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Aufgabe 5

Aufgaben
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Aufgabe 5

Ein Unternehmen stellt aus drei pflanzlichen Rohstoffen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ die Substanzen $S_1$, $S_2$ und $S_3$ her. Aus diesen Substanzen werden die Medikamente $M_1$ und $M_2$ hergestellt.
Die folgenden Tabellen zeigen den Materialbedarf in Mengeneinheiten ($\text{ME}$):
$M_1$$M_2$
$S_1$$1$$5$
$S_2$$1$$3$
$S_3$$2$$2$
5.1
Erstelle eine Tabelle, die den Rohstoffbedarf für die Medikamente darstellt.
(3P)
5.2
Erfahrungsgemäß werden im Sommer $2.000\,\text{ME}$ des Medikaments $M_1$ und $1.700\,\text{ME}$ des
Medikaments $M_2$ verkauft.
Berechne den Bedarf an Substanzen, die dazu benötigt werden.
(3P)
5.3
Im Lager befinden sich $600\,\text{ME}$ $R_1$ und $1.140\,\text{ME}$ $R_2$. Der Rohstoff $R_3$ ist nicht mehr vorrätig.
Es werden gleich viele $\text{ME}$ der Substanz $S_1$ und $S_3$ benötigt.
Wie viele $ME$ der Substanzen $S_1$, $S_2$ und $S_3$ können aus den Lagerbeständen hergestellt werden, wenn alle vorhandenen Rohstoffe verbraucht werden sollen?
Wie viele $ME$ des Rohstoffs $R_3$ müssen dazu bestellt werden?
(6P)
Die Zweigwerke $A$, $B$ und $C$ eines Unternehmens sind untereinander und mit dem Markt nach dem Leontief-Modell verflochten.
Für die Technologiematrix $A$ gilt:$(E-A)^{-1}=\begin{pmatrix}4&\dfrac{16}{3}&3\\2&\dfrac{28}{3}&4\\4&12&8\end{pmatrix}$
5.4
Wie viele $\text{ME}$ müssen in den einzelnen Zweigwerken produziert werden, wenn $A\;6.000\,\text{ME}$,
$B\;9.000\,\text{ME}$ und $C\;20.000\,\text{ME}$ an den Markt abgeben?
(3P)
5.5
Berechne die Technologiematrix $A$.
(4P)
5.6
Gegeben sind die Matrizen $C=\begin{pmatrix}a&\dfrac{3}{10}\\b&\dfrac{7}{8}\end{pmatrix}$    und    $D=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{4}&-\dfrac{3}{5}\\-2b&17\end{pmatrix}$.
Bestimme $a$ und $b$ so, dass gilt: $C+D=C\cdot D$
(7P)
5.7
Berichtige folgende Aussagen.
a)
Ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen kann einen eindeutigen Lösungsvektor besitzen.
b)
Lineare Gleichungssysteme besitzen entweder einen oder unendlich viele Lösungsvektoren.
c)
Das Matrizenprodukt $A\cdot B$ kann nur gebildet werden, wenn die Anzahl der Spalten der Matrix $A$ mit der Anzahl der Spalten der Matrix $B$ übereinstimmt.
d)
Gegeben sind die Matrizen $A$ und $B$.
Eine Matrix $X$, die die Gleichung $A\cdot X=B$ löst, erhält man, indem man durch die Matrix $A$ dividiert.
(4P)

(30P)
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Tipps
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Aufgabe 5 entfällt ab 2018.
Schriftliche Lösungen von Gleichungssystemen sind jedoch Bestandteil der Prüfungen ab 2018.

Aufgabe 5.1

$\blacktriangleright$   Aufstellen der Tabelle für den Rohstoffbedarf für die Medikamente
Deine Aufgabe ist es, eine Tabelle zu erstellen, die den Bedarf an pflanzlichen Rohstoffen je Medikament zeigt. Nimm dazu die Formelsammlung zum Wahlgebiet ,,Wirtschaftliche Anwendungen" zur Hand. Du kannst mit ihrer Hilfe feststellen, dass es sich bei dem Produktionsprozess des Unternehmens um einen Prozess mit linearer Verflechtung handelt:
  • Aus fünf pflanzlichen Rohstoffen werden drei Zwischenprodukte (Substanzen) produziert, aus den zwei Endprodukte (Medikamente) erzeugt werden.
  • Die Tabelle links in der Aufgabenstellung stellt als $(3,3)$–Matrix $\boldsymbol{A}$ den Bedarf an Rohstoffen für die Zwischenprodukte (Substanzen) dar.
  • Die Tabelle links in der Aufgabenstellung stellt als $(3,2)$–Matrix $\boldsymbol{B}$ für den Bedarf an Zwischenprodukten (Substanzen) für die Endprodukte (Medikamente) dar.
  • Das Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ beschreibt den Bedarf an pflanzlichen Rohstoffen für die Endprodukte (Medikamente) und ist die $(3,2)$–Matrix $\boldsymbol{C}.$
Die Formelsammlung benutzt bestimmte Bezeichnungen für die Matrizen, Vektoren und Kosten. Diese Bezeichnungen werden für die Lösungen der Teilaufgaben verwendet.
Stelle nun die Matrizen auf $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ auf. Beachte, dass in der $i$–ten Zeile der Matrix $\boldsymbol{B}$ steht, wie viele Substanzen $\mathrm{S}_i$ in den Medikamenten $ \mathrm{M}_1, \; \mathrm{M}_2 $ enthalten sind. Die $j$–te Spalte der Matrix $\boldsymbol{B}$ zeigt demnach an, wie viele Substanzenn $ \mathrm{S}_1, \; \mathrm{S}_2, \mathrm{S}_3 $ im Medikamente $\mathrm{M}_j$ enthalten sind.
Berechne anschließend das Matrizenprodukt
$ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}. $
Das Kontrollergebnis ist angegeben.
\begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{A} &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \cr 4 & 3 & 2 \cr 1 & 5 & 1 \end{pmatrix} & & & \boldsymbol{B} &=& \begin{pmatrix} 1 & 5 \cr 1 & 3 \cr 2 & 2 \end{pmatrix} & & & \boldsymbol{C} &=& \begin{pmatrix} 7 & 15 \cr 11 & 33 \cr 8 & 22 \end{pmatrix} \\ \end{array} $\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von CASIO
Im RUN–Menü des GTR von CASIO kannst du die Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ abspeichern, indem du die Taste MAT betätigst. Für jede Matrix muss du die Anzahl der Zeilen $m$ und die Anzahl Spalten $n$ angeben.
[Abb. 1]: Auswahl der Matrix
[Abb. 1]: Auswahl der Matrix
[Abb. 2]: Festlegung der Zeilen- und Spaltenzahl
[Abb. 2]: Festlegung der Zeilen- und Spaltenzahl
Durch Ausführung der Taste EXE gelangst du in die Eingabemaske für die jeweilige Matrix. Gib dort die Zahlen ein, wie sie in der Matrix aufgeführt sind.
[Abb. 3]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{A}$
[Abb. 3]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{A}$
[Abb. 4]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{B}$
[Abb. 4]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{B}$
Das Ergebnis der Multiplikation $ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} $ rufst du mit folgender Tastenkombination im Im RUN–Menü auf:
OPTN $\to$ MAT $\to$ MAT $\to$ Eingabe ALPHA A $\to$ $\times$ $\to$ Eingabe ALPHA B $\to$ EXE
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von TI
Im RUN–Menü des GTR von CASIO kannst du die Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ abspeichern, indem du die Taste MAT betätigst. Für jede Matrix muss du die Anzahl der Zeilen $m$ und die Anzahl Spalten $n$ angeben.
[Abb. 1]: Auswahl der Matrix
[Abb. 1]: Auswahl der Matrix
[Abb. 2]: Festlegung der Zeilen- und Spaltenzahl
[Abb. 2]: Festlegung der Zeilen- und Spaltenzahl
Durch Ausführung der Taste EXE gelangst du in die Eingabemaske für die jeweilige Matrix. Gib dort die Zahlen ein, wie sie in der Matrix aufgeführt sind.
[Abb. 3]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{A}$
[Abb. 3]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{A}$
[Abb. 4]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{B}$
[Abb. 4]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{B}$
Das Ergebnis der Multiplikation $ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} $ rufst du mit folgender Tastenkombination auf:
MATRIX $\to$ Auswahl A $\to$ $\times$ $\to$ MATRIX $\to$ Auswahl B $\to$ ENTER
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Jedes Matrizenprodukt $ \boldsymbol{C}_{(m,n)} = \boldsymbol{A}_{(m,p)} \cdot \boldsymbol{B}_{(p,n)} $ berechnet sich mithilfe der Formel
$ c_{ik} = \displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot b_{jk}. $

Aufgabe 5.2

$\blacktriangleright$   Berechnung der Menge an Substanzen für den Produktionsauftrag
Deine Aufgabe besteht darin zu berechnen, wie viele Substanzen für den Produktionsauftrag $ 2.000 \; \text{ME} $ des Medikaments $\mathrm{M}_1 $ und $ 1.700 \; \text{ME} $ des Medikamentes $ \mathrm{M}_2. $ Die Auftragszahlen bestimmen den Produktionsvektor $ \overrightarrow{p}: $ $\begin{array}{rclcl} \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} p_1 \cr p_2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 2.000 \cr 1.700 \end{pmatrix} \end{array}$ Gesucht ist der Zwischenproduktvektor $ \overrightarrow{Z}, $ der dir die Menge der benötigten Substanzen angibt. Du berechnest ihn mit der Formel
$ \boldsymbol{B} \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{z}. $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Speichere den Produktionsvektor $ \overrightarrow{p} $ als Matrix $\boldsymbol{P}_{(2,1)}$ und berechne mit dem GTR $ \boldsymbol{B} \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{z}. $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Berechne $\begin{array}{rclclcl} B \cdot \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} 1 & 5 \cr 1 & 3 \cr 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2.000 \cr 1.700 \end{pmatrix}. \end{array}$

Aufgabe 5.3

$\blacktriangleright$   Berechnung der Anzahl der Substanzen $\mathrm{S}_1, \, \mathrm{S}_2 $ und $ \mathrm{S}_3 $ bei gegebenen Lagerbeständen an Rohstoffen
Für die Lagerbestände $\mathrm{R}_1 = 660 \; \text{ME} $ und $\mathrm{R}_2 = 1.140 \; \text{ME} $ sollst du berechnen, wie viele Substanzen hergestellt werden, wenn alle vorhandenen Rohstoffe verbraucht und der Rohstoff $\mathrm{R}_3 \; \text{ME} $ nachbestellt wird. Dabei sollst du davon ausgehen, dass von $\mathrm{S}_1 $ und $ \mathrm{S}_3 $ gleich viele $ \text{ME} $ erstellt werden sollen.
In diesem Falle ist also der Rohstoffvektor $ \overrightarrow{r} $ nicht vollständig bekannt: \[ \overrightarrow{r} = \begin{pmatrix} 660 \cr 1.140 \cr r_3 \end{pmatrix} \] Vom Zwischenproduktvektor $ \overrightarrow{z} $ ist bekannt, dass \[ \overrightarrow{z} = \begin{pmatrix} s_1 \cr s_2 \cr s_1 \end{pmatrix} \] gilt.
Die Gleichung für den Zwischenproduktvektor $ \overrightarrow{z} $ entnimmst du der Formelsammlung: $\begin{array}{rclclcl} A \cdot \overrightarrow{z} &=& \overrightarrow{r} \\[5pt] \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \cr 4 & 3 & 2 \cr 1 & 5 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} s_1 \cr s_2 \cr s_1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 660 \cr 1.140 \cr r_3 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 1 \cdot s_1 + 2 \cdot s_2 + 2 \cdot s_1 \cr 4 \cdot s_1 + 3 \cdot s_2 + 2 \cdot s_1 \cr 1 \cdot s_1 + 5 \cdot s_2 + 1 \cdot s_1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 660 \cr 1.140 \cr r_3 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 3 \cdot s_1 + 2 \cdot s_2 \cr 6 \cdot s_1 + 3 \cdot s_2 \cr 2 \cdot s_1 + 5 \cdot s_2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 660 \cr 1.140 \cr r_3 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 3 \cdot s_1 + 2 \cdot s_2 \cr 6 \cdot s_1 + 3 \cdot s_2 \cr 2 \cdot s_1 + 5 \cdot s_2 + (-1) \cdot r_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 660 \cr 1.140 \cr 0 \end{pmatrix} \end{array}$ Die letzte Gleichung führt auf ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen:
$\begin{array}{lrcrcrcrc} \text{I} & 3 \cdot s_1 &+& 2 \cdot s_2 & & &=& 660 \\ \text{II} & 6 \cdot s_1 &+& 3 \cdot s_2 & & &=& 1.140 \\ \text{III} & 2 \cdot s_1 &+& 5 \cdot s_2 &-& r_3 &=& 0 \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von CASIO
Die Lösungen der ersten drei Gleichungen kannst du mit dem GTR von CASIO im Gleichungs(EQUA)–Menü berechnen. Rufe das Untermenü
Lineares Gleichungssystem $\to$ 3 Unbekannte $\to$ EXE
auf und gib die Zahlen des Gleichungssystem mit Vorzeichen ein. Führe die Berechnung aus und notiere dir die Zwischenergebnis.
[Abb. 9]: Eingabe des LGS
[Abb. 9]: Eingabe des LGS
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von TI
Die Lösungen des Gleichungssystems kannst du mit dem GTR von TI durch Eingabe des Gleichungssystems z. B. als Matrix $F$ und Umformung dieser Matrix auf Diagonalgestalt ermitteln. Der zugehörige Tastaturaufruf ist
MATRIX $\to$ MATH $\to$ B: rref $\to$ MATRIX F $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER
Gib die Zahlen des Gleichungssystem mit Vorzeichen ein. Führe die Berechnung aus und notiere dir die Ergebnisse.
[Abb. 9]: Eingabe des LGS
[Abb. 9]: Eingabe des LGS
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Wende z.B. das Additionsverfahren an, um das Gleichungssystem zu lösen.

Aufgabe 5.4

$\blacktriangleright$   Berechnung des Produktionsvektors im Leontief–Modell
Deine Aufgabe besteht darin, zu einer vorgegebenen Marktabgabe die zugehörigen Produktionsmengen zu ermitteln.
Die Zweigwerke A, B und C des Unternehmens sind untereinander und mit dem Markt nach dem Leon–Modell verknüpft. Informiere dich in der Formelsammlung, welchen Zusammenhang es zwischen dem Produktionsvektor $ \overrightarrow{x}, $ dem Marktvektor $ \overrightarrow{y}, $ der Technologiematrix $A$ und der Matrix $ (E - A)^{-1} $ gibt, die in der Aufgabenstellung angegeben ist.
Der Marktvektor ist durch \[ \overrightarrow{y} = \begin{pmatrix} 6.000 \cr 9.000 \cr 20.000 \end{pmatrix} \] vorgegeben.
Mithilfe der Leontief–Gleichung kannst du den Produktionsvektor $ \overrightarrow{x} $ berechnen:
$ \boldsymbol{\overrightarrow{x} = (E - A)^{-1} \cdot \overrightarrow{y}}. $
Eine Lösung ist wieder mit dem GTR oder schriftlich möglich.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Siehe bei Teilaufgabe 5.1 nach, wie du die Matrix $ (E - A)^{-1} $ und die Matrix für den Marktvektor $ \overrightarrow{y} $ abspeichern und das Produkt die Matrix $ (E - A)^{-1} \cdot $ berechnen kannst.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
$\begin{array}{rclclcl} (E - A)^{-1} \cdot \overrightarrow{y} &=& \begin{pmatrix} 4 & \dfrac{16}{3} & 3 \cr 2 & \dfrac{28}{3} & 4 \cr 4 & 12 /& 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6.000 \cr 9.000 \cr 20.000 \end{pmatrix} \end{array}$.

Aufgabe 5.5

$\blacktriangleright$   Berechnung der Technologiematrix $\boldsymbol{A}$
Du sollst die Technologiematrix aus der gegebenen Matrix $(E - A)^{-1}$ bestimmen. Mithilfe der Regeln für das Rechnen mit Matrizen kannst du die Matrix $ E - A $ berechnen, denn
$ \boldsymbol{\left( (E - A)^{-1} \right)^{-1} = E - A}. $
Berechne das Ergebnis und verwende die Gleichung $ A = E - (E - A), $ um die Technologiematrix $A$ zu bestimmen. Du kannst den GTR verwenden oder schriftlich rechnen.

Aufgabe 5.6

$\blacktriangleright$   Bestimmen von $ \boldsymbol{a} $ und $ \boldsymbol{b} $ so, dass $ \boldsymbol{C + D = C \cdot D} $ gilt
Ermittle das Ergebnis der Summe der Matrizen $C$ und $D$ und des Produkts der Matrizen $C$ und $D$ und setze die Ergebnisse gleich. Durch Vergleich der jeweiligen Einträge der Matrizen ergeben sich die Werte für die beiden Unbekannten.

Aufgabe 5.7

$\blacktriangleright$   Berichtigen der Aussagen
Du sollst die vier Aussagen korrigieren. Eine Begründung ist nicht verlangt.
Bei a) überlegst du dir, ob z. B. das lineare Gleichungssystem $ x + y + z = 0 $ und $ x - y = 0 $ eindeutig lösbar ist.
Bei b) überlegst du dir, wie viele Lösungen z. B. jeweils die linearen Gleichungen $ x = 0, $ bzw. $ 0 \cdot x = 1 $ bzw. $ 0 \cdot x = 0 $ haben.
Die richtige Antwort zu c) findest mithilfe der Formel aus Teilaufgabe 5.1.
Die Division von Matrizen ist nicht möglich, aber in den meisten Fällen hilft die Inverse $\boldsymbol{A^{-1}}$ einer Matrix $\boldsymbol{A}$ bei der Lösung einer Gleichung.
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Aufgabe 5 entfällt ab 2018.
Schriftliche Lösungen von Gleichungssystemen sind jedoch Bestandteil der Prüfungen ab 2018.

Aufgabe 5.1

$\blacktriangleright$   Aufstellen der Tabelle für den Rohstoffbedarf für die Medikamente
Deine Aufgabe ist es, eine Tabelle zu erstellen, die den Bedarf an pflanzlichen Rohstoffen je Medikament zeigt. Nimm dazu die Formelsammlung zum Wahlgebiet ,,Wirtschaftliche Anwendungen" zur Hand. Du kannst mit ihrer Hilfe feststellen, dass es sich bei dem Produktionsprozess des Unternehmens um einen Prozess mit linearer Verflechtung handelt:
  • Aus fünf pflanzlichen Rohstoffen werden drei Zwischenprodukte (Substanzen) produziert, aus den zwei Endprodukte (Medikamente) erzeugt werden.
  • Die Tabelle links in der Aufgabenstellung stellt als $(3,3)$–Matrix $\boldsymbol{A}$ den Bedarf an Rohstoffen für die Zwischenprodukte (Substanzen) dar.
  • Die Tabelle links in der Aufgabenstellung stellt als $(3,2)$–Matrix $\boldsymbol{B}$ für den Bedarf an Zwischenprodukten (Substanzen) für die Endprodukte (Medikamente) dar.
  • Das Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ beschreibt den Bedarf an pflanzlichen Rohstoffen für die Endprodukte (Medikamente) und ist die $(3,2)$–Matrix $\boldsymbol{C}.$
Die Formelsammlung benutzt bestimmte Bezeichnungen für die Matrizen, Vektoren und Kosten. Diese Bezeichnungen werden für die Lösungen der Teilaufgaben verwendet.
Stelle nun die Matrizen auf $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ auf. Beachte, dass in der $i$–ten Zeile der Matrix $\boldsymbol{B}$ steht, wie viele Substanzen $\mathrm{S}_i$ in den Medikamenten $ \mathrm{M}_1, \; \mathrm{M}_2 $ enthalten sind. Die $j$–te Spalte der Matrix $\boldsymbol{B}$ zeigt demnach an, wie viele Substanzenn $ \mathrm{S}_1, \; \mathrm{S}_2, \mathrm{S}_3 $ im Medikamente $\mathrm{M}_j$ enthalten sind.
Berechne anschließend das Matrizenprodukt
$ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}. $
Das Kontrollergebnis ist angegeben.
\begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{A} &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \cr 4 & 3 & 2 \cr 1 & 5 & 1 \end{pmatrix} & & & \boldsymbol{B} &=& \begin{pmatrix} 1 & 5 \cr 1 & 3 \cr 2 & 2 \end{pmatrix} & & & \boldsymbol{C} &=& \begin{pmatrix} 7 & 15 \cr 11 & 33 \cr 8 & 22 \end{pmatrix} \\ \end{array} $\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Im GTR von TI kannst du die Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ abspeichern, indem du das Menü MATRIX aufrufst und zu dem EDIT–Modus wechselst. Durch Ausführung der Taste ENTER gelangst du in die Eingabemaske für die jeweilige Matrix. Für jede Matrix muss du zuerst die Anzahl der Zeilen $m$ und die Anzahl Spalten $n$ angeben.
[Abb. 1]: Auswahl der Matrix
[Abb. 1]: Auswahl der Matrix
[Abb. 2]: Festlegung der Zeilen- und Spaltenzahl
[Abb. 2]: Festlegung der Zeilen- und Spaltenzahl
Durch Ausführung der Taste EXE gelangst du in die Eingabemaske für die jeweilige Matrix. Gib dort die Zahlen ein, wie sie in der Matrix aufgeführt sind.
[Abb. 3]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{A}$
[Abb. 3]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{A}$
[Abb. 4]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{B}$
[Abb. 4]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{B}$
Das Ergebnis der Multiplikation $ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} $ rufst du mit folgender Tastenkombination auf:
MATRIX $\to$ Auswahl A $\to$ $\times$ $\to$ MATRIX $\to$ Auswahl B $\to$ ENTER
[Abb. 5]: Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$
[Abb. 5]: Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$
[Abb. 6]: Ergebnis Matrix $\boldsymbol{C}$
[Abb. 6]: Ergebnis Matrix $\boldsymbol{C}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Jedes Matrizenprodukt $ \boldsymbol{C}_{(m,n)} = \boldsymbol{A}_{(m,p)} \cdot \boldsymbol{B}_{(p,n)} $ berechnet sich mithilfe der Formel
$ c_{ik} = \displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot b_{jk}. $
\begin{array}{rcl} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \cr 4 & 3 & 2 \cr 1 & 5 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 5 \cr 1 & 3 \cr 2 & 2 \end{pmatrix} \\ \\ &=& \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 & \quad 1 \cdot 5 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 2 \cr 4 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 & \quad 4 \cdot 5 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 \cr 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 1 \cdot 2 & \quad 1 \cdot 5 + 5 \cdot 3 + 1 \cdot 2 \cr \end{pmatrix} \\ \\ &=& \begin{pmatrix} 1 + 2 + 4 & \quad 5 + 6 + 4 \cr 4 + 3 + 4 & \quad 20 + 9 + 4 \cr 1 + 5 + 2 & \quad 5 + 15 + 2 \cr \end{pmatrix} \\ \\ &=& \begin{pmatrix} 7 & 15 \cr 11 & 33 \cr 8 & 22 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \boldsymbol{C} \end{array} Das Ergebnis schreibst du nun noch in Form einer Tabelle auf, um diese Teilaufgabe vollständig gelöst zu haben.
Anhand der Matrix $\boldsymbol{C}$ lässt sich die Tabelle für den Bedarf an Wirkstoffen ablesen: \begin{array}{r|ccc} & M_1 & M_2 \\ \hline R_1 & 7 & 15 \\ R_2 & 11 & 33 \\ R_3 & 8 & 22 \end{array}

Aufgabe 5.2

$\blacktriangleright$   Berechnung der Menge an Substanzen für den Produktionsauftrag
Deine Aufgabe besteht darin zu berechnen, wie viele Substanzen für den Produktionsauftrag $ 2.000 \; \text{ME} $ des Medikaments $\mathrm{M}_1 $ und $ 1.700 \; \text{ME} $ des Medikamentes $ \mathrm{M}_2. $ Die Auftragszahlen bestimmen den Produktionsvektor $ \overrightarrow{p}: $ \begin{array}{rclcl} \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} p_1 \cr p_2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 2.000 \cr 1.700 \end{pmatrix} \end{array} Gesucht ist der Zwischenproduktvektor $ \overrightarrow{Z}, $ der dir die Menge der benötigten Substanzen angibt. Du berechnest ihn mit der Formel
$ \boldsymbol{B} \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{z}. $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Speichere den Produktionsvektor $ \overrightarrow{p} $ als Matrix $\boldsymbol{P}_{(2,1)}$ und berechne mit dem GTR $ \boldsymbol{B} \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{z}. $
[Abb. 7]: Eingabe $\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{p}$
[Abb. 7]: Eingabe $\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{p}$
[Abb. 8]: Ergebnis
[Abb. 8]: Ergebnis
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
\begin{array}{rclclcl} B \cdot \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} 1 & 5 \cr 1 & 3 \cr 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2.000 \cr 1.700 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 1 \cdot 2.000 + 5 \cdot 1.700 \cr 1 \cdot 2.000 + 3 \cdot 1.700 \cr 2 \cdot 2.000 + 2 \cdot 1.700 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 2.000 + 8.500 \cr 2.000 + 5.100 \cr 4.000 + 3.400 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 10.500 \cr 7.100 \cr 7.400 \end{pmatrix} \end{array}
Es werden $ 10.500 \; \text{ME} \; S_1, \; 7.100 \; \text{ME} \; S_2 $ und $ 7.100 \; \text{ME} \; S_3 $ für den Produktionsauftrag benötigt.

Aufgabe 5.3

$\blacktriangleright$   Berechnung der Anzahl der Substanzen $\mathrm{S}_1, \, \mathrm{S}_2 $ und $ \mathrm{S}_3 $ bei gegebenen Lagerbeständen an Rohstoffen
Für die Lagerbestände $\mathrm{R}_1 = 660 \; \text{ME} $ und $\mathrm{R}_2 = 1.140 \; \text{ME} $ sollst du berechnen, wie viele Substanzen hergestellt werden, wenn alle vorhandenen Rohstoffe verbraucht und der Rohstoff $\mathrm{R}_3 \; \text{ME} $ nachbestellt wird. Dabei sollst du davon ausgehen, dass von $\mathrm{S}_1 $ und $ \mathrm{S}_3 $ gleich viele $ \text{ME} $ erstellt werden sollen.
In diesem Falle ist also der Rohstoffvektor $ \overrightarrow{r} $ nicht vollständig bekannt: \[ \overrightarrow{r} = \begin{pmatrix} 660 \cr 1.140 \cr r_3 \end{pmatrix} \] Vom Zwischenproduktvektor $ \overrightarrow{z} $ ist bekannt, dass \[ \overrightarrow{z} = \begin{pmatrix} s_1 \cr s_2 \cr s_1 \end{pmatrix} \] gilt.
Die Gleichung für den Zwischenproduktvektor $ \overrightarrow{z} $ entnimmst du der Formelsammlung: \begin{array}{rclclcl} A \cdot \overrightarrow{z} &=& \overrightarrow{r} \\[5pt] \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \cr 4 & 3 & 2 \cr 1 & 5 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} s_1 \cr s_2 \cr s_1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 660 \cr 1.140 \cr r_3 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 1 \cdot s_1 + 2 \cdot s_2 + 2 \cdot s_1 \cr 4 \cdot s_1 + 3 \cdot s_2 + 2 \cdot s_1 \cr 1 \cdot s_1 + 5 \cdot s_2 + 1 \cdot s_1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 660 \cr 1.140 \cr r_3 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 3 \cdot s_1 + 2 \cdot s_2 \cr 6 \cdot s_1 + 3 \cdot s_2 \cr 2 \cdot s_1 + 5 \cdot s_2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 660 \cr 1.140 \cr r_3 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 3 \cdot s_1 + 2 \cdot s_2 \cr 6 \cdot s_1 + 3 \cdot s_2 \cr 2 \cdot s_1 + 5 \cdot s_2 + (-1) \cdot r_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 660 \cr 1.140 \cr 0 \end{pmatrix} \end{array} Die letzte Gleichung führt auf ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen:
\begin{array}{lrcrcrcrc} \text{I} & 3 \cdot s_1 &+& 2 \cdot s_2 & & &=& 660 \\ \text{II} & 6 \cdot s_1 &+& 3 \cdot s_2 & & &=& 1.140 \\ \text{III} & 2 \cdot s_1 &+& 5 \cdot s_2 &-& r_3 &=& 0 \end{array}
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen des Gleichungssystems kannst du mit dem GTR von TI durch Eingabe des Gleichungssystems z. B. als Matrix $F$ und Umformung dieser Matrix auf Diagonalgestalt ermitteln. Der zugehörige Tastaturaufruf ist
MATRIX $\to$ MATH $\to$ B: rref $\to$ MATRIX F $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER
Gib die Zahlen des Gleichungssystem mit Vorzeichen ein. Führe die Berechnung aus und notiere dir die Ergebnisse.
[Abb. 9]: Eingabe des LGS
[Abb. 9]: Eingabe des LGS
[Abb. 10]: Ergebnis des LGS
[Abb. 10]: Ergebnis des LGS
Sie lauten $ s_1 = 10, \; s_2 = 180 $ und $ r_3 = 1.100. $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Wende z.B. das Additionsverfahren an, um das Gleichungssystem zu lösen. \begin{array}{lrcrcrcrl} \text{I} & 3 \cdot s_1 &+& 2 \cdot s_3 & & &=& 660 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{IV} = (-2) \cdot \text{I} + \text{II}\\ \text{II} & 6 \cdot s_1 &+& 3 \cdot s_3 & & &=& -1.440 \\ \text{III} & 2 \cdot s_1 &+& 5 \cdot s_3 &+& (-1) \cdot r_3 &=& 0 \\ \hline \text{IV} & & & -s_3 & & &=& -180 & \quad \scriptsize\mid\; :(-1) \\ \text{IV} & & & s_3 & & &=& 180 & \quad \scriptsize\mid\;\text{Einsetzen in I: } \\ \text{I} & 3 \cdot s_1 &+& 2 \cdot 180 & & &=& 660 & \quad \scriptsize\mid\; -360 \\ \text{I} & 3 \cdot s_1 && & & &=& 300 & \quad \scriptsize\mid\; : 3 \\ \text{I} & s_1 && & & &=& 100 & \quad \scriptsize\mid\; \text{Einsetzen in III: } \\ \text{III} & 2 \cdot 100 &+& 5 \cdot 180 &+& (-1) \cdot r_3 &=& 0 \\ \text{III} & 200 &+& 900 &+& (-1) \cdot r_3 &=& 0 & \quad \scriptsize\mid\; -1.100\\ \text{III} & && && (-1) \cdot r_3 &=& -1.100 & \quad \scriptsize\mid\; :(-1)\\ \text{III} & && && r_3 &=& 1.100 \end{array}
Es werden $ 100 \; \text{ME} \; \mathrm{S}_1, \; 180 \; \text{ME} \; \mathrm{S}_2$ und $ 100 \; \text{ME} \; \mathrm{S}_3$ hergestellt. Es müssen $ 1.100 \; \text{ME} $ des Rohstoff $ \mathrm{R}_3 $ nachbestellt werden.

Aufgabe 5.4

$\blacktriangleright$   Berechnung des Produktionsvektors im Leontief–Modell
Deine Aufgabe besteht darin, zu einer vorgegebenen Marktabgabe die zugehörigen Produktionsmengen zu ermitteln.
Die Zweigwerke A, B und C des Unternehmens sind untereinander und mit dem Markt nach dem Leon–Modell verknüpft. Informiere dich in der Formelsammlung, welchen Zusammenhang es zwischen dem Produktionsvektor $ \overrightarrow{x}, $ dem Marktvektor $ \overrightarrow{y}, $ der Technologiematrix $A$ und der Matrix $ (E - A)^{-1} $ gibt, die in der Aufgabenstellung angegeben ist.
Der Marktvektor ist durch \[ \overrightarrow{y} = \begin{pmatrix} 6.000 \cr 9.000 \cr 20.000 \end{pmatrix} \] vorgegeben.
Mithilfe der Leontief–Gleichung kannst du den Produktionsvektor $ \overrightarrow{x} $ berechnen:
$ \boldsymbol{\overrightarrow{x} = (E - A)^{-1} \cdot \overrightarrow{y}}. $
Eine Lösung ist wieder mit dem GTR oder schriftlich möglich.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Siehe bei Teilaufgabe 5.1 nach, wie du die Matrix $ \boldsymbol{(E - A)^{-1}} $ als Matrix $\boldsymbol{D}$ und die Matrix für den Marktvektor $ \overrightarrow{y} $ abspeichern und das Produkt die Matrix $ \boldsymbol{(E - A)^{-1} \cdot \overrightarrow{y}} $ berechnen kannst.
[Abb. 11]: Produkt der Matrizen $\boldsymbol{(E - A)^{-1}}$ und $\boldsymbol{\overrightarrow{y}}$
[Abb. 11]: Produkt der Matrizen $\boldsymbol{(E - A)^{-1}}$ und $\boldsymbol{\overrightarrow{y}}$
[Abb. 12]: Ergebnis Matrix $\boldsymbol{\overrightarrow{x}}$
[Abb. 12]: Ergebnis Matrix $\boldsymbol{\overrightarrow{x}}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
\begin{array}{rclclcl} (E - A)^{-1} \cdot \overrightarrow{y} &=& \begin{pmatrix} 4 & \dfrac{16}{3} & 3 \cr 2 & \dfrac{28}{3} & 4 \cr 4 & 12 /& 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6.000 \cr 9.000 \cr 20.000 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 4 \cdot 6.000 + \dfrac{16}{3} \cdot 9.000 \cr 3 \cdot 20.000 \cr 2 \cdot 6.000 + \dfrac{28}{3} \cdot 9.000 + 4 \cdot 20.000 \cr 4 \cdot 6.000 + 12 \cdot 9.000 + 8 \cdot 20.000 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 24.000 + 48.000 + 60.000 \cr 12.000 + 84.000 + 80.000 \cr 24.000 + 108.000 + 160.000 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 132.000 \cr 176.000 \cr 292.000 \end{pmatrix} \end{array}
Es werden $ 132.000 \; \text{ME} \; x_1, \; 176.000 \; \text{ME} \; x_2 $ und $ 292.000 \; \text{ME} \; x_3 $ für die Produkt der Marktabgabe benötigt.

Aufgabe 5.5

$\blacktriangleright$   Berechnung der Technologiematrix $\boldsymbol{A}$
Du sollst die Technologiematrix aus der gegebenen Matrix $ \boldsymbol{(E - A)^{-1}}$ bestimmen. Mithilfe der Regeln für das Rechnen mit Matrizen kannst du die Matrix $ \boldsymbol{E - A} $ berechnen, denn
$ \boldsymbol{\left( (E - A)^{-1} \right)^{-1} = E - A}. $
Berechne das Ergebnis und verwende die Gleichung $ \boldsymbol{A = E - (E - A),} $ um die Technologiematrix $\boldsymbol{A}$ zu bestimmen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Matrix $ \boldsymbol{(E - A)^{-1}} $ hast du als Matrix $ \boldsymbol{D} $ gespeichert. Berechne die Matrix $ \boldsymbol{D^{-1}}. $
[Abb. 13]: Berechnung der Inversen von $\boldsymbol{(E - A)^{-1}}$
[Abb. 13]: Berechnung der Inversen von $\boldsymbol{(E - A)^{-1}}$
[Abb. 14]: Ergebnis der Matrix $\boldsymbol{E - A}$
[Abb. 14]: Ergebnis der Matrix $\boldsymbol{E - A}$
Berechne mithilfe der Einheitsmatrix $\boldsymbol{E}$ das Ergebnis der Technologiematrix $ \boldsymbol{A = E - (E - A).} $
[Abb. 15]: Berechnung von $\boldsymbol{E - (E - A)}$
[Abb. 15]: Berechnung von $\boldsymbol{E - (E - A)}$
[Abb. 16]: Technologiematrix $\boldsymbol{A}$
[Abb. 16]: Technologiematrix $\boldsymbol{A}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Du bestimmst die inverse Matrix von $ (\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})^{-1}, $ indem du sie auf Einheitsmatrixgestalt bringst und alle dabei verwendeten Matrixumformungen jeweils auch auf die Einheitsmatrix $ \boldsymbol{E} $ anwendest. \[ \begin{array}{cc|c|l} (\boldsymbol{E} -\boldsymbol{A})^{-1} & & \boldsymbol{E} & \\ \hline \begin{pmatrix} 4 & \dfrac{16}{3} & 3 \cr 2 & \dfrac{28}{3} & 4 \cr 4 & 12 & 8 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & \scriptsize \text{Zeilentausch: Zeile III wird Zeile I} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 4 & 12 & 8 \cr 2 & \dfrac{28}{3} & 4 \cr 4 & \dfrac{16}{3} & 3 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & 0 \cr 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \scriptsize \text{Zeile I : 4} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \cr 2 & \dfrac{28}{3} & 4 \cr 4 & \dfrac{16}{3} & 3 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0,25 \cr 0 & 1 & 0 \cr 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \scriptsize (-2) \cdot \text{I} + \text{II} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \cr 0 & \dfrac{10}{3} & 0 \cr 4 & \dfrac{16}{3} & 3 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0,25 \cr 0 & 1 & -0,5 \cr 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \scriptsize (-4) \cdot \text{I} + \text{III} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \cr 0 & \dfrac{10}{3} & 0 \cr 0 & -\dfrac{20}{3} & -5 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0,25 \cr 0 & 1 & -0,5 \cr 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} & \scriptsize 2 \cdot \text{II} + \text{II} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \cr 0 & \dfrac{10}{3} & 0 \cr 0 & 0 & -5 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0,25 \cr 0 & 1 & -0,5 \cr 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} & \scriptsize \frac{3}{10} \cdot \text{II;} -\frac{1}{5} \cdot \text{II} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0,25 \cr 0 & 0,3 & -0,15 \cr -0,2 & -0,4 & 0,4 \end{pmatrix} & \scriptsize (-3) \cdot \text{II} + \cdot \text{I} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & -0,9 & 0,7 \cr 0 & 0,3 & -0,15 \cr -0,2 & -0,4 & 0,4 \end{pmatrix} & \scriptsize (-2) \cdot \text{III} + \cdot \text{I} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0,4 & -0,1 & -0,1 \cr 0 & 0,3 & -0,15 \cr -0,2 & -0,4 & 0,4 \end{pmatrix} \end{array} \] Ergebnis der inversen Matrix: \[ \left( \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A} \right) = \begin{pmatrix} 0,4 & -0,1 & -0,1 \cr 0 & 0,3 & -0,15 \cr -0,2 & -0,4 & 0,4 \end{pmatrix} \] Berechnung der Technologiematrix $A$: \[ \begin{array}{rcl} \boldsymbol{A} &=& \boldsymbol{E} - \left( \boldsymbol{E} -\boldsymbol{A} \right) \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0,4 & -0,1 & -0,1 \cr 0 & 0,3 & -0,15 \cr -0,2 & -0,4 & 0,4 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 1 - 0,4 & 0,1 & 0,1 \cr 0 & 1 - 0,3 & 0,15 \cr 0,2 & 0,4 & 1 - 0,4 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0,6 & 0,1 & 0,1 \cr 0 & 0,7 & 0,15 \cr 0,2 & 0,4 & 0,6 \end{pmatrix} \end{array} \]

Aufgabe 5.6

$\blacktriangleright$   Bestimmen von $ \boldsymbol{a} $ und $ \boldsymbol{b} $ so, dass $ \boldsymbol{C + D = C \cdot D} $ gilt
Ermittle das Ergebnis der Summe der Matrizen $C$ und $D$ und des Produkts der Matrizen $C$ und $D$ und setze die Ergebnisse gleich. Durch Vergleich der jeweiligen Einträge der Matrizen ergeben sich die Werte für die beiden Unbekannten. \begin{array}{rcl} C &=& \begin{pmatrix} a & \dfrac{3}{10} \cr b & \dfrac{7}{8} \end{pmatrix} \\[5pt] D &=& \begin{pmatrix} \dfrac{3}{4} & -\dfrac{3}{5} \cr -2b & 17 \end{pmatrix} \\[5pt] C + D &=& \begin{pmatrix} a + \dfrac{3}{4} & \dfrac{3}{10} - \dfrac{3}{5} \cr b - 2b & \dfrac{7}{8} + 17 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} a + \dfrac{3}{4} & -\dfrac{3}{10} \cr -b & \dfrac{143}{8} \end{pmatrix} \\[5pt] \boldsymbol{C \cdot D} &=& \begin{pmatrix} a \cdot \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{10} \cdot (-2b) & a \cdot (-\dfrac{3}{5}) + \dfrac{3}{10} \cdot 17 \cr b \cdot \dfrac{3}{4} + \dfrac{7}{8} \cdot (-2b) & b \cdot -\dfrac{3}{5} + \dfrac{7}{8} \cdot 17 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} \dfrac{3}{4}a - \dfrac{3}{5}b & -\dfrac{3}{5}a + \dfrac{51}{10} \cr \dfrac{3}{4}b - \dfrac{7}{4}b & -\dfrac{3}{5}b + \dfrac{119}{8} \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} \dfrac{3}{4}a - \dfrac{3}{5}b & -\dfrac{3}{5}a + \dfrac{51}{10} \cr -b & -\dfrac{3}{5}b + \dfrac{119}{8} \end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}
\begin{array}{rcl} C + D &=& C \cdot D \\[5pt] \begin{pmatrix} a + \dfrac{3}{4} & \dfrac{3}{10} - \dfrac{3}{5} \cr b - 2b & \dfrac{7}{8} + 17 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} \dfrac{3}{4}a - \dfrac{3}{5}b & -\dfrac{3}{5}a + \dfrac{51}{10} \cr -b & -\dfrac{3}{5}b + \dfrac{119}{8} \end{pmatrix} \\[5pt] \end{array} Vergleich der Einträge an denselben Positionen jeder Marix: \begin{array}{lrcl} \text{(I)} & a + \dfrac{3}{4} &=& \dfrac{3}{4}a - \dfrac{3}{5}b \\[5pt] \text{(II)} & -\dfrac{3}{10} &=& -\dfrac{3}{5}a + \dfrac{51}{10} \\[5pt] \text{(III)} & -b &=& -b \\[5pt] \text{(IV)} & \dfrac{143}{8} &=& -\dfrac{3}{5}b + \dfrac{119}{8} \end{array} Gleichung (II) führt auf $ \dfrac{3}{5}a = \dfrac{54}{10} $ und somit $ a = \dfrac{54}{10} \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{18}{2} = 9. $
Gleichung (IV) ergibt $ \dfrac{3}{5}b = -\dfrac{24}{8} = -3 $ und folglich $ b = -3 \cdot \dfrac{5}{3} = -5 $
Damit das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, sind die Gleichungen (I) und (III) auf ihren Wahrheitsgehalt zu überprüfen. Gleichung (III) ist wahr. Nach dem Einsetzen der Werte für $a$ und $b$ ist auch die Gleichung (I) wahr: $ a + \dfrac{3}{4} = 9 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{39}{4} $ und $ \dfrac{3}{4}a - \dfrac{3}{5}b = \dfrac{3}{4} \cdot 9 - \dfrac{3}{5} \cdot (-5) = \dfrac{27}{4} + 3 = \dfrac{39}{4}. $
Die Lösungen sind $ a = 9 $ und $ b = -5. $

Aufgabe 5.7

$\blacktriangleright$   Berichtigen der Aussagen
Du sollst die vier Aussagen korrigieren. Eine Begründung ist nicht verlangt.
Bei a) überlegst du dir, ob z. B. das lineare Gleichungssystem $ x + y + z = 0 $ und $ x - y = 0 $ eindeutig lösbar ist.
Bei b) überlegst du dir, wie viele Lösungen z. B. jeweils die linearen Gleichungen $ x = 0, $ bzw. $ 0 \cdot x = 1 $ bzw. $ 0 \cdot x = 0 $ haben.
Die richtige Antwort zu c) findest mithilfe der Formel aus Teilaufgabe 5.1.
Die Division von Matrizen ist nicht möglich, aber in den meisten Fällen hilft die Inverse $\boldsymbol{A^{-1}}$ einer Matrix $\boldsymbol{A}$ bei der Lösung einer Gleichung.
Die richtigen Aussagen lauten: a)  Ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen kann niemals einen eindeutigen Lösungsvektor besitzen.
b)  Lineare Gleichungssysteme besitzen entweder einen oder keinen oder unendlich viele Lösungsvektoren. c)  Das Matrizenprodukt $A\cdot B$ kann nur gebildet werden, wenn die Anzahl der Spalten der Matrix $A$ mit der Anzahl der Zeilen der Matrix $B$ übereinstimmt. d)  Gegeben sind die Matrizen $A$ und $B$.
Eine Matrix $X$, die die Gleichung $A\cdot X=B$ löst, erhält man, indem man auf beiden von links mit der Matrix $A^{-1}$ multipiziert.
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Aufgabe 5 entfällt ab 2018.
Schriftliche Lösungen von Gleichungssystemen sind jedoch Bestandteil der Prüfungen ab 2018.

Aufgabe 5.1

$\blacktriangleright$   Aufstellen der Tabelle für den Rohstoffbedarf für die Medikamente
Deine Aufgabe ist es, eine Tabelle zu erstellen, die den Bedarf an pflanzlichen Rohstoffen je Medikament zeigt. Nimm dazu die Formelsammlung zum Wahlgebiet ,,Wirtschaftliche Anwendungen" zur Hand. Du kannst mit ihrer Hilfe feststellen, dass es sich bei dem Produktionsprozess des Unternehmens um einen Prozess mit linearer Verflechtung handelt:
  • Aus fünf pflanzlichen Rohstoffen werden drei Zwischenprodukte (Substanzen) produziert, aus den zwei Endprodukte (Medikamente) erzeugt werden.
  • Die Tabelle links in der Aufgabenstellung stellt als $(3,3)$–Matrix $\boldsymbol{A}$ den Bedarf an Rohstoffen für die Zwischenprodukte (Substanzen) dar.
  • Die Tabelle links in der Aufgabenstellung stellt als $(3,2)$–Matrix $\boldsymbol{B}$ für den Bedarf an Zwischenprodukten (Substanzen) für die Endprodukte (Medikamente) dar.
  • Das Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ beschreibt den Bedarf an pflanzlichen Rohstoffen für die Endprodukte (Medikamente) und ist die $(3,2)$–Matrix $\boldsymbol{C}.$
Die Formelsammlung benutzt bestimmte Bezeichnungen für die Matrizen, Vektoren und Kosten. Diese Bezeichnungen werden für die Lösungen der Teilaufgaben verwendet.
Stelle nun die Matrizen auf $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ auf. Beachte, dass in der $i$–ten Zeile der Matrix $\boldsymbol{B}$ steht, wie viele Substanzen $\mathrm{S}_i$ in den Medikamenten $ \mathrm{M}_1, \; \mathrm{M}_2 $ enthalten sind. Die $j$–te Spalte der Matrix $\boldsymbol{B}$ zeigt demnach an, wie viele Substanzenn $ \mathrm{S}_1, \; \mathrm{S}_2, \mathrm{S}_3 $ im Medikamente $\mathrm{M}_j$ enthalten sind.
Berechne anschließend das Matrizenprodukt
$ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}. $
Das Kontrollergebnis ist angegeben.
\begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{A} &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \cr 4 & 3 & 2 \cr 1 & 5 & 1 \end{pmatrix} & & & \boldsymbol{B} &=& \begin{pmatrix} 1 & 5 \cr 1 & 3 \cr 2 & 2 \end{pmatrix} & & & \boldsymbol{C} &=& \begin{pmatrix} 7 & 15 \cr 11 & 33 \cr 8 & 22 \end{pmatrix} \\ \end{array} $\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Im RUN–Menü des GTR von CASIO kannst du die Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ abspeichern, indem du die Taste MAT betätigst. Für jede Matrix muss du die Anzahl der Zeilen $m$ und die Anzahl Spalten $n$ angeben.
[Abb. 1]: Auswahl der Matrix
[Abb. 1]: Auswahl der Matrix
[Abb. 2]: Festlegung der Zeilen- und Spaltenzahl
[Abb. 2]: Festlegung der Zeilen- und Spaltenzahl
Durch Ausführung der Taste EXE gelangst du in die Eingabemaske für die jeweilige Matrix. Gib dort die Zahlen ein, wie sie in der Matrix aufgeführt sind.
[Abb. 3]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{A}$
[Abb. 3]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{A}$
[Abb. 4]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{B}$
[Abb. 4]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{B}$
Das Ergebnis der Multiplikation $ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} $ rufst du mit folgender Tastenkombination im Im RUN–Menü auf:
OPTN $\to$ MAT $\to$ MAT $\to$ Eingabe ALPHA A $\to$ $\times$ $\to$ Eingabe ALPHA B $\to$ EXE
[Abb. 5]: Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$
[Abb. 5]: Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$
[Abb. 6]: Ergebnis Matrix $\boldsymbol{C}$
[Abb. 6]: Ergebnis Matrix $\boldsymbol{C}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Jedes Matrizenprodukt $ \boldsymbol{C}_{(m,n)} = \boldsymbol{A}_{(m,p)} \cdot \boldsymbol{B}_{(p,n)} $ berechnet sich mithilfe der Formel
$ c_{ik} = \displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot b_{jk}. $
\begin{array}{rcl} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \cr 4 & 3 & 2 \cr 1 & 5 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 5 \cr 1 & 3 \cr 2 & 2 \end{pmatrix} \\ \\ &=& \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 & \quad 1 \cdot 5 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 2 \cr 4 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 & \quad 4 \cdot 5 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 \cr 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 1 \cdot 2 & \quad 1 \cdot 5 + 5 \cdot 3 + 1 \cdot 2 \cr \end{pmatrix} \\ \\ &=& \begin{pmatrix} 1 + 2 + 4 & \quad 5 + 6 + 4 \cr 4 + 3 + 4 & \quad 20 + 9 + 4 \cr 1 + 5 + 2 & \quad 5 + 15 + 2 \cr \end{pmatrix} \\ \\ &=& \begin{pmatrix} 7 & 15 \cr 11 & 33 \cr 8 & 22 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \boldsymbol{C} \end{array} Das Ergebnis schreibst du nun noch in Form einer Tabelle auf, um diese Teilaufgabe vollständig gelöst zu haben.
Anhand der Matrix $\boldsymbol{C}$ lässt sich die Tabelle für den Bedarf an Wirkstoffen ablesen: \begin{array}{r|ccc} & M_1 & M_2 \\ \hline R_1 & 7 & 15 \\ R_2 & 11 & 33 \\ R_3 & 8 & 22 \end{array}

Aufgabe 5.2

$\blacktriangleright$   Berechnung der Menge an Substanzen für den Produktionsauftrag
Deine Aufgabe besteht darin zu berechnen, wie viele Substanzen für den Produktionsauftrag $ 2.000 \; \text{ME} $ des Medikaments $\mathrm{M}_1 $ und $ 1.700 \; \text{ME} $ des Medikamentes $ \mathrm{M}_2. $ Die Auftragszahlen bestimmen den Produktionsvektor $ \overrightarrow{p}: $ \begin{array}{rclcl} \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} p_1 \cr p_2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 2.000 \cr 1.700 \end{pmatrix} \end{array} Gesucht ist der Zwischenproduktvektor $ \overrightarrow{Z}, $ der dir die Menge der benötigten Substanzen angibt. Du berechnest ihn mit der Formel
$ \boldsymbol{B} \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{z}. $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Speichere den Produktionsvektor $ \overrightarrow{p} $ als Matrix $\boldsymbol{P}_{(2,1)}$ und berechne mit dem GTR $ \boldsymbol{B} \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{z}. $
[Abb. 7]: Eingabe $\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{p}$
[Abb. 7]: Eingabe $\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{p}$
[Abb. 8]: Ergebnis
[Abb. 8]: Ergebnis
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
\begin{array}{rclclcl} B \cdot \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} 1 & 5 \cr 1 & 3 \cr 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2.000 \cr 1.700 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 1 \cdot 2.000 + 5 \cdot 1.700 \cr 1 \cdot 2.000 + 3 \cdot 1.700 \cr 2 \cdot 2.000 + 2 \cdot 1.700 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 2.000 + 8.500 \cr 2.000 + 5.100 \cr 4.000 + 3.400 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 10.500 \cr 7.100 \cr 7.400 \end{pmatrix} \end{array}
Es werden $ 10.500 \; \text{ME} \; S_1, \; 7.100 \; \text{ME} \; S_2 $ und $ 7.100 \; \text{ME} \; S_3 $ für den Produktionsauftrag benötigt.

Aufgabe 5.3

$\blacktriangleright$   Berechnung der Anzahl der Substanzen $\mathrm{S}_1, \, \mathrm{S}_2 $ und $ \mathrm{S}_3 $ bei gegebenen Lagerbeständen an Rohstoffen
Für die Lagerbestände $\mathrm{R}_1 = 660 \; \text{ME} $ und $\mathrm{R}_2 = 1.140 \; \text{ME} $ sollst du berechnen, wie viele Substanzen hergestellt werden, wenn alle vorhandenen Rohstoffe verbraucht und der Rohstoff $\mathrm{R}_3 \; \text{ME} $ nachbestellt wird. Dabei sollst du davon ausgehen, dass von $\mathrm{S}_1 $ und $ \mathrm{S}_3 $ gleich viele $ \text{ME} $ erstellt werden sollen.
In diesem Falle ist also der Rohstoffvektor $ \overrightarrow{r} $ nicht vollständig bekannt: \[ \overrightarrow{r} = \begin{pmatrix} 660 \cr 1.140 \cr r_3 \end{pmatrix} \] Vom Zwischenproduktvektor $ \overrightarrow{z} $ ist bekannt, dass \[ \overrightarrow{z} = \begin{pmatrix} s_1 \cr s_2 \cr s_1 \end{pmatrix} \] gilt.
Die Gleichung für den Zwischenproduktvektor $ \overrightarrow{z} $ entnimmst du der Formelsammlung: \begin{array}{rclclcl} A \cdot \overrightarrow{z} &=& \overrightarrow{r} \\[5pt] \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \cr 4 & 3 & 2 \cr 1 & 5 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} s_1 \cr s_2 \cr s_1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 660 \cr 1.140 \cr r_3 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 1 \cdot s_1 + 2 \cdot s_2 + 2 \cdot s_1 \cr 4 \cdot s_1 + 3 \cdot s_2 + 2 \cdot s_1 \cr 1 \cdot s_1 + 5 \cdot s_2 + 1 \cdot s_1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 660 \cr 1.140 \cr r_3 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 3 \cdot s_1 + 2 \cdot s_2 \cr 6 \cdot s_1 + 3 \cdot s_2 \cr 2 \cdot s_1 + 5 \cdot s_2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 660 \cr 1.140 \cr r_3 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 3 \cdot s_1 + 2 \cdot s_2 \cr 6 \cdot s_1 + 3 \cdot s_2 \cr 2 \cdot s_1 + 5 \cdot s_2 + (-1) \cdot r_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 660 \cr 1.140 \cr 0 \end{pmatrix} \end{array} Die letzte Gleichung führt auf ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen:
\begin{array}{lrcrcrcrc} \text{I} & 3 \cdot s_1 &+& 2 \cdot s_2 & & &=& 660 \\ \text{II} & 6 \cdot s_1 &+& 3 \cdot s_2 & & &=& 1.140 \\ \text{III} & 2 \cdot s_1 &+& 5 \cdot s_2 &-& r_3 &=& 0 \end{array}
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen der ersten drei Gleichungen kannst du mit dem GTR von CASIO im Gleichungs(EQUA)–Menü berechnen. Rufe das Untermenü
Lineares Gleichungssystem $\to$ 3 Unbekannte $\to$ EXE
auf und gib die Zahlen des Gleichungssystem mit Vorzeichen ein. Führe die Berechnung aus und notiere dir die Ergebnisse.
[Abb. 9]: Eingabe des LGS
[Abb. 9]: Eingabe des LGS
[Abb. 10]: Ergebnis des LGS
[Abb. 10]: Ergebnis des LGS
Sie lauten $ s_1 = 10, \; s_2 = 180 $ und $ r_3 = 1.100. $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Wende z.B. das Additionsverfahren an, um das Gleichungssystem zu lösen. \begin{array}{lrcrcrcrl} \text{I} & 3 \cdot s_1 &+& 2 \cdot s_3 & & &=& 660 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{IV} = (-2) \cdot \text{I} + \text{II}\\ \text{II} & 6 \cdot s_1 &+& 3 \cdot s_3 & & &=& -1.440 \\ \text{III} & 2 \cdot s_1 &+& 5 \cdot s_3 &+& (-1) \cdot r_3 &=& 0 \\ \hline \text{IV} & & & -s_3 & & &=& -180 & \quad \scriptsize\mid\; :(-1) \\ \text{IV} & & & s_3 & & &=& 180 & \quad \scriptsize\mid\;\text{Einsetzen in I: } \\ \text{I} & 3 \cdot s_1 &+& 2 \cdot 180 & & &=& 660 & \quad \scriptsize\mid\; -360 \\ \text{I} & 3 \cdot s_1 && & & &=& 300 & \quad \scriptsize\mid\; : 3 \\ \text{I} & s_1 && & & &=& 100 & \quad \scriptsize\mid\; \text{Einsetzen in III: } \\ \text{III} & 2 \cdot 100 &+& 5 \cdot 180 &+& (-1) \cdot r_3 &=& 0 \\ \text{III} & 200 &+& 900 &+& (-1) \cdot r_3 &=& 0 & \quad \scriptsize\mid\; -1.100\\ \text{III} & && && (-1) \cdot r_3 &=& -1.100 & \quad \scriptsize\mid\; :(-1)\\ \text{III} & && && r_3 &=& 1.100 \end{array}
Es werden $ 100 \; \text{ME} \; \mathrm{S}_1, \; 180 \; \text{ME} \; \mathrm{S}_2$ und $ 100 \; \text{ME} \; \mathrm{S}_3$ hergestellt. Es müssen $ 1.100 \; \text{ME} $ des Rohstoff $ \mathrm{R}_3 $ nachbestellt werden.

Aufgabe 5.4

$\blacktriangleright$   Berechnung des Produktionsvektors im Leontief–Modell
Deine Aufgabe besteht darin, zu einer vorgegebenen Marktabgabe die zugehörigen Produktionsmengen zu ermitteln.
Die Zweigwerke A, B und C des Unternehmens sind untereinander und mit dem Markt nach dem Leon–Modell verknüpft. Informiere dich in der Formelsammlung, welchen Zusammenhang es zwischen dem Produktionsvektor $ \overrightarrow{x}, $ dem Marktvektor $ \overrightarrow{y}, $ der Technologiematrix $A$ und der Matrix $ (E - A)^{-1} $ gibt, die in der Aufgabenstellung angegeben ist.
Der Marktvektor ist durch \[ \overrightarrow{y} = \begin{pmatrix} 6.000 \cr 9.000 \cr 20.000 \end{pmatrix} \] vorgegeben.
Mithilfe der Leontief–Gleichung kannst du den Produktionsvektor $ \overrightarrow{x} $ berechnen:
$ \boldsymbol{\overrightarrow{x} = (E - A)^{-1} \cdot \overrightarrow{y}}. $
Eine Lösung ist wieder mit dem GTR oder schriftlich möglich.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Siehe bei Teilaufgabe 5.1 nach, wie du die Matrix $ \boldsymbol{(E - A)^{-1}} $ als Matrix $\boldsymbol{D}$ und die Matrix für den Marktvektor $ \overrightarrow{y} $ abspeichern und das Produkt die Matrix $ \boldsymbol{(E - A)^{-1} \cdot \overrightarrow{y}} $ berechnen kannst.
[Abb. 11]: Produkt der Matrizen $\boldsymbol{(E - A)^{-1}}$ und $\boldsymbol{\overrightarrow{y}}$
[Abb. 11]: Produkt der Matrizen $\boldsymbol{(E - A)^{-1}}$ und $\boldsymbol{\overrightarrow{y}}$
[Abb. 12]: Ergebnis Matrix $\boldsymbol{\overrightarrow{x}}$
[Abb. 12]: Ergebnis Matrix $\boldsymbol{\overrightarrow{x}}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
\begin{array}{rclclcl} (E - A)^{-1} \cdot \overrightarrow{y} &=& \begin{pmatrix} 4 & \dfrac{16}{3} & 3 \cr 2 & \dfrac{28}{3} & 4 \cr 4 & 12 /& 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6.000 \cr 9.000 \cr 20.000 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 4 \cdot 6.000 + \dfrac{16}{3} \cdot 9.000 \cr 3 \cdot 20.000 \cr 2 \cdot 6.000 + \dfrac{28}{3} \cdot 9.000 + 4 \cdot 20.000 \cr 4 \cdot 6.000 + 12 \cdot 9.000 + 8 \cdot 20.000 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 24.000 + 48.000 + 60.000 \cr 12.000 + 84.000 + 80.000 \cr 24.000 + 108.000 + 160.000 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 132.000 \cr 176.000 \cr 292.000 \end{pmatrix} \end{array}
Es werden $ 132.000 \; \text{ME} \; x_1, \; 176.000 \; \text{ME} \; x_2 $ und $ 292.000 \; \text{ME} \; x_3 $ für die Produkt der Marktabgabe benötigt.

Aufgabe 5.5

$\blacktriangleright$   Berechnung der Technologiematrix $\boldsymbol{A}$
Du sollst die Technologiematrix aus der gegebenen Matrix $ \boldsymbol{(E - A)^{-1}}$ bestimmen. Mithilfe der Regeln für das Rechnen mit Matrizen kannst du die Matrix $ \boldsymbol{E - A} $ berechnen, denn
$ \boldsymbol{\left( (E - A)^{-1} \right)^{-1} = E - A}. $
Berechne das Ergebnis und verwende die Gleichung $ \boldsymbol{A = E - (E - A),} $ um die Technologiematrix $\boldsymbol{A}$ zu bestimmen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Matrix $ \boldsymbol{(E - A)^{-1}} $ hast du als Matrix $ \boldsymbol{D} $ gespeichert. Berechne die Matrix $ \boldsymbol{D^{-1}}. $
[Abb. 13]: Berechnung der Inversen von $\boldsymbol{(E - A)^{-1}}$
[Abb. 13]: Berechnung der Inversen von $\boldsymbol{(E - A)^{-1}}$
[Abb. 14]: Ergebnis der Matrix $\boldsymbol{E - A}$
[Abb. 14]: Ergebnis der Matrix $\boldsymbol{E - A}$
Berechne mithilfe der Einheitsmatrix $\boldsymbol{E}$ das Ergebnis der Technologiematrix $ \boldsymbol{A = E - (E - A).} $
[Abb. 15]: Berechnung von $\boldsymbol{E - (E - A)}$
[Abb. 15]: Berechnung von $\boldsymbol{E - (E - A)}$
[Abb. 16]: Technologiematrix $\boldsymbol{A}$
[Abb. 16]: Technologiematrix $\boldsymbol{A}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Du bestimmst die inverse Matrix von $ (\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})^{-1}, $ indem du sie auf Einheitsmatrixgestalt bringst und alle dabei verwendeten Matrixumformungen jeweils auch auf die Einheitsmatrix $ \boldsymbol{E} $ anwendest. \[ \begin{array}{cc|c|l} (\boldsymbol{E} -\boldsymbol{A})^{-1} & & \boldsymbol{E} & \\ \hline \begin{pmatrix} 4 & \dfrac{16}{3} & 3 \cr 2 & \dfrac{28}{3} & 4 \cr 4 & 12 & 8 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & \scriptsize \text{Zeilentausch: Zeile III wird Zeile I} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 4 & 12 & 8 \cr 2 & \dfrac{28}{3} & 4 \cr 4 & \dfrac{16}{3} & 3 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & 0 \cr 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \scriptsize \text{Zeile I : 4} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \cr 2 & \dfrac{28}{3} & 4 \cr 4 & \dfrac{16}{3} & 3 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0,25 \cr 0 & 1 & 0 \cr 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \scriptsize (-2) \cdot \text{I} + \text{II} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \cr 0 & \dfrac{10}{3} & 0 \cr 4 & \dfrac{16}{3} & 3 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0,25 \cr 0 & 1 & -0,5 \cr 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \scriptsize (-4) \cdot \text{I} + \text{III} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \cr 0 & \dfrac{10}{3} & 0 \cr 0 & -\dfrac{20}{3} & -5 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0,25 \cr 0 & 1 & -0,5 \cr 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} & \scriptsize 2 \cdot \text{II} + \text{II} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \cr 0 & \dfrac{10}{3} & 0 \cr 0 & 0 & -5 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0,25 \cr 0 & 1 & -0,5 \cr 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} & \scriptsize \frac{3}{10} \cdot \text{II;} -\frac{1}{5} \cdot \text{II} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0,25 \cr 0 & 0,3 & -0,15 \cr -0,2 & -0,4 & 0,4 \end{pmatrix} & \scriptsize (-3) \cdot \text{II} + \cdot \text{I} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & -0,9 & 0,7 \cr 0 & 0,3 & -0,15 \cr -0,2 & -0,4 & 0,4 \end{pmatrix} & \scriptsize (-2) \cdot \text{III} + \cdot \text{I} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0,4 & -0,1 & -0,1 \cr 0 & 0,3 & -0,15 \cr -0,2 & -0,4 & 0,4 \end{pmatrix} \end{array} \] Ergebnis der inversen Matrix: \[ \left( \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A} \right) = \begin{pmatrix} 0,4 & -0,1 & -0,1 \cr 0 & 0,3 & -0,15 \cr -0,2 & -0,4 & 0,4 \end{pmatrix} \] Berechnung der Technologiematrix $A$: \[ \begin{array}{rcl} \boldsymbol{A} &=& \boldsymbol{E} - \left( \boldsymbol{E} -\boldsymbol{A} \right) \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0,4 & -0,1 & -0,1 \cr 0 & 0,3 & -0,15 \cr -0,2 & -0,4 & 0,4 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 1 - 0,4 & 0,1 & 0,1 \cr 0 & 1 - 0,3 & 0,15 \cr 0,2 & 0,4 & 1 - 0,4 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0,6 & 0,1 & 0,1 \cr 0 & 0,7 & 0,15 \cr 0,2 & 0,4 & 0,6 \end{pmatrix} \end{array} \]

Aufgabe 5.6

$\blacktriangleright$   Bestimmen von $ \boldsymbol{a} $ und $ \boldsymbol{b} $ so, dass $ \boldsymbol{C + D = C \cdot D} $ gilt
Ermittle das Ergebnis der Summe der Matrizen $C$ und $D$ und des Produkts der Matrizen $C$ und $D$ und setze die Ergebnisse gleich. Durch Vergleich der jeweiligen Einträge der Matrizen ergeben sich die Werte für die beiden Unbekannten. \begin{array}{rcl} C &=& \begin{pmatrix} a & \dfrac{3}{10} \cr b & \dfrac{7}{8} \end{pmatrix} \\[5pt] D &=& \begin{pmatrix} \dfrac{3}{4} & -\dfrac{3}{5} \cr -2b & 17 \end{pmatrix} \\[5pt] C + D &=& \begin{pmatrix} a + \dfrac{3}{4} & \dfrac{3}{10} - \dfrac{3}{5} \cr b - 2b & \dfrac{7}{8} + 17 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} a + \dfrac{3}{4} & -\dfrac{3}{10} \cr -b & \dfrac{143}{8} \end{pmatrix} \\[5pt] \boldsymbol{C \cdot D} &=& \begin{pmatrix} a \cdot \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{10} \cdot (-2b) & a \cdot (-\dfrac{3}{5}) + \dfrac{3}{10} \cdot 17 \cr b \cdot \dfrac{3}{4} + \dfrac{7}{8} \cdot (-2b) & b \cdot -\dfrac{3}{5} + \dfrac{7}{8} \cdot 17 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} \dfrac{3}{4}a - \dfrac{3}{5}b & -\dfrac{3}{5}a + \dfrac{51}{10} \cr \dfrac{3}{4}b - \dfrac{7}{4}b & -\dfrac{3}{5}b + \dfrac{119}{8} \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} \dfrac{3}{4}a - \dfrac{3}{5}b & -\dfrac{3}{5}a + \dfrac{51}{10} \cr -b & -\dfrac{3}{5}b + \dfrac{119}{8} \end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}
\begin{array}{rcl} C + D &=& C \cdot D \\[5pt] \begin{pmatrix} a + \dfrac{3}{4} & \dfrac{3}{10} - \dfrac{3}{5} \cr b - 2b & \dfrac{7}{8} + 17 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} \dfrac{3}{4}a - \dfrac{3}{5}b & -\dfrac{3}{5}a + \dfrac{51}{10} \cr -b & -\dfrac{3}{5}b + \dfrac{119}{8} \end{pmatrix} \\[5pt] \end{array} Vergleich der Einträge an denselben Positionen jeder Marix: \begin{array}{lrcl} \text{(I)} & a + \dfrac{3}{4} &=& \dfrac{3}{4}a - \dfrac{3}{5}b \\[5pt] \text{(II)} & -\dfrac{3}{10} &=& -\dfrac{3}{5}a + \dfrac{51}{10} \\[5pt] \text{(III)} & -b &=& -b \\[5pt] \text{(IV)} & \dfrac{143}{8} &=& -\dfrac{3}{5}b + \dfrac{119}{8} \end{array} Gleichung (II) führt auf $ \dfrac{3}{5}a = \dfrac{54}{10} $ und somit $ a = \dfrac{54}{10} \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{18}{2} = 9. $
Gleichung (IV) ergibt $ \dfrac{3}{5}b = -\dfrac{24}{8} = -3 $ und folglich $ b = -3 \cdot \dfrac{5}{3} = -5 $
Damit das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, sind die Gleichungen (I) und (III) auf ihren Wahrheitsgehalt zu überprüfen. Gleichung (III) ist wahr. Nach dem Einsetzen der Werte für $a$ und $b$ ist auch die Gleichung (I) wahr: $ a + \dfrac{3}{4} = 9 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{39}{4} $ und $ \dfrac{3}{4}a - \dfrac{3}{5}b = \dfrac{3}{4} \cdot 9 - \dfrac{3}{5} \cdot (-5) = \dfrac{27}{4} + 3 = \dfrac{39}{4}. $
Die Lösungen sind $ a = 9 $ und $ b = -5. $

Aufgabe 5.7

$\blacktriangleright$   Berichtigen der Aussagen
Du sollst die vier Aussagen korrigieren. Eine Begründung ist nicht verlangt.
Bei a) überlegst du dir, ob z. B. das lineare Gleichungssystem $ x + y + z = 0 $ und $ x - y = 0 $ eindeutig lösbar ist.
Bei b) überlegst du dir, wie viele Lösungen z. B. jeweils die linearen Gleichungen $ x = 0, $ bzw. $ 0 \cdot x = 1 $ bzw. $ 0 \cdot x = 0 $ haben.
Die richtige Antwort zu c) findest mithilfe der Formel aus Teilaufgabe 5.1.
Die Division von Matrizen ist nicht möglich, aber in den meisten Fällen hilft die Inverse $\boldsymbol{A^{-1}}$ einer Matrix $\boldsymbol{A}$ bei der Lösung einer Gleichung.
Die richtigen Aussagen lauten: a)  Ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen kann niemals einen eindeutigen Lösungsvektor besitzen.
b)  Lineare Gleichungssysteme besitzen entweder einen oder keinen oder unendlich viele Lösungsvektoren. c)  Das Matrizenprodukt $A\cdot B$ kann nur gebildet werden, wenn die Anzahl der Spalten der Matrix $A$ mit der Anzahl der Zeilen der Matrix $B$ übereinstimmt. d)  Gegeben sind die Matrizen $A$ und $B$.
Eine Matrix $X$, die die Gleichung $A\cdot X=B$ löst, erhält man, indem man auf beiden von links mit der Matrix $A^{-1}$ multipiziert.
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