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Stochastik 2

Aufgaben
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2.1
An den Kundenschalter einer Elektronik-Fachmarktkette kommen Kunden, die Probleme mit ihrem Smartphone haben. Die Kundenberater am Schalter wissen aufgrund ihrer Erfahrung, dass diese Reklamationen auf folgenden typischen Problemen mit den angegebenen Wahrscheinlichkeiten beruhen:
ProblemBedienungsfehlerDefekter AkkuBetriebssystemfehlerSonstiger Fehler
Wahrscheinlichkeit30$\;\%$20$\;\%$10$\;\%$40$\;\%$
Von diesen vier Problemen tritt pro Reklamation genau eines auf.
Die Kundenberater können nur dann vor Ort helfen, falls es sich um einen Bedienungsfehler handelt oder wenn der Akku defekt ist. In allen anderen Fällen muss das Smartphone zur Reparatur geschickt werden.
2.1.1
An einem Morgen waren schon vier Kunden mit Smartphone-Reklamationen am Kundenschalter. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
    A: $\;$ Die Kundenberater konnten allen vier Kunden vor Ort helfen.
    B: $\;$ Ein Bedienungsfehler lag bei genau einem Smartphone vor.
    C: $\;$ Bei mindestens einem Smartphone lag ein Betriebssystemfehler vor.
(6P)
#wahrscheinlichkeit
2.1.2
Formuliere für die Vorgänge am Kundenschalter eine mathematische Fragestellung, die mit Hilfe der Ungleichung $1-0,9^n>0,5$ beantwortet werden kann.
(2P)
2.1.3
Einem Kunden mit einem Smartphone-Problem konnten die Kundenberater vor Ort helfen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit lag ein Bedienungsfehler vor?
(3P)
#wahrscheinlichkeit
2.2
An den Kundenschalter kommen auch Kunden, die Probleme mit ihrem Tablet haben. 10$\;\%$ dieser Tablets haben einen Betriebssystemfehler. Unabhängig davon können für diese auch Hardwarefehler auftreten. Kundenberater Niko stellt fest, dass 40$\;\%$ der problembehafteten Tablets mindestens einen dieser beiden Fehler haben.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zum Kundenschalter gebrachtes Tablet einen Hardwarefehler hat.
(4P)

(15P)
#wahrscheinlichkeit
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2.1.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Wahrscheinlichkeiten für drei verschiedene Fälle bestimmen. Es waren bereits vier Kunden am Kundenschalter.
A: der Kundenberater kann allen vier Kunden vor Ort helfen
Du sollst berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit der Kundenberater allen vier Kunden vor Ort helfen kann. Dazu addierst du die Wahrscheinlichkeiten für die Fehler die sofort behoben werden können. Dann multiplizierst du vier solcher Fehler miteinander.
B: Bedienungsfehler liegt genau bei einem Smartphone vor
Du sollst die Wahrscheinlichkeit bestimmen, mit der genau bei einem Smartphone ein Bedienungsfehler vorliegt. Dazu bestimmst du die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Kunde einen Bedienungsfehler hat und die drei Kunden danach einen anderen Fehler. Das Ergebnis multiplizierst du mit vier, da jeder einen Betriebssystemfehler haben könnte.
C: mindestens ein Betriebssystemfehler vorliegt
Du sollst die Wahrscheinlichkeit, mit der mindestens ein Betriebssystemfehler vorliegt, bestimmen. Dazu addierst du die Wahrscheinlichkeit für ein, zwei, drei und vier Smartphones mit Betriebssystemfehler. Diese multiplizierst du jeweils, analog zu B, mit der Anzahl an möglichen Reihenfolgen.
2.1.2
$\blacktriangleright$  Fragestellung formulieren
Du sollst eine mathematische Fragestellung formulieren, mit der die Vorgänge am Kundenschalter beschieben werden können. Die gegebene Formel lautet: $1-0,9^n >0,5$.
Zerlege die Ungleichung in einzelne Teilterme und betrachte diese.
Das $n$ steht hierbei für die Anzahl an Personen, die an den Kundenschalter kommen. Da $n$ die einzige Variable in der Ungleichung ist, weißt du bereits, dass nach der Anzahl an Kunden gefragt wird. $0,9$ ist die Wahrscheinlichkeit keinen Betriebssystemfehler zu haben. Ziehst du diesen allerdings von 1 ab, so hast du die Wahrscheinlichkeit einen Betriebssystemfehler zu haben. Diese Wahrscheinlichkeit muss laut Ungleichung größer $0,5$ sein.
2.1.3
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für einen Betriebssystemfehler
Einem Kunden mit einem Smartphone-Problem konnten die Kundenberater vor Ort helfen. Du sollst die Wahrscheinlichkeit dass ein Bedienungsfehler (B) vorliegt bestimmen.
Es muss entweder ein Bedienungsfehler (B), oder ein defekter Akku vorliegen, da der Kundenberater nur diese beiden Fehler vor Ort beheben kann. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kundenberater den Fehler beheben kann liegt somit bei $50$%. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bedienungsfehler (B) unter der Bedingung eines vor Ort reparierbaren Fehlers auftritt, kannst du mit folgender Formel bestimmen.
$p_B (A) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}$
$p_B (A) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bedienungsfehler (B) und ein reparierbarer Fehler (R) gleichzeitig auftreten liegt bei $30$%, da nur die Bedienungsfehler (B) beide Eigenschften aufweisen.
2.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit, dass ein Hardwarefehler vorliegt berechnen
Du sollst bestimmen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Hardwarefehler vorliegt. Hierzu verwendest du die folgenden Formeln:
$p(H \cup B)= p(H) + p(B) - p(H \cap B)$
$p(H \cup B)= p(H) + p(B) - p(H \cap B)$
für unabhängige Ereignisse gilt außerdem
$p(H \cap B)= p(H) \cdot p(B)$
$p(H \cap B)= p(H) \cdot p(B)$
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2.1.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Wahrscheinlichkeiten für drei verschiedene Fälle bestimmen. Es waren bereits vier Kunden am Kundenschalter.
A: der Kundenberater kann allen vier Kunden vor Ort helfen
Du sollst berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit der Kundenberater allen vier Kunden vor Ort helfen kann
$\begin{array}[t]{rll} p(A)&=&\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] p(A)&=&\frac{1}{16} & = & 6,25 \text{%}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kundenberater allen vier Kunden vor Ort helfen kann, liegt bei $p(A) = 6,25$ %.
B: Bedienungsfehler liegt genau bei einem Smartphone vor
Du sollst die Wahrscheinlichkeit bestimmen, mit der genau bei einem Smartphone ein Bedienungsfehler vorliegt. Dazu bestimmst du die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Kunde einen Bedienungsfehler hat und die drei Kunden danach einen anderen Fehler. Das Ergebnis multiplizierst du mit vier, da jeder einen Betriebssystemfehler haben könnte.
$\begin{array}[t]{rll} p(B)&=& (0,3 \cdot 0,7 \cdot 0,7 \cdot 0,7) \cdot 4 \\[5pt] p(B)&=& 0,4116 & \approx& 41,16\text{%} \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei genau einem Smartphone ein Bedienungsfehler vorliegt, ist somit: $p(B) \approx 41,16$ %.
C: mindestens ein Betriebssystemfehler vorliegt
Du sollst die Wahrscheinlichkeit, mit der mindestens ein Betriebssystemfehler vorliegt, bestimmen. Dazu addierst du die Wahrscheinlichkeit für ein, zwei, drei und vier Smartphones mit Betriebssystemfehler. Diese multiplizierst du jeweils, analog zu B, mit der Anzahl an möglichen Reihenfolgen.
$\begin{array}[t]{rll} p(C)&=& (0.1 \cdot 0.9^3)\cdot 4 + (0,1^2 \cdot 0,9^2)\cdot 6 + (0,1^3 \cdot 0,9) \cdot 4 + 0,1^4\cdot 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] p(C)&=& 0,344 &=& 34,4\text{%}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei mindestens einem Smartphone ein Betriebssystemfehler vorliegt, liegt bei $p(C) =34.4$%.
#pfadregeln
2.1.2
$\blacktriangleright$  Fragestellung formulieren
Du sollst eine mathematische Fragestellung formulieren, mit der die Vorgänge am Kundenschalter beschieben werden können. Die gegebene Formel lautet: $1-0,9^n >0,5$.
Zerlege die Ungleichung in einzelne Teilterme und betrachte diese.
Das $n$ steht hierbei für die Anzahl an Personen, die an den Kundenschalter kommen. Da $n$ die einzige Variable in der Ungleichung ist, weißt du bereits, dass nach der Anzahl an Kunden gefragt wird. $0,9$ ist die Wahrscheinlichkeit keinen Betriebssystemfehler zu haben. Ziehst du diesen allerdings von 1 ab, so hast du die Wahrscheinlichkeit einen Betriebssystemfehler zu haben. Diese Wahrscheinlichkeit muss laut Ungleichung größer $0,5$ sein. Eine mögliche Fragestellung lautet:
Wie viele Kunden müssen mindestens zum Kundenschalter kommen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Betriebssystemfehler auftritt, bei über 50% liegt.
2.1.3
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für einen Betriebssystemfehler
Einem Kunden mit einem Smartphone-Problem konnten die Kundenberater vor Ort helfen. Du sollst die Wahrscheinlichkeit dass ein Bedienungsfehler (B) vorliegt bestimmen.
Es muss entweder ein Bedienungsfehler (B), oder ein defekter Akku vorliegen, da der Kundenberater nur diese beiden Fehler vor Ort beheben kann. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kundenberater den Fehler beheben kann liegt somit bei $50$%. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bedienungsfehler (B) unter der Bedingung eines vor Ort reparierbaren Fehlers auftritt, kannst du mit folgender Formel bestimmen.
$p_B (A) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}$
$p_B (A) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bedienungsfehler (B) und ein reparierbarer Fehler (R) gleichzeitig auftreten liegt bei $30$%, da nur die Bedienungsfehler (B) beide Eigenschften aufweisen.
$p(B \text{ } \cap \text{ }R)\text{ }= \text{ }30$%
$\begin{array}[t]{rll} p_R(B) &=& \frac{p(B \text{ } \cap \text{ }R)}{p_R} &\quad \scriptsize \\[5pt] p_R(B) &=& \frac{0,3}{0,5}&\quad \scriptsize \\[5pt] p_R(B) &=& 0,6 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bedienungsfehler vorliegt liegt bei $60$%.
#bedingtewahrscheinlichkeit
2.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit, dass ein Hardwarefehler vorliegt berechnen
Du sollst bestimmen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Hardwarefehler vorliegt. Hierzu verwendest du die folgenden Formeln:
$p(H \cup B)= p(H) + p(B) - p(H \cap B)$
$p(H \cup B)= p(H) + p(B) - p(H \cap B)$
für unabhängige Ereignisse gilt außerdem
$p(H \cap B)= p(H) \cdot p(B)$
$p(H \cap B)= p(H) \cdot p(B)$
$\begin{array}[t]{rll} p(H \cup B)-p(B) &=& p(H)-p(H \cap B) &\quad \scriptsize \\[5pt] p(H \cup B)-p(B) &=& p(H)-p(H)*p(B) &\quad \scriptsize \\[5pt] p(H \cup B)-p(B) &=& p(H) \cdot (1-p(B)) &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{p(H \cup B)-p(B)}{ (1-p(B))} &=& p(H) &\quad \scriptsize \\[5pt] p(H) &=& \frac{p(H \cup B)-p(B)}{ (1-p(B))} &\quad \scriptsize \\[5pt] p(H) &=& \frac{0,4-0,1}{1-0,1} &\quad \scriptsize \\[5pt] p(H) &=& \frac{1}{3} &\approx& 33\text{%} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zum Kundenschalter gebrachtes Tablet einen Hardwarefehler hat, liegt bei $33$%.
#pfadregeln#gegenwahrscheinlichkeit
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$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Wahrscheinlichkeiten für drei verschiedene Fälle bestimmen. Es waren bereits vier Kunden am Kundenschalter.
A: der Kundenberater kann allen vier Kunden vor Ort helfen
Du sollst berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit der Kundenberater allen vier Kunden vor Ort helfen kann
$\begin{array}[t]{rll} p(A)&=&\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] p(A)&=&\frac{1}{16} & = & 6,25 \text{%}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kundenberater allen vier Kunden vor Ort helfen kann, liegt bei $p(A) = 6,25$ %.
B: Bedienungsfehler liegt genau bei einem Smartphone vor
Du sollst die Wahrscheinlichkeit bestimmen, mit der genau bei einem Smartphone ein Bedienungsfehler vorliegt. Dazu bestimmst du die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Kunde einen Bedienungsfehler hat und die drei Kunden danach einen anderen Fehler. Das Ergebnis multiplizierst du mit vier, da jeder einen Betriebssystemfehler haben könnte.
$\begin{array}[t]{rll} p(B)&=& (0,3 \cdot 0,7 \cdot 0,7 \cdot 0,7) \cdot 4 \\[5pt] p(B)&=& 0,4116 & \approx& 41,16\text{%} \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei genau einem Smartphone ein Bedienungsfehler vorliegt, ist somit: $p(B) \approx 41,16$ %.
C: mindestens ein Betriebssystemfehler vorliegt
Du sollst die Wahrscheinlichkeit, mit der mindestens ein Betriebssystemfehler vorliegt, bestimmen. Dazu addierst du die Wahrscheinlichkeit für ein, zwei, drei und vier Smartphones mit Betriebssystemfehler. Diese multiplizierst du jeweils, analog zu B, mit der Anzahl an möglichen Reihenfolgen.
$\begin{array}[t]{rll} p(C)&=& (0.1 \cdot 0.9^3)\cdot 4 + (0,1^2 \cdot 0,9^2)\cdot 6 + (0,1^3 \cdot 0,9) \cdot 4 + 0,1^4\cdot 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] p(C)&=& 0,344 &=& 34,4\text{%}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei mindestens einem Smartphone ein Betriebssystemfehler vorliegt, liegt bei $p(C) =34.4$%.
#pfadregeln
2.1.2
$\blacktriangleright$  Fragestellung formulieren
Du sollst eine mathematische Fragestellung formulieren, mit der die Vorgänge am Kundenschalter beschieben werden können. Die gegebene Formel lautet: $1-0,9^n >0,5$.
Zerlege die Ungleichung in einzelne Teilterme und betrachte diese.
Das $n$ steht hierbei für die Anzahl an Personen, die an den Kundenschalter kommen. Da $n$ die einzige Variable in der Ungleichung ist, weißt du bereits, dass nach der Anzahl an Kunden gefragt wird. $0,9$ ist die Wahrscheinlichkeit keinen Betriebssystemfehler zu haben. Ziehst du diesen allerdings von 1 ab, so hast du die Wahrscheinlichkeit einen Betriebssystemfehler zu haben. Diese Wahrscheinlichkeit muss laut Ungleichung größer $0,5$ sein. Eine mögliche Fragestellung lautet:
Wie viele Kunden müssen mindestens zum Kundenschalter kommen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Betriebssystemfehler auftritt, bei über 50% liegt.
2.1.3
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für einen Betriebssystemfehler
Einem Kunden mit einem Smartphone-Problem konnten die Kundenberater vor Ort helfen. Du sollst die Wahrscheinlichkeit dass ein Bedienungsfehler (B) vorliegt bestimmen.
Es muss entweder ein Bedienungsfehler (B), oder ein defekter Akku vorliegen, da der Kundenberater nur diese beiden Fehler vor Ort beheben kann. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kundenberater den Fehler beheben kann liegt somit bei $50$%. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bedienungsfehler (B) unter der Bedingung eines vor Ort reparierbaren Fehlers auftritt, kannst du mit folgender Formel bestimmen.
$p_B (A) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}$
$p_B (A) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bedienungsfehler (B) und ein reparierbarer Fehler (R) gleichzeitig auftreten liegt bei $30$%, da nur die Bedienungsfehler (B) beide Eigenschften aufweisen.
$p(B \text{ } \cap \text{ }R)\text{ }= \text{ }30$%
$\begin{array}[t]{rll} p_R(B) &=& \frac{p(B \text{ } \cap \text{ }R)}{p_R} &\quad \scriptsize \\[5pt] p_R(B) &=& \frac{0,3}{0,5}&\quad \scriptsize \\[5pt] p_R(B) &=& 0,6 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bedienungsfehler vorliegt liegt bei $60$%.
#bedingtewahrscheinlichkeit
2.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit, dass ein Hardwarefehler vorliegt berechnen
Du sollst bestimmen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Hardwarefehler vorliegt. Hierzu verwendest du die folgenden Formeln:
$p(H \cup B)= p(H) + p(B) - p(H \cap B)$
$p(H \cup B)= p(H) + p(B) - p(H \cap B)$
für unabhängige Ereignisse gilt außerdem
$p(H \cap B)= p(H) \cdot p(B)$
$p(H \cap B)= p(H) \cdot p(B)$
$\begin{array}[t]{rll} p(H \cup B)-p(B) &=& p(H)-p(H \cap B) &\quad \scriptsize \\[5pt] p(H \cup B)-p(B) &=& p(H)-p(H)*p(B) &\quad \scriptsize \\[5pt] p(H \cup B)-p(B) &=& p(H) \cdot (1-p(B)) &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{p(H \cup B)-p(B)}{ (1-p(B))} &=& p(H) &\quad \scriptsize \\[5pt] p(H) &=& \frac{p(H \cup B)-p(B)}{ (1-p(B))} &\quad \scriptsize \\[5pt] p(H) &=& \frac{0,4-0,1}{1-0,1} &\quad \scriptsize \\[5pt] p(H) &=& \frac{1}{3} &\approx& 33\text{%} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zum Kundenschalter gebrachtes Tablet einen Hardwarefehler hat, liegt bei $33$%.
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