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Analysis 1

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1.1
(8P)
 Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
1.2
Jeder der Sachverhalte (A) bis (D) in der rechten Spalte der Tabelle folgt zwingend aus einer oder mehreren Bedingungen der linken Spalte.
Ordne jedem der Sachverhalte (A) bis (D) eine oder mehrere Bedingungen der linken Spalte so zu, dass daraus der betreffende Sachverhalt folgt.
Jede Bedingung kann mehrfach verwendet werden, nicht jede Bedingung muss verwendet werden. Die beschriebenen Sachverhalte (A) bis (D) liegen nicht gleichzeitig vor, sie gehören jeweils zu unterschiedlichen Funktionen bzw. Schaubildern.
Beispiel: Aus den Bedingungen $f(8)=0$ und $f'(8)=0$ folgt der Sachverhalt
„Das Schaubild der Funktion $f$ berührt die $x$-Achse an der Stelle 8“.
Bedingungen Sachverhalt
$f(0)=8$
$f(8)=0$
$f(8)=8$
$f'(8)=-1$
$f'(8)=0$
$f'(8)=1$
$f'(8)=8$
$f''(8)=0$
$f''(8)>0$
$f''(8)< 0$
$f'''(8)\neq 0$
(A) Die Funktion $f$ hat die Wendestelle $x=8$.


(B) Das Schaubild der Funktion $f$ hat den Tiefpunkt $(8\mid8)$.


(C) Die Tangente im Punkt $(8\mid0)$ steht senkrecht auf der zweiten Winkel- halbierenden.


(D) Die Tangente im Wendepunkt $(8\mid8)$ schneidet die $x$-Achse an der Stelle 16.
(7P)
 Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
1.3
Gegeben ist die Funktion $f_t$ mit$\quad$ $f_{t}(x)=-\dfrac{1}{256}(x+4t)x^{3}-t;\quad$$ x\in\mathbb{R},\quad t>0$.
$K_t$ ist das Schaubild von $f_t$.
1.3.1
Weise nach, dass $K_3$ nur einen Extrempunkt hat.
Zeichne $K_3$.
Bestimme alle Werte von $x$, für die $K_3$ eine Rechtskurve ist.
(8P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.3.2
Die Gerade durch die Punkte $P(0\mid f_{3}(0))$ und $Q(-6\mid f_{3}(-6))$ schließt mit $K_3$ drei Flächenstücke ein.
Zeige, dass die beiden äußeren Flächenstücke zusammen genauso groß sind wie das mittlere Flächenstück.
(6P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.3.3
Bestimme den gemeinsamen Punkt aller Schaubilder $K_t$.
Untersuche, ob dieser Punkt Extrempunkt eines der Schaubilder $K_t$ sein kann.
(4P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.3.4
Bestimme $t$ so, dass $f_t$ den Wertebereich $\{y\in\mathbb{R}\mid y\leq23\}$ hat.
(4P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.3.5
Für jedes $t>0$ schließt eine der Wendetangenten von $K_t$ mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck ein.
Berechne den Wert von $t$ so, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks minimal ist.
(8P)
 Aufgabe entfällt ab 2017

(45P)
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