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Aufgabe 4

Aufgaben
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#drachenviereck
a)
Zeige rechnerisch, dass Emil eine senkrechte Leiste mit einer Länge von einem Meter benötigt.
Drachenviereck
Abb. 2: Skizze nicht maßstabsgerecht
Drachenviereck
Abb. 2: Skizze nicht maßstabsgerecht
(3 P)
b)
Berechne die Länge der waagerechten Holzleiste.
(3 P)
c)
Emil möchte an seinem Drachen eine Schnur mit Schleifen befestigen. In einem Karton befinden sich sechs rote und zwei blaue Schleifen.
Er entnimmt dem Karton ohne hinzuschauen Schleifen.
Beschreibe das Ereignis $E,$ zu dem die Wahrscheinlichkeit mit der folgenden Gleichung berechnet wird:
$P(E)= \frac{6}{8}\cdot \frac{5}{7}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{14}$
(2 P)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
Public Domain.
[2]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Länge der senkrechten Leiste zeigen
Dreiecksskizze
Abb. 1: Skizze
Dreiecksskizze
Abb. 1: Skizze
1. Schritt: Seitenlänge $\boldsymbol{a}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 2,65\,\text{m} &=& 2\cdot c +2\cdot a &\quad \scriptsize \mid\; c= 51\,\text{cm} \\[5pt] 2,65\,\text{m} &=& 2\cdot 51\,\text{cm} + 2\cdot a \\[5pt] 2,65\,\text{m} &=& 102\,\text{cm} +2\cdot a &\quad \scriptsize \mid\; \text{Einheiten anpassen} \\[5pt] 265\,\text{cm} &=& 102\,\text{cm} +2\cdot a &\quad \scriptsize \mid\; -102\,\text{cm} \\[5pt] 163\,\text{cm} &=& 2\cdot a &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] 81,5\,\text{cm} &=& a \\[5pt] \end{array}$
$ a = 81,5\,\text{cm} $
2. Schritt: Länge der senkrechten Leiste berechnen
Mit dem Kosinussatz folgt:
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=& a^2 +c^2 -2ac\cdot \cos \beta \\[5pt] b^2&=& \left(81,5\,\text{cm}\right)^2 + \left(51\,\text{cm}\right)^2 -2\cdot 81,5\,\text{cm}\cdot 51\,\text{cm}\cdot\cos 95,9^{\circ} \\[5pt] b^2&\approx& 10.097,76\,\text{cm}^2 \\[5pt] b&\approx& 100,5\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
$ b \approx 100,5\,\text{cm} $
Emil benötigt also eine senkrechte Leiste mit einer Länge von ca. $100\,\text{cm} = 1\,\text{m}.$
#kosinussatz
b)
$\blacktriangleright$  Länge der waagerechten Leiste berechnen
Skizze
Abb. 2: Skizze
Skizze
Abb. 2: Skizze
1. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen
Verwende den Sinussatz:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{b}{\sin \beta}&=& \dfrac{a}{\sin \alpha}\\[5pt] \dfrac{100,5\,\text{cm}}{\sin 95,9^{\circ} }&=& \dfrac{81,5\,\text{cm}}{\sin \alpha} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin \alpha\\[5pt] \sin \alpha \cdot \dfrac{100,5\,\text{cm}}{\sin 95,9^{\circ} } &=& 81,5\,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\; : \dfrac{100,5\,\text{cm}}{\sin 95,9^{\circ} } \\[5pt] \sin \alpha &\approx& 0,81 &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 54,1^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 54,1^{\circ} $
2. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h}$ berechnen
Betrachte nun das kleinere obere Dreieck. Dieses ist rechtwinklig. Du kennst die Größe des Winkels $\alpha$ und die Länge der Hypotenuse $c.$ Gesucht ist die Länge der Gegenkathete $h.$ Diese kannst du also mit dem Sinus berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha &=& \dfrac{h}{c} \\[5pt] \sin 54,1^{\circ} &=& \dfrac{h}{51\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 51\,\text{cm} \\[5pt] 41,3\,\text{cm} &\approx& h \end{array}$
$ h\approx 41,3\,\text{cm} $
Die gesamte waagerechte Holzleiste hat also die Länge $2\cdot 41,3\,\text{cm} = 82,6\,\text{cm}.$
#sinussatz#sinus
c)
$\blacktriangleright$  Ereignis beschreiben
Da sich zu Beginn insgesamt acht Schleifen im Karton befinden und davon sechs rot sind, ist der erste Faktor $\frac{6}{8}$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste Schleife, die Emil entnimmt, rot ist.
Anschließend befinden sich nur noch sieben Schleifen im Karton, von denen noch fünf rot sind. Der zweite Faktor $\frac{5}{7}$ ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die anschließend entnommene zweite Schleife ebenfalls rot ist.
Das lässt sich dann für die anderen beiden Faktoren fortsetzen.
$E$ ist also das Ereignis, dass die ersten vier Schleifen, die Emil dem Karton entnimmt, alle rot sind.
#pfadregeln#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
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