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Aufgabe 7

Aufgaben
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Aufgabe 7: Spreewaldwiese
(7P)

Aufgabe 7
Abb. 1: Länge des Weges berechnen
Aufgabe 7
Abb. 1: Länge des Weges berechnen
a)
Berechne die Länge des Weges, den ein Besucher vom Ausflugslokal $A$ über den Bioladen $C$ zur Brücke bei $D$ bisher zurücklegen musste.
(1P)
b)
Über die Wiese wird ein neuer Weg vom Ausflugslokal $A$ direkt zur Brücke bei $D$ gebaut.
Ermittle die Länge des Weges $\overline{AD}$.
(2P)
c)
Um von der Anlegestelle $B$ direkt zur Brücke bei $D$ gehen zu können, wird auch hier ein neuer Weg $\overline{BD}$ gebaut.
Ermittle die Länge des Weges $\overline{BD}$.
(4P)
#trigonometrie
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Aufgabe 7: Spreewaldwiese

a)
$\blacktriangleright$  Länge des alten Weges berechnen
Aufgabe 7
Abb. 1: Länge des Weges berechnen
Aufgabe 7
Abb. 1: Länge des Weges berechnen
b)
$\blacktriangleright$  Länge des neuen Weges berechnen
Aufgabe 7
Abb. 2: Länge der Strecke $\overline{AD}$
Aufgabe 7
Abb. 2: Länge der Strecke $\overline{AD}$
Berechnung des Strecke $\overline{AD}$ den Satz des Pythagoras anwenden. Die Formel für den Satz des Pythagoras lautet wie folgt:
$a^2+b^2=c^2$
$a^2+b^2=c^2$
Wie du auf der Abbildung sehen kannst, fehlt dir die Länge der Strecke $a$. Stelle also die Formel nach $a$ um und rechne dann mit deinen gegebenen Werten aus.
c)
$\blacktriangleright$  Trigonometrische Zusammenhänge erkennen
Aufgabe 7
Abb. 3: Trigonometrie
Aufgabe 7
Abb. 3: Trigonometrie
Dreieckes wieder so benannt sind wie in einem normalen Dreieck, um dir die nachfolgende Rechnung zu erleichtern.
Um die Länge der Strecke $BD$ zu berechnen, musst du den Tangens nutzen. Der Formel für den Tangens lautet wie folgt:
$ \text{tan}(\alpha)= \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \dfrac{a}{b}$
$ \text{tan}(\alpha)= \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \dfrac{a}{b}$
Es ist leichter, die Größe des Winkels $\beta$ zu bestimmen, als die Größe des Winkels $\alpha$. Wende deshalb deine Tangensformel auf den Winkel $\beta$ an, sie lautet dann so:
$ \text{tan}(\beta)= \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \dfrac{b}{a}$
Die Größe des Winkels $\beta$ kannst du über die Innenwinkelsumme im Dreieck bestimmen.
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Aufgabe 7: Spreewaldwiese

a)
$\blacktriangleright$  Länge des alten Weges berechnen
Aufgabe 7
Abb. 1: Länge des Weges berechnen
Aufgabe 7
Abb. 1: Länge des Weges berechnen
Bisher betrug die Länge der Strecke, die ein Besucher vom Ausflugslokal über den Bioladen zur Brücke zurücklegen musste $1461 \, \text{m}$.
b)
$\blacktriangleright$  Länge des neuen Weges berechnen
Aufgabe 7
Abb. 2: Länge der Strecke $\overline{AD}$
Aufgabe 7
Abb. 2: Länge der Strecke $\overline{AD}$
Berechnung des Strecke $\overline{AD}$ den Satz des Pythagoras anwenden. Die Formel für den Satz des Pythagoras lautet wie folgt:
$a^2+b^2=c^2$
$a^2+b^2=c^2$
Wie du auf der Abbildung sehen kannst, fehlt dir die Länge der Strecke $a$. Stelle also die Formel nach $a$ um und rechne dann mit deinen gegebenen Werten aus.
$\begin{array}[t]{rll} a^2+b^2&=&c^2 &\quad \scriptsize \mid\; -b^2 \\[5pt] a^2&=&c^2-b^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{}\\[5pt] a&=&\sqrt{c^2-b^2} &\quad \scriptsize \mid\;\\[5pt] a&=& \sqrt{920^2-541^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] a&=&\sqrt{553.719} &\quad \scriptsize \\[5pt] a&\approx&744 \end{array}$
Die Länge des Weges $\overline{AD}$ beträgt circa $744 \, \text{m}$.
c)
$\blacktriangleright$  Trigonometrische Zusammenhänge erkennen
Aufgabe 7
Abb. 3: Trigonometrie
Aufgabe 7
Abb. 3: Trigonometrie
Dreieckes wieder so benannt sind wie in einem normalen Dreieck, um dir die nachfolgende Rechnung zu erleichtern.
Um die Länge der Strecke $BD$ zu berechnen, musst du den Tangens nutzen. Der Formel für den Tangens lautet wie folgt:
$ \text{tan}(\alpha)= \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \dfrac{a}{b}$
$ \text{tan}(\alpha)= \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \dfrac{a}{b}$
Es ist leichter, die Größe des Winkels $\beta$ zu bestimmen, als die Größe des Winkels $\alpha$. Wende deshalb deine Tangensformel auf den Winkel $\beta$ an, sie lautet dann so:
$ \text{tan}(\beta)= \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \dfrac{b}{a}$
1. Schritt: Größe von $\beta$ ermitteln
Der Winkel $\beta$ in $Abb. 3$ ist der Winkel, der auch in $Abb. 1$ beim Punkt $B$ liegt. Da die Innenwinkelsumme im Dreieck immer $180°$ beträgt, kannst du seine Größe darüber berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} 180° - 54° - 70°&=&56° \end{array}$
2. Schritt: Tangensformel anwenden
Du kennst jetzt die Größe des Winkels $\beta$ und die Länge der Strecke $b$. Nun musst du die Tangensformel nach deinem gesuchten Wert $a$ umstellen und ausrechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{tan}(\beta)&=& \dfrac{b}{a}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot a; :\text{tan}(\beta) \\[5pt] a &=& \dfrac{b}{\text{tan}(\beta)} &\quad \scriptsize \\[5pt] a &=& \dfrac{744 \, \text{m}}{\text{tan}(56°)} &\quad \scriptsize \\[5pt] a & \approx& 502 \, \text{m} \end{array}$
Die Länge des Weges $\overline{BD}$ beträgt circa $502 \, \text{m}$.
#tangens#satzdespythagoras#rechtwinkligesdreieck
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