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Anwendungsorientierte Aufgaben 1

Aufgaben
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1
Im Jahr 1986 gab es in Tschernobyl ein Reaktorunglück, bei dem die radioaktiven Isotope Cäsium-137 und Plutonium-241 freigesetzt wurden. Deren Radioaktivität ist noch immer messbar.
Im Folgenden entspricht der Zeitpunkt $t=0$ dem Jahr 1986, wobei $t$ in Jahren gemessen wird.
1.1
Die folgende Tabelle zeigt die geschätzten Werte für die nicht zerfallene Menge von Cäsium-137 (in Gramm), welche auf der Fläche Deutschlands insgesamt zu den angegeben Zeitpunkten vorhanden war.
Jahr1986199119962006
Cäsium-137$230,00$$204,91$$182,55$$144,89$
Der Zerfall des vorhandenen Cäsiums-137 soll durch eine Funktion $m$ mit $m(t)=a \cdot b^t \; ;\; t\geq0$ beschrieben werden.
Bestimme passende Werte für $a$ und $b$.
(2P)
#exponentielleswachstum
1.2
Die zum Zeitpunkt $t$ vorhandene Menge Cäsium-137 in Gramm wird nun durch das Modell $m_c$ mit $m_c(t)=230 \cdot \mathrm{e}^{-0,023 \cdot t} ; t\geq 0$ beschrieben.
Wie viel Prozent des ursprünglich vorhandenen Cäsiums-137 sind im Jahr 2016 noch vorhanden?
In welchem Jahr wird nur noch 1$\;\%$ der ursprünglichen Menge an Cäsium-137 vorhanden sein?
(3P)
#prozentrechnen
1.3
Plutonium-241 zerfällt zu Americium-241, welches selbst auch radioaktiv ist und daher weiter zerfällt.
Die zum Zeitpunkt $t$ vorhandene Menge Americium-241 in Milligramm wird durch das Modell $m_A$ mit $m_A(t)=200 \cdot (1-\mathrm{e}^{-0,048\cdot t}) \cdot \mathrm{e}^{-0,0016 \cdot t} \; ; \; t\geq 0 $ angenähert.
1.3.1
Zeichne das Schaubild der Funktion $m_A$ für $0 \leq t \leq200$.
Begründe mit Hilfe des Schaubildes von $m_A$$\;$, dass Plutonium-241 schneller zerfällt als Americium-241.
(4P)
#schaubild
1.3.2
In welchem Jahr ist die Menge des vorhandenen Americiums-241 am größten?
Wie groß ist diese maximale Menge?
(2P)
1.3.3
Bestimme, wie viele Jahre nach dem Reaktorunglück die Menge des Americiums-241 am stärksten abnimmt.
Jemand behauptet, dass ab diesem Zeitpunkt das Americium-241 weiter mit der maximalen Zerfallsgeschwindigkeit linear abnimmt.
In welchem Jahr wäre dann kein Americium-241 mehr vorhanden?
(4P)

(15P)
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$  Zerfallsfunktion bestimmen
Du sollst den Zerfall des Cäsiums -137 durch die Funktion $m(t)$ = $a\cdot b^t$ beschreiben. Dies kannst du mithilfe einer Exponential Regression machen. Dazu gibst du die Werte aus der Tabelle in deinen GTR ein und führst anschließen eine Regression durch.
1.2
$\blacktriangleright$  Cäsiumgehalt 2016 bestimmen
Um zu bestimmen wieviel Prozent des ursprünglich vorhandenen Cäsiums 2016 noch vorhanden sind suchst du im GTR einfach nach dem Cäsiumgehalt nach $2016-1986 = 30$ Jahren. Als Funktion nimmst du die in diesem Aufgabenteil gegebenne Funktion $m_c(t)$.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt an dem $1$% Cäsium übrig ist bestimmen
Du sollst bestimmen in welchem Jahr noch $1$% des Cäsiums vorhanden ist. Dazu bestimmst du zuerst $1$ % von $230$ Gramm. Dann zeichnest du die Gerade $g(x)=2,3$ sowie die Funktion $m_c(t)$ und suchst nach dem Schnittpunkt.
1.3.1
$\blacktriangleright$  Schaubild zeichnen
In diesem Aufgabenteil sollst du das Schaubild der Funktion $m_A$ zwischen $0$ und $200$ zeichnen. Dazu plottest du die Funktion mit deinem GTR, erstellst eine Wertetabelle und zeichnest sie dann nach.
$\blacktriangleright$  Schnellere Zerfallsgeschwindigkeit begründen
Du sollst mit Hilfe des Schaubildes bestimmen warum Plutonium-241 schneller zerfällt als Americium-241.
Dies kannst du daran erkennen, dass die Menge des Americium-241 am Anfang schnell ansteigt. Also muss mehr Plutonium-241 zu Americium-241 zerfallen als Americium-241 zerfallen kann. Erst wenn das meiste Plutonium-241 zerfallen ist und somit kaum noch neues Americium-241 entsteht nimmt auch die Menge an Americium ab.
1.3.2
$\blacktriangleright$  Maximum an Americum-241 bestimmen
Du sollst bestimmen in welchem Jahr die Menge des vorhandenen Americium-241 am größten ist und wie groß diese Menge ist. Dazu suchst du das Maxima der Funktion $m_A$.
1.3.3
$\blacktriangleright$  Größte Abnahme bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du bestimmen, in welchem Jahr die Konzentration an Americium-241 am stärksten abnimmt. Dazu suchst du nach der Wendestelle mit negativer Tangente.
Um die Wendestelle mit dem GTR zu bestimmen gehst du folgendermaßen vor: Du plottest die Funktion $m_A(t)$, bestimmst deren Ableitung und plottest diese ebenfalls. Dann suchst du nach Tiefpunkten der Ableitung. Die $x$-Koordinaten der Tiefpunkte sind die $x$-Koordinaten der Wendepunkte, die $y$-Koordinate des Tiefpunktes ist die Steigung der Wendetangente. Nun setzt du die $x$-Koordinate des Tiefpunktes in die Funktion $m_A(t)$ ein um die $y$-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen.
Die Ableitung kannst du mit Hilfe der Produktregel der Ableitung bestimmen.
$f(x)= u(x)v(x)\rightarrow f'(x)=u '(x)v(x)+v '(x)u(x)$
$f(x)= u(x)v(x)\rightarrow f'(x)=u '(x)v(x)+v '(x)u(x)$
$\blacktriangleright$  Nullstelle für linearen Zerfall bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du das Jahr bestimmen, in dem das Americum-241 vollständig abgebaut ist wenn es weiter mit der maximalen Zerfallsgeschwindigkeit zerfällt. Du musst also eine Wendetangente bestimmen und dann nach deren Nullstelle suchen. Den Wendepunkt hast du bereits in Aufgabe 1.3.2 bestimmt. Er hat die $x$-Koordinate $x$ = $143$ und die Tangentensteigung $a$ $\approx$ $-0,25$ du benötigst jetzt noch die $y$-Koordinate des Wendepunktes. Diese kannst du mit dem GTR bestimmen.
Um nun zu bestimmen wann das Americium-241 nicht mehr vorhanden ist suchst du die Nullstelle der Wendetangente.
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Lösungen TI
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1.1
$\blacktriangleright$  Zerfallsfunktion bestimmen
Du sollst den Zerfall des Cäsiums -137 durch die Funktion $m(t)$ = $a\cdot b^t$ beschreiben. Dies kannst du mithilfe einer Exponential Regression machen. Dazu gibst du die Werte aus der Tabelle in deinen GTR ein und führst anschließen eine Regression durch.
stat $\rightarrow$ Edit
stat $\rightarrow$ Edit
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 1 Wertetabelle
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 1Wertetabelle
Dann führst du die Regresion durch.
stat $\rightarrow$ calc $\rightarrow$ ExpReg
stat $\rightarrow$ calc $\rightarrow$ ExpReg
Du erhältst folgende Werte:
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 230 &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=& 0,977&\quad \scriptsize \\[5pt] m(t)&=& 230\cdot 0,977^t&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Zerfall kann also durch die Funktion $m(t)$ = $230\cdot 0,997^t$ beschrieben werden.
#exponentielleswachstum
1.2
$\blacktriangleright$  Cäsiumgehalt 2016 bestimmen
Um zu bestimmen wieviel Prozent des ursprünglich vorhandenen Cäsiums 2016 noch vorhanden sind suchst du im GTR einfach nach dem Cäsiumgehalt nach $2016-1986 = 30$ Jahren. Als Funktion nimmst du die in diesem Aufgabenteil gegebenne Funktion $m_c(t)$.
2ND $\rightarrow$ calc $\rightarrow$ value
2ND $\rightarrow$ calc $\rightarrow$ value
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 2 Funktion nach $t$ = $30$ Jahren ausgewertet
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 2 Funktion nach $t$ = $30$ Jahren ausgewertet
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt an dem $1$% Cäsium übrig ist bestimmen
Du sollst bestimmen in welchem Jahr noch $1$% des Cäsiums vorhanden ist. Dazu bestimmst du zuerst $1$ % von $230$ Gramm. Das sind $2,3$ Gramm. Dann zeichnest du die Gerade $g(x)=2,3$ sowie die Funktion $m_c(t)$ und suchst nach dem Schnittpunkt.
2ND $\rightarrow$ calc $\rightarrow$ intersect
2ND $\rightarrow$ calc $\rightarrow$ intersect
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 3 Schnittpunkt bestimmen
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 3 Schnittpunkt bestimmen
#funktionswert#prozentrechnen
1.3.1
$\blacktriangleright$  Schaubild zeichnen
In diesem Aufgabenteil sollst du das Schaubild der Funktion $m_A$ zwischen $0$ und $200$ zeichnen. Dazu plottest du die Funktion mit deinem GTR, erstellst eine Wertetabelle und zeichnest sie dann nach.
2ND $\rightarrow$ calc $\rightarrow$ value
2ND $\rightarrow$ calc $\rightarrow$ value
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 4 Schaubild der Funktion $m_A$
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 4 Schaubild der Funktion $m_A$
$\blacktriangleright$  Schnellere Zerfallsgeschwindigkeit begründen
Du sollst mit Hilfe des Schaubildes bestimmen warum Plutonium-241 schneller zerfällt als Americium-241.
Dies kannst du daran erkennen, dass die Menge des Americium-241 am Anfang schnell ansteigt. Also muss mehr Plutonium-241 zu Americium-241 zerfallen als Americium-241 zerfallen kann. Erst wenn das meiste Plutonium-241 zerfallen ist und somit kaum noch neues Americium-241 entsteht nimmt auch die Menge an Americium ab.
#schaubild
1.3.2
$\blacktriangleright$  Maximum an Americum-241 bestimmen
Du sollst bestimmen in welchem Jahr die Menge des vorhandenen Americium-241 am größten ist und wie groß diese Menge ist. Dazu suchst du das Maxima der Funktion $m_A$.
2ND $\rightarrow$ calc $\rightarrow$ maximum
2ND $\rightarrow$ calc $\rightarrow$ maximum
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 5 Maximum bestimmen
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 5 Maximum bestimmen
#extrempunkt
1.3.3
$\blacktriangleright$  Größte Abnahme bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du bestimmen, in welchem Jahr die Konzentration an Americium-241 am stärksten abnimmt. Dazu suchst du nach der Wendestelle mit negativer Tangente.
Um die Wendestelle mit dem GTR zu bestimmen gehst du folgendermaßen vor: Du plottest die Funktion $m_A(t)$, bestimmst deren Ableitung und plottest diese ebenfalls. Dann suchst du nach Tiefpunkten der Ableitung. Die $x$-Koordinaten der Tiefpunkte sind die $x$-Koordinaten der Wendepunkte, die $y$-Koordinate des Tiefpunktes ist die Steigung der Wendetangente. Nun setzt du die $x$-Koordinate des Tiefpunktes in die Funktion $m_A(t)$ ein um die $y$-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen.
Die Ableitung kannst du mit Hilfe der Produktregel der Ableitung bestimmen.
$f(x)= u(x)v(x)\rightarrow f'(x)=u '(x)v(x)+v '(x)u(x)$
$f(x)= u(x)v(x)\rightarrow f'(x)=u '(x)v(x)+v '(x)u(x)$
$\begin{array}[t]{rll} m_A(t)&=& 200\cdot\left(1-e^{-0,048t}\right)\cdot e^{-0,0016t}) &\quad \scriptsize \\[5pt] m_A(t)&=& \left(200-200e^{-0,048t}\right)\cdot e^{-0,0016t}) &\quad \scriptsize \\[5pt] & & &\quad \scriptsize \\[5pt] u(t)&=& 200-200e^{-0,048t} &\quad \scriptsize \\[5pt] u'(t)&=& 0,048\cdot 200e^{-0,048t} &\quad \scriptsize \\[5pt] v(t)&=& e^{-0,0016t} &\quad \scriptsize \\[5pt] v'(t)&=& -0,0016\cdot e^{-0,0016t} &\quad \scriptsize \\[5pt] & & &\quad \scriptsize \\[5pt] m_A'(t)&=& \left(200 \cdot 0,048e^{-0,048t}\right)\cdot e^{-0,0016t})+\left(200-200e^{-0,048t}\right)\cdot(-0,0016)\cdot e^{-0,0016t} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ m_A'(t)=… $
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 6 Graph der Funktion und Graph der Ableitung
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 6 Graph der Funktion und Graph der Ableitung
2ND $\rightarrow$ TRACE $\rightarrow$ minimum
2ND $\rightarrow$ TRACE $\rightarrow$ minimum
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 7 Minimum der Ableitung
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 7 Minimum der Ableitung
Die Menge des Americium-241 nimmt also im Jahr 2129 am stärksten ab.
$\blacktriangleright$  Nullstelle für linearen Zerfall bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du das Jahr bestimmen, in dem das Americum-241 vollständig abgebaut ist wenn es weiter mit der maximalen Zerfallsgeschwindigkeit zerfällt. Du musst also eine Wendetangente bestimmen und dann nach deren Nullstelle suchen. Den Wendepunkt hast du bereits in Aufgabe 1.3.2 bestimmt. Er hat die $x$-Koordinate $x$ = $143$ und die Tangentensteigung $a$ $\approx$ $-0,25$ du benötigst jetzt noch die $y$-Koordinate des Wendepunktes.
2ND $\rightarrow$ TRACE $\rightarrow$ value
2ND $\rightarrow$ TRACE $\rightarrow$ value
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 8 Funktionswert an der Wendestelle bestimmen
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 8Funktionswert an der Wendestelle bestimmen
Im letzten Schritt kannst du nun die Geradengleichung der Wendetangente $w(t)$ bestimmen. Die allgemeine Geradengleichung lautet:
$\begin{array}[t]{rll} w(x)&=& ax+b &\quad \scriptsize \\[5pt] w(x)&=& -0,25x+b &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Hier wurde die Steigung a = −0,25 in die Geradengleichung eingesetzt. Die Steigung hast du ermittelt, indem du den Funktionswert der Ableitung an der Stelle $t$ = $143$ ermittelt hast. Nun setzt du die Koordinaten des Wendepunktes in die Geradengleichung ein um $b$ zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} w(t)&=& -2t +b &\quad \scriptsize \\[5pt] 159&=& -0,25\cdot(143)+b &\quad \scriptsize \\[5pt] b &=& 195 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Damit hast du die Gleichung der Wendetangenten w(t) bestimmt. Sie lautet:
$\begin{array}[t]{rll} w(t)&=&-0,25t+195 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Um nun zu bestimmen wann das Americium-241 nicht mehr vorhanden ist suchst du die Nullstelle der Wendetangente.
2ND $\rightarrow$ TRACE $\rightarrow$ zero
2ND $\rightarrow$ TRACE $\rightarrow$ vzero
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 9 Nullstelle der Wendetangente
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 9 Nullstelle der Wendetangente
$\begin{array}[t]{rll} 1986+780&=& 2766 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Damit wäre das gesamte Americium-241 im Jahr 2766 vollständig abgebaut.
#produktregel#nullstelle#ableitung
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1.1
$\blacktriangleright$  Zerfallsfunktion bestimmen
Du sollst den Zerfall des Cäsiums -137 durch die Funktion $m(t)$ = $a\cdot b^t$ beschreiben. Dies kannst du mithilfe einer Exponential Regression machen. Dazu gibst du die Werte aus der Tabelle in deinen GTR ein und führst anschließen eine Regression durch.
stat $\rightarrow$ Edit
stat $\rightarrow$ Edit
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 1 Wertetabelle
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 1Wertetabelle
Dann führst du die Regresion durch.
stat $\rightarrow$ calc $\rightarrow$ Reg $\rightarrow$ Exp $\rightarrow$ F2
stat $\rightarrow$ calc $\rightarrow$ Reg $\rightarrow$ Exp $\rightarrow$ F2
Du erhältst folgende Werte:
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 230 &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=& 0,977&\quad \scriptsize \\[5pt] m(t)&=& 230\cdot 0,977^t&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Zerfall kann also durch die Funktion $m(t)$ = $230\cdot 0,997^t$ beschrieben werden.
#exponentielleswachstum
1.2
$\blacktriangleright$  Cäsiumgehalt 2016 bestimmen
Um zu bestimmen wieviel Prozent des ursprünglich vorhandenen Cäsiums 2016 noch vorhanden sind suchst du im GTR einfach nach dem Cäsiumgehalt nach $2016-1986 = 30$ Jahren. Als Funktion nimmst du die in diesem Aufgabenteil gegebenne Funktion $m_c(t)$.
F5 $\rightarrow$ F6 $\rightarrow$ Y-CAL
F5 $\rightarrow$ F6 $\rightarrow$ Y-CAL
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 2 Funktion nach $t$ = $30$ Jahren ausgewertet
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 2 Funktion nach $t$ = $30$ Jahren ausgewertet
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt an dem $1$% Cäsium übrig ist bestimmen
Du sollst bestimmen in welchem Jahr noch $1$% des Cäsiums vorhanden ist. Dazu bestimmst du zuerst $1$ % von $230$ Gramm. Das sind $2,3$ Gramm. Dann suchst du mit dem GTR das Jahr, in dem noch $2,3$ Gramm Cäsium übrig sind.
F5 $\rightarrow$ F6 $\rightarrow$ X-CAL
F5 $\rightarrow$ F6 $\rightarrow$ X-CAL
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 3 Schnittpunkt bestimmen
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 3 Schnittpunkt bestimmen
#funktionswert#prozentrechnen
1.3.1
$\blacktriangleright$  Schaubild zeichnen
In diesem Aufgabenteil sollst du das Schaubild der Funktion $m_A$ zwischen $0$ und $200$ zeichnen. Dazu plottest du die Funktion mit deinem GTR, erstellst eine Wertetabelle und zeichnest sie dann nach.
F5 $\rightarrow$ F6 $\rightarrow$ Y-CAL
F5 $\rightarrow$ F6 $\rightarrow$ Y-CAL
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 4 Schaubild der Funktion $m_A$
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 4 Schaubild der Funktion $m_A$
$\blacktriangleright$  Schnellere Zerfallsgeschwindigkeit begründen
Du sollst mit Hilfe des Schaubildes bestimmen warum Plutonium-241 schneller zerfällt als Americium-241.
Dies kannst du daran erkennen, dass die Menge des Americium-241 am Anfang schnell ansteigt. Also muss mehr Plutonium-241 zu Americium-241 zerfallen als Americium-241 zerfallen kann. Erst wenn das meiste Plutonium-241 zerfallen ist und somit kaum noch neues Americium-241 entsteht nimmt auch die Menge an Americium ab.
#schaubild
1.3.2
$\blacktriangleright$  Maximum an Americum-241 bestimmen
Du sollst bestimmen in welchem Jahr die Menge des vorhandenen Americium-241 am größten ist und wie groß diese Menge ist. Dazu suchst du das Maxima der Funktion $m_A$.
F5 $\rightarrow$ F3
F5 $\rightarrow$ F3
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 5 Maximum bestimmen
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 5 Maximum bestimmen
#extrempunkt
1.3.3
$\blacktriangleright$  Größte Abnahme bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du bestimmen, in welchem Jahr die Konzentration an Americium-241 am stärksten abnimmt. Dazu suchst du nach der Wendestelle mit negativer Tangente.
Um die Wendestelle mit dem GTR zu bestimmen gehst du folgendermaßen vor: Du plottest die Funktion $m_A(t)$, bestimmst deren Ableitung und plottest diese ebenfalls. Dann suchst du nach Tiefpunkten der Ableitung. Die $x$-Koordinaten der Tiefpunkte sind die $x$-Koordinaten der Wendepunkte, die $y$-Koordinate des Tiefpunktes ist die Steigung der Wendetangente. Nun setzt du die $x$-Koordinate des Tiefpunktes in die Funktion $m_A(t)$ ein um die $y$-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen.
Die Ableitung kannst du mit Hilfe der Produktregel der Ableitung bestimmen.
$f(x)= u(x)v(x)\rightarrow f'(x)=u '(x)v(x)+v '(x)u(x)$
$f(x)= u(x)v(x)\rightarrow f'(x)=u '(x)v(x)+v '(x)u(x)$
$\begin{array}[t]{rll} m_A(t)&=& 200\cdot\left(1-e^{-0,048t}\right)\cdot e^{-0,0016t}) &\quad \scriptsize \\[5pt] m_A(t)&=& \left(200-200e^{-0,048t}\right)\cdot e^{-0,0016t}) &\quad \scriptsize \\[5pt] & & &\quad \scriptsize \\[5pt] u(t)&=& 200-200e^{-0,048t} &\quad \scriptsize \\[5pt] u'(t)&=& 0,048\cdot 200e^{-0,048t} &\quad \scriptsize \\[5pt] v(t)&=& e^{-0,0016t} &\quad \scriptsize \\[5pt] v'(t)&=& -0,0016\cdot e^{-0,0016t} &\quad \scriptsize \\[5pt] & & &\quad \scriptsize \\[5pt] m_A'(t)&=& \left(200 \cdot 0,048e^{-0,048t}\right)\cdot e^{-0,0016t})+\left(200-200e^{-0,048t}\right)\cdot(-0,0016)\cdot e^{-0,0016t} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ m_A'(t)=… $
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 6 Graph der Funktion und Graph der Ableitung
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 6 Graph der Funktion und Graph der Ableitung
F5 $\rightarrow$ F3
F5 $\rightarrow$ F3
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 7 Minimum der Ableitung
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 7 Minimum der Ableitung
Die Menge des Americium-241 nimmt also im Jahr 2129 am stärksten ab.
$\blacktriangleright$  Nullstelle für linearen Zerfall bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du das Jahr bestimmen, in dem das Americum-241 vollständig abgebaut ist wenn es weiter mit der maximalen Zerfallsgeschwindigkeit zerfällt. Du musst also eine Wendetangente bestimmen und dann nach deren Nullstelle suchen. Den Wendepunkt hast du bereits in Aufgabe 1.3.2 bestimmt. Er hat die $x$-Koordinate $x$ = $143$ und die Tangentensteigung $a$ $\approx$ $-0,25$ du benötigst jetzt noch die $y$-Koordinate des Wendepunktes.
F5 $\rightarrow$ F6 $\rightarrow$ Y-CAL
F5 $\rightarrow$ F6 $\rightarrow$ Y-CAL
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 8 Funktionswert an der Wendestelle bestimmen
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 8Funktionswert an der Wendestelle bestimmen
Im letzten Schritt kannst du nun die Geradengleichung der Wendetangente $w(t)$ bestimmen. Die allgemeine Geradengleichung lautet:
$\begin{array}[t]{rll} w(x)&=& ax+b &\quad \scriptsize \\[5pt] w(x)&=& -0,25x+b &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Hier wurde die Steigung a = −0,25 in die Geradengleichung eingesetzt. Die Steigung hast du ermittelt, indem du den Funktionswert der Ableitung an der Stelle $t$ = $143$ ermittelt hast. Nun setzt du die Koordinaten des Wendepunktes in die Geradengleichung ein um $b$ zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} w(t)&=& -2t +b &\quad \scriptsize \\[5pt] 159&=& -0,25\cdot(143)+b &\quad \scriptsize \\[5pt] b &=& 195 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Damit hast du die Gleichung der Wendetangenten w(t) bestimmt. Sie lautet:
$\begin{array}[t]{rll} w(t)&=&-0,25t+195 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Um nun zu bestimmen wann das Americium-241 nicht mehr vorhanden ist suchst du die Nullstelle der Wendetangente.
F5 $\rightarrow$ F1
F5 $\rightarrow$ F1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 9 Nullstelle der Wendetangente
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Abb. 9 Nullstelle der Wendetangente
$\begin{array}[t]{rll} 1986+780&=& 2766 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Damit wäre das gesamte Americium-241 im Jahr 2766 vollständig abgebaut.
#produktregel#nullstelle#ableitung
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