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Aufgabe 7

Aufgaben
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Aufgabe 7

Die Konrad Freudemann GmbH verkauft als alleinige Anbieterin einen multifunktionalen Rasenmäher. Dieser kann mit neuer, patentierter Technik nicht nur das Gras kurz halten, sondern auch die Straßen von Schmutz und Schnee befreien.
Die monatlichen Gesamtkosten des Unternehmens hängen von der Produktionsmenge $x$ (in $\text{ME}$) ab und werden beschrieben durch die Funktion $K$ mit
$K(x)=\dfrac{3}{10.000}x^3-\dfrac{378}{625}x^2+440x+4.000$ ($K$ in Geldeinheiten)
Die Preis-Absatz-Funktion ist gegeben durch $p(x)=339,05-0,2x$.
7.1
Gib den Funktionsterm für den monatlichen Gesamterlös in Abhängigkeit von der Produktionsmenge $x$ an.
Zeichne die Schaubilder der Kosten- und Erlösfunktion für $0\leq x\leq 1.200$ in ein gemeinsames Koordinatensystem.
(4P)
7.2
Berechne, wie viele Rasenmäher die GmbH mindestens verkaufen muss, um einen Gewinn zu erzielen.
Ermittle den maximalen Gewinn des Unternehmens.
Veranschauliche beide Ergebnisse im Schaubild aus Aufgabe 7.1
Wie hoch ist der gewinnmaximale Preis in $\text{GE}$ (Geldeinheiten)?
(7P)
Das Patent der Konrad Freudemann GmbH ist ausgelaufen und das Unternehmen muss sich den Markt für multifunktionale Rasenmäher mit vielen Anbietern aus Osteuropa und Asien teilen.
7.3
Berechne den Marktpreis (Preis pro ME), wenn im Gewinnmaximum genau $1.025\,\text{ME}$ verkauft werden.
(3P)
7.4
Der Geschäftsführer meint: „Bei einem Marktpreis von $142\,\text{GE}$ erreichen wir unseren maximalen Gewinn pro ME, wenn wir $1.000\,\text{ME}$ produzieren.“
Überprüfe diese Aussage auf ihren Wahrheitsgehalt.
(4P)
7.5
Berechne das Betriebsminimum. Gib den Preis an, zu dem das Produkt mindestens verkauft werden muss, um die variablen Kosten zu decken.
(4P)
Die für die Rasenmäher benötigten Schrauben werden firmenintern auf einer alten und auf einer neuen Maschine hergestellt. Durch Stichprobenkontrollen ergeben sich für die Verteilung der Schraubendurchmesser folgende Daten:
MittelwertStandartabweichung
Maschine A$10,0\,\text{mm}$$0,05\,\text{mm}$
Maschine B$10,0\,\text{mm}$$0,065\,\text{mm}$
Eine Schraube zählt als Ausschussware, wenn ihr Durchmesser um mehr als $1\,\%$ vom Sollwert $10,0\,\text{mm}$ abweicht. Sie wird dann entsorgt.
7.6
Es wird angenommen, dass die Verteilungen der Schraubendurchmesser normalverteilt sind.
Berechne die Ausschussquoten der beiden Maschinen in Prozent.
(4P)
7.7
Auf einer dritten Maschine C werden $1.000$ Schrauben als Stichprobe entnommen. Die Messwerte
werden in einer Tabelle aufgenommen.
Vergleiche diese Maschine mit den Maschinen A und B.
Ist es sinnvoll, die Produktion auf Maschine C weiter zu betreiben?
Durchmesser in $\text{mm}$$9,5$-
$9,6$
$9,6$-
$9,7$
$9,7$-
$9,8$
$9,8$-
$9,9$
$9,9$-
$10,0$
$10,0$-
$10,1$
$10,1$-
$10,2$
$10,2$-
$10,3$
$10,3$-
$10,4$
$10,4$-
$10,5$
Anzahl$1$$2$$40$$67$$338$ $379$$133$$35$$3$$2$
(4P)

(30P)
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Tipps
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Aufgabe 6 entfällt ab 2018.
Hinweis: Alle Berechnungen können mit einem GTR von CASIO durchgeführt werden; eine schriftliche Lösung ist überweigend jedoch nicht möglich. Eine Unterscheidung zwischen einer Lösung mit einem GTR und einer schriftlichen Lösung entfällt aus diesem Grund.
Nimm die Formelsammlung zum Wahlgebiet ,,Mathematik in der Praxis" zur Hand, um die im Aufgabentext vorkommenden Fachbegriffe der Kostentheorie den mathematischen Fachbegriffen zuordnen zu können.

Aufgabe 7.1

$\blacktriangleright$   Gesamterlösfunktion $ \boldsymbol{E(x)} $ für Monopolstellung bestimmen
Du sollst die Gesamterlösfunktion bestimmen. Sie ist durch die Formel
$\boldsymbol{E(x) = p \cdot x} $ bei konstantem Stückpreis $ \boldsymbol{p} $
bzw.
$\boldsymbol{E(x) = p (x) \cdot x} $ bei stückzahlabhängigem Stückpreis $ \boldsymbol{p(x)} $
gegeben. Untersuche den Text daraufhin, welche Erlösfunktion die richtige ist und gib die Gleichung des Funktionsterms an.
Die Preis–Absatz–Funktion ist durch $ p(x) = 339,05 - 0,2 \cdot x $ gegeben, weil das Unternehmen Monopolist ist. Folglich ist Erlösfunktion
$ E(x) = P(x) \cdot x = (339,05 - 0,2 \cdot x) \cdot x = -0,2 \cdot x^2 + 339,05 \cdot x \; \text{GE} $ (Geldeinheiten).
$\blacktriangleright$   Schaubilder von $ \boldsymbol{E} $ und $ \boldsymbol{K} $ zeichnen
Wenn du ein Schaubild einer Funktion willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte sie in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebenen Funktion $E$ und $K$ ist eine Darstellung im Bereich $ 0 \leq x \leq 1.200 $ vorgegeben und deshalb $ 0 \leq y \leq 160.000 $ sinnvoll, weil das Wesentliche der Schaubilder dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit auf der $x$–Achse entspricht 1 cm und 20.000 Längeneinheiten auf der $y$–Achse 1 cm.

Aufgabe 7.2

$\blacktriangleright$   Nutzenschwelle berechnen
Du sollst die Mindestverkaufszahl der Rasenmäher bestimmen, um einen Gewinn zu erzielen. Die Nutzenschwelle ist genau diese Produktionsmenge, für die Erlös und Kosten erstmalig übereinstimmen, der Gewinn somit Null ist. An dieser Nullstelle der Gewinnfunktion $ G(x) = E(x) - K(x) $ wechselt $G$ das Vorzeichen von ,,$-$'' nach ,,$+$''.
Die Nutzengrenze ist übriegns diejenige Produktionsmenge, für die Erlös und Kosten letztmalig übereinstimmen, der Gewinn somit Null ist. An dieser Nullstelle der Gewinnfunktion $ G(x) = E(x) - K(x) $ wechselt $G$ das Vorzeichen von ,,$+$'' nach ,,$-$''.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von CASIO
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü ISCT auf, um die Schnittstellen der Funktionen $E$ und $K$ zu berechnen. Alternativ kannst du das Untermenü ROOT anwenden, um die Nullstellen der Funktion $G$ zu ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von TI
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe nach Eingabe der Funktionsterme CALCULATE 5 : intersect auf, um die Schnittstellen der Funktionen $E$ und $K$ zu berechnen. Alternativ kannst du die Gewinnfunktion eingeben und CALCULATE 2 : zero anwenden, um die Nullstellen der Funktion $G$ zu ermitteln.
$\blacktriangleright$   Gewinnmaximale Produktionsmenge und maximalen Gewinn berechnen
Deine Aufgabe ist es, den maximalen Gewinn und diejenige Produktionsmenge zu ermitteln, bei welcher der Gewinn maximal wird. Die Gewinnfunktion ist festgelegt durch die Gleichung
$ \boldsymbol{G(x) = E(x) - K(x)} $
und in dieser Aufgabe eine ganzrationale Funktion dritten Grades, weil $K$ eine Funktion drittes Grades und $E$ eine Funktion zweiten Grades ist. Die Differenzfunktion besitzt genau einen Hochpunkt. Bestimme diesen Hochpunkt mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von CASIO
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü MAX auf, um die Maximalstelle $ x_{max} $ und das Maximum $ G(x_{max}) $ der Funktion $G$ zu berechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von TI
Die Lösungen kannst du mit dem GTR nach Eingabe der Gewinnfunktion $G$ berechnen, indem du CALCULATE 4 : maximum auf, um die Maximalstelle $ x_{max} $ und das Maximum $ G(x_{max}) $ der Funktion $G$ zu berechnen.
$\blacktriangleright$   Gewinnmaximale Produktionsmenge und maximalen Gewinn im Schaubild verdeutlichen
Die Ergebnisse, die du berechnest hast, sollst du nun im Schaubild aus Teilaufgabe 7.1 eintragen und sie dadurch verdeutlichen.
$\blacktriangleright$   Gewinnmaximalen Preis bestimmen
Da du die gewinnmaximale Produktionsmenge kennst, wird von dir hier nur verlangt, diesen Wert in die Preis–Absatz–Funktions einzusetzen und auszurechnen.

Aufgabe 7.3

$\blacktriangleright$   Marktpreis (Preis pro ME) im Gewinnmaximum ohne Monopolstellung berechnen
Du sollst bei geänderter Markposition des Unternehmens den Marktpreis bestimmen, wenn im Gewinnmaximum genau $ 1250 $ ME verkauft werden. Die GmbH ist nun kein Monopol mehr ist, so dass ein konstanter Preis $p$ (unabhängig von der Absatzmenge $x$) exiistiert. Informiere Dich in Teilaufgabe 7.1, wie die Erlösfunktion nunmehr lautet. Stelle die Erlösfunktion und anschließend die neue Gewinnfunktion auf. Welche Bedingung gilt im Gewinnmaximum?
Kontrollergebnis: Die Erlösfunktion ist $ E(x) = p \cdot x. $ Durch den Wegfall des Monopols gilt $ G(x) = p \cdot x - K(x) $ und $ G(x_{max} = p - K'(x) $
Für eine gewinnmaximale Absatzmenge von genau $ x = 1.025 $ ME gilt im Gewinnmaximum gilt $ G'(1.025) = p - K'(1.025) = 0 $ und somit $ p = K'(1025) .$
Mit dem GTR von CASIO und TI kannst du den Marktpreis berechnen mithilfe des TABLE–Menüs oder Graph–Menüs berechnen, wenn du die Kostenfunktion $K$ als Funktion bei $Y1 $ eingibt und die Steigung automatisch berechnen lässt.

Aufgabe 7.4

$\blacktriangleright$   Aussage des Geschäftführers überprüfen
Der Geschäftsführer behauptet: ,,Bei einem Martkpreis von $142$ GE erreichen wir unseren maximalen Gewinn pro ME, wenn wir $ 1.000 $ produzieren.'' Du sollst prüfen, ob diese Aussage wahr ist.
Aus Teilaufgabe 7.3 kennst du die Gewinnfunktion $ G(x) = p \cdot x - K(x). $ Der Gewinn pro ME ist folglich die Funktion \[ \dfrac{G(x)}{x} = \dfrac{p \cdot x - K(x)}{x} = \dfrac{p \cdot x}{x} - \dfrac{K(x)}{x} = p - \dfrac{K(x)}{x}. \] Weil der Preis konstant ist, wird das Gewinnmaximum im Minimum der Stückostenfunktion $ k(x) = \dfrac{K(x)}{x} $ angenommen, und zwar unabhängig vom Marktpreis $p.$ Es gilt also, das Betriebsoptimum zu bestimmen.
Der Formelsammlung hilft dir dabei, wie du das Betriebsoptimum berechnen kannst. Dazu gilt es, die Stückkostenfunktion aufzustellen. Sie ist bestimmt durch die Gleichung
$ \boldsymbol{k(x) = \dfrac{K(x)}{x}}. $
Stelle den Funktionsterm auf.
\[ \begin{array}[t]{rcll} k(x) &=& \dfrac{K(x)}{x} & \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{3}{10.000} \cdot x^3 - \frac{378}{625} \cdot x^2 + 440 \cdot x + 4.000}{x} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{10.000} \cdot x^2 - \dfrac{378}{625} \cdot x + 440 + \dfrac{4.000}{x} \\[5pt] \end{array} \]
Das Betriebsoptimum $ x_{opt} $ ist die Minimalstelle der Stückkostenfunktion $k.$ Die langfristige Preisuntergrenze ist als der Funktionswert $ k(x_{opt}) $ festgelegt. Bestimme den Tiefpunkt dieser Funktion mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von CASIO
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü MIN auf, um die Minimalstelle $ x_{opt} $ und das Minimum $ k(x_{opt}) $ der Funktion $k$ zu ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von TI
Die Lösungen kannst du nach Eingabe der Funktion in den GTR berechnen, wenn du CALCULATE 3 : minimum auf, um die Minimalstelle $ x_{opt} $ und das Minimum $ k(x_{opt}) $ der Funktion $k$ zu ermitteln.

Aufgabe 7.4

$\blacktriangleright$   Betriebsminimum berechnen
Du sollst das Betriebsminimum ermitteln. Das Betriebsminimum ist das Minimum der variablen Stückkostenfunktion.
$ \boldsymbol{k_v(x) = \dfrac{K_v(x)}{x}}. $
Stelle den Funktionsterm auf.
\[ \begin{array}[t]{rcll} k_v(x) &=& \dfrac{K_v(x)}{x} & \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{3}{10.000} \cdot x^3 - \frac{378}{625} \cdot x^2 + 440 \cdot x}{x} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{10.000} \cdot x^2 - \dfrac{378}{625} \cdot x + 440 \\[5pt] \end{array} \]
Bestimme das Betriebsminimum wie das Betriebsoptimum.
$\blacktriangleright$   Mindestpreis (kurzfristige Preisuntergrenze für die Deckung der variablen Kosten berechnen
Der Mindestpreis entspricht der kurzfristigen Preisuntergrenze bzw. dem Wert der variablen Stückkosten in ihrem Betriebsminimum. Du sollst diesen Wert mithilfe der variablen Stückkostenfunktion berechnen. Verwende z. B. das TABLE–Menü dazu.

Aufgabe 7.6

$\blacktriangleright$   Ausschussquote der Maschinen $A$ und $B$ in Prozent berechnen
Deine Aufgabe besteht darin, die Ausschussquote zu ermitteln, wenn der Durchmesser einer Schraube um mehr als $ 1 \; \% $ vom Sollwert $ 10,00 mm $ abweicht. Berechne $ 1 \; \% $ von $ 10,00 mm $ und bestimme den Bereich, in dem der Durchmesser der Schraube liegen soll, wenn sie nicht aussortiert wird.
$ 1 \; \% $ von $ 10,00 mm $ sind $ 0,1 mm. $ Der Bereich ist das Intervall von $ [9,9 ; \; 10,1]. $
Aussschuss bedeutet, dass der Durchmesser außerhalb des Bereichs $ 9,9 \leq d \leq 10,1 $ liegt. Er ist hier festgelegt durch eine normalverteilte Zufallsgröße $\boldsymbol{X}$, die den Durchmesser einer Schraube angibt. Dem Aufgabentext kannst du den Mittelwert $ \mu = 10,00 \, \text{mm} $ und die Standardabweichung $ \sigma_A = 0,05 \, \text{mm} $ für Maschine $A$ bzw. $ \sigma_B = 0,065 \, \text{mm} $ für Maschine $B$ der Normalverteilung entnehmen. Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten (Ausschussquoten) \[ P_A( X \notin [9,9; \; 10,1]) = 1 - P_A( X \in [9,9; \; 10,1]) \] bzw. \[ P_B( X \notin [9,9; \; 10,1]) = 1 - P_B( X \in [9,9; \; 10,1]) \] Aus den Daten für die Normalverteilung kannst du die Wahrscheinlichkeit $ P( X \in [3,19; \; 3,21]) $ mithilfe deines GTR ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von CASIO
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Run–Menü berechnen. Nach Aufruf des Menüs gibst du die Tastaturfolge
OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ NORM $\to$ Ncd (Untergrenze,Obergenze,$ \boldsymbol{\sigma, \mu} $) $\to$ EXE
ein.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von TI
Die Lösungen kannst du mit dem GTR durch Aufruf der Tastaturfolge
DISTR $\to$ 1 : normalcdf( $\to$ ENTER
berechnen. Du änderst die Untergrenze, die Obergrenze, den Mittelwert und die Standardabweichung und steuerst Paste an.
Mit dem Ergebnis berechnest du schließlich die gesuchte Ausschussquote.

Aufgabe 7.7

$\blacktriangleright$   Mittlerer Innendurchmesser und Standardabweichung bestimmen
Aus den Daten der gegebenen Häufigkeitsverteilung sollst du den mittleren Innendurchmesser $ \mu $ und die Standardabweichung $ \sigma $ für die Maschine $C$ mithilfe deines GTR ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von CASIO
Die Lösungen kannst du mit dem GTR von CASIO im Statistik(STAT)–Menü berechnen. Nach Aufruf des Menüs gibst du die Werte der Häufigkeitsverteilung ein:
  1. In Liste 1 werden die gemessenen Durchmesser (Merkmalsausprägungen) eingetragen.
  2. In Liste 2 gehören die Anzahlen, wie oft jeweils der gemessene Durchmesser aufgetreten ist (absolute Häufigkeit).
Beachte, dass dein GTR die richtigen Einstellungen für die Auswertung der Stichprobe besitzt. Rufe das Untermenü SET auf, um die Einstellungen zu überprüfen bzw. gegebenenfalls zu ändern. Der GTR erwartet für die Auswertung, dass die Merkmale in Liste 1 und die Anzahlen in Liste 2 stehen:
Aufgabe 7
[Abb. 12]: SET–Einstellungen
Aufgabe 7
[Abb. 12]: SET–Einstellungen
Schließlich rufst du die Auswertung mit der Tastaturfolge
CALC $\to$ 1–VAR $\to$ EXE
auf und notierst die Ergebnisse.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von TI
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Statistik(STAT)–Menü berechnen. Nach Aufruf des Menüs wählst du EDIT und gibst du die Werte der Häufigkeitsverteilung ein:
  1. In Liste 1 werden die gemessenen Durchmesser (Merkmalsausprägungen) eingetragen.
  2. In Liste 2 gehören die Anzahlen, wie oft jeweils der gemessene Durchmesser aufgetreten ist (absolute Häufigkeit).
Beachte, dass dein GTR die richtigen SET–Einstellungen für die Auswertung der Stichprobe besitzt. Die Einstellungen rufst du mit
STAT $\to$ CALC $\to$ 1 : 1–Var Stats $\to$ ENTER
auf. Der GTR erwartet für die Auswertung, dass die Merkmale in Liste 1 und die Anzahlen in Liste 2 stehen.
Aufgabe 7
[Abb. 12]: SET–Einstellungen
Aufgabe 7
[Abb. 12]: SET–Einstellungen
Die Auswertung steuerst du über die Auswahl von Calculate an und notierst die Ergebnisse.
$\blacktriangleright$   Ausschussquote der Maschine $C$ in Prozent berechnen
Die Ausschussquote bestimmst du für Maschine $C$ wie in Teilaufgabe 7.6, jedoch mit den geänderten Werten für den Mittelwert und die Standaradabweichung.
$\blacktriangleright$   Produktivität der Maschine $C$ beurteilen
Anhand der ermittelten Werte für Maschine $C$ kannst du jetzt beurteilen, ob ihr weiterer Einsatz sinnvoll ist.
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Aufgabe 6 entfällt ab 2018.
Hinweis: Alle Berechnungen können mit einem GTR von CASIO durchgeführt werden; eine schriftliche Lösung ist überweigend jedoch nicht möglich. Eine Unterscheidung zwischen einer Lösung mit einem GTR und einer schriftlichen Lösung entfällt aus diesem Grund.
Nimm die Formelsammlung zum Wahlgebiet ,,Mathematik in der Praxis" zur Hand, um die im Aufgabentext vorkommenden Fachbegriffe der Kostentheorie den mathematischen Fachbegriffen zuordnen zu können.

Aufgabe 7.1

$\blacktriangleright$   Gesamterlösfunktion $ \boldsymbol{E(x)} $ für Monopolstellung bestimmen
Du sollst die Gesamterlösfunktion bestimmen. Sie ist durch die Formel
$\boldsymbol{E(x) = p \cdot x} $ bei konstantem Stückpreis $ \boldsymbol{p} $
bzw.
$\boldsymbol{E(x) = p (x) \cdot x} $ bei stückzahlabhängigem Stückpreis $ \boldsymbol{p(x)} $
gegeben. Untersuche den Text daraufhin, welche Erlösfunktion die richtige ist und gib die Gleichung des Funktionsterms an.
Die Preis–Absatz–Funktion ist durch $ p(x) = 339,05 - 0,2 \cdot x $ gegeben, weil das Unternehmen Monopolist ist. Folglich ist Erlösfunktion
$ E(x) = P(x) \cdot x = (339,05 - 0,2 \cdot x) \cdot x = -0,2 \cdot x^2 + 339,05 \cdot x \; \text{GE} $ (Geldeinheiten).
$\blacktriangleright$   Schaubilder von $ \boldsymbol{E} $ und $ \boldsymbol{K} $ zeichnen
Wenn du ein Schaubild einer Funktion willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte sie in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebenen Funktion $E$ und $K$ ist eine Darstellung im Bereich $ 0 \leq x \leq 1.200 $ vorgegeben und deshalb $ 0 \leq y \leq 160.000 $ sinnvoll, weil das Wesentliche der Schaubilder dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit auf der $x$–Achse entspricht 1 cm und 20.000 Längeneinheiten auf der $y$–Achse 1 cm.
Aufgabe 7
[Abb. 1]: Schaubilder der Funktionen $E$ und $K$
Aufgabe 7
[Abb. 1]: Schaubilder der Funktionen $E$ und $K$

Aufgabe 7.2

$\blacktriangleright$   Nutzenschwelle berechnen
Du sollst die Mindestverkaufszahl der Rasenmäher bestimmen, um einen Gewinn zu erzielen. Die Nutzenschwelle ist genau diese Produktionsmenge, für die Erlös und Kosten erstmalig übereinstimmen, der Gewinn somit Null ist. An dieser Nullstelle der Gewinnfunktion $ G(x) = E(x) - K(x) $ wechselt $G$ das Vorzeichen von ,,$-$'' nach ,,$+$''.
Die Nutzengrenze ist übriegns diejenige Produktionsmenge, für die Erlös und Kosten letztmalig übereinstimmen, der Gewinn somit Null ist. An dieser Nullstelle der Gewinnfunktion $ G(x) = E(x) - K(x) $ wechselt $G$ das Vorzeichen von ,,$+$'' nach ,,$-$''.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü ISCT auf, um die Schnittstellen der Funktionen $E$ und $K$ zu berechnen. Alternativ kannst du das Untermenü ROOT anwenden, um die Nullstellen der Funktion $G$ zu ermitteln.
Aufgabe 7
[Abb. 2]: Ergebnis für die Nutzenschwelle
Aufgabe 7
[Abb. 2]: Ergebnis für die Nutzenschwelle
Aufgabe 7
[Abb. 3]: Ergebnis für die Nutzengrenze
Aufgabe 7
[Abb. 3]: Ergebnis für die Nutzengrenze
Die Gewinnfunktion besitzt die Nullstelle (die Nutzenschwelle) $ x_{NS} = 384,8 \; \text{ME}. $ Das Unternehmen muss mindestens $385$ Rasenmäher verkaufen, um einen Gewinn zu erzielen.
Bemerkung: Die Nutzengrenze liegt bei etwa $ x_{NG} \approx 1.000 \; \text{ME}. $
$\blacktriangleright$   Gewinnmaximale Produktionsmenge und maximalen Gewinn berechnen
Deine Aufgabe ist es, den maximalen Gewinn und diejenige Produktionsmenge zu ermitteln, bei welcher der Gewinn maximal wird. Die Gewinnfunktion ist festgelegt durch die Gleichung
$ \boldsymbol{G(x) = E(x) - K(x)} $
und in dieser Aufgabe eine ganzrationale Funktion dritten Grades, weil $K$ eine Funktion drittes Grades und $E$ eine Funktion zweiten Grades ist. Die Differenzfunktion besitzt genau einen Hochpunkt. Bestimme diesen Hochpunkt mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR nach Eingabe der Gewinnfunktion $G$ berechnen, indem du CALCULATE 4 : maximum auf, um die Maximalstelle $ x_{max} $ und das Maximum $ G(x_{max}) $ der Funktion $G$ zu berechnen.
Aufgabe 7
[Abb. 4]: Hochpunkt der Gewinnfunktion $G$
Aufgabe 7
[Abb. 4]: Hochpunkt der Gewinnfunktion $G$
Die gewinnmaximale Produktionsmenge ist etwa $ x_{max} \approx 750 \; \text{ME} $ (Rasenmäher) und der maximale Gewinn liegt bei etwa $ G(x_{max}) \approx 21.4254 \; \text{GE}. $
$\blacktriangleright$   Gewinnmaximale Produktionsmenge und maximalen Gewinn im Schaubild verdeutlichen
Die Ergebnisse, die du berechnest hast, sollst du nun im Schaubild aus Teilaufgabe 7.1 eintragen und sie dadurch verdeutlichen.
Aufgabe 7
[Abb. 5]: Gewinnmaximale Produnktionsmenge und maximaler Gewinn
Aufgabe 7
[Abb. 5]: Gewinnmaximale Produnktionsmenge und maximaler Gewinn
$\blacktriangleright$   Gewinnmaximalen Preis bestimmen
Da du die gewinnmaximale Produktionsmenge kennst, wird von dir hier nur verlangt, diesen Wert in die Preis–Absatz–Funktions einzusetzen und auszurechnen.
Der gewinnmaximale Preis beträgt $ p(750) = 339,05 - 0,2 \cdot 750 = 189,05 \; \text{GE.} $

Aufgabe 7.3

$\blacktriangleright$   Marktpreis (Preis pro ME) im Gewinnmaximum ohne Monopolstellung berechnen
Du sollst bei geänderter Markposition des Unternehmens den Marktpreis bestimmen, wenn im Gewinnmaximum genau $ 1250 $ ME verkauft werden. Die GmbH ist nun kein Monopol mehr ist, so dass ein konstanter Preis $p$ (unabhängig von der Absatzmenge $x$) exiistiert. Informiere Dich in Teilaufgabe 7.1, wie die Erlösfunktion nunmehr lautet. Stelle die Erlösfunktion und anschließend die neue Gewinnfunktion auf. Welche Bedingung gilt im Gewinnmaximum?
Kontrollergebnis: Die Erlösfunktion ist $ E(x) = p \cdot x. $ Durch den Wegfall des Monopols gilt $ G(x) = p \cdot x - K(x) $ und $ G(x_{max} = p - K'(x) $
Für eine gewinnmaximale Absatzmenge von genau $ x = 1.025 $ ME gilt im Gewinnmaximum gilt $ G'(1.025) = p - K'(1.025) = 0 $ und somit $ p = K'(1025) .$
Mit dem GTR von CASIO und TI kannst du den Marktpreis berechnen mithilfe des TABLE–Menüs oder Graph–Menüs berechnen, wenn du die Kostenfunktion $K$ als Funktion bei $Y1 $ eingibt und die Steigung automatisch berechnen lässt: $ p \approx 145,72 $ GE/ME.
Aufgabe 7
[Abb. 6]: Ergebnis im TABLE–Menü
Aufgabe 7
[Abb. 6]: Ergebnis im TABLE–Menü
Aufgabe 7
[Abb. 7]: Ergebnis im GRAPH–Menü
Aufgabe 7
[Abb. 7]: Ergebnis im GRAPH–Menü
Der Marktpreis beträgt $ 145,72 $ GE/ME, wenn im Gewinnmaximum $ 1.025 $ ME verkauft werden.

Aufgabe 7.4

$\blacktriangleright$   Aussage des Geschäftführers überprüfen
Der Geschäftsführer behauptet: ,,Bei einem Martkpreis von $142$ GE erreichen wir unseren maximalen Gewinn pro ME, wenn wir $ 1.000 $ produzieren.'' Du sollst prüfen, ob diese Aussage wahr ist. Aus Teilaufgabe 7.3 kennst du die Gewinnfunktion $ G(x) = p \cdot x - K(x). $ Der Gewinn pro ME ist folglich die Funktion \[ \dfrac{G(x)}{x} = \dfrac{p \cdot x - K(x)}{x} = \dfrac{p \cdot x}{x} - \dfrac{K(x)}{x} = p - \dfrac{K(x)}{x}. \] Weil der Preis konstant ist, wird das Gewinnmaximum im Minimum der Stückostenfunktion $ k(x) = \dfrac{K(x)}{x} $ angenommen, und zwar unabhängig vom Marktpreis $p.$ Es gilt also, das Betriebsoptimum zu bestimmen.
Der Formelsammlung hilft dir dabei, wie du das Betriebsoptimum berechnen kannst. Dazu gilt es, die Stückkostenfunktion aufzustellen. Sie ist bestimmt durch die Gleichung
$ \boldsymbol{k(x) = \dfrac{K(x)}{x}}. $
Stelle den Funktionsterm auf.
\[ \begin{array}[t]{rcll} k(x) &=& \dfrac{K(x)}{x} & \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{3}{10.000} \cdot x^3 - \frac{378}{625} \cdot x^2 + 440 \cdot x + 4.000}{x} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{10.000} \cdot x^2 - \dfrac{378}{625} \cdot x + 440 + \dfrac{4.000}{x} \\[5pt] \end{array} \]
Das Betriebsoptimum $ x_{opt} $ ist die Minimalstelle der Stückkostenfunktion $k.$ Die langfristige Preisuntergrenze ist als der Funktionswert $ k(x_{opt}) $ festgelegt. Bestimme den Tiefpunkt dieser Funktion mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü MIN auf, um die Minimalstelle $ x_{opt} $ und das Minimum $ k(x_{opt}) $ der Funktion $k$ zu ermitteln.
Aufgabe 7
[Abb. 8]: Tiefpunkt der Funktion $k$
Aufgabe 7
[Abb. 8]: Tiefpunkt der Funktion $k$
Das Betriebsoptimum ist etwa $ x_{opt} \approx 1.014 \; \text{ME}. $ Die Aussage des Geschäftsführers ist falsch.

Aufgabe 7.4

$\blacktriangleright$   Betriebsminimum berechnen
Du sollst das Betriebsminimum ermitteln. Das Betriebsminimum ist das Minimum der variablen Stückkostenfunktion.
$ \boldsymbol{k_v(x) = \dfrac{K_v(x)}{x}}. $
Stelle den Funktionsterm auf.
\[ \begin{array}[t]{rcll} k_v(x) &=& \dfrac{K_v(x)}{x} & \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{3}{10.000} \cdot x^3 - \frac{378}{625} \cdot x^2 + 440 \cdot x}{x} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{10.000} \cdot x^2 - \dfrac{378}{625} \cdot x + 440 \\[5pt] \end{array} \]
Bestimme das Betriebsminimum wie das Betriebsoptimum. Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü MIN auf, um die Minimalstelle $ x_{opt} $ und das Minimum $ k(x_{opt}) $ der Funktion $k$ zu ermitteln.
Aufgabe 7
[Abb. 9]: Tiefpunkt der Funktion $k_v$
Aufgabe 7
[Abb. 9]: Tiefpunkt der Funktion $k_v$
Das Betriebsminimum entspricht $ x = 1.008 \; \text{ME.} $
$\blacktriangleright$   Mindestpreis (kurzfristige Preisuntergrenze für die Deckung der variablen Kosten berechnen
Der Mindestpreis entspricht der kurzfristigen Preisuntergrenze bzw. dem Wert der variablen Stückkosten in ihrem Betriebsminimum. Du sollst diesen Wert mithilfe der variablen Stückkostenfunktion berechnen. Verwende z. B. das TABLE–Menü dazu.
$ k_v (1008) = 135,1808 \; \text{GE.} $
Das Produkt muss mindestens für $ 135,19 \; \text{GE} $ verkauft werden.

Aufgabe 7.6

$\blacktriangleright$   Ausschussquote der Maschinen $A$ und $B$ in Prozent berechnen
Deine Aufgabe besteht darin, die Ausschussquote zu ermitteln, wenn der Durchmesser einer Schraube um mehr als $ 1 ; /% $ vom Sollwert $ 10,00 mm $ abweicht. Berechne $ 1 ; /% $ von $ 10,00 mm $ und bestimme den Bereich, in dem der Durchmesser der Schraube liegen soll, wenn sie nicht aussortiert wird.
$ 1 ; /% $ von $ 10,00 mm $ sind $ 0,1 mm. $ Der Bereich ist das Intervall von $ [9,9 ; \; 10,1]. $
Aussschuss bedeutet, dass der Durchmesser außerhalb des Bereichs $ 9,1 \leq d \leq 10,1 $ liegt. Er ist hier festgelegt durch eine normalverteilte Zufallsgröße $\boldsymbol{X}$, die den Durchmesser einer Schraube angibt. Dem Aufgabentext kannst du den Mittelwert $ \mu = 10,00 \, \text{mm} $ und die Standardabweichung $ \sigma_A = 0,05 \, \text{mm} $ für Maschine $A$ bzw. $ \sigma_B = 0,065 \, \text{mm} $ für Maschine $B$ der Normalverteilung entnehmen. Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten (Ausschussquoten) \[ P_A( X \notin [9,9; \; 10,1]) = 1 - P_A( X \in [9,9; \; 10,1]) \] bzw. \[ P_B( X \notin [9,9; \; 10,1]) = 1 - P_B( X \in [9,9; \; 10,1]) \] Aus den Daten für die Normalverteilung kannst du die Wahrscheinlichkeit $ P( X \in [3,19; \; 3,21]) $ mithilfe deines GTR ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR durch Aufruf der Tastaturfolge
DISTR $\to$ 1 : normalcdf( $\to$ ENTER
berechnen. Du änderst die Untergrenze, die Obergrenze, den Mittelwert und die Standardabweichung und steuerst Paste an. Mit dem Ergebnis berechnest du schließlich die gesuchte Ausschussquote.
Aufgabe 7
[Abb. 10]: Ergebnis $ P( X \in [9,9; \; 10,1]) $
Aufgabe 7
[Abb. 10]: Ergebnis $ P( X \in [9,9; \; 10,1]) $
Die Ausschussquote beträgt näherungsweise \[ P_A( X \notin [9,9; \; 10,1]) = 1 - P_A( X \in [9,9; \; 10,1] \approx 1 - 0,9544997361 \approx 0,0455 = 4,55 \, \% \] bzw. \[ P_B( X \notin [9,9; \; 10,1]) = 1 - P_B( X \in [9,9; \; 10,1] \approx 1 - 0,876061943 \approx 0,124 = 12,4 \, \% \]
Es entsteht ein Ausschuss für die Schrauben, die auf Maschine $A$ produziert werden, von etwa $ 4,55 \, \% $ und ein Ausschuss für die Schrauben, die auf Maschine $B$ produziert werden, von etwa $ 12,4 \, \%. $

Aufgabe 7.7

$\blacktriangleright$   Mittlerer Innendurchmesser und Standardabweichung bestimmen
Aus den Daten der gegebenen Häufigkeitsverteilung sollst du den mittleren Innendurchmesser $ \mu $ und die Standardabweichung $ \sigma $ für die Maschine $C$ mithilfe deines GTR ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR von CASIO im Statistik(STAT)–Menü berechnen. Nach Aufruf des Menüs gibst du die Werte der Häufigkeitsverteilung ein:
  1. In Liste 1 werden die gemessenen Durchmesser (Mittelwert der Merkmalsausprägungen) eingetragen.
  2. In Liste 2 gehören die Anzahlen, wie oft jeweils der gemessene Durchmesser aufgetreten ist (absolute Häufigkeit).
Beachte, dass dein GTR die richtigen Einstellungen für die Auswertung der Stichprobe besitzt. Rufe das Untermenü SET auf, um die Einstellungen zu überprüfen bzw. gegebenenfalls zu ändern. Der GTR erwartet für die Auswertung, dass die Merkmale in Liste 1 und die Anzahlen in Liste 2 stehen:
Aufgabe 7
[Abb. 11]: Eingabe der Stichprobenwerte
Aufgabe 7
[Abb. 11]: Eingabe der Stichprobenwerte
Aufgabe 7
[Abb. 12]: SET–Einstellungen
Aufgabe 7
[Abb. 12]: SET–Einstellungen
Schließlich rufst du die Auswertung mit der Tastaturfolge
STAT $\to$ CALC $\to$ 1 : 1–Var Stats $\to$ ENTER
auf und notierst die Ergebnisse.
Aufgabe 7
[Abb. 13]: Ergebnisse für $ \mu $ und $ \sigma $
Aufgabe 7
[Abb. 13]: Ergebnisse für $ \mu $ und $ \sigma $
Ergebnisse der Stichprobe für Maschine $C:$ Der mittlere Innendurchmesser beträgt $ \mu = 10,01 \; \text{mm} $ und die Standardabweichung ist etwa $ \sigma \approx 0,11 \; \text{mm}. $
$\blacktriangleright$   Ausschussquote der Maschine $C$ in Prozent berechnen
Die Ausschussquote bestimmst du für Maschine $C$ wie in Teilaufgabe 7.6, jedoch mit den geänderten Werten für den Mittelwert und die Standaradabweichung.
Die Ausschussquote beträgt näherungsweise \[ P_C( X \notin [9,9; \; 10,1]) = 1 - P_C( X \in [9,9; \; 10,1] \approx 1 - 0,6347181132 \approx 0,3653 = 36,53 \, \% \]
$\blacktriangleright$   Produktivität der Maschine $C$ beurteilen
Anhand der ermittelten Werte für Maschine $C$ kannst du jetzt beurteilen, ob ihr weiterer Einsatz sinnvoll ist.
Aufgrund des hohen Ausschusses von Maschine $C$ ist es nicht sinnvoll, weiter mit ihr zu produzieren.
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Lösungen Casio
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Aufgabe 6 entfällt ab 2018.
Hinweis: Alle Berechnungen können mit einem GTR von CASIO durchgeführt werden; eine schriftliche Lösung ist überweigend jedoch nicht möglich. Eine Unterscheidung zwischen einer Lösung mit einem GTR und einer schriftlichen Lösung entfällt aus diesem Grund.
Nimm die Formelsammlung zum Wahlgebiet ,,Mathematik in der Praxis" zur Hand, um die im Aufgabentext vorkommenden Fachbegriffe der Kostentheorie den mathematischen Fachbegriffen zuordnen zu können.

Aufgabe 7.1

$\blacktriangleright$   Gesamterlösfunktion $ \boldsymbol{E(x)} $ für Monopolstellung bestimmen
Du sollst die Gesamterlösfunktion bestimmen. Sie ist durch die Formel
$\boldsymbol{E(x) = p \cdot x} $ bei konstantem Stückpreis $ \boldsymbol{p} $
bzw.
$\boldsymbol{E(x) = p (x) \cdot x} $ bei stückzahlabhängigem Stückpreis $ \boldsymbol{p(x)} $
gegeben. Untersuche den Text daraufhin, welche Erlösfunktion die richtige ist und gib die Gleichung des Funktionsterms an.
Die Preis–Absatz–Funktion ist durch $ p(x) = 339,05 - 0,2 \cdot x $ gegeben, weil das Unternehmen Monopolist ist. Folglich ist Erlösfunktion
$ E(x) = P(x) \cdot x = (339,05 - 0,2 \cdot x) \cdot x = -0,2 \cdot x^2 + 339,05 \cdot x \; \text{GE} $ (Geldeinheiten).
$\blacktriangleright$   Schaubilder von $ \boldsymbol{E} $ und $ \boldsymbol{K} $ zeichnen
Wenn du ein Schaubild einer Funktion willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte sie in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebenen Funktion $E$ und $K$ ist eine Darstellung im Bereich $ 0 \leq x \leq 1.200 $ vorgegeben und deshalb $ 0 \leq y \leq 160.000 $ sinnvoll, weil das Wesentliche der Schaubilder dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit auf der $x$–Achse entspricht 1 cm und 20.000 Längeneinheiten auf der $y$–Achse 1 cm.
Aufgabe 7
[Abb. 1]: Schaubilder der Funktionen $E$ und $K$
Aufgabe 7
[Abb. 1]: Schaubilder der Funktionen $E$ und $K$

Aufgabe 7.2

$\blacktriangleright$   Nutzenschwelle berechnen
Du sollst die Mindestverkaufszahl der Rasenmäher bestimmen, um einen Gewinn zu erzielen. Die Nutzenschwelle ist genau diese Produktionsmenge, für die Erlös und Kosten erstmalig übereinstimmen, der Gewinn somit Null ist. An dieser Nullstelle der Gewinnfunktion $ G(x) = E(x) - K(x) $ wechselt $G$ das Vorzeichen von ,,$-$'' nach ,,$+$''.
Die Nutzengrenze ist übriegns diejenige Produktionsmenge, für die Erlös und Kosten letztmalig übereinstimmen, der Gewinn somit Null ist. An dieser Nullstelle der Gewinnfunktion $ G(x) = E(x) - K(x) $ wechselt $G$ das Vorzeichen von ,,$+$'' nach ,,$-$''.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü ISCT auf, um die Schnittstellen der Funktionen $E$ und $K$ zu berechnen. Alternativ kannst du das Untermenü ROOT anwenden, um die Nullstellen der Funktion $G$ zu ermitteln.
Aufgabe 7
[Abb. 2]: Ergebnis für die Nutzenschwelle
Aufgabe 7
[Abb. 2]: Ergebnis für die Nutzenschwelle
Aufgabe 7
[Abb. 3]: Ergebnis für die Nutzengrenze
Aufgabe 7
[Abb. 3]: Ergebnis für die Nutzengrenze
Die Gewinnfunktion besitzt die Nullstelle (die Nutzenschwelle) $ x_{NS} = 384,8 \; \text{ME}. $ Das Unternehmen muss mindestens $385$ Rasenmäher verkaufen, um einen Gewinn zu erzielen.
Bemerkung: Die Nutzengrenze liegt bei etwa $ x_{NG} \approx 1.000 \; \text{ME}. $
$\blacktriangleright$   Gewinnmaximale Produktionsmenge und maximalen Gewinn berechnen
Deine Aufgabe ist es, den maximalen Gewinn und diejenige Produktionsmenge zu ermitteln, bei welcher der Gewinn maximal wird. Die Gewinnfunktion ist festgelegt durch die Gleichung
$ \boldsymbol{G(x) = E(x) - K(x)} $
und in dieser Aufgabe eine ganzrationale Funktion dritten Grades, weil $K$ eine Funktion drittes Grades und $E$ eine Funktion zweiten Grades ist. Die Differenzfunktion besitzt genau einen Hochpunkt. Bestimme diesen Hochpunkt mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü MAX auf, um die Maximalstelle $ x_{max} $ und das Maximum $ G(x_{max}) $ der Funktion $G$ zu berechnen.
Aufgabe 7
[Abb. 4]: Hochpunkt der Gewinnfunktion $G$
Aufgabe 7
[Abb. 4]: Hochpunkt der Gewinnfunktion $G$
Die gewinnmaximale Produktionsmenge ist etwa $ x_{max} \approx 750 \; \text{ME} $ (Rasenmäher) und der maximale Gewinn liegt bei etwa $ G(x_{max}) \approx 21.4254 \; \text{GE}. $
$\blacktriangleright$   Gewinnmaximale Produktionsmenge und maximalen Gewinn im Schaubild verdeutlichen
Die Ergebnisse, die du berechnest hast, sollst du nun im Schaubild aus Teilaufgabe 7.1 eintragen und sie dadurch verdeutlichen.
Aufgabe 7
[Abb. 5]: Gewinnmaximale Produnktionsmenge und maximaler Gewinn
Aufgabe 7
[Abb. 5]: Gewinnmaximale Produnktionsmenge und maximaler Gewinn
$\blacktriangleright$   Gewinnmaximalen Preis bestimmen Da du die gewinnmaximale Produktionsmenge kennst, wird von dir hier nur verlangt, diesen Wert in die Preis–Absatz–Funktions einzusetzen und auszurechnen.
Der gewinnmaximale Preis beträgt $ p(750) = 339,05 - 0,2 \cdot 750 = 189,05 \; \text{GE.} $

Aufgabe 7.3

$\blacktriangleright$   Marktpreis (Preis pro ME) im Gewinnmaximum ohne Monopolstellung berechnen
Du sollst bei geänderter Markposition des Unternehmens den Marktpreis bestimmen, wenn im Gewinnmaximum genau $ 1250 $ ME verkauft werden. Die GmbH ist nun kein Monopol mehr ist, so dass ein konstanter Preis $p$ (unabhängig von der Absatzmenge $x$) exiistiert. Informiere Dich in Teilaufgabe 7.1, wie die Erlösfunktion nunmehr lautet. Stelle die Erlösfunktion und anschließend die neue Gewinnfunktion auf. Welche Bedingung gilt im Gewinnmaximum?
Kontrollergebnis: Die Erlösfunktion ist $ E(x) = p \cdot x. $ Durch den Wegfall des Monopols gilt $ G(x) = p \cdot x - K(x) $ und $ G(x_{max} = p - K'(x) $
Für eine gewinnmaximale Absatzmenge von genau $ x = 1.025 $ ME gilt im Gewinnmaximum gilt $ G'(1.025) = p - K'(1.025) = 0 $ und somit $ p = K'(1025) .$
Mit dem GTR von CASIO und TI kannst du den Marktpreis berechnen mithilfe des TABLE–Menüs oder Graph–Menüs berechnen, wenn du die Kostenfunktion $K$ als Funktion bei $Y1 $ eingibt und die Steigung automatisch berechnen lässt: $ p \approx 145,72 $ GE/ME.
Aufgabe 7
[Abb. 6]: Ergebnis im TABLE–Menü
Aufgabe 7
[Abb. 6]: Ergebnis im TABLE–Menü
Aufgabe 7
[Abb. 7]: Ergebnis im GRAPH–Menü
Aufgabe 7
[Abb. 7]: Ergebnis im GRAPH–Menü
Der Marktpreis beträgt $ 145,72 $ GE/ME, wenn im Gewinnmaximum $ 1.025 $ ME verkauft werden.

Aufgabe 7.4

$\blacktriangleright$   Aussage des Geschäftführers überprüfen
Der Geschäftsführer behauptet: ,,Bei einem Martkpreis von $142$ GE erreichen wir unseren maximalen Gewinn pro ME, wenn wir $ 1.000 $ produzieren.'' Du sollst prüfen, ob diese Aussage wahr ist. Aus Teilaufgabe 7.3 kennst du die Gewinnfunktion $ G(x) = p \cdot x - K(x). $ Der Gewinn pro ME ist folglich die Funktion \[ \dfrac{G(x)}{x} = \dfrac{p \cdot x - K(x)}{x} = \dfrac{p \cdot x}{x} - \dfrac{K(x)}{x} = p - \dfrac{K(x)}{x}. \] Weil der Preis konstant ist, wird das Gewinnmaximum im Minimum der Stückostenfunktion $ k(x) = \dfrac{K(x)}{x} $ angenommen, und zwar unabhängig vom Marktpreis $p.$ Es gilt also, das Betriebsoptimum zu bestimmen.
Der Formelsammlung hilft dir dabei, wie du das Betriebsoptimum berechnen kannst. Dazu gilt es, die Stückkostenfunktion aufzustellen. Sie ist bestimmt durch die Gleichung
$ \boldsymbol{k(x) = \dfrac{K(x)}{x}}. $
Stelle den Funktionsterm auf.
\[ \begin{array}[t]{rcll} k(x) &=& \dfrac{K(x)}{x} & \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{3}{10.000} \cdot x^3 - \frac{378}{625} \cdot x^2 + 440 \cdot x + 4.000}{x} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{10.000} \cdot x^2 - \dfrac{378}{625} \cdot x + 440 + \dfrac{4.000}{x} \\[5pt] \end{array} \]
Das Betriebsoptimum $ x_{opt} $ ist die Minimalstelle der Stückkostenfunktion $k.$ Die langfristige Preisuntergrenze ist als der Funktionswert $ k(x_{opt}) $ festgelegt. Bestimme den Tiefpunkt dieser Funktion mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü MIN auf, um die Minimalstelle $ x_{opt} $ und das Minimum $ k(x_{opt}) $ der Funktion $k$ zu ermitteln.
Aufgabe 7
[Abb. 8]: Tiefpunkt der Funktion $k$
Aufgabe 7
[Abb. 8]: Tiefpunkt der Funktion $k$
Das Betriebsoptimum ist etwa $ x_{opt} \approx 1.014 \; \text{ME}. $ Die Aussage des Geschäftsführers ist falsch.

Aufgabe 7.4

$\blacktriangleright$   Betriebsminimum berechnen
Du sollst das Betriebsminimum ermitteln. Das Betriebsminimum ist das Minimum der variablen Stückkostenfunktion.
$ \boldsymbol{k_v(x) = \dfrac{K_v(x)}{x}}. $
Stelle den Funktionsterm auf.
\[ \begin{array}[t]{rcll} k_v(x) &=& \dfrac{K_v(x)}{x} & \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{3}{10.000} \cdot x^3 - \frac{378}{625} \cdot x^2 + 440 \cdot x}{x} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{10.000} \cdot x^2 - \dfrac{378}{625} \cdot x + 440 \\[5pt] \end{array} \]
Bestimme das Betriebsminimum wie das Betriebsoptimum. Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü MIN auf, um die Minimalstelle $ x_{opt} $ und das Minimum $ k(x_{opt}) $ der Funktion $k$ zu ermitteln.
Aufgabe 7
[Abb. 9]: Tiefpunkt der Funktion $k_v$
Aufgabe 7
[Abb. 9]: Tiefpunkt der Funktion $k_v$
Das Betriebsminimum entspricht $ x = 1.008 \; \text{ME.} $
$\blacktriangleright$   Mindestpreis (kurzfristige Preisuntergrenze für die Deckung der variablen Kosten berechnen
Der Mindestpreis entspricht der kurzfristigen Preisuntergrenze bzw. dem Wert der variablen Stückkosten in ihrem Betriebsminimum. Du sollst diesen Wert mithilfe der variablen Stückkostenfunktion berechnen. Verwende z. B. das TABLE–Menü dazu.
$ k_v (1008) = 135,1808 \; \text{GE.} $
Das Produkt muss mindestens für $ 135,19 \; \text{GE} $ verkauft werden.

Aufgabe 7.6

$\blacktriangleright$   Ausschussquote der Maschinen $A$ und $B$ in Prozent berechnen
Deine Aufgabe besteht darin, die Ausschussquote zu ermitteln, wenn der Durchmesser einer Schraube um mehr als $ 1 \; \% $ vom Sollwert $ 10,00 mm $ abweicht. Berechne $ 1 \; \% $ von $ 10,00 mm $ und bestimme den Bereich, in dem der Durchmesser der Schraube liegen soll, wenn sie nicht aussortiert wird.
$ 1 \; \% $ von $ 10,00 mm $ sind $ 0,1 mm. $ Der Bereich ist das Intervall von $ [9,9 ; \; 10,1]. $
Aussschuss bedeutet, dass der Durchmesser außerhalb des Bereichs $ 9,9 \leq d \leq 10,1 $ liegt. Er ist hier festgelegt durch eine normalverteilte Zufallsgröße $\boldsymbol{X}$, die den Durchmesser einer Schraube angibt. Dem Aufgabentext kannst du den Mittelwert $ \mu = 10,00 \, \text{mm} $ und die Standardabweichung $ \sigma_A = 0,05 \, \text{mm} $ für Maschine $A$ bzw. $ \sigma_B = 0,065 \, \text{mm} $ für Maschine $B$ der Normalverteilung entnehmen. Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten (Ausschussquoten) \[ P_A( X \notin [9,9; \; 10,1]) = 1 - P_A( X \in [9,9; \; 10,1]) \] bzw. \[ P_B( X \notin [9,9; \; 10,1]) = 1 - P_B( X \in [9,9; \; 10,1]) \] Aus den Daten für die Normalverteilung kannst du die Wahrscheinlichkeit $ P( X \in [3,19; \; 3,21]) $ mithilfe deines GTR ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Run–Menü berechnen. Nach Aufruf des Menüs gibst du die Tastaturfolge
OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ NORM $\to$ Ncd (Untergrenze,Obergenze,$ \boldsymbol{\sigma, \mu} $) $\to$ EXE
ein. Mit dem Ergebnis berechnest du schließlich die gesuchte Ausschussquote.
Aufgabe 7
[Abb. 10]: Ergebnis $ P_A( X \in [9,9; \; 10,1]) $
Aufgabe 7
[Abb. 10]: Ergebnis $ P_A( X \in [9,9; \; 10,1]) $
Die Ausschussquote beträgt näherungsweise \[ P_A( X \notin [9,9; \; 10,1]) = 1 - P_A( X \in [9,9; \; 10,1] \approx 1 - 0,9544997361 \approx 0,0455 = 4,55 \, \% \] bzw. \[ P_B( X \notin [9,9; \; 10,1]) = 1 - P_B( X \in [9,9; \; 10,1] \approx 1 - 0,876061943 \approx 0,124 = 12,4 \, \% \]
Es entsteht ein Ausschuss für die Schrauben, die auf Maschine $A$ produziert werden, von etwa $ 4,55 \, \% $ und ein Ausschuss für die Schrauben, die auf Maschine $B$ produziert werden, von etwa $ 12,4 \, \%. $

Aufgabe 7.7

$\blacktriangleright$   Mittlerer Innendurchmesser und Standardabweichung bestimmen
Aus den Daten der gegebenen Häufigkeitsverteilung sollst du den mittleren Innendurchmesser $ \mu $ und die Standardabweichung $ \sigma $ für die Maschine $C$ mithilfe deines GTR ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR von CASIO im Statistik(STAT)–Menü berechnen. Nach Aufruf des Menüs gibst du die Werte der Häufigkeitsverteilung ein:
  1. In Liste 1 werden die gemessenen Durchmesser (Mittelwert der Merkmalsausprägungen) eingetragen.
  2. In Liste 2 gehören die Anzahlen, wie oft jeweils der gemessene Durchmesser aufgetreten ist (absolute Häufigkeit).
Beachte, dass dein GTR die richtigen Einstellungen für die Auswertung der Stichprobe besitzt. Rufe das Untermenü SET auf, um die Einstellungen zu überprüfen bzw. gegebenenfalls zu ändern. Der GTR erwartet für die Auswertung, dass die Merkmale in Liste 1 und die Anzahlen in Liste 2 stehen:
Aufgabe 7
[Abb. 11]: Eingabe der Stichprobenwerte
Aufgabe 7
[Abb. 11]: Eingabe der Stichprobenwerte
Aufgabe 7
[Abb. 12]: SET–Einstellungen
Aufgabe 7
[Abb. 12]: SET–Einstellungen
Schließlich rufst du die Auswertung mit der Tastaturfolge
CALC $\to$ 1–VAR $\to$ EXE
auf und notierst die Ergebnisse.
Aufgabe 7
[Abb. 13]: Ergebnisse für $ \mu $ und $ \sigma $
Aufgabe 7
[Abb. 13]: Ergebnisse für $ \mu $ und $ \sigma $
Ergebnisse der Stichprobe für Maschine $C:$ Der mittlere Innendurchmesser beträgt $ \mu = 10,01 \; \text{mm} $ und die Standardabweichung ist etwa $ \sigma \approx 0,11 \; \text{mm}. $
$\blacktriangleright$   Ausschussquote der Maschine $C$ in Prozent berechnen
Die Ausschussquote bestimmst du für Maschine $C$ wie in Teilaufgabe 7.6, jedoch mit den geänderten Werten für den Mittelwert und die Standaradabweichung.
Die Ausschussquote beträgt näherungsweise \[ P_C( X \notin [9,9; \; 10,1]) = 1 - P_C( X \in [9,9; \; 10,1] \approx 1 - 0,6347180583 \approx 0,3653 = 36,53 \, \% \]
$\blacktriangleright$   Produktivität der Maschine $C$ beurteilen
Anhand der ermittelten Werte für Maschine $C$ kannst du jetzt beurteilen, ob ihr weiterer Einsatz sinnvoll ist.
Aufgrund des hohen Ausschusses von Maschine $C$ ist es nicht sinnvoll, weiter mit ihr zu produzieren.
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