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Analysis 1

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1.1
Für jedes $a\in\mathbb{R}^*$ ist eine Funktion $f_a$ gegeben durch
$f_{a}(x)=ax^{2}+(1-4a)x+3a;\quad x\in\mathbb{R}$.
Ihr Schaubild heißt $K_a$.
1.1.1
Zeichne $K_{-2}$ und $K_2$ in einem gemeinsamen Koordinatensystem.
Bestimme den Abstand der Extrempunkte von $K_{-2}$ und $K_2$.
(6P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.1.2
Die Gerade mit der Gleichung $x=u,\;1< u < 3$, schneidet $K_2$ in $B$ und $K_{-2}$ in $C$.
Berechne $u$ so, dass das Dreieck $ABC$ mit $A(1\mid1)$ maximalen Flächeninhalt hat.
(5P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.1.3
Die Parabeln $K_{-a}$ und $K_a$ schneiden sich in zwei Punkten.
Die Schnittpunkte der beiden Tangenten bilden im Schaubild ein Parallelogramm.
Bestätige dies für den Fall $a=2$.
Für welche Werte von $a$ ist dieses Parallelogramm ein Rechteck?
(8P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.1.4
Abgebildet ist das Schaubild einer Stammfunktion $D$ einer Funktion $d$.
1.1.4.1
Ermittle aus dem Schaubild näherungsweise die Bereiche, in denen $d$ positive Funktionswerte hat.
$\,\,\,$Ermittle aus dem Schaubild näherungsweise die Bereiche, in denen $d'$ positive Funktionswerte hat.
(4P)
 Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
1.1.4.2
Das abgebildete Schaubild gehört zu einer Stammfunktion $F_a$ von $f_a$.
$\,\,\,$Es hat bei $x=\dfrac{5}{2}$ einen Wendepunkt.
$\,\,\,$Berechne $a$ und geben Sie den Funktionsterm von $F_a$ an.
(4P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.2
Gegeben ist die Funktion $g$ mit $g(x)=5\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{10}x}\cdot\sin(x);\quad x\in[0;10]$.
Das Schaubild von $g$ heißt $K_g$.
1.2.1
Bestimme die Schnittpunkte von $K_g$ mit der $x$-Achse.
Ermittle den Punkt, in dem $K_g$ die kleinste Steigung hat.
Zeichne $K_g$ in ein Koordinatensystem.
(9P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.2.2
Jede Ursprungsgerade mit positiver Steigung hat mit $K_g$ einen oder mehrere Punkte gemeinsam.
Wie viele gemeinsame Punkte sind möglich?
Zeichne für jeden dieser Fälle eine Gerade in das Koordinatensystem aus
Aufgabe 1.2.1 ein.
(4P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.2.3
Jede Ursprungsgerade, deren Steigung zwischen $0,3$ und $5$ liegt, begrenzt mit $K_g$ eine Fläche. Außerdem begrenzt sie mit $K_g$ und der Geraden mit der Gleichung $x=5$ eine weitere Fläche.
Für welche Steigung dieser Ursprungsgeraden sind die beiden Flächen gleich groß?
(5P)
 Aufgabe entfällt ab 2017

(45P)
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