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Aufgabe 6

Aufgaben
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Aufgabe 6: Ausflug
(11P)

Die Klasse $10\text{b}$ plant eine Klassenfahrt in eine Jugendherberge.
Die Klassenlehrerin fragt bei zwei Busunternehmen die Fahrpreise an.
BusunternehmenGrundpreisPreis pro gefahrenem Kilometer
Sonnenschein$200$ Euro$1,50$ Euro
Reiselust---$2,00$ Euro
Busunternehmen Preise
Die Grafik veranschaulicht die entstehenden Fahrtkosten in Abhängigkeit von den gefahrenen Kilometern.
Aufgabe 6
Abb. 1: Grafik Fahrtkosten
Aufgabe 6
Abb. 1: Grafik Fahrtkosten
a)
  • Ordne jedem Graphen ein Busunternehmen zu.
  • Begründe deine Zuordnung für das Unternehmen „Sonnenschein“.
  • (2P)
    b)
    Eines der beiden Busunternehmen soll für die Hin- und Rückfahrt gebucht werden. Die Jugendherberge ist $175 \, \text{km}$ entfernt.
  • Gib an, welches Busunternehmen günstiger ist.
  • Bleibt dieses Busunternehmen bei einer zusätzlichen Tagesfahrt von $100 \, \text{km}$ das günstigere?
  • Begründe deine Entscheidung.
    (3P)
    c)
    Gib die Funktionsgleichung an, die zu dem Graphen II gehört.
    (2P)
    d)
    In der Jugendherberge gibt es Drei-Bett-Zimmer und Fünf-Bett-Zimmer.
    Es stehen $16$ Zimmer mit insgesamt $66$ Betten zur Verfügung.
    Ermittle die Anzahl der Drei-Bett-Zimmer und der Fünf-Bett-Zimmer.
    (4P)
    #lineareabhängigkeit
    Bildnachweise [nach oben]
    [1]
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    Aufgabe 6: Ausflug

    a)
    $\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
    In dieser Aufgabe hast du eine Tabelle gegeben, die dir den Grundpreis sowie den Preis pro gefahrenem Kilometer zweier Busunternehmen zeigt. Außerdem hast du eine Grafik gegeben, in der zwei Graphen zu sehen sind. Diese Graphen sollst du nun dem jeweils passenden Busunternehmen zuordnen. Danach sollst du deine Zuordnung für das Unternehmen „Sonnenschein“ begründen.
    Überlege dir, welcher Graph bei welchem Wert startet und wie du durch den Startpunkt das passende Busunternehmen aus der Tabelle ermitteln kannst.
    b)
    $\blacktriangleright$  günstigeres Busunternehmen erkennen
    Eines der beiden Busunternehmen soll für die Hin- und Rückfahrt gebucht werden. Die Jugendherberge ist $175 \, \text{km}$ entfernt, das heißt, dass insgesamt $350 \, \text{km}$ mit dem Bus zurückgelegt werden müssen. Um das Busunternehmen anzugeben, dass günstiger ist, musst du die Fahrtkosten für beide Busunternehmen berechnen. Du kannst die Antwort aber auch einfach aus der Grafik ablesen.
    Im zweiten Aufgabenteil sollst entscheiden, ob dieses Busunternehmen bei einer zusätzlichen Tagesfahrt von $100 \, \text{km}$ das günstigere bleibt. Erweitere deine Rechnung von oben um $100$ gefahrene $\text{km}$, um zur Lösung zu gelangen oder lese die Lösung wieder in der Grafik ab.
    c)
    $\blacktriangleright$  Funktionsgleichung aufstellen
    Um die Funktionsgleichung aufzustellen, die zum Graphen II gehört, musst du dir zunächst einmal klar machen, wie die Funktionsgleichung einer linearen Funktion in Normalform aussieht. Diese sieht immer folgendermaßen aus:
    $y = m \cdot x + b$
    $y = m \cdot x + b$
    Der Wert $m$ gibt dir immer die Steigung an und der Wert $b$ den $y-$Achsenabschnitt. Beide Werte kennst du: Die Steigung entspricht dem Preis pro gefahrenem Kilometer (wenn der $x-$Wert um $1$ größer wird, wird der $y-$Wert um $1,5$ größer) und der $y-$Achsenabschnitt entspricht dem Grundwert, weil die Funktion genau dort (also bei dem Wert $200$) auf der $y-$Achse beginnt.
    d)
    $\blacktriangleright$  Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen
    Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass es in der Jugendherberge Drei-Bett-Zimmer und Fünf-Bett-Zimmer gibt. Alles in allem gibt es $16$ Zimmer mit insgesamt $66$ Betten. Um nun herauszufinden, wie viele Drei-Bett-Zimmer und wie viele Fünf-Bett-Zimmer es gibt, musst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen und dieses lösen.
    Nehme die Anzahl der Drei-Bett-Zimmer als $x-$Wert und die Anzahl der Fünf-Bett-Zimmer als $y-$Wert in deinem Gleichungssystem. Überlege dir, wie du auf zwei Gleichungen kommen kannst, die du dann miteinander verrechnest.
    Du weißt, dass es insgesamt $16$ Zimmer gibt. In diesen Zimmern gibt es eine unterschiedliche Anzahl von Betten. Die Anzahl der Betten beträgt insgesamt $66$. Wenn du die Gleichungen aufgestellt hast, wende das Einsetzungverfahren an, dafür musst du eine Gleichung nach einer Variablen umstellen und den Wert für diese Variable dann in die zweite Gleichung einsetzen und ausrechnen.
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    Aufgabe 6: Ausflug

    a)
    $\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
    In dieser Aufgabe hast du eine Tabelle gegeben, die dir den Grundpreis sowie den Preis pro gefahrenem Kilometer zweier Busunternehmen zeigt. Außerdem hast du eine Grafik gegeben, in der zwei Graphen zu sehen sind. Diese Graphen sollst du nun dem jeweils passenden Busunternehmen zuordnen. Danach sollst du deine Zuordnung für das Unternehmen „Sonnenschein“ begründen.
    Zum Graphen I gehört das Unternehmen „Reiselust“ und zum Graphen II gehört das Unternehmen „Sonnenschein“.
    Das kannst du daran deutlich erkennen, dass der Graph II links bei $200€$ Fahrtkosten startet. Dies ist der Grundpreis, den dieses Unternehmen verlangt. Pro gefahrenem Kilometer verlangt dieses Unternehmen $1,50€$. Das heißt, dass für $100 \, \text{km}$, die gefahren werden, $150€$ gezahlt werden müssen. In der Grafik kannst du ablesen, dass der Graph II bei $100 \, \text{km}$ bei $350€$ liegt. Da der Grundpreis bereits bei $200€$ lag, kosten diese $100 \, \text{km}$ also genau $150€$. Somit ist eine eindeutige Zuordnung möglich.
    b)
    $\blacktriangleright$  günstigeres Busunternehmen erkennen
    Eines der beiden Busunternehmen soll für die Hin- und Rückfahrt gebucht werden. Die Jugendherberge ist $175 \, \text{km}$ entfernt, das heißt, dass insgesamt $350 \, \text{km}$ mit dem Bus zurückgelegt werden müssen. Um das Busunternehmen anzugeben, dass günstiger ist, musst du die Fahrtkosten für beide Busunternehmen berechnen.
    1. Unternehmen: „Sonnenschein“
    $\begin{array}[t]{rll} \text{Grundpreis}&=& 200€&\quad \scriptsize \\[5pt] \text{Preis pro gefahrenem Kilometer}&=& 1,50 &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{Kilometer, die gefahren werden}&=&350 &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{Gesamtpreis}&=& 200€ + 1,50€ \cdot 350&\quad \scriptsize \\[5pt] \text{Gesamtpreis}&=& 725€ \end{array}$
    $ \text{Gesamtpreis} = 725€ $
    2. Unternehmen: „Reiselust“
    $\begin{array}[t]{rll} \text{Grundpreis}&=& 0€&\quad \scriptsize \\[5pt] \text{Preis pro gefahrenem Kilometer}&=& 2,00€ &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{Kilometer, die gefahren werden}&=&350 &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{Gesamtpreis}&=& 0€ + 2,00€ \cdot 350&\quad \scriptsize \\[5pt] \text{Gesamtpreis}&=& 700€ \end{array}$
    $ \text{Gesamtpreis} = 700€ $
    Für die Hin- und Rückfahrt zur Jugendherberge ist das Busunternehmen „Reiselust“ das günstigere.
    Im zweiten Aufgabenteil sollst entscheiden, ob dieses Busunternehmen bei einer zusätzlichen Tagesfahrt von $100 \, \text{km}$ das günstigere bleibt. Erweitere deine Rechnung von oben um $100$ gefahrene $\text{km}$, um zur Lösung zu gelangen.
    1. Unternehmen: „Sonnenschein“
    $\begin{array}[t]{rll} \text{Grundpreis}&=& 200€&\quad \scriptsize \\[5pt] \text{Preis pro gefahrenem Kilometer}&=& 1,50 &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{Kilometer, die gefahren werden}&=&450 &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{Gesamtpreis}&=& 200€ + 1,50€ \cdot 450&\quad \scriptsize \\[5pt] \text{Gesamtpreis}&=& 875€ \end{array}$
    $ \text{Gesamtpreis} = 875€ $
    2. Unternehmen: „Reiselust“
    $\begin{array}[t]{rll} \text{Grundpreis}&=& 0€&\quad \scriptsize \\[5pt] \text{Preis pro gefahrenem Kilometer}&=& 2,00€ &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{Kilometer, die gefahren werden}&=&450 &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{Gesamtpreis}&=& 0€ + 2,00€ \cdot 450&\quad \scriptsize \\[5pt] \text{Gesamtpreis}&=& 900€ \end{array}$
    $ \text{Gesamtpreis} = 900€ $
    Aufgrund dieser Rechnung ist klar, dass das Busunternehmen „Reiselust“ nicht das günstigere bleibt, wenn eine zusätzliche Tagesfahrt von $100 \, \text{km}$ dazukommt. Du hättest dies auch auf den ersten Blick sehen können, denn $100 \, \text{km}$ kosten bei „Sonnenschein“ $150€$ und bei „Reiselust“ $200€$. Addiert zu dem Preis, der schon für die alleinige Hin- und Rückfahrt fällig wird, wird deutlich, dass unter diesen Konditionen „Sonnenschein“ das billigere Busunternehmen ist.
    Als Alternative zur Rechnung hättest du die Werte auch einfach in der Grafik ablesen können, wenn dir das leichter fällt. Um deine Entscheidung für die zweite Teilaufgabe zu begründen, benötigst du allerdings eine Rechnung.
    c)
    $\blacktriangleright$  Funktionsgleichung aufstellen
    Um die Funktionsgleichung aufzustellen, die zum Graphen II gehört, musst du dir zunächst einmal klar machen, wie die Funktionsgleichung einer linearen Funktion in Normalform aussieht. Diese sieht immer folgendermaßen aus:
    $y = m \cdot x + b$
    $y = m \cdot x + b$
    Der Wert $m$ gibt dir immer die Steigung an und der Wert $b$ den $y-$Achsenabschnitt. Beide Werte kennst du: Die Steigung entspricht dem Preis pro gefahrenem Kilometer (wenn der $x-$Wert um $1$ größer wird, wird der $y-$Wert um $1,5$ größer) und der $y-$Achsenabschnitt entspricht dem Grundwert, weil die Funktion genau dort (also bei dem Wert $200$) auf der $y-$Achse beginnt.
    Die Funktionsgleichung, die zum Graphen II gehört, lautet also $y = 1,5x + 200$.
    d)
    $\blacktriangleright$  Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen
    Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass es in der Jugendherberge Drei-Bett-Zimmer und Fünf-Bett-Zimmer gibt. Alles in allem gibt es $16$ Zimmer mit insgesamt $66$ Betten. Um nun herauszufinden, wie viele Drei-Bett-Zimmer und wie viele Fünf-Bett-Zimmer es gibt, musst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen und dieses lösen.
    Nehme die Anzahl der Drei-Bett-Zimmer als $x-$Wert und die Anzahl der Fünf-Bett-Zimmer als $y-$Wert in deinem Gleichungssystem. Überlege dir, wie du auf zwei Gleichungen kommen kannst, die du dann miteinander verrechnest.
    Du weißt, dass es insgesamt $16$ Zimmer gibt. In diesen Zimmern gibt es eine unterschiedliche Anzahl von Betten. Die Anzahl der Betten beträgt insgesamt $66$. Wenn du die Gleichungen aufgestellt hast, wende das Einsetzungverfahren an, dafür musst du eine Gleichung nach einer Variablen umstellen und den Wert für diese Variable dann in die zweite Gleichung einsetzen und ausrechnen.
    1. Schritt: Lineares Gleichungssystem aufstellen
    $\begin{array}{} \text{I}\quad&x+y&=&16&\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&3x + 5y&=&66&\quad\\ \end{array}$
    2. Schritt: Gleichung I nach $x$ umstellen
    $\begin{array}[t]{rll} x+y&=&16 &\quad \scriptsize \mid\; -y\\[5pt] x&=&16-y \end{array}$
    3. Schritt: Wert für $x$ in Gleichung II einsetzen
    $\begin{array}[t]{rll} 3x + 5y&=&66 &\quad \scriptsize \\[5pt] 3 \cdot (16-y) + 5y&=&66 &\quad \scriptsize \\[5pt] 48 - 3y + 5y&=& 66 &\quad \scriptsize \mid\; -48 \\[5pt] 2y&=&18 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] y&=&9 \end{array}$
    Nun weißt du, dass es $9$ Fünf-Bett-Zimmer gibt. Da es insgesamt $16$ verschiedene Zimmer gibt, kannst du berechnen, dass es $7$ Drei-Bett-Zimmer geben muss.
    #linearefunktion#lgs
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