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Aufgabe 2

Aufgaben
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Funktionen
(12 P)

a)
Ermittle die Werte für die Parameter $c$ und $a$.
(2 P)
b)
Prüfe, ob die folgende Wertetabelle zur Funktion $f$ gehört und begründe deine Entscheidung.
(2 P)
$x$$-3$$-1$$1$
$y$$\dfrac{1}{3}$$\dfrac{4}{3}$$3$
c)
Wird der Graph $f$ längs der $y$-Achse um eine Einheit nach oben verschoben, so schneidet er den Graphen $g$ einer linearen Funktion $g(x)$ genau auf der $y$-Achse. Der Anstieg dieser Geraden $g$ ist $-2$.
  • Zeichne die Gerade $g$ in das Koordinatensystem.
  • Gebe die Funktionsgleichung $g(x)$ an.
(3 P)
d)
Gegeben ist die Parabel $p$ mit der Gleichung $p(x) = (x-3)^2 + 2.$
  • Zeichne die Parabel $p$ in das Koordinatensystem.
  • Begründe, dass die Parabel $p$ genau einen Schnittpunkt mit dem Graphen $f$ hat.
(3 P)
e)
Die Punkte $P(2 \mid 4,5)$ und $Q(0 \mid 5)$ bilden mit dem Koordinatenursprung ein Dreieck. Berechne den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
(2 P)
#exponentialfunktion#dreieck
Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$ Parameter $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{c}$ bestimmen
Du weißt, dass die Funktion $f$ die Form $f(x) = c \cdot a^x$ hat. Um nun konkrete Werte für $a$ und $c$ zu erhalten, brauchst du zwei Punkte auf der Funktion, die du in die Funktionsgleichung einsetzen kannst.
b)
$\blacktriangleright$ Wertetabelle untersuchen
Deine Aufgabe besteht darin zu prüfen, ob die vorliegende Wertetabelle zur Funktion $f$ gehört. Da du die Funktionsgleichung in Aufgabenteil a) bestimmt hast, musst du die Wertepaare $(-3 \mid \frac{1}{3})$, $(-1 \mid \frac{4}{3})$ und $(1 \mid \frac{1}{3})$ in die Funktionsgleichung einsetzen und überprüfen, ob die Gleichung erfüllt wird.
c)
$\blacktriangleright$ Graph zeichnen und Funktionsgleichungs $\boldsymbol{g(x)}$ angeben
Verschiebst du den Graphen $f$ entlang der $y$-Achse um eine Einheit nach oben, so schneidet $f$ die $y$-Achse nicht mehr im Punkt $(0 \mid 2)$, sondern im Punkt $(0 \mid 3)$. Demnach haben die Graphen $f$ und $g$ als gemeinsamen Punkt $(0 \mid 3).$ Du weißt, dass die Funktion $g$ eine lineare Funktion ist, d.h. $g$ hat die Form
$y = mx + c$
$y = mx + c$
d)
$\blacktriangleright$ Parabel $\boldsymbol{p}$ einzeichnen und einzigen Schnittpunkt mit $f$ begründen
Setze in die Parabelgleichung $p(x) = (x-3)^2 + 2$ einige Werte ein, um bestimmte Punkte in das Koordinatensystem einzeichnen zu können. Anschließend kannst du dich beim Zeichnen an diesen Punkten orientieren.
Um zu begründen, dass es nur ein Schnittpunkt gibt, betrachtest du die Steigung beider Funktionen für $x$-Werte, die größer sind als die vom Schnittpunkt. Für Werte, die kleiner sind als der $x$-Wert vom Schnittpunkt, betrachtest du die Funktionswerte $f(x)$ und $p(x).$
e)
$\blacktriangleright$ Parameter $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{c}$ bestimmen
Du hast ein Dreieck im Koordinatensystem gegeben. Willst du den Flächeninhalt $A$ eines Dreiecks $ABC$ im Koordinatensystem berechnen, so verwendest du folgende Formel:
$A = \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} a_x& b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix}$
$A = \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} a_x& b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix}$
Dabei sind $\overrightarrow{AB} = \pmatrix{a_x \\ a_y}$ und $\overrightarrow{AC} = \pmatrix{b_x \\ b_y}.$
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a)
$\blacktriangleright$ Parameter $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{c}$ bestimmen
Du weißt, dass die Funktion $f$ die Form $f(x) = c \cdot a^x$ hat. Um nun konkrete Werte für $a$ und $c$ zu erhalten, brauchst du zwei Punkte auf der Funktion, die du in die Funktionsgleichung einsetzen kannst. Du siehst im Koordinatensystem, dass der Graph der Funktion durch den Punkt $(0 \mid 2)$ geht. Setze diesen Punkt in die Funktionsgleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} 2 &=& c \cdot a^0 \\[5pt] &=& c \cdot 1 \\[5pt] c &=& 2 \end{array}$
Des Weiteren hast du den Punkt $P(2 \mid 4,5)$ gegeben. Setze die Koordinaten des Punktes in die Gleichung ein, um den Parameter $a$ zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} 4,5 &=& 2 \cdot a^{2} &\quad \scriptsize \mid\ :2 \\[5pt] 2,25 &=& a^2 &\quad \scriptsize \mid\ \sqrt{} \\[5pt] a &=& 1,5 \end{array}$
Somit lautet die gesuchte Funktionsgleichung $f(x) = 2 \cdot 1,5^x.$
b)
$\blacktriangleright$ Wertetabelle untersuchen
Deine Aufgabe besteht darin zu prüfen, ob die vorliegende Wertetabelle zur Funktion $f$ gehört. Da du die Funktionsgleichung in Aufgabenteil a) bestimmt hast, musst du die Wertepaare $(-3 \mid \frac{1}{3})$, $(-1 \mid \frac{4}{3})$ und $(1 \mid \frac{1}{3})$ in die Funktionsgleichung einsetzen und überprüfen, ob die Gleichung erfüllt ist.
$\begin{array}[t]{rll} f(-3)&=& 2 \cdot 1,5^{-3}\\[5pt] &=& 2 \cdot \left( \dfrac{3}{2} \right)^{-3} \\[5pt] &=& 2 \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^{3} \\[5pt] &=& 2 \cdot \dfrac{8}{27} \\[5pt] &=& \dfrac{16}{27} \\[5pt] &\neq& \dfrac{1}{3} \end{array}$
Du siehst bereits anhand des ersten Wertepaars, dass die Wertetabelle nicht zur Funktion $f$ gehören kann.
c)
$\blacktriangleright$ Graph zeichnen und Funktionsgleichungs $\boldsymbol{g(x)}$ angeben
Verschiebst du den Graphen $f$ entlang der $y$-Achse um eine Einheit nach oben, so schneidet $f$ die $y$-Achse nicht mehr im Punkt $(0 \mid 2)$, sondern im Punkt $(0 \mid 3)$. Demnach haben die Graphen $f$ und $g$ als gemeinsamen Punkt $(0 \mid 3).$ Du weißt, dass die Funktion $g$ eine lineare Funktion ist, d.h. $g$ hat die Form
$y = mx + c$
$y = mx + c$
Dir ist bekannt, dass die Funktion eine Steigung von $m = -2$ hat und die $y$-Achse im Punkt $(0 \mid 3)$ schneidet, d.h. $c = 3.$ Demzufolge ist die Funktionsgleichung gegeben durch:
$\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& -2x + 3 \end{array}$
Aufgabe 2
Abb. 1: Die verschobene Funktion $f'$ und die lineare Funktion $g$
Aufgabe 2
Abb. 1: Die verschobene Funktion $f'$ und die lineare Funktion $g$
d)
$\blacktriangleright$ Parabel $\boldsymbol{p}$ einzeichnen und einzigen Schnittpunkt mit $f$ begründen
Aufgabe 2
Abb. 2: Funktion $f$ und Parabel $p$
Aufgabe 2
Abb. 2: Funktion $f$ und Parabel $p$
Nun musst du begründen, warum die beiden Funktionen $f$ und $p$ genau einen Schnittpunkt $(x_1 \mid y_1)$ haben. Eine Möglichkeit ist folgende:
Im Schaubild hast du die zwei Funktionen $f$ und $p$ eingezeichnet. Du kannst deutlich erkennen, dass $p(x)$ für $x$-Werte kleiner als $x_1$ größer als $f(x)$ ist. Für $x$-Werte größer als $x_1$ ist $f(x)$ größer als $p(x)$, denn die Steigung von $f$ ist nach dem Schnittpunkt für jeden $x$-Wert streng größer als von $p$.
Somit haben die Funktionen $f$ und $p$ genau einen Schnittpunkt.
e)
$\blacktriangleright$ Parameter $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{c}$ bestimmen
Trage die gegebenen Punkte in das Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte. Du kannst ablesen, dass die Grundseite $5\;\text{LE}$ lang ist und die zugehörige Höhe des Dreiecks $2\;\text{LE}$ beträgt, daraus ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot G \cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 5\;\text{LE} \cdot 2\;\text{LE}\\[5pt] &=& 5\;\text{LE}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ$ beträgt demnach $5$ Flächeneinheiten.
#dreieck#quadratischefunktion#exponentialfunktion#vektoren
Bildnachweise [nach oben]
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