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Analysis 2

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2.1
Für jedes $t\geq0$ ist die Funktion $f_t$ mit ihrem Schaubild $K_t$ gegeben durch
$f_{t}(x)=(x+t)\cdot\mathrm{e}^{-x},\quad x\in\mathbb{R}$.
2.1.1
Bestimme die Gleichung der Wendetangente von $K_2$.
Zeichne $K_2$ und die Wendetangente.
(6P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
2.1.2
Begründe oder widerlege folgende Aussagen:
A1: Die Normale von $K_2$ im Punkt $P(1\mid f_{2}(1))$ hat die Steigung $\dfrac{\mathrm{e}}{2}$.* $\dfrac{2}{2}$
A2: Der Inhalt der Fläche, die von $K_2$, der Wendetangente an $K_2$ und der Geraden mit der Gleichung $x=4$ eingeschlossen wird, beträgt $\dfrac{3\mathrm{e}^{4}-7}{\mathrm{e}^4}$.**
A3: Streckt man $K_2$ mit dem Faktor 2 in $y$-Richtung und verschiebt man das dabei entstandene Schaubild um 2 nach oben, so erhält man das Schaubild $H$. Das Schaubild $H$ ergibt sich auch, wenn man zuerst die Verschiebung und danach die Streckung durchführt.***
(8P)
*
**
***
 Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
 Aufgabe entfällt ab 2017
 Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
2.1.3
Durch die Rotation von $K_2$ um die $x$-Achse im Bereich $-1,8\leq x\leq1,8$ wird die Mantelfläche eines liegenden Gefäßes modelliert. Eine Längeneinheit auf jeder Achse entspricht 1$\,$cm. Die Wandstärke des Gefäßes wird vernachlässigt.
2.1.3.1
Bestimme den kleinsten Durchmesser des Gefäßes.
Berechne das Volumen des Gefäßes.
(4P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
2.1.3.2
Durch die Streckung von $K_2$ in $y$-Richtung soll das Gefäß so vergrößert werden, dass es ein Fassungsvermögen von 125$\,$ml aufweist.
Bestimme einen Streckfaktor.
(3P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
2.1.4
Die Gerade $g$ mit der Gleichung $x=u$ und $u>-2$ schneidet das Schaubild $K_2$ im Punkt $A$ und die $x$-Achse im Punkt $B$. Verschiebt man $g$ um 0,5 nach rechts, so erhält man die Gerade $h$, die $K_2$ im Punkt $D$ und die $x$-Achse im Punkt $C$ schneidet. $A$, $B$, $C$ und $D$ sind die Eckpunkte eines Vierecks.
Berechne einen Wert von $u$ so, dass das Viereck $ABCD$ maximalen Flächeninhalt hat.
(5P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
2.1.5
Nenne drei gemeinsame Eigenschaften aller Schaubilder $K_t$.
Bestimme den Wertebereich von $f_t$.
Berechne die Gleichung der Kurve, auf der die Extrempunkte aller Schaubilder $K_t$
liegen.
(8P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
2.1.6
Untersuche, für welche Werte von $t$ das Schaubild $K_t$ die $x$-Achse unter einem Winkel von 45° schneidet.
(3P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
2.2
Jeder der Aussagen 1 bis 4 lässt sich eines der Schaubilder A bis C zuordnen.
Finde zu jeder Aussage das passende Schaubild und begründe deine Zuordnung.
Schaubild A:
Schaubild B:
Schaubild C:
(8P)
 Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln

(45P)
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