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Vektorgeometrie 2

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2
Auf einem ebenen Flugplatz starten gleichzeitig zwei Modellflugzeuge $M_1$ und $M_2$. Ein Koordinatensystem wird so gewählt, dass der Flugplatz mit Startbahn in der $x_{1}x_{2}$-Ebene liegt. $M_1$ hebt in $P_{0}(300\mid700\mid0)$ ab und $M_2$ in $Q_{0}(200\mid0\mid0)$. Die Flugbahnen sind geradlinig.
$M_1$ bewegt sich mit der Geschwindigkeit $\vec{v}_{1}=\begin{pmatrix}15\\-15\\1\end{pmatrix}$ und $M_2$ mit $\vec{v}_{2}=\begin{pmatrix}10\\10\\0,5\end{pmatrix}$.
Alle Ortskoordinaten sind in Meter, alle Zeiten in Sekunden, alle Geschwindigkeiten in Meter pro Sekunde angegeben.
2.1
Gib für die Bahnen, auf denen sich die beiden Modellflugzeuge bewegen, jeweils eine Gleichung an.
Weise nach, dass sich die beiden Flugzeuge kreuzen.
Untersuche, ob die Flugzeuge zusammenstoßen.
(5P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
2.2
Berechne den Abstand, den die beiden Flugzeuge 10 Sekunden nach dem Start voneinander haben.
Aus Sicherheitsgründen müssen $M_1$ und $M_2$ während ihres Fluges immer einen Mindestabstand von 50 Meter einhalten. Untersuche, ob diese Vorschrift erfüllt ist.
(6P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
2.3
Der Flugplatz grenzt an eine senkrechte, ebene Felswand. Im gesamten Bereich der Strecke $AB$ mit $A(870\mid706\mid0)$ und $B(910\mid698\mid0)$ beträgt ihre Höhe 40 Meter.
Zeige, dass das Flugzeug $M_2$ im Punkt $Q(900\mid700\mid35)$ der Felswand auftreffen würde.
Daher wird durch die Betätigung des Höhenruders 50 Sekunden nach dem Start die
Geschwindigkeit von $M_2$ verändert in $\vec{v}_{\text{Neu}}=\begin{pmatrix}10\\10\\a\end{pmatrix}$.
Bestimme den Wert der Variablen $a$ so, dass das Flugzeug $M_2$ die Felswand mit 1 Meter Höhenunterschied überfliegt.
(4P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln

(15P)
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