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Aufgabe 5

Aufgaben
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Funktionen

a)
Die Gerade $g$ ist der Graph einer linearen Funktion.
Sie verläuft durch die Punkte $P(-4\;|\;-1)$ und $L(2\;|\;2)$.
(3 P)
Zeichne die Gerade $g$ in ein Koordinatensystem.

Weise nach, dass $y=\frac{1}{2}x+1$ eine Gleichung für die Gerade $g$ ist.
b)
Der Punkt $A(-10\;|\;y)$ liegt auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y=\frac{1}{2}x+1$.
(2 P)
Berechne die $y$-Koordinate des Punktes $A$.
Die Abbildung zeigt die Parabel $p$ mit der Gleichung: $y=(x+3)^2-2$
c)
Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel $p$ an.
(1 P)
$S(\;|\;)$
*d)
Weise nach, dass die Gleichung für die Parabel $p$ in der Form $y=x^2+6x+7$ geschrieben werden kann.
(4 P)

Berechne die Nullstellen dieser Funktion.
*e)
Die Parabel $q$ entsteht, wenn man die Parabel $p$ um zwei Einheiten nach oben verschiebt und anschließend an der $x$-Achse spiegelt.
(2 P)
Gib die Gleichung der Parabel an.
#scheitelpunkt#geradengleichung#parabel
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$ Gerade in ein Koordinatensystem einzeichnen
Durch Einzeichnen der Punkte in ein Koordinatensystem und anschließendem Verbinden der Punkte, erhält man die Gerade $g$.
$\blacktriangleright$ Richtigkeit der Funtkionsgleichung nachweisen
Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes, kann überprüft werden, ob die gegebene Gleichung die Gerade $g$ beschreibt.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\frac{1}{2}x+1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Koordinaten von P einsetzen} \\[5pt] -1&=&\frac{1}{2}\cdot (-4)+1\\[5pt] -1&=&-1 \end{array}$
Die vorgegebene Gleichung beschreibt die Gerade $g$.
b)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{y}$-Koordinate berechnen
Durch Einsetzen der $x$-Koordinate in die Funktionsgleichung von $g$, erhält man den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\frac{1}{2}x+1 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&\frac{1}{2}\cdot (-10)+1 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&-4 \end{array}$
Die Koordinaten des Punktes $A$ lauten $A(-10\;|\;-4)$.
c)
$\blacktriangleright$ Scheitelpunkt angeben
Durch Ablesen der Koordinaten des Scheitelpunktes (tiefster Punkt der Parabel), ergibt sich $S(-3\;|\;-2)$.
d)
$\blacktriangleright$ Richtigkeit der Schreibweise nachweisen
Durch Verwendung der $1.$ Binomischen Formel, ergibt sich folgende Umformung: $\begin{array}[t]{rll} y&=&(x+3)^2-2 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2+3^2+2\cdot3\cdot x-2 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2+6x+7 \end{array}$
Die Umformung ist korrekt.
$\blacktriangleright$ Nullstellen berechnen
Die Nullstellen können mithilfe der $pq$-Formel berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&x^2+6x+7 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{6}{2}\right)^2-7} \\[5pt] x_{1,2}&=& -3 \pm \sqrt{9-7} \\[5pt] x_{1,2}&=& -3 \pm \sqrt{2} \\[5pt] \end{array}$
Die Nullstellen des Graphen sind $x_1=-3+\sqrt{2}$ und $x_2=-3-\sqrt{2}$.
e)
$\blacktriangleright$ Gleichung der Parabel $\boldsymbol{q}$ angeben
Durch Verschiebung der Parabel $p$ um zwei Einheiten nach oben, befindet sich der Scheitelpunkt nun auf der $x$-Achse. Durch Spiegelung der Parabel $p$ an der $x$-Achse, entsteht eine Parabel, die um $3$ Einheiten nach links verschoben und nach unten geöffnet ist. Es ergibt sich:
$y=-(x+3)^2$
Die Gleichung der Parabel $q$ lautet $y=-(x+3)^2$.
#nullstelle#geradengleichung#binomischeformeln#parabel
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