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Aufgabe 2.1

Aufgaben
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Fischlogo

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ durch $f_a(x)=\dfrac{x}{a}\cdot\ln\left(\dfrac{x}{a}\right);$ $a\in\mathbb{R};$ $a>0$.
Die zugehörigen Graphen sind $G_a$.
Des Weiteren ist die Funktion $h$ durch $h(x)=\frac{1}{10}\mathrm{e}^{x-1}+2$ gegeben.
Der Graph dieser Funktion ist K .
#funktionenschar
a)
Gib den Definitionsbereich von $f_a$ an.
Berechne die Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$.
Der Punkt $T(x\mid 1)$ liegt auf dem Graphen $G_4.$
Ermittle dessen Koordinaten.
(6 BE)
#definitionsbereich#nullstelle
b)
Alle Graphen $G_a$ der Funktionenschar $f_a$ besitzen genau einen lokalen Extrempunkt $E(x\mid f_a(x))$.
Zeige, dass die $x$-Koordinate dieses Punktes $x=\frac{a}{e}$ ist und bestimme die Art des Extrempunktes.
Begründe, dass für den Wertebereich $W$ aller Funktionen der Schar $f_a$ gilt:
$W=\{y\mid y\in\mathbb{R},\;y\geq -\mathrm e^{-1}\}$.
(8 BE)
#extrempunkt#wertebereich
c)
Die Funktionenschar $\tilde f_a$ ist durch $\tilde f_a(x)=\frac{x}{a}\cdot \ln \left(\frac{x}{a}\right);$ $a\in \mathbb{R};$ $a <0$ gegeben.
Gib den Definitionsbereich von $\tilde f_a$ an.
Erläutere, wie sich die Lage und die Art des Extrempunktes der Graphen von $\tilde f_a$ ohne Rechnung aus der Lage und der Art des Extrempunktes der Graphen von $\tilde f_a$ ergeben.
(4 BE)
#definitionsbereich#extrempunkt
d)
Untersuche $K$ auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
Gib das Verhalten der Funktionswerte von $h$ für $x\to +\infty$ und für $x\to -\infty$ an.
(4 BE)
e)
An die Graphen der Funktionen $h$ und ihrer Ableitungsfunktion $h′$ wird in den Punkten $B(u\mid h(u))$ und $B'(u\mid h'(u))$ mit $u\in\mathbb{R}$ jeweils eine Tangente gelegt.
Beschreibe die besondere Lage dieser beiden Tangenten zueinander.
Begründe deine Aussage.
(3 BE)
#ableitung#tangente
Der Inhaber eines Geschäftes für Anglerbedarf möchte seine Außenwerbung verbessern.
Er entwirft als Logo einen großen Fisch, dessen Konturen durch Lichtschläuche gebildet werden.
Der Durchmesser der Lichtschläuche kann vernachlässigt werden.
Fischlogo
Abb. 1: Abbildung nicht maßstabsgerecht
Fischlogo
Abb. 1: Abbildung nicht maßstabsgerecht
f)
Der Fischrücken soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion $p$ zweiten Grades im Intervall $-9\leq x\leq 4$ modelliert werden.
Ermittle eine Funktionsgleichung für $p$.
[Kontrollergebnis: $p(x)=-\dfrac{2}{25}x^2-\dfrac{4}{25}x+\dfrac{148}{25}$]
(5 BE)
#quadratischefunktion
g)
Für den Bauch des Fisches wird der Graph $K$ gewählt.
Es werden zwei senkrechte farbige Streifen zwischen dem Graphen $K$ und dem Graphen der Funktion $p$ gemalt.
Der erste Streifen liegt im Intervall $[-6;-4].$
Berechne den Flächeninhalt dieses Streifens.
Der zweite Streifen liegt im Intervall $[b;0]$ mit $b\in \mathbb{R};\, b< 0$ und hat die gleiche Breite wie der erste Streifen.
Ermittle, um wie viel Prozent der Flächeninhalt des zweiten Streifens größer ist als der Flächeninhalt des ersten Streifens.
(6 BE)
h)
Das Fischmaul wird durch den Graphen der Funktion $m$ im Intervall $0,5 \leq x\leq 4$ beschrieben. Der Graph der Funktion $m$ ist der um $4$ Einheiten entlang der $y$-Achse nach oben verschobene Graph $G_4$.
Gib eine zugehörige Funktionsgleichung für $m$ an.
Das Fischauge befindet sich im Punkt $A$. Über die Lage des Punktes $A$ ist Folgendes bekannt:
  • $A$ liegt auf der Strecke zwischen Rücken und Maul, die parallel zur $y$-Achse verläuft, für die der senkrechte Abstand von Rücken und Maul am größten ist.
  • $A$ liegt genau in der Mitte dieser Strecke.
Beschreibe, wie die Koordinaten des Punktes $A$ berechnet werden können.
(4 BE)

(40 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
#cas
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich angeben
Der Definitionsbereich von $f_a$ wird lediglich dadurch eingeschränkt, dass der Logarithmus nur für positive Argumente definiert ist. Es muss also $x>0$ sein:
$D_a = \{x\mid \in \mathbb{R}, x> 0 \}$
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& 0 \\[5pt] \frac{x}{a} \cdot \ln\left(\frac{x}{a} \right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : \frac{x}{a} \neq 0 \\[5pt] \ln\left(\frac{x}{a} \right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\mathrm e \\[5pt] \frac{x}{a} &=& \mathrm e^0 \\[5pt] \frac{x}{a} &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a \\[5pt] x &=& a \end{array}$
$f_a$ besitzt die einzige Nullstelle $x=a.$
$\blacktriangleright$  Koordinaten ermitteln
Bestimme $x$ mit $g_4(x)=1.$ Die Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen.
$\begin{array}[t]{rll} g_4(x) &=& 1 \\[5pt] \frac{x}{4}\cdot \ln \left(\frac{x}{4} \right)&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x &\approx& 7,05 \end{array}$
Die Koordinaten lauten $T(7,05\mid 1).$
#logarithmus
b)
$\blacktriangleright$  Koordinate des Extrempunkts zeigen
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden
Mit der Produktregel und der Kettenregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& \frac{x}{a} \cdot \ln \left( \frac{x}{a}\right) \\[10pt] f_a'(x) &=& \frac{1}{a} \cdot \ln \left( \frac{x}{a}\right) + \frac{x}{a} \cdot \dfrac{1}{\frac{x}{a}}\cdot \frac{1}{a} \\[5pt] &=& \frac{1}{a} \cdot \ln \left( \frac{x}{a}\right) + \frac{1}{a} \\[10pt] f_a''(x) &=& \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{ \frac{x}{a}} \cdot \frac{1}{a} \\[5pt] &=& \frac{1}{a} \cdot \frac{a}{x} \cdot \frac{1}{a} \\[5pt] &=& \frac{1}{a\cdot x} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) =& \frac{x}{a} \cdot \ln \left( \frac{x}{a}\right) \\[10pt] f_a'(x) =& \frac{1}{a} \cdot \ln \left( \frac{x}{a}\right) + \frac{1}{a} \\[10pt] f_a''(x) =& \frac{1}{a\cdot x} \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
Für jede Extremstelle $x_E$ muss $f_a'(x_E)=0$ erfüllt sein.
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x) &=& 0 \\[5pt] \frac{1}{a} \cdot \ln \left( \frac{x}{a}\right) + \frac{1}{a} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a\neq 0 \\[5pt] \ln \left( \frac{x}{a}\right) +1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] \ln \left( \frac{x}{a}\right) &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; \mathrm e \\[5pt] \frac{x}{a} &=& \mathrm e^{-1} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt] x &=& \mathrm e^{-1} \cdot a \\[5pt] &=& \frac{a}{\mathrm e} \end{array}$
$ x = \frac{a}{\mathrm e} $
$x =\frac{a}{\mathrm e} $ ist die einzige Stelle, die das notwendige Kriterium für Extremstellen erfüllt. Da jeder Graph von $f_a$ laut Aufgabenstellung genau einen Extrempunkt besitzt muss daher $x_E = \frac{a}{\mathrm e}$ die $x$-Koordinate dieses Extrempunkts sein.
$\blacktriangleright$  Art des Extrempunkts bestimmen
Mithilfe der zweiten Ableitung und dem hinreichenden Kriterium für Extremstellen kannst du die Art des Extrempunkts bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} f_a''\left(\frac{a}{\mathrm e}\right) &=& \frac{1}{a\cdot \frac{a}{\mathrm e}} \\[5pt] &=& \frac{\mathrm e}{a^2} \\[5pt] &> & 0 \end{array}$
$ f_a''\left(\frac{a}{\mathrm e}\right) > 0 $
Da $f_a''(x_E) > 0$ ist, handelt es sich bei dem zugehörigen Extrempunkt um einen Tiefpunkt.
$\blacktriangleright$  Wertebereich begründen
Der Wertebereich einer Funktion gibt alle möglichen Funktionswerte an. Jede Funktion $f_a$ besitzt genau eine Nullstelle $x = a$ und einen Tiefpunkt mit der $x$-Koordinate $x_E = \frac{a}{\mathrm e}.$ Der zum Tiefpunkt gehörige Funktionswert ist:
$\begin{array}[t]{rll} f_a\left(\frac{a}{\mathrm e} \right)&=& \frac{\frac{a}{\mathrm e} }{a} \cdot \ln \left( \frac{\frac{a}{\mathrm e} }{a}\right) \\[5pt] &=&\frac{1}{\mathrm e} \cdot \ln \left( \frac{1}{\mathrm e}\right) \\[5pt] &=&\frac{1}{\mathrm e} \cdot \ln \left( \mathrm e^{-1}\right) \\[5pt] &=&\frac{-1}{\mathrm e}\\[5pt] &=&-\mathrm e^{-1}\\[5pt] \end{array}$
$ f_a\left(\frac{a}{\mathrm e} \right) = -\mathrm e^{-1} $
Für das Verhalten der Funktionswerte in den Grenzen des Definitionsbereichs gilt:
Für $x \to 0:\,$ $ f_a(x) =\frac{x}{a} \cdot \ln \left( \frac{x}{a}\right) \to -0 $
Für $x \to \infty:\,$ $ f_a(x) =\frac{x}{a} \cdot \ln \left( \frac{x}{a}\right) \to \infty $
Da der Graph von $f_a$ also genau eine Nullstelle und genau einen Extrempunkt besitzt, der ein Tiefpunkt mit der $y$-Koordinate $-\mathrm e^{-1}$ ist und für $x\to \infty$ auch $f_a(x)\to \infty$ gilt, nimmt $f_a(x)$ alle Werte an, die größergleich $-\mathrm e^{-1}$ sind. Der Wertebereich ist also unabhängig von $a:$
$W=\{y \mid y\in \mathbb{R} , y \geq -\mathrm e^{-1}\} $
#kettenregel#produktregel
c)
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich angeben
Der Funktionsterm von $\tilde f_a$ entspricht dem von $f_a.$ Allerdings hat sich die Voraussetzung zu $a< 0$ geändert. Analog zu Aufgabenteil a) muss auch hier das Argument des Logarithmus positiv sein. Da $a$ hier negativ ist, muss daher auch $x$ negativ sein. Der Definitionsbereich lautet hier also:
$\tilde D_a = \{x\mid x\in \mathbb{R} , x< 0\}$
$\blacktriangleright$  Lage und Art des Extrempunkts erläutern
Betrachte $a> 0$ und $x > 0.$ Dann erhältst du für $\tilde f_{-a}(-x):$
$\tilde f_{-a}(-x) = \frac{-x}{-a}\cdot \ln \left(\frac{-x}{-a} \right) = \frac{x}{a}\cdot \ln \left(\frac{x}{a} \right) = f_a(x) $
$ \tilde f_{-a}(-x) =f_a(x) $
Bei gleichem Betrag von $a$ und $x$ bleibt also der Funktionswert von $\tilde f_a$ und $f_a$ gleich. Lediglich die $x$-Koordinate bekommt ein negatives Vorzeichen.
Der Graph von $\tilde f_{-a}$ geht also aus dem Graphen von $f_{a}$ durch Spiegelung an der $y$-Achse hervor.
Dadurch entspricht die Art des Extrempunkts des Graphen von $\tilde f_{-a}$ der Art des Extrempunkts des Graphen von $f_a.$ Ebenso besitzen beide Extrempunkte die gleiche $y$-Koordinate. Lediglich die $x$-Koordinate ändert ihr Vorzeichen.
d)
$\blacktriangleright$  Graph auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen untersuchen
Für Schnittpunkte mit der $x$-Achse muss $h(x)=0$ gelten:
$\begin{array}[t]{rll} h(x) &=& 0 \\[5pt] \frac{1}{10}\mathrm e^{x-1} +2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] \frac{1}{10}\mathrm e^{x-1} &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 10 \\[5pt] \mathrm e^{x-1} &=& -10 \end{array}$
Da die Potenz einer positiven Zahl nicht negativ sein kann, hat diese Gleichung keine Lösung. Der Graph $K$ besitzt also keinen Schnittpunkt mit der $x$-Achse.
Für den Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist $x=0:$
$\begin{array}[t]{rll} h(0) &=& \frac{1}{10}\mathrm e^{0-1}+2 \\[5pt] &=& \frac{1}{10\mathrm e}+2 \end{array}$
Der Graph $K$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S(0\mid \frac{1}{10\mathrm e}+2).$
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktionswerte angeben
Für $x \to +\infty$ gilt:
$h(x)= \frac{1}{10}\cdot \underbrace{\mathrm e^{x-1}}_{\to +\infty} + 2 \to +\infty $
Für $x\to -\infty$ gilt:
$h(x)= \frac{1}{10}\cdot \underbrace{\mathrm e^{x-1}}_{\to 0} + 2 \to 2 $
e)
$\blacktriangleright$  Besondere Lage der Tangenten beschreiben und begründen
Es ist:
$\begin{array}[t]{rll} h(x) &=& \frac{1}{10}\cdot \mathrm e^{x-1} +2 \\[5pt] h'(x) &=& \frac{1}{10}\cdot \mathrm e^{x-1} \\[5pt] \end{array}$
Der Graph von $h'$ geht also aus dem Graphen von $h$ durch Verschiebung um $2$ Einheiten in negative $y$-Richtung hervor.
Die Verschiebung entlang der $y$-Achse hat keinen Einfluss auf die Steigung des Graphen. Die Steigung des Graphen von $h'$ an einer Stelle $x=u$ entspricht also der Steigung des Graphen von $h$ an derselben Stelle.
Die beiden Tangenten sind daher parallel zueinander. Die Tangente an den Graphen von $h'$ an der Stelle $x=u$ entsteht aus der Tangente an den Graphen von $h$ an der Stelle $x=u$ durch Verschiebung um zwei Einheiten in negative $y$-Richtung.
f)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung ermitteln
Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass $p$ eine ganzrationale Funktion zweiten Grades ist. Der zugehörige Graph ist also eine Parabel. Der höchste Punkt des Logos entspricht dem Scheitelpunkt der Parabel. Er hat also die Koordinaten $Q(-1\mid 6).$ Mit der Scheitelpunktform erhältst du schon einmal:
$p(x)= a\cdot (x+1)^2 +6$
$a$ ist nun so zu bestimmen, dass der Punkt $P(4\mid 4),$ der die Spitze des Fischmauls beschreibt, auf dem Graphen von $p$ liegt. Es soll also $p(4)=4$ sein. Die Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS nach $a$ lösen:
$\begin{array}[t]{rll} p(x) &=& a\cdot (x+1)^2 +6 &\quad \scriptsize \mid\; p(4)=4 \\[5pt] 4 &=& a\cdot (4+1)^2 +6 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] a &=& -\frac{2}{25} \end{array}$
$ a=-\frac{2}{25} $
Eine Funktionsgleichung von $p$ ist also:
$\begin{array}[t]{rll} p(x) &=& -\frac{2}{25} \cdot (x+1)^2 +6 \\[5pt] &=& -\frac{2}{25} x^2 -\frac{4}{25}x + \frac{148}{25} \end{array}$
#scheitelpunktform
g)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt des Streifens berechnen
Der Streifen ist die Fläche zwischen den Graphen von $p$ und $h$ im Bereich $-6\leq x \leq -4.$ Den zugehörigen Flächeninhalt kannst du demnach als Integral über $p-h$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \displaystyle\int_{-6}^{-4}(p(x)-h(x))\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-6}^{-4}\left(-\frac{2}{25}x^2 -\frac{4}{25}x+\frac{148}{25} - \left(\frac{1}{10}\mathrm e^{x-1} +2 \right)\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-6}^{-4}\left(-\frac{2}{25}x^2 -\frac{4}{25}x+\frac{98}{25} - \frac{1}{10}\mathrm e^{x-1} \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[-\frac{2}{75}x^3 -\frac{2}{25}x^2+\frac{98}{25}x - \frac{1}{10}\mathrm e^{x-1} \right]_{-6}^{-4} \\[5pt] &=& -\frac{2}{75}\cdot (-4)^3 -\frac{2}{25}\cdot (-4)^2+\frac{98}{25}\cdot (-4) - \frac{1}{10}\mathrm e^{-4-1} \\[5pt] && - \left( -\frac{2}{75}\cdot (-6)^3 -\frac{2}{25}\cdot (-6)^2+\frac{98}{25}\cdot (-6) - \frac{1}{10}\mathrm e^{-6-1} \right) \\[5pt] &=&\frac{128}{75} -\frac{32}{25}-\frac{392}{25} - \frac{1}{10}\mathrm e^{-5} - \frac{432}{75} +\frac{72}{25}+\frac{588}{25} + \frac{1}{10}\mathrm e^{-7} \\[5pt] &=& - \frac{1}{10}\mathrm e^{-5} + \frac{404}{75}+\frac{1}{10}\mathrm e^{-7} \\[5pt] &\approx& 5,34 \end{array}$
$ A \approx 5,34 $
Der Flächeninhalt des ersten Streifens beträgt ca. $5,34\,\text{m}^2.$
$\blacktriangleright$  Prozentuale Vergrößerung ermitteln
Der zweite Streifen soll genauso breit sein wie der erste. Die Breite der Streifen wird durch die Länge des Intervalls beschrieben, in dem der jeweilige Streifen liegt.
Der erste Streifen liegt im Intervall $[-6;-4]$ und ist demnach $2\,\text{LE}$ breit. Für den zweiten Streigen folgt dementsprechend $b=-2.$
Den zugehörigen Flächeninhalt kannst du wie oben mithilfe eines Integrals bestimmen. Dieses Integral kannst du auch mit deinem CAS berechnen :
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \displaystyle\int_{-2}^{0}(p(x)-h(x))\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-2}^{0}\left(-\frac{2}{25}x^2 -\frac{4}{25}x+\frac{98}{25} - \frac{1}{10}\mathrm e^{x-1} \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& - \frac{1}{10}\mathrm e^{-1} + \frac{596}{75}+\frac{1}{10}\mathrm e^{-3} \\[5pt] &\approx& 7,91 \end{array}$
$ A \approx 7,91 $
Der Flächeninhalt des zweiten Streifens beträgt ca. $7,91\,\text{m}^2.$
$\dfrac{7,91\,\text{m}^2}{ 5,34\,\text{m}^2} \approx 1,48$
Der zweite Streifen ist also ca. $48,\%$ größer als der erste Streifen.
#integral
h)
$\blacktriangleright$  Zugehörige Funktionsgleichung angeben
Der Graph von $m$ geht aus dem Graphen $G_4$ hervor. Die zu $G_4$ gehörige Funktionsgleichung ist:
$f_4(x) = \frac{x}{4}\cdot \ln \left(\frac{x}{4}\right)$
Der Graph $G_4$ soll nun um $4$ Einheiten entlang der $y$-Achse nach oben verschoben werden. Also folgt:
$\begin{array}[t]{rll} & m(x) \\[5pt] =& f_4(x)+4 \\[5pt] =& \frac{x}{4}\cdot \ln \left(\frac{x}{4}\right) +4 \end{array}$
$\blacktriangleright$  Berechnung beschreiben
$A$ liegt auf der Strecke zwischen Rücken und Maul, die parallel zur $y$-Achse verläuft, für die der senkrechte Abstand von Rücken und Maul am größten ist. Dieser senkrechte Abstand zwischen Rücken und Maul an der Stelle $x$ kann mithilfe der Differenzenfunktion $d(x) = p(x) - m(x)$ beschrieben werden.
Die Stelle $x_A,$ an der dieser Abstand maximal ist, ist die $x$-Koordinate von $A.$ $x_A$ erhält man also, indem man $d$ auf dem Intervall $0,5\leq x \leq 4$ maximiert.
Dazu bestimmt man zunächst die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $d$ innerhalb dieses Intervalls mithilfe des notwendigen und hinreichenden Kriteriums für Extrempunkte und überprüft anschließend die Intervallränder auf Randextrema.
Wurde $x_A$ bestimmt, so fehlt noch die $y$-Koordinate von $A.$ $A$ liegt genau mittig auf der angegebenen senkrechten Strecke zwischen dem Graphen von $p$ und dem Graphen von $m.$ Die $y$-Koordinate von $A$ kann also wie folgt berechnet werden:
$y_A = p(x_A) - \frac{1}{2}\cdot \left(p(x_A)-m(x_E) \right)$
$y_A = p(x_A) - \frac{1}{2}\cdot \left(p(x_A)-m(x_E) \right)$
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