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Aufgabe 6

Aufgaben
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Fuchsturm

Der Fuchstum ist ein beliebtes Ausflugsziel in der Stadt Jena.
Der Turm hat einen Durchmesser $d$ von $6,4\,\text{m}$ und eine Gesamthöhe $h$ von $30,0\,\text{m}.$
a)
Aufgabe 6
Abb. 1: Skizze nicht maßstabsgerecht
Aufgabe 6
Abb. 1: Skizze nicht maßstabsgerecht
(3 P)
b)
Die $21,7\,\text{m}$ hohe Außenmauer des zylinderförmigen Turmes im Jahr 2007 renoviert.
Berechne die Fläche der Außenmauer.
(2 P)
#zylinder
c)
Ein Modell des Fuchsturmes soll im Maßstab $1:50$ gebaut werden.
Gib die Höhe $h$ und den Durchmesser $d$ des Modells an.
(2 P)
*d)
Aufgabe 6
Abb. 2: Skizze nicht maßstabsgerecht
Aufgabe 6
Abb. 2: Skizze nicht maßstabsgerecht
(2 P)
#kegel
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Zu erneuernde Rasenfläche berechnenAufgabe 6
Der Flächeninhalt der gesamten Fläche ist:
$20,0\,\text{m} \cdot 12,0\,\text{m} = 240,0\,\text{m}^2$
Berechne nun die kreisförmige Fläche, die der Turm einnimmt. Der Durchmesser des Turms ist $6,4\,\text{m}.$ Der Radius ist also $r=3,2\,\text{m}.$
Verwende die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \pi \cdot r^2 &\\[5pt] &=& \pi \cdot (3,2\,\text{m})^2 \\[5pt] &\approx& 32,2\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$
Die zu erneuernde Rasenfläche ist die Differenz aus den beiden Flächen, da die Fläche, auf der der Turm steht, nicht erneuert werden muss:
$240,0\,\text{m}^2 - 32,2\,\text{m}^2 = 207,8\,\text{m}^2$
Es müssen $ 207,8\,\text{m}^2$ Rasenfläche erneuert werden.
#kreis
b)
$\blacktriangleright$  Fläche der Außenmauer berechnen
Der Turm hat die Form eines Zylinders. Die Fläche der Außenmauer ist die Mantelfläche des Zylinders. Diese kannst du mit der bekannten Formel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} M&=& 2\cdot \pi \cdot r\cdot h \\[5pt] &=& 2\cdot \pi \cdot 3,2\,\text{m} \cdot 21,7\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 436,3\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$
Die Fläche der Außenmauer ist ca. $436,3\,\text{m}^2$ groß.
c)
$\blacktriangleright$  Maße des Modells angeben
Die Höhe $h$ des Originals beträgt $21,7\,\text{m}.$ Das Modell soll im Maßstab $1:50$ gebaut werden:
$21,7\,\text{m} : 50 = 0,434\,\text{m}$
Der Durchmesser des Originals beträgt $6,4\,\text{m}:$
$6,4\,\text{m} :50 = 0,128 \,\text{m}$
Die Höhe des Modells beträgt $0,434\,\text{m},$ der Durchmesser des Modells beträgt $0,128\,\text{m}.$
#maßstab
*d)
$\blacktriangleright$  Möglichkeit beschreiben
Ein Dachbalken bildet gemeinsam mit der Höhe des Daches und dem Radius des Turms ein rechtwinkliges Dreieck. Die Höhe und der Radius sind die beiden Katheten $a$ und $b.$ Der Dachbalken ist die Hypotenuse $c.$
Es kann also der Satz des Pythagoras verwendet werden. Dort werden die bekannten Werte für $a$ und $b$ eingesetzt und die Gleichung nach $c$ gelöst. Das Ergebnis ist dann die Länge eines Dachbalkens.
#satzdespythagoras
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