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Aufgabe 5

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Aufgabe 5

Ein Unternehmen stellt aus drei pflanzlichen Rohstoffen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ die Substanzen $S_1$, $S_2$ und $S_3$ her. Aus diesen Substanzen werden die Medikamente $M_1$ und $M_2$ hergestellt.
Die folgenden Tabellen zeigen den Materialbedarf in Mengeneinheiten ($\text{ME}$):
$M_1$$M_2$
$S_1$$1$$5$
$S_2$$1$$3$
$S_3$$2$$2$
5.1
Erstelle eine Tabelle, die den Rohstoffbedarf für die Medikamente darstellt.
(3P)
5.2
Erfahrungsgemäß werden im Sommer $2.000\,\text{ME}$ des Medikaments $M_1$ und $1.700\,\text{ME}$ des
Medikaments $M_2$ verkauft.
Berechne den Bedarf an Substanzen, die dazu benötigt werden.
(3P)
5.3
Im Lager befinden sich $600\,\text{ME}$ $R_1$ und $1.140\,\text{ME}$ $R_2$. Der Rohstoff $R_3$ ist nicht mehr vorrätig.
Es werden gleich viele $\text{ME}$ der Substanz $S_1$ und $S_3$ benötigt.
Wie viele $ME$ der Substanzen $S_1$, $S_2$ und $S_3$ können aus den Lagerbeständen hergestellt werden, wenn alle vorhandenen Rohstoffe verbraucht werden sollen?
Wie viele $ME$ des Rohstoffs $R_3$ müssen dazu bestellt werden?
(6P)
Die Zweigwerke $A$, $B$ und $C$ eines Unternehmens sind untereinander und mit dem Markt nach dem Leontief-Modell verflochten.
Für die Technologiematrix $A$ gilt:$(E-A)^{-1}=\begin{pmatrix}4&\dfrac{16}{3}&3\\2&\dfrac{28}{3}&4\\4&12&8\end{pmatrix}$
5.4
Wie viele $\text{ME}$ müssen in den einzelnen Zweigwerken produziert werden, wenn $A\;6.000\,\text{ME}$,
$B\;9.000\,\text{ME}$ und $C\;20.000\,\text{ME}$ an den Markt abgeben?
(3P)
5.5
Berechne die Technologiematrix $A$.
(4P)
5.6
Gegeben sind die Matrizen $C=\begin{pmatrix}a&\dfrac{3}{10}\\b&\dfrac{7}{8}\end{pmatrix}$    und    $D=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{4}&-\dfrac{3}{5}\\-2b&17\end{pmatrix}$.
Bestimme $a$ und $b$ so, dass gilt: $C+D=C\cdot D$
(7P)
5.7
Berichtige folgende Aussagen.
a)
Ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen kann einen eindeutigen Lösungsvektor besitzen.
b)
Lineare Gleichungssysteme besitzen entweder einen oder unendlich viele Lösungsvektoren.
c)
Das Matrizenprodukt $A\cdot B$ kann nur gebildet werden, wenn die Anzahl der Spalten der Matrix $A$ mit der Anzahl der Spalten der Matrix $B$ übereinstimmt.
d)
Gegeben sind die Matrizen $A$ und $B$.
Eine Matrix $X$, die die Gleichung $A\cdot X=B$ löst, erhält man, indem man durch die Matrix $A$ dividiert.
(4P)

(30P)
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