Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BB, Gymnasium
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 10
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur eA (WTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur GK bis 2013 (WTR)
Abitur GK bis 2013 (CAS)
Prüfung am Ende der 10
VERA 8
Prüfung am En...
Prüfung
wechseln
Abitur eA (WTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur GK bis 2013 (WTR)
Abitur GK bis 2013 (CAS)
Prüfung am Ende der 10
VERA 8
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Aufgabe 4

Aufgaben
Download als Dokument:PDF

Stadtbrücke
(10P)

Aufgabe 4
Abb. 1: Skizze nicht maßstabsgerecht
Aufgabe 4
Abb. Zahl: Skizze nicht maßstabsgerecht
a)
Die $15,2 \text{ m}$ breite Fahrbahn auf der Brücke muss erneuert werden. Die geplanten Sanierungskosten für einen Quadratmeter liegen bei $150$ €.
Berechne die Kosten für die Fahrbahnsanierung auf der Brücke.
(2 P)
b)
Die Stadtgrenze von A verläuft so, dass $30 \%$ der Brücke zur Stadt A, der Rest der Brücke bereits zur Stadt B gehören.
Berechne die Länge der Brücke, die zur Stadt B gehört.
(1 P)
c)
Ein Teil der Brücke wird von einem Parabelbogen überspannt. Die Parabel $p$ kann näherungsweise durch die Gleichung $p(x) = -0,0085x^2 + 12$ beschrieben werden.
(Hinweis: Die $x$-Achse liegt auf Fahrbahnhöhe.)
Vervollständige die folgende Wertetabelle $(x \geq 0).$
$x$01020
$y$ 0
Berechne die Spannweite des Parabelbogens.
Gebe die maximale Höhe des Parabelbogens über der Fahrbahn an.
(4 P)
d)
Aufgabe 4
Abb. 2: Skizze nicht maßstabsgerecht
Aufgabe 4
Abb. 2: Skizze nicht maßstabsgerecht
(3 P)
#quadratischefunktion#prozentrechnen
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF
a)
$\blacktriangleright$ Sanierungskosten berechnen
Im ersten Schritt berechnest du den Flächeninhalt $A$ der Fahrbahn, um die Fläche anschließend mit den Kosten für ein Quadratmeter zu multiplizieren.
b)
$\blacktriangleright$ Anteil von Stadt B berechnen
Die Fahrbahn ist insgesamt $252 \text{ m}$ lang. Du weißt, dass $30 \text{ %}$ der Brücke der Stadt A gehören und demzufolge $70 \text{ %}$ der Stadt $B$. Multipliziere $0,7$ mit $252 \text{ m}$, um den absoluten Wert der Stadt B zu erhalten.
c)
$\blacktriangleright$ Wertetabelle vervollständigen
Bei der Wertetabelle hast du drei $x$-Werte gegeben, die du in die Funktionsgleichung von $p$ einsetzen musst, um den dazugehörigen $y$-Wert zu erhalten.
Um nun den verbliebenen $x$-Wert zu bestimmen, setzt du die Gleichung $p(x) = -0,0085x^2 + 12$ gleich $0$ und löst sie nach $x$ auf.
$\blacktriangleright$ Spannweite des Parabelbogens berechnen
Die Spannweite des Bogens ist der Abstand der ersten Nullstelle von $p$ bis zur zweiten Nullstelle von $p$. Laut der Wertetabelle wird $p$ null, wenn $x_1 \approx 37,57.$ Da die Funktion symmetrisch ist, liegt die zweite Nullstelle bei $x_2 \approx -37,57.$
$\blacktriangleright$ Maximale Höhe des Parabelbogens angeben
Die maximale Höhe des Parabelbogens über der Fahrbahn ist das Maximum der Funktion $p$. Leite die Funktion $p$ im ersten Schritt nach $x$ ab und setze sie mit Null gleich.
d)
$\blacktriangleright$ Abstand zwischen Wasseroberfläche und Fahrbahnstück berechnen
Die Fahrbahn befindet sich $8 \text{ m}$ über der Wasseroberfläche, wenn die Brücke nicht geneigt wird. Willst du den Abstand zwischen der Wasseroberfläche und dem höchsten Punkt des geneigten Fahrbahnstücks berechnen, bestimmst du den Abstand zwischen dem höchsten Punkt des geneigten Fahrbahnstücks zum urprünglichen Fahrbahnstück und addierst $8 \text{ m}$ dazu.
Dabei kannst du dir zu Nutze machen, dass das geneigte Fahrbahnstück, die Horizontale und der Abstand zwischen dem höchsten Punkt des geneigten Fahrbahnstück und der Horizontale ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Die Hypotenuse ist dabei das $37,6 \text{ m}$ geneigte Fahrbahnstück. Außerdem hast du einen Winkel von $30°$ gegeben, sodass du mithilfe der trigonometrischen Funktionen den Abstand vom geneigten Fahrbahnstücks zur Horizontalen bestimmen kannst.
$\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
#prozentrechnen#sinusfunktion#extrempunkt
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
a)
$\blacktriangleright$ Sanierungskosten berechnen
Im ersten Schritt berechnest du den Flächeninhalt $A$ der Fahrbahn, um die Fläche anschließend mit den Kosten für ein Quadratmeter zu multiplizieren:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& 252\text{ m} \cdot 15,2 \text{ m} \\[5pt] &=& 3830,4 \text{ m}^2 \\[5pt] K &=& 3830,4 \cdot 150 \\[5pt] &=& 574.560 \end{array}$
Die Kosten $K$ für die Fahrbahnsanierung betragen demnach $574.560 \text{ €.}$
b)
$\blacktriangleright$ Anteil von Stadt B berechnen
Die Fahrbahn ist insgesamt $252 \text{ m}$ lang. Du weißt, dass $30 \text{ %}$ der Brücke zur Stadt A gehören und demzufolge $70 \text{ %}$ zur Stadt $B$. Multipliziere $0,7$ mit $252 \text{ m}$, um den absoluten Wert der Stadt B zu erhalten.
$\begin{array}[t]{rll} 0,7 \cdot 252\text{ m} &=& 176,4 \text{ m} \end{array}$
Der Stadt B gehören $176,4 \text{ m}$ der Fahrbahn.
c)
$\blacktriangleright$ Wertetabelle vervollständigen
Du hast in der Wertetabelle drei $x$-Werte gegeben, die du in die Funktionsgleichung von $p$ einsetzen musst, um den zugehörigen $y$-Wert zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} p(0) &=& -0,0085 \cdot 0^2 + 12 \\[5pt] &=& 12 \\[5pt] p(10) &=& -0,0085 \cdot 10^2 + 12 \\[5pt] &=& -0,85 + 12 \\[5pt] &=& 11,15 \\[5pt] p(20) &=& -0,0085 \cdot 20^2 + 12 \\[5pt] &=& -0,0085 \cdot 400 + 12 \\[5pt] &=& -3,4 + 12 \\[5pt] &=& 8,6 \end{array}$
Um den unbekannten $x$-Wert zu bestimmen, setzt du die Gleichung $p(x) = -0,0085x^2 + 12$ mit Null gleich und löst sie nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& -0,0085x^2 + 12 &\quad \scriptsize \mid\ -12; ~ \cdot -\dfrac{10.000}{85}\\[5pt] \dfrac{12.000}{85}&=& x^2 &\quad \scriptsize \mid\ \sqrt{} \\[5pt] x &\approx& 37,57 \end{array}$
Es folgt:
$x$0102037,57
$y$1211,158,60
$\blacktriangleright$ Spannweite des Parabelbogens berechnen
Die Spannweite des Bogens ist der Abstand der ersten Nullstelle von $p$ bis zur zweiten Nullstelle von $p$. Laut der Wertetabelle wird $p$ null, wenn $x_1 \approx 37,57.$ Da die Funktion symmetrisch ist, liegt die zweite Nullstelle bei $x_2 \approx -37,57.$ Somit gilt für die Spannweite $S$:
$\begin{array}[t]{rll} S &=& 2 \cdot 37,57 \\[5pt] &=& 75,14 \end{array}$
Die Spannweite des Bogens beträgt demnach ca. $75,14 \text{ m}.$
$\blacktriangleright$ Maximale Höhe des Parabelbogens angeben
Die maximale Höhe des Parabelbogens über der Fahrbahn ist das Maximum der Funktion $p$. Leite die Funktion $p$ im ersten Schritt nach $x$ ab und setze sie gleich $0$.
$\begin{array}[t]{rll} p'(x) &=& -0,017x \end{array}$
Setze nun $p'$ gleich $0$, um einen potentiellen Extrempunkt zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} p'(x) &=& 0 \\[5pt] -0,017x &=& 0 \\[5pt] x_1 &=& 0 \end{array}$
Nun musst du im nächsten Schritt mit Hilfe der zweiten Ableitung nachweisen, dass es sich um ein lokales Maximum handelt. Alternativ kannst du folgende Überlegung machen: $p$ ist eine Funktion $2.$ Grades und achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Der Faktor vor $x^2$ ist negativ, d.h. die Parabel ist nach unten geöffnet. Demzufolge besitzt $p$ genau ein Maximum und keine weiteren Extrempunkte. $x_1 = 0$ ist also ein Maximum.
Setze $x_1$ in die Funktionsgleichung von $p$ ein, um die maximale Höhe über der Fahrbahn zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} p(0) &=& -0,0085 \cdot 0^2 + 12 \\[5pt] &=& 12 \end{array}$
Die maximale Höhe über der Fahrbahn beträgt $12 \text{ m}.$
d)
$\blacktriangleright$ Abstand zwischen Wasseroberfläche und Fahrbahnstück berechnen
Die Fahrbahn befindet sich $8 \text{ m}$ über der Wasseroberfläche, wenn die Brücke nicht geneigt wird. Musst du den Abstand zwischen der Wasseroberfläche und dem höchsten Punkt des geneigten Fahrbahnstücks berechnen, bestimmst du den Abstand zwischen dem höchsten Punkt des geneigten Fahrbahnstücks zum urprünglichen Fahrbahnstück und addierst $8 \text{ m}$ dazu.
Dabei kannst du dir zu Nutze machen, dass das geneigte Fahrbahnstück, die Horizontale und der Abstand zwischen dem höchsten Punkt des geneigten Fahrbahnstück und der Horizontale ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Die Hypotenuse ist dabei das $37,6 \text{ m}$ geneigte Fahrbahnstück. Außerdem hast du einen Winkel von $30°$ gegeben, sodass du mithilfe der trigonometrischen Funktionen den Abstand vom geneigten Fahrbahnstücks zur Horizontalen bestimmen kannst.
$\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Löse diese Gleichung nach der Gegenkathete auf und setze die bekannten Werte in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha) &=& \dfrac{G}{H} &\quad \scriptsize \mid\ \cdot H \\[5pt] G &=& \sin(\alpha) \cdot H \\[5pt] &=& \sin(30°) \cdot 37,6 \text{ m}\\[5pt] &=& 18,8 \text{ m} \end{array}$
Für den Abstand zwischen dem höchsten Punkt des Fahrbahnstück und der Wasseroberfläche gilt:
$\begin{array}[t]{rll} h &=& 8\text{ m} + 18,8\text{ m} \\[5pt] &=& 26,8 \text{ m} \end{array}$
Der gesuchte Abstand beträgt somit $26,8 \text{ m}.$
#sinusfunktion#extrempunkt#prozentrechnen
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App