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Aufgabe 3

Aufgaben
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Aufgabe 3: Kugelstoßen
(8P)

Aufgabe 3
Abb. 1: ein Leichtathlet beim Kugelstoßen
Aufgabe 3
Abb. 1: ein Leichtathlet beim Kugelstoßen
a)
Weise nach, dass der Abwurfring einen Durchmesser von ca. $2,14 \, \text{m}$ hat.
(1P)
b)
Eine Kugelstoßanlage soll neu gebaut werden.
Ermittle dazu den Flächeninhalt des Kreises, den der Abwurfring einschließt.
(2P)
c)
Der Durchmesser einer Kugel für Männer beträgt $12 \, \text{cm}$.
Berechne das Volumen der Kugel für Männer.
(3P)
d)
Die Kugel für Frauen hat eine Masse von $4.000 \, \text{g}$.
Die Kugel besteht aus Stahl (Dichte: $\rho = 7,8 \frac{g}{cm^3}$).
Berechne das Volumen der Kugel für Frauen.
(2P)
#kreis#dichte#kugel
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a)
$\blacktriangleright$  Fuß in $m$ umrechnen
Aus der Aufgabe weißt du, dass der Abwurfring beim Kugelstoßen ein Kreis mit einem Durchmesser von sieben englischen Fuß ist. Außerdem weißt du, dass $1$ englischer Fuß $\approx$ $0,305 \,\text{m}$ entspricht. Nun sollst du nachweisen, dass der Abwurfring einen Durchmesser von circa $2,14 \,\text{m}$ hat. Berechne, wie viel Meter $7$ englischen Fuß entsprechen, um den Durchmesser, der in $m$ angegeben ist, nachzuweisen.
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt Kreis berechnen
Du sollst den Flächeninhalt des Kreises berechnen, den der Abwurfring einschließt. Wende dazu die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises an, die wie folgt lautet:
$\begin{array}[t]{rll} A_{Kreis}&=& \pi \cdot r^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{Kreis}&=& \pi \cdot r^2 \end{array}$
Der Radius eines Kreises ist immer die Hälfte seines Durchmessers.
c)
$\blacktriangleright$  Volumen Kugel berechnen
Du sollst das Volumen der Kugel für Männer berechnen. Du weißt bereits, dass der Durchmesser solch einer Kugel $12 \,\text{cm}$ beträgt. Wende die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel an:
$\begin{array}[t]{rll} V_{Kugel}&=& \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Volumen über Dichte berechnen
Du sollst das Volumen der Kugel für Frauen berechnen. Du weißt, dass die Kugel eine Masse von $4.000 \, \text{g}$ hat und aus Stahl besteht, dessen Dichte $\rho = 7,8 \frac{g}{cm^3} $. Mithilfe der Formel für die Dichte, die wie folgt lautet, kannst du das Volumen berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \rho&=& \dfrac{m}{V} \end{array}$
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a)
$\blacktriangleright$  Fuß in $m$ umrechnen
Aus der Aufgabe weißt du, dass der Abwurfring beim Kugelstoßen ein Kreis mit einem Durchmesser von sieben englischen Fuß ist. Außerdem weißt du, dass $1$ englischer Fuß $\approx$ $0,305 \,\text{m}$ entspricht. Nun sollst du nachweisen, dass der Abwurfring einen Durchmesser von circa $2,14 \,\text{m}$ hat. Berechne, wie viel Meter $7$ englischen Fuß entsprechen, um den Durchmesser, der in $m$ angegeben ist, nachzuweisen.
$\begin{array}[t]{rll} 0,305 \,\text{m} \cdot 7&\approx& 2,135\, \text{m} \end{array}$
Mit dieser Rechnung hast du nachgewiesen, dass der Abwurfring einen Durchmesser von circa $2,14\, \text{m}$ hat.
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt Kreis berechnen
Du sollst den Flächeninhalt des Kreises berechnen, den der Abwurfring einschließt. Wende dazu die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises an, die wie folgt lautet:
$\begin{array}[t]{rll} A_{Kreis}&=& \pi \cdot r^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{Kreis}&=& \pi \cdot r^2 \end{array}$
Der Radius eines Kreises ist immer die Hälfte seines Durchmessers.
$\begin{array}[t]{rll} r&=& \dfrac{d}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] r&=&\dfrac{2,14 \,\text{m}}{2} &=&1,07 \,\text{m} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{Kreis}&=& \pi \cdot r^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] A_{Kreis}&=&\pi \cdot (1,07 \,\text{m})^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] A_{Kreis}&\approx&3,6 \,\text{m}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Kreises, den der Abwurfring einschließt, beträgt circa $3,6\, \text{m}^2$.
c)
$\blacktriangleright$  Volumen Kugel berechnen
Du sollst das Volumen der Kugel für Männer berechnen. Du weißt bereits, dass der Durchmesser solch einer Kugel $12 \,\text{cm}$ beträgt. Wende die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel an:
$\begin{array}[t]{rll} V_{Kugel}&=& \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V_{Kugel}&=& \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \end{array}$
Den Radius musst du wieder zuerst berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} r&=& \dfrac{d}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] r&=&\dfrac{12 \,\text{cm}}{2} &=&6 \,\text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V_{Kugel}&=& \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3&\quad \scriptsize \\[5pt] V_{Kugel}&=&\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (6 \,\text{cm})^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] V_{Kugel}&\approx&905\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen der Kugel für Männer beträgt circa $905 \,\text{cm}^3$.
d)
$\blacktriangleright$  Volumen über Dichte berechnen
Du sollst das Volumen der Kugel für Frauen berechnen. Du weißt, dass die Kugel eine Masse von $4.000 \, \text{g}$ hat und aus Stahl besteht, dessen Dichte $\rho = 7,8 \frac{g}{cm^3} $. Mithilfe der Formel für die Dichte, die wie folgt lautet, kannst du das Volumen berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \rho&=& \dfrac{m}{V} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \rho&=& \dfrac{m}{V} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \rho&=& \dfrac{m}{V} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot V, :\rho \\[5pt] V&=&\dfrac{m}{\rho} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \dfrac{4.000 \, \text{g}}{7,8 \frac{\, \text{g}}{\, \text{cm}^3} } &\quad \scriptsize \\[5pt] V&\approx&513\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen der Kugel für Frauen beträgt circa $513 \,\text{cm}^3$.
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