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Aufgabe 5

Aufgaben
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Aufgabe 5: Gewinnspiel
(8P)

Abb. 1: Lose in Plastikkapseln
Abb. 1: Lose in Plastikkapseln
a)
Gib die größte dreistellige Gewinnzahl an, die auf diese Weise gebildet werden kann.
(1P)
b)
Gib alle möglichen dreistelligen Gewinnzahlen an.
Gib an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die dreistellige Gewinnzahl eine gerade Zahl ist.
(1P)
Abb. 2: Gewinnplan
Abb. 2: Gewinnplan
c)
Die Wahrscheinlichkeit, mit nur einem gekauften Los den Hauptpreis zu gewinnen, beträgt $\frac{1}{800}$.
Begründe diese Aussage.
(2P)
d)
Anne hat ein Los gekauft. Sie öffnet es vorsichtig.
Sie sieht zuerst die letzte Ziffer $6$ und sagt:
„Ich habe eine Gewinnchance von $\frac{7}{80}$ auf eine Tafel Schokolade.“
Hat Sie Recht? Begründe.
(3P)
#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$  größtmögliche Gewinnzahl angeben
In den Plastikkapseln, die gezogen werden, befinden sich die Ziffern $2$, $3$ und $6$. Sie werden in der Reihenfolge, in der sie gezogen werden, hintereinandergelegt und bilden so die Gewinnzahl. Du sollst die größte dreistellige Gewinnzahl angeben, die auf diese Weise gebildet werden kann. Überlege dir, wie die Gewinnzahl möglichst groß wird. Dies ist dann der Fall, wenn zuerst die größte Ziffer, dann die zweitgrößte Ziffer und dann die kleinste Ziffer gezogen wird.
b)
$\blacktriangleright$  alle möglichen Gewinnzahlen angeben + Wahrscheinlichkeit für gerade Gewinnzahl berechnen
Überlege dir, in welchen verschiedenen Reihenfolgen die drei Ziffern gezogen werden können. Fange am besten mit der kleinstmöglichen Zahl an und gehe immer einen Schritt höher, um keine Zahl zu vergessen. Zusätzlich sollst du angeben, mit welcher Wahrscheinlichkeit die dreistellige Gewinnzahl eine gerade Zahl ist. Durch die erste Teilaufgabe weißt du bereits, wie viele mögliche dreistellige Gewinnzahlen es gibt und wie viele davon gerade sind. Das Ziehen ist ein Laplace-Experiment, jedes der gezogenen Ereignisse ist gleich wahrscheinlich. Aus diesem Grund kannst du zur Berechnung die Laplace-Regel anwenden, die wie folgt lautet:
$\begin{array}[t]{rll} P(E) &=&\dfrac {\text{Anzahl der für E günstigen Ereignisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ P(E)= \dfrac{\mid E\mid}{\mid \Omega \mid} $
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Hauptgewinn kennen
In dieser Aufgabe geht es darum, dass Lose mit den dreistelligen Zahlen von $101$ bis $900$ verkauft wurden. Das Gewinnerlos ist das mit der Nummer $326$. Du sollst die Aussage begründen, dass die Wahrscheinlichkeit, mit nur einem gekauften Los den Hauptpreis zu gewinnen, bei $\frac{1}{800}$ liegt.
Überlege dir, wie viele Lose gezogen werden können und wende die Laplace-Regel an.
d)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit begründen
Anne weiß bereits, dass die letzte Zahl auf ihrem Los die $6$ ist. Um eine Tafel Schokolade zu gewinnen, muss die $2.$ Zahl auf ihrem Los eine $2$ sein. Sie behauptet, dass sie eine Gewinnchance von $\frac{7}{80}$ auf eine Tafel Schokolade habe. Du sollst nun begründen, ob sie damit Recht hat.
Überlege dir, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die zweite Ziffer auf ihrem Los eine $2$ ist. Ist die Wahrscheinlichkeit auf ihren Gewinn deshalb so groß, wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die zweite Ziffer eine $2$ ist oder hängt es mit der bereits bekannten $6$ zusammen, von der sie ja schon sicher weiß, dass sie an letzter Stelle steht?
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a)
$\blacktriangleright$  größtmögliche Gewinnzahl angeben
In den Plastikkapseln, die gezogen werden, befinden sich die Ziffern $2$, $3$ und $6$. Sie werden in der Reihenfolge, in der sie gezogen werden, hintereinandergelegt und bilden so die Gewinnzahl. Du sollst die größte dreistellige Gewinnzahl angeben, die auf diese Weise gebildet werden kann. Überlege dir, wie die Gewinnzahl möglichst groß wird. Dies ist dann der Fall, wenn zuerst die größte Ziffer, dann die zweitgrößte Ziffer und dann die kleinste Ziffer gezogen wird.
Die größte dreistellige Gewinnzahl, die auf diese Weise gebildet werden kann, ist folglich die $632$.
b)
$\blacktriangleright$  alle möglichen Gewinnzahlen angeben + Wahrscheinlichkeit für gerade Gewinnzahl berechnen
Überlege dir, in welchen verschiedenen Reihenfolgen die drei Ziffern gezogen werden können. Fange am besten mit der kleinstmöglichen Zahl an und gehe immer einen Schritt höher, um keine Zahl zu vergessen. Folgende dreistelligen Gewinnzahlen sind möglich:
  • 236
  • 263
  • 326
  • 362
  • 623
  • 632
Zusätzlich sollst du angeben, mit welcher Wahrscheinlichkeit die dreistellige Gewinnzahl eine gerade Zahl ist. Durch die erste Teilaufgabe weißt du bereits, dass es $6$ mögliche dreistellige Gewinnzahlen gibt. $4$ davon sind gerade. Das Ziehen ist ein Laplace-Experiment, jedes der gezogenen Ereignisse ist gleich wahrscheinlich. Aus diesem Grund kannst du die Laplace-Regel anwenden, die wie folgt lautet:
$\begin{array}[t]{rll} P(E) &=&\dfrac {\text{Anzahl der für E günstigen Ereignisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} &\quad \scriptsize \\[5pt] P (E) &=& \dfrac{4}{6} &\quad \scriptsize \\[5pt] P (E) &=& \dfrac{2}{3} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} P(E)&=& \dfrac{\mid E\mid}{\mid \Omega \mid}&\quad \scriptsize \\[5pt] P (E) &=& \dfrac{4}{6} &\quad \scriptsize \\[5pt] P (E) &=& \dfrac{2}{3}\end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die dreistellige Gewinnzahl eine gerade Zahl ist, beträgt $\frac{2}{3}$.
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Hauptgewinn kennen
In dieser Aufgabe geht es darum, dass Lose mit den dreistelligen Zahlen von $101$ bis $900$ verkauft wurden. Das Gewinnerlos ist das mit der Nummer $326$. Du sollst die Aussage begründen, dass die Wahrscheinlichkeit, mit nur einem gekauften Los den Hauptpreis zu gewinnen, bei $\frac{1}{800}$ liegt.
Diese Aussage stimmt, denn es gibt $800$ Lose, die gezogen werden können (mit den Zahlen von $101$ bis $900$). Das Ziehen der Lose ist ein Laplace-Experiment, denn für jedes Los ist die Wahrscheinlichkeit gleich groß, gezogen zu werden. Um die Wahrscheinlichkeit, mit nur einem gekauften Los den Hauptpreis zu gewinnen, zu berechnen, musst du wieder die Laplace-Regel anwenden. Die Anzahl der für $E$ günstigen Ereignisse ist $1$ und die Anzahl aller möglichen Ergebnisse beträgt $800$, da man aus $800$ Losen auswählen kann.
Aus diesem Grund stimmt die Aussage, das die Wahrscheinlichkeit, mit nur einem gekauften Los den Hauptpreis zu gewinnen, $\frac{1}{800}$ beträgt.
d)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit begründen
Anne weiß bereits, dass die letzte Zahl auf ihrem Los die $6$ ist. Um eine Tafel Schokolade zu gewinnen, muss die $2.$ Zahl auf ihrem Los eine $2$ sein. Sie behauptet, dass sie eine Gewinnchance von $\frac{7}{80}$ auf eine Tafel Schokolade habe. Du sollst nun begründen, ob sie damit Recht hat.
Anne hat mit dieser Aussage Recht. Die Wahrscheinlichkeit, den Trostpreis zu gewinnen, beträgt $\frac{7}{800}$. Da sie nun aber bereits weiß, dass ihre letzte Ziffer die $6$ ist, erhöht sich ihre Gewinnchance auf $\frac{7}{80}$. Denn: Die Wahrscheinlichkeit, dass an zweiter Stelle des Loses die $2$ steht beträgt $\frac{80}{800}$, die $2$er aus dem $300$er-Bereich fallen in dieser Wahrscheinlichkeit heraus, da diese den Hauptgewinn bedeuten würden. Folglich steigert sich die Wahrscheinlichkeit auf $\frac{70}{800}$ also $\frac{7}{80}$.
#laplaceexperiment
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