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Aufgabe 7

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Aufgabe 7

Die Konrad Freudemann GmbH verkauft als alleinige Anbieterin einen multifunktionalen Rasenmäher. Dieser kann mit neuer, patentierter Technik nicht nur das Gras kurz halten, sondern auch die Straßen von Schmutz und Schnee befreien.
Die monatlichen Gesamtkosten des Unternehmens hängen von der Produktionsmenge $x$ (in $\text{ME}$) ab und werden beschrieben durch die Funktion $K$ mit
$K(x)=\dfrac{3}{10.000}x^3-\dfrac{378}{625}x^2+440x+4.000$ ($K$ in Geldeinheiten)
Die Preis-Absatz-Funktion ist gegeben durch $p(x)=339,05-0,2x$.
7.1
Gib den Funktionsterm für den monatlichen Gesamterlös in Abhängigkeit von der Produktionsmenge $x$ an.
Zeichne die Schaubilder der Kosten- und Erlösfunktion für $0\leq x\leq 1.200$ in ein gemeinsames Koordinatensystem.
(4P)
7.2
Berechne, wie viele Rasenmäher die GmbH mindestens verkaufen muss, um einen Gewinn zu erzielen.
Ermittle den maximalen Gewinn des Unternehmens.
Veranschauliche beide Ergebnisse im Schaubild aus Aufgabe 7.1
Wie hoch ist der gewinnmaximale Preis in $\text{GE}$ (Geldeinheiten)?
(7P)
Das Patent der Konrad Freudemann GmbH ist ausgelaufen und das Unternehmen muss sich den Markt für multifunktionale Rasenmäher mit vielen Anbietern aus Osteuropa und Asien teilen.
7.3
Berechne den Marktpreis (Preis pro ME), wenn im Gewinnmaximum genau $1.025\,\text{ME}$ verkauft werden.
(3P)
7.4
Der Geschäftsführer meint: „Bei einem Marktpreis von $142\,\text{GE}$ erreichen wir unseren maximalen Gewinn pro ME, wenn wir $1.000\,\text{ME}$ produzieren.“
Überprüfe diese Aussage auf ihren Wahrheitsgehalt.
(4P)
7.5
Berechne das Betriebsminimum. Gib den Preis an, zu dem das Produkt mindestens verkauft werden muss, um die variablen Kosten zu decken.
(4P)
Die für die Rasenmäher benötigten Schrauben werden firmenintern auf einer alten und auf einer neuen Maschine hergestellt. Durch Stichprobenkontrollen ergeben sich für die Verteilung der Schraubendurchmesser folgende Daten:
MittelwertStandartabweichung
Maschine A$10,0\,\text{mm}$$0,05\,\text{mm}$
Maschine B$10,0\,\text{mm}$$0,065\,\text{mm}$
Eine Schraube zählt als Ausschussware, wenn ihr Durchmesser um mehr als $1\,\%$ vom Sollwert $10,0\,\text{mm}$ abweicht. Sie wird dann entsorgt.
7.6
Es wird angenommen, dass die Verteilungen der Schraubendurchmesser normalverteilt sind.
Berechne die Ausschussquoten der beiden Maschinen in Prozent.
(4P)
7.7
Auf einer dritten Maschine C werden $1.000$ Schrauben als Stichprobe entnommen. Die Messwerte
werden in einer Tabelle aufgenommen.
Vergleiche diese Maschine mit den Maschinen A und B.
Ist es sinnvoll, die Produktion auf Maschine C weiter zu betreiben?
Durchmesser in $\text{mm}$$9,5$-
$9,6$
$9,6$-
$9,7$
$9,7$-
$9,8$
$9,8$-
$9,9$
$9,9$-
$10,0$
$10,0$-
$10,1$
$10,1$-
$10,2$
$10,2$-
$10,3$
$10,3$-
$10,4$
$10,4$-
$10,5$
Anzahl$1$$2$$40$$67$$338$ $379$$133$$35$$3$$2$
(4P)

(30P)
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