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Aufgabe 6

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Aufgabe 6

Ein Glücksrad besteht aus zehn gleich großen Sektoren. Ein Sektor ist rot, zwei sind grün und die restlichen Sektoren sind weiß. Ein fester Pfeil zeigt das Ergebnis nach einer Drehung des Glücksrades an.
Das Glücksrad wird für ein Spiel zwei Mal gedreht. Nachdem das Glücksrad das erste Mal gedreht wurde, gilt folgende Ersetzungsregel: Zeigt es rot, wird ein weißer Sektor durch einen roten ersetzt, zeigt es grün, wird ein weißer Sektor durch einen grünen ersetzt. Dann wird das Glücksrad das zweite Mal gedreht.
Nach jedem Spiel wird das Glücksrad in den ursprünglichen Zustand zurückgesetzt.
6.1
Zeichne ein geeignetes Baumdiagramm, das die Wahrscheinlichkeiten für alle Spielausgänge beschreibt.
(6P)
6.2
Begründe: Ist es wahrscheinlicher, dass das Glücksrad während eines Spieles verändert wird oder dass es während eines Spieles gleich bleibt?
(2P)
6.3
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:
  1. Das Glücksrad zeigt mindestens einmal weiß.
  2. Es wird zwei Mal die gleiche Farbe gezeigt.
  3. Es wird rot oder grün gezeigt.
  4. Die beiden gezeigten Farben unterscheiden sich
(8P)
Das Glücksrad samt oben stehenden Regeln wird nun für ein Gewinnspiel genutzt: Der Einsatz pro Spiel beträgt $2$ Euro. Zeigt das Glücksrad (rot, rot) erhält der Spieler $30$ Euro, bei (rot, grün) oder (grün, rot) erhält er $12,50$ Euro, bei (grün, grün) erhält er $5$ Euro. In allen anderen Fällen erhält der Spieler nichts.
6.4
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt ein Spieler einen Gewinn?
(3P)
6.5
Wie hoch ist auf lange Sicht der Gewinn bzw. Verlust des Veranstalters pro Spiel?
(4P)
6.6
Um wie viel Euro müsste man den Auszahlungsbetrag für (grün, grün) ändern, damit das Spiel fair wird?
(4P)
6.7
Schlage eine Veränderung der oben beschriebenen Ersetzungsregel der Sektoren vor, die für den
Spieler vorteilhaft wäre, und begründe deinen Vorschlag.
Wäre es für den Veranstalter günstiger, wenn er auf die Ersetzungen der Sektoren, wie sie oben beschrieben, ist verzichten würde?
(3P)

(30P)
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