\pi]. $ Die Schaubilder $K_u$ und $K_v$ schließen gemeinsam mit der $y$--Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche exakt.
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