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Aufgabe 3

Aufgaben
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Goldreserven

Im Jahr 2017 wurde aus dem Bode-Museum in Berlin eine der größten Goldmünzen der Welt gestohlen. Der Materialwert der Münze beträgt $3,8$ Millionen Euro.
Die Münze hat eine Masse von $100\,\text{kg}$ und einen Durchmesser von $53\,\text{cm}.$
Ein Kubikzentimeter Gold wiegt $19,3\,\text{g}.$
a)
Die Münze hat die Form eines Zylinders. Berechne das Volumen der Münze.
(2 P)
Aufgabe 3
Abb. 1: Skizze nicht maßstabsgerecht
Aufgabe 3
Abb. 1: Skizze nicht maßstabsgerecht
b)
Zeige rechnerisch, dass der Winkel $\beta$ in der trapezförmigen Fläche eine Größe von ca. $79^{\circ}$ hat.
(2 P)
#trapez
c)
Berechne die Masse eines Barrens.
Ermittle die Anzahl der Barren, die dem Materialwert der Goldmünze entsprechen.
(4 P)
Im Diagramm wird durch zwei verschiedene Graphen die Entwicklung des jeweils höchsten bzw. niedrigsten Goldkurses im Zeitraum von 2010 bis 2016 dargestellt.
Hoch und Tief der historischen Goldkursentwicklung
d)
Gib den höchsten Goldkurs im abgebildeten Zeitraum an.
Berechne den mittleren Goldwert im Jahr 2016.
(2 P)
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Volumen der Münze berechnenAufgabe 3
Gegeben sind die Masse der Goldmünze mit $m=100\,\text{kg}$ und die Dichte von Gold mit $\rho = 19,3\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}.$ Setze diese Werte in die Formel für die Dichte ein und löse die Gleichung nach dem Volumen $V:$
$\begin{array}[t]{rll} \rho&=& \frac{m}{V} \\[5pt] 19,3\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}&=& \frac{100\,\text{kg}}{V} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot V \\[5pt] V\cdot 19,3\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}&=& 100\,\text{kg} \\[5pt] V\cdot 19,3\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}&=& 100.000\,\text{g} &\quad \scriptsize \mid\;:19,3\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \\[5pt] V&\approx& 5.181,3\,\text{cm}^3 \end{array}$
$ V\approx 5.181,3\,\text{cm}^3 $
Das Volumen der Münze beträgt ca. $5.181,3\,\text{cm}^3 .$
#dichte
b)
$\blacktriangleright$  Winkel zeigen
Aufgabe 3
Abb. 1: Trapez
Aufgabe 3
Abb. 1: Trapez
Die Gegenkathete zu $\beta$ ist also:
$a= 51,4\,\text{mm}$
Die Ankathete von $\beta$ ist:
$b = 10\,\text{mm}$
Du kannst also den Tangens verwenden, um $\beta$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \beta &=& \frac{\text{Gegenkatheten}}{\text{Ankathete}} \\[5pt] \tan \beta &=& \frac{51,4\,\text{mm}}{10\,\text{mm}} \\[5pt] \tan \beta&=& 5,14&\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \beta&\approx& 79,0^{\circ} \end{array}$
$ \beta \approx 79,0^{\circ} $
Der Winkel $\beta$ ist also ca. $79^{\circ}$ groß.
#tangens
c)
$\blacktriangleright$  Masse eines Barrens berechnen
Berechne zuerst das Volumen eines Barrens, um dann anhand der Dichte des Goldes die Masse zu berechnen.
Berechne dazu zunächst den Flächeninhalt des Trapezes, das die Grundfläche des Prismas darstellt.
1. Schritt: Flächeninhalt des Trapezes berechnen
Du kennst sowohl die Höhe als auch die Längen der beiden parallelen Seiten des Trapezes:
  • $a= 80\,\text{mm}$
  • $c = 60\,\text{mm}$
  • $h= 51,4\,\text{mm}$
Mit der entsprechenden Formel erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} G &=& \frac{1}{2}\cdot (a+c)\cdot h \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(80\,\text{mm}+60\,\text{mm} \right) \cdot 51,4\,\text{mm} \\[5pt] &=& 3.598\,\text{mm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ G = 3.598\,\text{mm}^2 $
2. Schritt: Volumen eines Barrens berechnen
Die Höhe des Prismas ist $h = 180\,\text{mm}.$ Mit der entsprechenden Formel für das Volumen eines Prismas ergibt sich also:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& G\cdot h \\[5pt] &=& 3.598\,\text{mm}^2\cdot 180\,\text{mm}\\[5pt] &=& 647.640\,\text{mm}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V = 647.640\,\text{mm}^3 $
Das Gewicht von Gold ist in der Aufgabenstellung pro Kubikzentimeter angegeben. Rechne das Volumen also noch um:
$V =647.640\,\text{mm}^3 = 647,64\,\text{cm}^3 $
3. Schritt: Masse berechnen
Ein Kubikzentimeter Gold wiegt $19,3\,\text{g}:$
$m =647,64\,\text{cm}^3 \cdot 19,3\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 12.499,452 \,\text{g} \approx 12,5\,\text{kg}$
$ m \approx 12,5\,\text{kg} $
Die Masse eines Goldbarrens beträgt also ca. $12,5\,\text{kg}.$
$\blacktriangleright$  Anzahl der Barren berechnen
Damit der Materialwert übereinstimmt, muss die Masse übereinstimmen.
Die Masse der Goldmünze beträgt $100\,\text{kg}.$ Die Masse eines Goldbarrens beträgt ca. $12,5\,\text{kg}.$
$100\,\text{kg} : 12,5\,\text{kg} = 8 $
$8$ Goldbarren entsprechen also dem Materialwert der Goldmünze.
#prisma
d)
$\blacktriangleright$  Höchsten Goldkurs angeben
Den höchsten Goldkurs gab es im Jahr 2011 mit ca. $1900,00\,\text{US}\, \$ $ pro Feinunze.
$\blacktriangleright$  Mittleren Goldwert 2016 berechnen
Der höchste Goldwert im Jahr 2016 ist mit $1366,25$ angegeben, der tiefste mit $1077,00.$
$\dfrac{1366,25 + 1077,00}{2} = 1.221,625$
$ …1.221,625 $
Der mittlere Goldwert im Jahr 2016 ist also ca. $1.221,63\,\text{US}\,\$.$
#mittelwert
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