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Aufgabe 4

Aufgaben
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Dachausbau

Der Dachboden eines Hauses soll ausgebaut werden.
Die Skizze zeigt den Querschnitt des Dachbodens.
a)
Gib die Größe des Winkels $\gamma$ an.
(1 P)
b)
Im Dachboden soll eine senkrechte Wand eingebaut werden. Die reicht bis zur Dachschräge $\overline{BC}$ und ist $1,20\;\text{m}$ hoch.
(2 P)
Berechne, wie viel Meter der Fußpunkt $P$ der Wand vom Punkt $B$ entfernt sein muss.
*c)
Zur Wärmedämmung sollen die beiden gefärbten Dachflächen isoliert werden.
(4 P)

Berechne die Länge der Dachschräge $|\overline{BC}|$.
Der Dachboden hat eine Länge von $8,00\;\text{m}$.
Berechne, wie viel $\text{m}^2$ Dachfläche isoliert werden müssen.
#flächeninhalt#abstand#winkel
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$ Größe des Winkels $\boldsymbol{\gamma}$ angeben
Die Winkelsumme eines Dreiecks beträgt $180°$. Somit ergibt sich für $\gamma$:
$\gamma=180°-62,8°-34,9°=82,3°$
Der Winkel $\gamma$ beträgt $\gamma=82,3°$.
b)
$\blacktriangleright$ Abstand von $\boldsymbol{P}$ zum Punkt $\boldsymbol{B}$ berechnen
Der Abstand von $P$ zum Punkt $B$ lässt sich über die Tangens-Beziehung berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=&\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \tan(\beta)&=&\frac{p}{\overline{PB}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{PB} \mid\; : \tan(\beta) \\[5pt] \overline{PB}&=&\frac{p}{\tan(\beta)} \\[5pt] \overline{PB}&=&\frac{1,2\;\text{m}}{\tan(34,9°)} \\[5pt] \overline{PB}&\approx&1,72\;\text{m} \\[5pt] \end{array}$
Der Abstand vom Punkt $P$ zum Punkt $B$ beträgt ca. $1,72\;\text{m}$.
c)
$\blacktriangleright$ Länge der Dachschräge $\boldsymbol{\overline{|BC|}}$ berechnen
Die Länge der Dachschräge $\overline{|BC|}=a$ lässt sich über den Sinussatz berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{a}{\sin(\alpha)}&=&\frac{b}{\sin(\beta)} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sin(\alpha) \\[5pt] a&=&\frac{b}{\sin(\beta)}\cdot \sin(\alpha)\\[5pt] a&=&\frac{4,5\;\text{m}}{\sin(34,9°)}\cdot \sin(62,8°)\\[5pt] a&\approx&7,0\;\text{m} \end{array}$
Die Dachschräge ist ca. $7\;\text{m}$ lang.
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt der Dachfläche berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A_{ges}&=& A_1+A_2 &\quad \scriptsize \\[5pt] A_{ges}&=& 7,0\;\text{m} \cdot 8\;\text{m}+4,5\;\text{m}\cdot 8\;\text{m} &\quad \scriptsize \\[5pt] A_{ges}&=& 92\;\text{m}^2 \end{array}$
Es müssen $92\;\text{m}^2$ Dachfläche isoliert werden.
#sinussatz#winkel#tangens#flächeninhalt
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