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Aufgabe 6

Aufgaben
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Aufgabe 6

Ein Glücksrad besteht aus zehn gleich großen Sektoren. Ein Sektor ist rot, zwei sind grün und die restlichen Sektoren sind weiß. Ein fester Pfeil zeigt das Ergebnis nach einer Drehung des Glücksrades an.
Das Glücksrad wird für ein Spiel zwei Mal gedreht. Nachdem das Glücksrad das erste Mal gedreht wurde, gilt folgende Ersetzungsregel: Zeigt es rot, wird ein weißer Sektor durch einen roten ersetzt, zeigt es grün, wird ein weißer Sektor durch einen grünen ersetzt. Dann wird das Glücksrad das zweite Mal gedreht.
Nach jedem Spiel wird das Glücksrad in den ursprünglichen Zustand zurückgesetzt.
6.1
Zeichne ein geeignetes Baumdiagramm, das die Wahrscheinlichkeiten für alle Spielausgänge beschreibt.
(6P)
6.2
Begründe: Ist es wahrscheinlicher, dass das Glücksrad während eines Spieles verändert wird oder dass es während eines Spieles gleich bleibt?
(2P)
6.3
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:
  1. Das Glücksrad zeigt mindestens einmal weiß.
  2. Es wird zwei Mal die gleiche Farbe gezeigt.
  3. Es wird rot oder grün gezeigt.
  4. Die beiden gezeigten Farben unterscheiden sich
(8P)
Das Glücksrad samt oben stehenden Regeln wird nun für ein Gewinnspiel genutzt: Der Einsatz pro Spiel beträgt $2$ Euro. Zeigt das Glücksrad (rot, rot) erhält der Spieler $30$ Euro, bei (rot, grün) oder (grün, rot) erhält er $12,50$ Euro, bei (grün, grün) erhält er $5$ Euro. In allen anderen Fällen erhält der Spieler nichts.
6.4
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt ein Spieler einen Gewinn?
(3P)
6.5
Wie hoch ist auf lange Sicht der Gewinn bzw. Verlust des Veranstalters pro Spiel?
(4P)
6.6
Um wie viel Euro müsste man den Auszahlungsbetrag für (grün, grün) ändern, damit das Spiel fair wird?
(4P)
6.7
Schlage eine Veränderung der oben beschriebenen Ersetzungsregel der Sektoren vor, die für den
Spieler vorteilhaft wäre, und begründe deinen Vorschlag.
Wäre es für den Veranstalter günstiger, wenn er auf die Ersetzungen der Sektoren, wie sie oben beschrieben, ist verzichten würde?
(3P)

(30P)
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Tipps
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Aufgabe 6 entfällt ab 2018.
Hinweis: Alle Berechnungen können mit einem einfachen wissenschaftlichen Taschenrechner durchgeführt werden. Eine Unterscheidung zwischen den Lösungen mit einem GTR von CASIO bzw. TI entfällt aus diesem Grund.

Aufgabe 6.1

$\blacktriangleright$   Baumdiagramm zeichnen
Um ein Baumdiagramm zeichnen zu können, ist es für dich wichtig zu wissen, wie viele Stufen es hat und wie viele Verzweigungen bei jedem neuen Knoten des Baumes möglich sind.
Das Zufallsexperiment ist vergleichbar mit einem Urnenexperiment, wobei jedem Sektor eine entsprechend farbige Kugel entspricht. Die Urne enthält insgesamt zehn Kugel: eine rote Kugel ($R$), zwei grüne Kugeln ($G$) und sieben weiße Kugeln ($W$). Verwende für alle folgenden Teilaufgaben die Abkürzungen $R, G$ und $W.$
Weil je nach Ergebnis des ersten Drehung des Glücksrades (erter Zug aus der Urne) eine Ersetzungsregel beachtet werden muss, besteht das Baumdiagramm folglich aus zwei Stufen mit jeweils drei Verzweigungen je Knoten des Baumes. Die Anzahl der Sektoren (Kugeln in der Urne) bleibt dabei gleich (Ziehen mit Zurücklegen der gezogenen Kugel), aber die Anzahl der jeweiligen Sektoren (rote, grüne und weiße Kugeln) kann sich vor dem zweiten Drehen des Glücksrades (zweiter Zug aus der Urne) ändern.
Zeichne dieses Baumdiagramm und ergänze an den Zweigen des Baumes die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten für die Ausgänge $S, B$ oder $W$. Die im Aufgabentext angegeben relativen Häufigkeiten können als Wahrscheinlichkeiten verstanden werden.
Kontrolliere deine Eintragungen mithilfe der Knotenregel: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen des Baumes, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich Eins.
$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeiten für jedes Ergebnis beschreiben
Du sollst für jeden Ausgang (jedes Ergebnis) des zusammgesetzten Zufallsexperimentes die Wahrscheinlichkeit berechnen. Diese bestimmst du mithilfe der 1. Pfadmultiplikationsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeiten entlang der Äste (Pfade) des Baumes multipliziert werden.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Mithilfe der Regel kannst du alle Wahrscheinlichkeiten ermitteln und sie im Baumdiagramm ergänzen oder als Tabelle auflisten. Die Wahrscheinlichkeiten können als Bruch– oder Dezimalzahl oder als Prozentsatz angegeben werden.
Kontrolliere deine Ergebnisse aufgrund der 2. Pfadadditionsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse. Entlang der Blätter (Ergebnisse) des Baumes werden die Wahrscheinlichkeiten also addiert. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss Eins ergeben.
$P \left( \left\{ RR \right\} \right)$$P \left( \left\{ RG \right\} \right)$$P \left( \left\{ RW \right\} \right)$$P \left( \left\{ GR \right\} \right)$$P \left( \left\{ GG \right\} \right)$$P \left( \left\{ GW \right\} \right)$$P \left( \left\{ WR \right\} \right)$$P \left( \left\{ WG \right\} \right)$$P \left( \left\{ WW \right\} \right)$
$0,02$
Kontrolle: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich Eins.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftiche Lösung
$P \left( \left\{ RR \right\} \right) = P \left( \left\{ R \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ R \right\} \right) = \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{10} = \frac{1 \cdot 2}{10 \cdot 10} = \frac{2}{100} = 0,02 = 2 \; \% $
Kontrolle: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich $ 100 \; \% $ bzw. Eins.

Aufgabe 6.2

$\blacktriangleright$   Begründen, ob eine Veränderung oder ein Gleichbleiben des Glücksrades wahrscheinlicher ist
Um eine Aussage treffeb zu können, ist es deine Aufgabe, die Wahrscheinlichkeit für eines Veränderung und die Wahrscheinlichkeit für ein Gleichbleiben des Glücksrades zu berechnen und miteinander zu vergleichen. Eine Veränderung tritt ein, wenn beim ersten Drehen des Glücksrades ein roter oder ein grüner Sektor gedreht wird. Das Glücksrad bleibt gleich, wenn ein weißer Sektor gedreht wird. Berechne die beiden Wahrscheinlichkeiten und vegleiche die Ergebnisse miteinander.

Aufgabe 6.2

$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $ \boldsymbol{A}, \; \boldsymbol{B}, \; \boldsymbol{C}, \; \boldsymbol{D}, \; \boldsymbol{E} $ berechnen
Für jedes der im Aufgabentext formulierten Ereignisse besteht deine Aufgabe darin, die zugehörige Wahrscheinlichkeit zu ermitteln.
Jedes Ereignis setzt sich aus den Ergebnissen zusammen, bei denen das Ereignis eingetreten ist. Prüfe jedes Ergebnis im Baumdiagramm darauf hin, ob es zum Ereignis gehört oder nicht. So gelangst du zu einer Beschreibung des Ereignisses in aufzählender Form.
Kontrollergebnisse:
Das Gegenereignis von $A$ ist, dass kein weißer Sektor gedreht wird.
$ P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - P \left( \left\{ RR; \; RG; \; GR; \; GG \right\} \right) $
$ P(B) = P \left( \left\{ RR; \; GG; \; WW \right\} \right) $
Das Gegenereignis von $C$ ist, dass weder der rote noch der grüne Sektor gedreht wird.
$ P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 1 - P \left( \left\{ WW \right\} \right) $
Das Gegenereignis von $D$ ist das Ereignis $B.$
$ P(D) = 1 - P(\overline{B}) $
Die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses kannst du anschließend mit der 2. Pfadadditionsregel berechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Alle Wahrscheinlichkeiten, die in der Auflistung aufgeführt sind, kannst du deiner Tabelle aus Teilaufgabe 6.1 entnehmen und mit dem GTR die Gesamtwahrscheinlichkeit ermitteln. Fülle die Tabelle aus
$ P(A) $$ P(B) $$ P(C) $$ P(D) $
$0,88$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftiche Lösung
Die Wahrscheinlichkeiten können in Prozentschreibweise oder als Bruch– bzw. Dezimalzahl angegeben werden:

Aufgabe 6.4

$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeit berechnen, das der Spieler Gewinn macht
Deine Aufgabe ist es, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, mit welcher der Spieler Gewinn macht. Gewinn bedeutet vereinfacht ausgedrückt, Einnahme vermindert um die Ausgabe des Spielers in einem Spiel. Oder anders ausgdrückt: Gewinn = Auszahlungsbetrag an der Spieler Minus Spieleinsatz des Spielers. Stelle bei dem Auszahlungsplan des Spiels fest, bei welchen Ereignissen er Gewinn macht und bestimme die zugehörige Wahrscheinlichkeit.

Aufgabe 6.5

$\blacktriangleright$   Höhe des Gewinns oder Verlustes des Veranstalters auf lange Sicht pro Spiel berechnen
Deine Aufgabe ist es, den Gewinn oder Verlust des Veranstalters auf lange Sicht zu ermitteln. Immer, wenn dieser Schlüsselbegriff im Aufgabentext erscheint, wird von dir erwartet, den Erwartungswert der Zufallsgröße $ X: Gewinn des Veranstalters je Spiel $ zu bestimmen. Gewinn bedeutet aus Sicht des Veranstalters: Einahme Minus Ausgabe oder Spieleinsatz des Spielers Minus Auszahlungsbetrag an der Spieler. Erstelle mithilfe des Baumdiagramms aus dem Gewinnauszahlungsplan eine Tabelle für die Zufallsgröße $X$ und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
Ergebnis$ RR $$ RG; GR $$ GG $sonst
Gewinnbetrag $x_i$ (in Euro)$ -28,00 $$ -10,50 $$ -3,00 $$ 2,00 $
$ P(X = x_i) $
Den Erwartungswert $ E(X) $ berechnest du mithilfe der Formel
$ E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i). $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Du musst also spaltenweise den Auszahlungsbetrag mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit multiplizieren und anschließend alle Produkte aufaddieren. Bei positivem Erwartungswert liegt ein Gewinn, bei negativem Erwartungswert ein Verlust des Veranstalters vor. Wenn der Erwartungswert Null ist, liegt ein faires Spiel vor, weil weder Spieler noch Veranstalter einen Gewinn (Verlust) erzielen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Setzte die Werte in die Formel ein und berechne das Ergebnis. Prüfe anhand des Ergebnisses, ob ein Gewinn oder Verlust des Veranstalters vorliegt.

Aufgabe 6.6

$\blacktriangleright$   Auszahlungsbetrag für das Ereignis $ \boldsymbol{GG} $ so anpassen, dass das Spiel fair ist
Die Aufgabe besteht für dich darin, den Auszahlungsbetrages für das Ereignis $ \boldsymbol{GG} $ so anzupassen, dass das Spiel fair bzw. der Erwartungswert Null ist. Der Spieleinsatz bleibt dabei unverändert. Der bisherige Auszahlungsplan ist anzupassen, folglich soll der bisherige Auszahlungsbetrag für das Ereignis $GG$ von $ x_1 $ Euro erhöht bzw. neu ermittelt werden.
Deine zu bestimmende Größe ist also $x_1,$ und die zugehörige Bedingung $ E(X) = 0 $ Euro. Stelle diese Gleichung auf und löse sie.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR und schriftliche Lösung

Aufgabe 6.7

$\blacktriangleright$   Ersetzungsregel vorschlagen und begründen, die für den Spieler vorteilhaft ist
Aus der Teilaufgabe 6.2 weisst du bereits, dass $ P(\text{Gewinn des Spielers''}) = 0,12 $ ist. Suche eine Ersetzungsregel, die diese Wahrscheinlichkeit erhöht. Schaue dir dazu den Auszahlungsplan an, um einen Vorschlag zu erhalten und zu begründen.
$\blacktriangleright$   Frage beantworten, ob ein Verzicht auf die ursprüngliche Ersetzungsregel für den Veranstalter günstiger ist
Mache dir anhand des Baumdiagramms und des Auszahlungsplanes klar, was passieren würde, wenn die Ersetzung nicht stattfindet.
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Aufgabe 6 entfällt ab 2018.
Hinweis: Alle Berechnungen können mit einem einfachen wissenschaftlichen Taschenrechner durchgeführt werden. Eine Unterscheidung zwischen den Lösungen mit einem GTR von CASIO bzw. TI entfällt aus diesem Grund.

Aufgabe 6.1

$\blacktriangleright$   Baumdiagramm zeichnen
Um ein Baumdiagramm zeichnen zu können, ist es für dich wichtig zu wissen, wie viele Stufen es hat und wie viele Verzweigungen bei jedem neuen Knoten des Baumes möglich sind.
Das Zufallsexperiment ist vergleichbar mit einem Urnenexperiment, wobei jedem Sektor eine entsprechend farbige Kugel entspricht. Die Urne enthält insgesamt zehn Kugel: eine rote Kugel ($R$), zwei grüne Kugeln ($G$) und sieben weiße Kugeln ($W$). Verwende für alle folgenden Teilaufgaben die Abkürzungen $R, G$ und $W.$
Weil je nach Ergebnis des ersten Drehung des Glücksrades (erter Zug aus der Urne) eine Ersetzungsregel beachtet werden muss, besteht das Baumdiagramm folglich aus zwei Stufen mit jeweils drei Verzweigungen je Knoten des Baumes. Die Anzahl der Sektoren (Kugeln in der Urne) bleibt dabei gleich (Ziehen mit Zurücklegen der gezogenen Kugel), aber die Anzahl der jeweiligen Sektoren (rote, grüne und weiße Kugeln) kann sich vor dem zweiten Drehen des Glücksrades (zweiter Zug aus der Urne) ändern.
Zeichne dieses Baumdiagramm und ergänze an den Zweigen des Baumes die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten für die Ausgänge $S, B$ oder $W$. Die im Aufgabentext angegeben relativen Häufigkeiten können als Wahrscheinlichkeiten verstanden werden.
Kontrolliere deine Eintragungen mithilfe der Knotenregel: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen des Baumes, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich Eins.
Aufgabe 6
[Abb. 1]: Baumdiagramm
Aufgabe 6
[Abb. 1]: Baumdiagramm
$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeiten für jedes Ergebnis beschreiben
Du sollst für jeden Ausgang (jedes Ergebnis) des zusammgesetzten Zufallsexperimentes die Wahrscheinlichkeit berechnen. Diese bestimmst du mithilfe der 1. Pfadmultiplikationsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeiten entlang der Äste (Pfade) des Baumes multipliziert werden.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Mithilfe der Regel kannst du alle Wahrscheinlichkeiten ermitteln und sie im Baumdiagramm ergänzen oder als Tabelle auflisten. Die Wahrscheinlichkeiten können als Bruch– oder Dezimalzahl oder als Prozentsatz angegeben werden.
Kontrolliere deine Ergebnisse aufgrund der 2. Pfadadditionsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse. Entlang der Blätter (Ergebnisse) des Baumes werden die Wahrscheinlichkeiten also addiert. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss Eins ergeben.
$P \left( \left\{ RR \right\} \right)$$P \left( \left\{ RG \right\} \right)$$P \left( \left\{ RW \right\} \right)$$P \left( \left\{ GR \right\} \right)$$P \left( \left\{ GG \right\} \right)$$P \left( \left\{ GW \right\} \right)$$P \left( \left\{ WR \right\} \right)$$P \left( \left\{ WG \right\} \right)$$P \left( \left\{ WW \right\} \right)$
$0,02$$0,02$$0,06$$0,02$$0,06$$0,12$$0,07$$0,14$$0,49$
Kontrolle: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich Eins.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftiche Lösung
$P \left( \left\{ RR \right\} \right) = P \left( \left\{ R \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ R \right\} \right) = \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{10} = \frac{1 \cdot 2}{10 \cdot 10} = \frac{2}{100} = 0,02 = 2 \; \% $
$P \left( \left\{ RG \right\} \right) = P \left( \left\{ R \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ G \right\} \right) = \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{10} = \frac{1 \cdot 2}{10 \cdot 10} = \frac{2}{100} = 0,02 = 2 \; \% $
$P \left( \left\{ RW \right\} \right) = P \left( \left\{ R \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ W \right\} \right) = \frac{1}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{1 \cdot 6}{10 \cdot 10} = \frac{6}{100} = 0,06 = 6 \; \% $
$P \left( \left\{ GR \right\} \right) = P \left( \left\{ G \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ R \right\} \right) = \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{2 \cdot 1}{10 \cdot 10} = \frac{2}{100} = 0,02 = 2 \; \% $
$P \left( \left\{ GG \right\} \right) = P \left( \left\{ G \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ G \right\} \right) = \frac{2}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{2 \cdot 3}{10 \cdot 10} = \frac{6}{100} = 0,06 = 6 \; \% $
$P \left( \left\{ GW \right\} \right) = P \left( \left\{ G \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ W \right\} \right) = \frac{2}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{2 \cdot 6}{10 \cdot 10} = \frac{12}{100} = 0,12 = 12 \; \% $
$P \left( \left\{ WR \right\} \right) = P \left( \left\{ W \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ R \right\} \right) = \frac{7}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{7 \cdot 1}{10 \cdot 10} = \frac{7}{100} = 0,07 = 7 \; \% $
$P \left( \left\{ WG \right\} \right) = P \left( \left\{ W \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ G \right\} \right) = \frac{7}{10} \cdot \frac{2}{10} = \frac{7 \cdot 2}{10 \cdot 10} = \frac{14}{100} = 0,14 = 14 \; \% $
$P \left( \left\{ WW \right\} \right) = P \left( \left\{ W \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ W \right\} \right) = \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 7}{10 \cdot 10} = \frac{49}{100} = 0,49 = 49 \; \% $
Kontrolle: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich $ 100 \; \% $ bzw. Eins.

Aufgabe 6.2

$\blacktriangleright$   Begründen, ob eine Veränderung oder ein Gleichbleiben des Glücksrades wahrscheinlicher ist
Um eine Aussage treffeb zu können, ist es deine Aufgabe, die Wahrscheinlichkeit für eines Veränderung und die Wahrscheinlichkeit für ein Gleichbleiben des Glücksrades zu berechnen und miteinander zu vergleichen. Eine Veränderung tritt ein, wenn beim ersten Drehen des Glücksrades ein roter oder ein grüner Sektor gedreht wird. Das Glücksrad bleibt gleich, wenn ein weißer Sektor gedreht wird. Berechne die beiden Wahrscheinlichkeiten und vegrleiche die Ergebnisse miteinander. $ P(\text{Glücksrad wird verändert}) = P \left( \left\{ R, G \right\} \right) = P \left( \left\{ R \right\} \right) + P \left( \left\{ G \right\} \right) = \dfrac{1}{10} + \dfrac{2}{10} = \dfrac{3}{10} = 0,3 = 30 \; \% $ $ P(\text{Glücksrrad bleibt unverändert}) = P \left( \left\{ W \right\} \right) = \dfrac{7}{10} = 0,7 = 70 \; \% $ Wegen $ P(\text{Glücksrad wird verändert}) = 30 \; \% < 70 \; \% = P(\text{Glücksrrad bleibt unverändert}) $ ist es wahrscheinlicher, dass das Glücksrad gleich bleibt.

Aufgabe 6.2

$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $ \boldsymbol{A}, \; \boldsymbol{B}, \; \boldsymbol{C}, \; \boldsymbol{D}, \; \boldsymbol{E} $ berechnen
Für jedes der im Aufgabentext formulierten Ereignisse besteht deine Aufgabe darin, die zugehörige Wahrscheinlichkeit zu ermitteln.
Jedes Ereignis setzt sich aus den Ergebnissen zusammen, bei denen das Ereignis eingetreten ist. Prüfe jedes Ergebnis im Baumdiagramm darauf hin, ob es zum Ereignis gehört oder nicht. So gelangst du zu einer Beschreibung des Ereignisses in aufzählender Form.
Kontrollergebnisse:
Das Gegenereignis von $A$ ist, dass kein weißer Sektor gedreht wird.
$ P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - P \left( \left\{ RR; \; RG; \; GR; \; GG \right\} \right) $
$ P(B) = P \left( \left\{ RR; \; GG; \; WW \right\} \right) $
Das Gegenereignis von $C$ ist, dass weder der rote noch der grüne Sektor gedreht wird.
$ P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 1 - P \left( \left\{ WW \right\} \right) $
Das Gegenereignis von $D$ ist das Ereignis $B.$
$ P(D) = 1 - P(\overline{B}) $
Die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses kannst du anschließend mit der 2. Pfadadditionsregel berechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Alle Wahrscheinlichkeiten, die in der Auflistung aufgeführt sind, kannst du deiner Tabelle aus Teilaufgabe 6.1 entnehmen und mit dem GTR die Gesamtwahrscheinlichkeit ermitteln. Fülle die Tabelle aus
$ P(A) $$ P(B) $$ P(C) $$ P(D) $
$ 0,88 $$ 0,57 $$ 0,51 $$ 0,43 $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftiche Lösung
Die Wahrscheinlichkeiten können in Prozentschreibweise oder als Bruch– bzw. Dezimalzahl angegeben werden:
\[ \begin{array}{rcl} P(A) &=& 1 - 1 - P \left( \left\{ RR; \; RG; \; GR; \; GG \right\} \right) \\[5pt] &=& 1 - [ P \left( \left\{ RR \right\} \right) + P \left( \left\{ RG \right\} \right) + P \left( \left\{ GR \right\} \right) + P \left( \left\{ GG \right\} \right) ] \\[5pt] &=& 1 - [ 0,02 + 0,02 + 0,02 + 0,06] \\[5pt] &=& 1 - 0,12 \\[5pt] &=& 0,88 \\[5pt] [P(B) &=& P \left( \left\{ RR; \; GG; \; WW \right\} \right) \\[5pt] &=& P \left( \left\{ RR \right\} \right) + P \left( \left\{ GG \right\} \right) + P \left( \left\{ WW \right\} \right) \\[5pt] &=& 0,02 + 0,06 + 0,49 \\ &=& 0,57 \\[5pt] P(C) &=& 1 - P \left( \left\{ WW \right\} \right) \\[5pt] &=& 1 - P \left( \left\{ WW \right\} \right) \\[5pt] &=& 1 - 0,49 \\[5pt] &=& 0,51 \\[5pt] P(D) &=& 1 - P(\overline{B}) \\[5pt] &=& 1 - 0,57 \\[5pt] &=& 0,43 \end{array} \]

Aufgabe 6.4

$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeit berechnen, das der Spieler Gewinn macht
Deine Aufgabe ist es, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, mit welcher der Spieler Gewinn macht. Gewinn bedeutet vereinfacht ausgedrückt, Einnahme vermindert um die Ausgabe des Spielers in einem Spiel. Oder anders ausgdrückt: Gewinn = Auszahlungsbetrag an der Spieler Minus Spieleinsatz des Spielers. Stelle bei dem Auszahlungsplan des Spiels fest, bei welchen Ereignissen er Gewinn macht und bestimme die zugehörige Wahrscheinlichkeit. \[ \begin{array}{rcl} P(\text{Gewinn des Spielers''}) &=& P \left( \left\{ RR; \; RG; \; GR; \; GG \right\} \right) \\[5pt] &=& P \left( \left\{ RR \right\} \right) + P \left( \left\{ RG \right\} \right) + P \left( \left\{ GR \right\} \right) + P \left( \left\{ GG \right\} \right) ] \\[5pt] &=& 0,02 + 0,02 + 0,02 + 0,06 \\[5pt] &=& 0,12 \end{array} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler in einem Spiel Gewinn macht, beträgt $ 0,12 = 12 \, \%.$

Aufgabe 6.5

$\blacktriangleright$   Höhe des Gewinns oder Verlustes des Veranstalters auf lange Sicht pro Spiel berechnen
Deine Aufgabe ist es, den Gewinn oder Verlust des Veranstalters auf lange Sicht zu ermitteln. Immer, wenn dieser Schlüsselbegriff im Aufgabentext erscheint, wird von dir erwartet, den Erwartungswert der Zufallsgröße $ X: Gewinn des Veranstalters je Spiel $ zu bestimmen. Gewinn bedeutet aus Sicht des Veranstalters: Einahme Minus Ausgabe oder Spieleinsatz des Spielers Minus Auszahlungsbetrag an der Spieler. Erstelle mithilfe des Baumdiagramms aus dem Gewinnauszahlungsplan eine Tabelle für die Zufallsgröße $X$ und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
Ergebnis$ RR $$ RG; GR $$ GG $sonst
Gewinnbetrag $x_i$ (in Euro)$ -28,00 $$ -10,50 $$ -3,00 $$ 2,00 $
$ P(X = x_i) $$ 0,02 $$ 0,04 $$ 0,06 $$ 0,88 $
Den Erwartungswert $ E(X) $ berechnest du mithilfe der Formel
$ E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i). $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Du musst also spaltenweise den Auszahlungsbetrag mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit multiplizieren und anschließend alle Produkte aufaddieren. Bei positivem Erwartungswert liegt ein Gewinn, bei negativem Erwartungswert ein Verlust des Veranstalters vor. Wenn der Erwartungswert Null ist, liegt ein faires Spiel vor, weil weder Spieler noch Veranstalter einen Gewinn (Verlust) erzielen.
Wegen $ E(X) = 0,0015 \neq 0 $ ist das Spiel nicht fair.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Setzte die Werte in die Formel ein und berechne das Ergebnis. Prüfe anhand des Ergebnisses, ob das Spiel fair ist.
Wegen \[ \begin{array}{rcl} E(X) &=& (-28,00) \cdot 0,02 + (-10,50) \cdot 0,04 + (-3,00) \cdot 0,06 + 2,00 \cdot 0,88 \\[5pt] &=& -0,56 - 0,42 - 0,18 + 1,76 \\[5pt] &=& -1,16 + 1,76 \\[5pt] &=& 0,60 \end{array} \] Auf lange Sicht macht der Veranstalter einen (durchschnittlichen) Gewinn von $ 0,60 $ Euro je Spiel (bzw. der Spieler einen entsprechenden Verlust).

Aufgabe 6.6

$\blacktriangleright$   Auszahlungsbetrag für das Ereignis $ \boldsymbol{GG} $ so anpassen, dass das Spiel fair ist
Die Aufgabe besteht für dich darin, den Auszahlungsbetrages für das Ereignis $ \boldsymbol{GG} $ so anzupassen, dass das Spiel fair bzw. der Erwartungswert Null ist. Der Spieleinsatz bleibt dabei unverändert. Der bisherige Auszahlungsplan ist anzupassen, folglich soll der bisherige Auszahlungsbetrag für das Ereignis $GG$ von $ x_1 = 0,05 $ Euro erhöht bzw. neu ermittelt werden.
Deine zu bestimmende Größe ist also $x_1,$ und die zugehörige Bedingung $ E(X) = 0 $ Euro. Stelle diese Gleichung auf und löse sie.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR und schriftliche Lösung
\[ \begin{array}{rcll} 0 &=& E(X) \\[5pt] 0 &=& (-28,00) \cdot 0,02 + (-10,50) \cdot 0,04 + x_1 \cdot 0,06 + 2,00 \cdot 0,88 \\[5pt] 0 &=& -0,56 - 0,42 + x_1 \cdot 0,06 + 1,76 \\[5pt] 0 &=& x_1 \cdot 0,06 + 0,78 & & \scriptsize \mid \; - 0,78 \\[5pt] -0,78 &=& x_1 \cdot 0,06 & & \scriptsize \mid \; : 0,06 \\[5pt] - 13 &=& x_1 \end{array} \]
\mathrel{\widehat{=}}Der Auszahlungsbetrag für das Ereignis $ GG $ muss auf $ 15,00 $ Euro angepasst bzw. um 10 Euro erhöht werden, damit das Spiel fair ist.

Aufgabe 6.7

$\blacktriangleright$   Ersetzungsregel vorschlagen und begründen, die für den Spieler vorteilhaft ist
Aus der Teilaufgabe 6.2 weisst du bereits, dass $ P(\text{Gewinn des Spielers''}) = 0,12 $ ist. Suche eine Ersetzungsregel, die diese Wahrscheinlichkeit erhöht. Schaue dir dazu den Auszahlungsplan an, um einen Vorschlag zu erhalten und zu begründen. Änderung der Ersetzungsregel bei gedrehtem grünen Sektor: Tausche den weißen Sektor statt gegen einen grünen gegen einen roten Sektor aus. Statt einer Auszahlung von $5$ Euro für $GG$ erfolgt nun eine Auszahlung von $12,50$ Euro
$\blacktriangleright$   Frage beantworten, ob ein Verzicht auf die ursprüngliche Ersetzungsregel für den Veranstalter günstiger ist
Mache dir anhand des Baumdiagramms und des Auszahlungsplanes klar, was passieren würde, wenn die Ersetzung nicht stattfindet. Für den Veranstalter wäre es günstiger, wenn er auf die beschriebenen Ersetzungsregel verzichtet würde. Begründung: Wenn beim ersten Dreh ein $R$ oder $G$ erscheint, wird ein für den Veranstalter günstiges weißes Feld (ohne Auszahlungsbetrag) ersetzt und durch ein auszahlungspflichtige rotes oder grünes Feld ersetzt.
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