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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur bis 2016 (CAS)
Abi 2016
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung
Abi 2015
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
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Vektorgeometrie
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Lineare Optimierung
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Stochastik 1
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Stochastik 1
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Analysis 1
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Abi 2009
Analysis 1
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Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
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Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
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Analysis

Aufgaben
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1.1
Für jedes $t\in\mathbb{R}$ ist die Funktion $f_t$ gegeben durch
$f_t(x)=\dfrac{1}{8}\cdot(x-t)\cdot(x-4)^{2}$;   $x\in\mathbb{R}$.
Das Schaubild von $f_t$ ist $K_t$.
1.1.1
Zeichnen Sie $K_{-2}$.
Die Kurve $K_{-2}$ und die $x$-Achse begrenzen eine Fläche. Die Gerade durch den Hochpunkt von $K_{-2}$ und den Punkt $S\left(\dfrac{5}{8}\mid0\right)$ teilt diese Fläche in zwei Teile.
Bestimmen Sie das Verhältnis der Inhalte dieser Teilflächen.
(9P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.1.2
Die Punkte $Q_{1}(-2\mid0)$, $Q_{2}(u\mid0)$ und $Q_{3}(u\mid f_{-2}(u))$ mit $-2< u<4$ bilden ein Dreieck.
Bestimmen Sie $u$, sodass der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird.
Geben Sie den maximalen Flächeninhalt an.
(6P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.1.3
Nennen Sie charakteristische Eigenschaften von $K_t$ in Abhängigkeit von $t$.
(5P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.1.4
Die Ableitungsfunktion $f_{t}'$ besitzt die Nullstellen $x_1$ und $x_2$.
Bestimmen Sie alle Werte für $t$, sodass $x_{2}=2\cdot x_{1}$ gilt.
(5P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.2
Für jedes $a>0$ ist die Funktion $g_a$ gegeben durch
$g_{a}(x)=a\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\cdot x\right)+2$;   $x\in[-4;\;4]$.
Das Schaubild von $g_a$ ist $C_a$.
1.2.1
Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte aller Schaubilder $C_a$.
Für welchen Wert von $a$ schneiden sich die beiden Wendetangenten orthogonal?
(6P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.2.2
Für welchen Wert von $a$ bilden die Extrempunkte von $C_a$ ein gleichseitiges Dreieck?
(6P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.3
Ordnen Sie den Aussagen A1, A2, A3, A4 für Funktionen jeweils alle dazu passenden Schaubilder $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$ zu.
Begründen Sie ihre Auswahl.
A1: Für $x=0$ ist die zweite Ableitung negativ.
A2: Alle Stammfunktionen sind monoton wachsend.
A3: Die erste Ableitung hat ein Schaubild, das punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
A4: Im Intervall $[-1;\;1]$ existiert die Umkehrfunktion.
(6P)
 Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder im Teil mit Hilfsmitteln

(45P)
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Tipps
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1.1.1
$\blacktriangleright$Zeichnen des Schaubildes $\boldsymbol{K_{-2}}$
In der Aufgabenstellung ist dir für jedes $t \in \mathbb{R}$ die Funktion $f_t$, mit
$f_t(x) = \frac{1}{8} \cdot \left(x - t\right) \cdot \left(x - 4\right)^2$
gegeben. Deine Aufgabe ist es zunächst, das Schaubild $K_{-2}$ zu zeichnen. Das Schaubild $K_{-2}$ gehört zur Funktion $f_{-2}$. Bevor du das Schaubild $K_{-2}$ zeichnen kannst, musst du den Funktionsterm $f_{-2}(x)$ von $f_{-2}$ bestimmen. Setze dazu $t = -2$ in $f_t(x)$ ein und berechne wie folgt:
$f_{-2} (x) = \dfrac{1}{8} \cdot \left(x - (-2)\right) \cdot \left(x - 4\right)^2 = \dfrac{1}{8} \cdot \left(x +2\right) \cdot \left(x - 4\right)^2$.
$ f_{-2} (x) = \text{…} $
Beim Zeichnen des Schaubilds $K_{-2}$ kann dir dein CAS behilflich sein.
$\blacktriangleright$ Bestimmen des Verhältnisses der Inhalte der Teilflächen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Kurve $K_{-2}$ und die $x$-Achse eine Fläche begrenzen, wobei die Gerade durch den Hochpunkt $H$ von $K_{-2}$ und durch den Punkt $S\left(\frac{5}{8} \mid 0 \right)$ diese Fläche in zwei Teilflächen teilt. Deine Aufgabe ist es dabei, das Verhältnis dieser Flächen zu bestimmen.
Willst du hier das Verhältnis bestimmen, so zeichnest du die Teilflächen zunächst in die oben angefertigte Skizze ein, um dir hier den Sachverhalt vor Augen zu führen. Zeichne dazu ungefähr den Hochpunkt $H$ sowie den Punkt $S$ in das Schaubild und verbinde diese durch die Gerade $g$:
Bevor du hier das Verhältnis zwischen den Flächen berechnen kannst, musst du zunächst die Flächeninhalte der Teilflächen $A_1$ und $A_2$ bestimmen. Mache dir dazu klar, wie diese sich zusammensetzen:
$\boldsymbol{A_1}:$
Fläche $A_1$ wird in negativer $x$-Richtung durch den Schnittpunkt des Graphen von $f_{-2}$ mit der $x$-Achse und in positiver $x$-Richtung durch den Punkt $S$ beschränkt. $A_1$ setzt sich dabei zum einen aus der Fläche zusammen, welche der Graph von $f_{-2}$ mit der $x$-Achse einschließt und zum anderen mit der Fläche, die die Gerade $g$ mit der $x$- und $y$-Achse einschließt.
$\boldsymbol{A_2}:$
Fläche $A_2$ wird in positiver $x$-Richtung vom doppelten Schnittpunkt des Graphen von $f_{-2}$ mit der $x$-Achse und in negativer $x$-Richtung vom Punkt $S$ beschränkt. Der Flächeninhalt von $A_2$ ergibt sich dabei aus der Differenz der Fläche, die der Graph von $f_{-2}$ im betrachteten Bereich einschließt und der Fläche, die die Gerade $g$ mit den Koordinatenachsen einschließt. Willst du also das Verhältnis der Flächeninhalte hier berechnen, so gehe wie folgt vor:
  • Bestimme die Koordinaten von Hochpunkt $H$, sowie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte des Graphen von $f_{-2}$.
  • Bestimme den Flächeninhalt der Fläche, die die Gerade $g$ mit den Koordinatenachsen einschließt.
  • Berechne $A_1$ und $A_2$. Verwende dazu Integrale.
  • Berechne das Verhältnis.
1.1.2
$\blacktriangleright$Bestimmen von $\boldsymbol{u}$ so, dass der Flächeninhalt maximal wird
Der Aufgabenstellung kannst du hier entnehmen, dass die Punkte $Q_1 ( -2 \mid 0)$, $Q_2 ( u \mid 0)$ und $Q_3 ( u \mid f_{-2} (u))$ für $-2 < u < 4$ ein Dreieck bilden. Deine Aufgabe ist es dabei, $u$ so zu bestimmen, dass der Flächeninhalt $A_u$ dieses Dreiecks maximal wird. Anschließend sollst du diesen Flächeninhalt angeben.
Willst du hier den maximalen Flächeninhalt $A_u$ bestimmen, so musst du zunächst die Punkte $Q_1$, $Q_2$ und $Q_3$ näher betrachten:
  • $Q_1 ( -2 \mid 0)$ liegt auf der $x$-Achse und entspricht der Nullstelle von $f_{-2}$ bei $x_1 = -2$;
  • $Q_2 ( u \mid 0)$ liegt mit $-2 < u < 4$ ebenfalls auf der $x$-Achse und
  • $Q_3 ( u \mid f_{-2} (u))$ liegt auf dem Graphen von $f_{-2}$ und zwar oberhalb von $Q_2$.
Zeichne nun mit diesen Angaben ein exemplarisches Dreieck mit einem unbekannten $u$ in das Schaubild von oben, um die hier den Sachverhalt vor Augen zu führen:
Der Skizze oben kannst du entnehmen, dass es sich beim betrachteten Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Für dessen Flächeninhalt gilt hier also:
$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$ mit:
  • $a,b$: Katheten des Dreiecks
Willst du hier den maximalen Flächeninhalt $A_u$ bestimmen, so musst du zunächst einen Ansatz aufstellen, mit welchem sich allgemein der Flächeninhalt $A_u$ mit $-2 < u < 4$ berechnen lässt. Hast du diesen Ansatz bestimmt, so untersuchst du diesen auf Maxima. Mach dir dazu nochmals klar, dass sich Maxima $u_{max}$ hier an den folgenden Stellen befinden müssen:
  • Notwendige Bedingung: $A'(u_{max}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $A''(u_{max}) < 0$
1.1.3
$\blacktriangleright$ Nennen von charakteristischen Eigenschaften von $\boldsymbol{K_t}$ in Abhängigkeit von $\boldsymbol{t}$
Nun sollst du charakteristische Eigenschaften von $\boldsymbol{K_t}$ in Abhängigkeit des Parameters $t$ angeben. Mache dir dazu folgendes klar:
  • Bei $f_t$ handelt es sich um eine Funktionenschar;
  • $f_t$ ist eine Schar ganzrationaler Funktionen dritten Grades;
  • der Funktionsterm von $f_t$ liegt in Linearfaktorform vor.
1.1.4
$\blacktriangleright$ Bestimmen aller Werte für $\boldsymbol{t}$, sodass $\boldsymbol{x_2 = 2 \cdot x_1}$ gilt
Der Aufgabenstellung kannst du hier entnehmen, dass $f_t'$ die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ besitzt. Deine Aufgabe ist es dabei, alle Werte für $t$ zu bestimmen, so dass für die Nullstellen $x_2 = 2 \cdot x_1$ gilt.
Willst du diese Aufgabe lösen, so musst du zunächst die erste Ableitungsfunktion $f_t'$ von $f_t$ bestimmen. Hast du diese bestimmt, so berechnest du mit Hilfe deines CAS die Nullstellen dieser Funktion in Abhängigkeit von $t$, setze dazu $f_t'(x) = 0$.
Hast du die Nullstellen in Abhängigkeit von $t$ bestimmt, so setzt du die Nullstelle $x_2$ mit dem doppelten von $x_1$ gleich und löst die resultierende Gleichung nach $t$. So hast du dann die Parameterwerte von $t$ bestimmt, für die die gegebene Bedingung erfüllt ist.
1.2.1
$\blacktriangleright$Bestimmen der gemeinsamen Punkte aller Schaubilder $\boldsymbol{C_a}$
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass für jedes $a > 0$ die Funktion $g_a$ gegeben ist, mit:
$g_a(x)=a \cdot \cos \left(\dfrac{\pi}{4} \cdot x\right) + 2;$   $x \in \left[-4;4 \right]$
Deine Aufgabe ist es nun, die gemeinsamen Punkte aller Schaubilder $C_a$ zu bestimmen. Das heißt du bestimmst all jene Punkte, in welchen sich die Schaubilder $C_a$ unabhängig von Parameter $a$ schneiden.
Willst du diese Aufgabe lösen, so führst du hier zwei beliebige Parameter $a_1$ und $a_2$ ein, für die $a_1 \neq a_2$ gilt. Definiere mit diesen die Funktionen $g_{a_1}$ und $g_{a_2}$. Bestimmst du dann die Schnittstellen von $g_{a_1}$ und $g_{a_2}$ für $ x \in \left[-4;4 \right]$, so hast du die allgemeinen Schnittstellen aller Funktionen der Schar $g_a$ bestimmt.
$\blacktriangleright$Bestimmen des $\boldsymbol{a}$, für das sich die Wendetangenten orthogonal schneiden
Nun sollst du den Parameterwert für $a$ bestimmen, bei welchem sich die Wendetangenten des Graphen von $g_a$ orthogonal schneiden. Schneiden sich zwei Geraden $t_1$ und $t_2$ orthogonal, so gilt für deren Steigungen $m_1$ und $m_2$:
$m_1 = \frac{1}{-m_2}$
Damit sich also Geraden orthogonal scheiden, muss die Steigung der einen Geraden dem negativen Kehrwert der Steigung der zweiten Geraden entsprechen. Um diese Aufgabe zu lösen, benötigst du also die von $a$ abhängige Steigung der Wendetangenten $t_1$ und $t_2$. Damit du die gesuchten Steigungen bestimmen kannst, musst du zunächst die Wendestellen von $g_a$ bestimmen. Denke dabei daran, dass für eine Wendestelle bei $x_W$ folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
  • Notwendige Bedingung: $g_a''(x_W) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $g_a'''(x_W) \neq 0$
Verwende zum Bestimmen der Wendestellen von $g_a$ dein CAS wie in den Aufgabenteilen zuvor. Bestimme anschließend die Steigung an den ermittelten Wendestellen mit der ersten Ableitungsfunktion $g_a'$ von $g_a$ und ermittle mit Hilfe des oben gezeigten Zusammenhangs die gesuchten Parameterwerte für $a$.
1.2.2
$\blacktriangleright$ Bestimmen, für welches $\boldsymbol{a}$ die Extrempunkte ein gleichseitiges Dreieck bilden
Deine Aufgabe ist es hier, den Parameterwert von $a$ zu bestimmen, für welchen die Extrempunkte von $g_a$ ein gleichseitiges Dreieck bilden. Ein gleichseitiges Dreieck ist dabei ein Dreieck, bei dem alle Seiten die gleiche Länge haben.
Willst du diese Aufgabe hier lösen, so veranschauliche zunächst den Sachverhalt, indem du beispielsweise den Graphen von $g_2$ zeichnest und in das entstehende Schaubild das Dreieck einträgst. Gehe beim Zeichnen von $g_2$ vor wie im Aufgabenteil 1.1.1, es sollte folgendes Schaubild hier entstehen:
Bezogen auf das Beispiel von oben, ist hier das Dreieck, welches von den Extrempunkten gebildet wird, genau dann gleichseitig, wenn der Abstand zwischen den Extrempunkten, welche auf der $x$-Achse liegen gleich dem Abstand zwischen den Extrempunkten auf der $x$-Achse und dem Extrempunkte auf der $y$-Achse ist.
Hier gilt es also zunächst allgemein die Extrempunkte zu bestimmen. Denke dabei daran, dass an einer Extremstelle $x_E$ bezogen auf die Funktion $g_a$ folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
  • Notwendige Bedingung: $g_a'(x_E) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $g_a''(x_E) \neq 0$
Hast du die von Parameter $a$ abhängigen Koordinaten der Extrempunkte der Graphen von $g_a$ bestimmt, so bestimmst du anschließend den Parameterwert von $a$ so, dass der Abstand $d$ zwischen diesen der gleiche ist. Den Abstand $d$ zwischen zwei Punkten $P_1(x_1\mid y_1)$ und $P_2(x_2\mid y_2)$ bestimmst du dabei über folgenden Ansatz:
$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$
Gehe beim Lösen dieser Aufgabe also so vor:
  • Bestimme die von $a$-abhängigen Extremstellen von $f$;
  • Bestimme die vollständigen Koordinaten dieser Extremstellen;
  • Berechne allgemein den Abstand zwischen den Extremstellen und ermittle dann das $a$, für welches dieser gleich ist
1.3
$\blacktriangleright$ Zuordnen der Aussagen $\boldsymbol{A_1}$ bis $\boldsymbol{A_4}$ zu den jeweils passenden Schaubildern
In diesem Aufgabenteil hast du die Schaubilder $S_1$, $S_2$, $S_3$ und $S_4$ gegeben. Zu diesen sollst du die Aussagen $A_1$, $A_2$, $A_3$ und $A_4$, mit
  • $A_1$: Für $x=0$ ist die zweite Ableitung negativ.
  • $A_2$: Alle Stammfunktionen sind monoton wachsend.
  • $A_3$: Die erste Ableitung hat ein Schaubild, das punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
  • $A_4$: Im Intervall $\left[-1;1 \right]$ existiert die Umkehrfunktion.
zuordnen. Im Folgenden werden die Aussagen knapp erklärt und anschließend den Schaubildern zugeordnet:
$\boldsymbol{A_1}$:
Ist an einer beliebigen Stelle die zweite Ableitung einer Funktion negativ, so ist deren Graph an dieser Stelle rechtsgekrümmt.
$\boldsymbol{A_2}$:
Sind alle Stammfunktionen einer bestimmten Funktion monoton wachsend, so verläuft der Graph dieser Funktion immer oberhalb der $\boldsymbol{x}$-Achse.
$\boldsymbol{A_3}$:
Hat die erste Ableitung einer Funktion, ein zum Ursprung punktsymmetrisches Schaubild, so ist der Graph der betreffenden Funktion achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
$\boldsymbol{A_4}$:
Existiert im Intervall $\left[-1;1 \right]$ die Umkehrfunktion einer Funktion, so verläuft der Graph der Funktion in diesem Intervall monoton fallend oder steigend verlaufen.
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Lösungen TI
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1.1.1
$\blacktriangleright$Zeichnen des Schaubildes $\boldsymbol{K_{-2}}$
In der Aufgabenstellung ist dir für jedes $t \in \mathbb{R}$ die Funktion $f_t$, mit
$f_t(x) = \frac{1}{8} \cdot \left(x - t\right) \cdot \left(x - 4\right)^2$
gegeben. Deine Aufgabe ist es zunächst, das Schaubild $K_{-2}$ zu zeichnen. Das Schaubild $K_{-2}$ gehört zur Funktion $f_{-2}$. Bevor du das Schaubild $K_{-2}$ zeichnen kannst, musst du den Funktionsterm $f_{-2}(x)$ von $f_{-2}$ bestimmen. Setze dazu $t = -2$ in $f_t(x)$ ein und berechne wie folgt:
$f_{-2} (x) = \dfrac{1}{8} \cdot \left(x - (-2)\right) \cdot \left(x - 4\right)^2 = \dfrac{1}{8} \cdot \left(x +2\right) \cdot \left(x - 4\right)^2$.
$\begin{array}{rrl} f_{-2} (x)& = &\dfrac{1}{8} \cdot \left(x - (-2)\right) \cdot \left(x - 4\right)^2 \\ &=& \dfrac{1}{8} \cdot \left(x +2\right) \cdot \left(x - 4\right)^2 \end{array}$
Beim Zeichnen des Schaubilds $K_{-2}$ kann dir dein CAS behilflich sein. Wechsle dazu in den Graphik-Modus und lasse dir dort zunächst den Graphen von $f_{-2}$ anzeigen. Über die Eingabenfolge unten kannst du dir anschließend die zum Graphen zugehörige Wertetabelle anzeigen lassen:
menu $\to$ 7: Tabelle $\to$ 1: Tabelle mit geteiltem Bildschirm
Zeichne nun den Graphen von $f_{-2}$ bzw. das Schaubild $K_{-2}$ mit Unterstützung von deinem CAS. Der Graph von $f_{-2}$ bzw. $K_{-2}$ sollte hier so aussehen:
$\blacktriangleright$ Bestimmen des Verhältnisses der Inhalte der Teilflächen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Kurve $K_{-2}$ und die $x$-Achse eine Fläche begrenzen, wobei die Gerade durch den Hochpunkt $H$ von $K_{-2}$ und durch den Punkt $S\left(\frac{5}{8} \mid 0 \right)$ diese Fläche in zwei Teilflächen teilt. Deine Aufgabe ist es dabei, das Verhältnis dieser Flächen zu bestimmen.
Willst du hier das Verhältnis bestimmen, so zeichnest du die Teilflächen zunächst in die oben angefertigte Skizze ein, um dir hier den Sachverhalt vor Augen zu führen. Zeichne dazu ungefähr den Hochpunkt $H$ sowie den Punkt $S$ in das Schaubild und verbinde diese durch die Gerade $g$:
Bevor du hier das Verhältnis zwischen den Flächen berechnen kannst, musst du zunächst die Flächeninhalte der Teilflächen $A_1$ und $A_2$ bestimmen. Mache dir dazu klar, wie diese sich zusammensetzen:
$\boldsymbol{A_1}:$
Fläche $A_1$ wird in negativer $x$-Richtung durch den Schnittpunkt des Graphen von $f_{-2}$ mit der $x$-Achse und in positiver $x$-Richtung durch den Punkt $S$ beschränkt. $A_1$ setzt sich dabei zum einen aus der Fläche zusammen, welche der Graph von $f_{-2}$ mit der $x$-Achse einschließt und zum anderen mit der Fläche, die die Gerade $g$ mit der $x$- und $y$-Achse einschließt.
$\boldsymbol{A_2}:$
Fläche $A_2$ wird in positiver $x$-Richtung vom doppelten Schnittpunkt des Graphen von $f_{-2}$ mit der $x$-Achse und in negativer $x$-Richtung vom Punkt $S$ beschränkt. Der Flächeninhalt von $A_2$ ergibt sich dabei aus der Differenz der Fläche, die der Graph von $f_{-2}$ im betrachteten Bereich einschließt und der Fläche, die die Gerade $g$ mit den Koordinatenachsen einschließt. Willst du also das Verhältnis der Flächeninhalte hier berechnen, so gehe wie folgt vor:
  • Bestimme die Koordinaten von Hochpunkt $H$, sowie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte des Graphen von $f_{-2}$.
  • Bestimme den Flächeninhalt der Fläche, die die Gerade $g$ mit den Koordinatenachsen einschließt.
  • Berechne $A_1$ und $A_2$. Verwende dazu Integrale.
  • Berechne das Verhältnis.
1. Schritt: Bestimmen der benötigten Punkte
Betrachtest du den Funktionsterm von $f_{-2}$ genauer, so kannst du erkennen, dass dieser in Linearfaktorform gegeben ist. Das heißt, dem Funktionsterm können die Schnittstellen mit der $x$-Achse entnommen werden. Betrachte dazu die Ausdrücke in den Klammern genauer:
  • Einfacher Schnittpunkt bei $S_1(0 \mid -2)$
  • Doppelter Schnittpunkt bei $S_2(0 \mid 4)$
Weiterhin weißt du, dass an einem Maximum $x_M$ der Funktion $f_{-2}$ folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
  • Notwendige Bedingung: $f_{-2}'(x_M) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_{-2}''(x_M) < 0$
Bilde also die erste und zweite Ableitung von $f_{-2}$, um mit diesen dann die Koordinaten des Hochpunktes $H$ zu bestimmen. Verwende dazu dein CAS wie in den folgenden Schaubildern. Den Befehl für die Ableitung findest du unter Bilde also die erste und zweite Ableitung von $f_{-2}$, um mit diesen dann die Koordinaten des Hochpunktes $H$ zu bestimmen. Verwende dazu dein CAS wie in den folgenden Schaubildern. Unter den Platzhaltern d1f und d2f wurden dabei die Ableitungsfunktionen $f_{-2}'$ und $f_{-2}''$ gespeichert.
Funktion $f_{-2}$ besitzt offensichtlich bei $x_1= 0$ und $x_2 = 4$ Extremstellen. Durch das Überprüfen der hinreichenden Bedingung findest du heraus, dass $f_{-2}$ bei $x_1$ ein Maximum besitzt, dessen Koordinaten im Schaubild unten ermittelt werden:
Der Graph von $f_{-2}$ besitzt also einen Hochpunkt $H$ mit den Koordinaten $H(0 \mid 4)$.
2. Schritt: Flächeninhalt der Fläche, die $\boldsymbol{g}$ einschließt
Bestimme nun den Flächeninhalt $A_g$ der Fläche, welche die Gerade $g$ mit den Koordinatenachsen einschließt. Betrachtest du diese Fläche genauer, so kannst du erkennen, dass $g$ mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck einschließt, wobei sich ein solcher Flächeninhalt wie folgt berechnen lässt:
$A_g = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$ mit:
  • $a,b$: Katheten des Dreiecks
Die Katheten des Dreiecks werden hier durch die Koordinaten von $H$ und $S$ bestimmt. Kathete $a$ könnte also eine Länge von $4$ und Kathete $b$ eine Länge von $\frac{5}{8}$ besitzen:
$A_{g} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{5}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$
3. Schritt: Flächeninhalt $\boldsymbol{A_1}$
Flächeninhalt $A_1$ ergibt sich nun zum einen über das Integral über $f_{-2}$ zwischen der Nullstelle bei $x_1 = -2$ und der $y$-Achse bei $x_2 = 0$ und zum anderen aus der Fläche $A_g$. Berechne hier das Integral mit deinem CAS, indem du über folgende Eingabenfolge ein Integral in den Calculator-Modus einfügst
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
und wie folgt berechnest:
Für den Flächeninhalt $A_1$ gilt also:
$A_1 = A_g + \frac{11}{2} = \frac{5}{4} + \frac{11}{2} = \frac{27}{4}$
4. Schritt: Flächeninhalt $\boldsymbol{A_2}$
Flächeninhalt $A_2$ ergibt sich ebenfalls zum einen über das Integral über $f_{-2}$ zwischen der $y$-Achse bei $x_2 = 0$ und der Nullstelle bei $x_3 = 4$ und zum anderen aus der Fläche $A_g$. Berechne hier das Integral ebenfalls mit deinem CAS:
Für den Flächeninhalt $A_2$ gilt also:
$A_1 = 8 - A_g =8 - \frac{5}{4}= \frac{27}{4}$
Für das Verhältnis zwischen $A_1$ und $A_2$ gilt also:
$\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{\frac{27}{4}}{\frac{27}{4}} = \dfrac{1}{1}$.
1.1.2
$\blacktriangleright$Bestimmen von $\boldsymbol{u}$ so, dass der Flächeninhalt maximal wird
Der Aufgabenstellung kannst du hier entnehmen, dass die Punkte $Q_1 ( -2 \mid 0)$, $Q_2 ( u \mid 0)$ und $Q_3 ( u \mid f_{-2} (u))$ für $-2 < u < 4$ ein Dreieck bilden. Deine Aufgabe ist es dabei, $u$ so zu bestimmen, dass der Flächeninhalt $A_u$ dieses Dreiecks maximal wird. Anschließend sollst du diesen Flächeninhalt angeben.
Willst du hier den maximalen Flächeninhalt $A_u$ bestimmen, so musst du zunächst die Punkte $Q_1$, $Q_2$ und $Q_3$ näher betrachten:
  • $Q_1 ( -2 \mid 0)$ liegt auf der $x$-Achse und entspricht der Nullstelle von $f_{-2}$ bei $x_1 = -2$;
  • $Q_2 ( u \mid 0)$ liegt mit $-2 < u < 4$ ebenfalls auf der $x$-Achse und
  • $Q_3 ( u \mid f_{-2} (u))$ liegt auf dem Graphen von $f_{-2}$ und zwar oberhalb von $Q_2$.
Zeichne nun mit diesen Angaben ein exemplarisches Dreieck mit einem unbekannten $u$ in das Schaubild von oben, um dir hier den Sachverhalt vor Augen zu führen:
Der Skizze oben kannst du entnehmen, dass es sich beim betrachteten Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Für dessen Flächeninhalt gilt hier also:
$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$ mit:
  • $a,b$: Katheten des Dreiecks
Willst du hier den maximalen Flächeninhalt $A_u$ bestimmen, so musst du zunächst einen Ansatz aufstellen, mit welchem sich allgemein der Flächeninhalt $A_u$ mit $-2 < u < 4$ berechnen lässt. Hast du diesen Ansatz bestimmt, so untersuchst du diesen auf Maxima. Mach dir dazu nochmals klar, dass sich Maxima $u_{max}$ hier an den folgenden Stellen befinden müssen:
  • Notwendige Bedingung: $A'(u_{max}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $A''(u_{max}) < 0$
1. Schritt: Bestimmen von $\boldsymbol{A(u)}$
Wie oben schon erwähnt, ist das hier betrachtete Dreieck rechtwinklig. Eine der Katheten des Dreiecks wird durch die Strecke zwischen der Stelle $u$ und der Stelle $-2$ bzw. der Strecke zwischen $Q_1$ und $Q_2$ gebildet. Die andere Kathete ergibt sich aus dem Funktionswert von $f_{-2}$ an der Stelle $u$. Für $A_u$ gilt also:
$A(u) = \frac{1}{2} \cdot (u + \mid- 2\mid ) \cdot f_{-2}(u)=\frac{1}{2} \cdot (u + 2) \cdot f_{-2}(u)$
$\begin{array}{rrl} A(u)& =& \frac{1}{2} \cdot (u + \mid- 2\mid ) \cdot f_{-2}(u) \\ &=&\frac{1}{2} \cdot (u + 2) \cdot f_{-2}(u) \end{array}$
2. Schritt: Bestimmen der Maximalstelle
Um die Stelle zu bestimmen, an der die Flächenfunktion $A$ einen maximalen Wert annimmt, gehst du hier wie im vorherigen Aufgabenteil vor. Die erste und zweite Ableitung von $A$ werden dabei unter d1A und d2A im Rechner hinterlegt:
Da $u_1=-2$ und $u_3 = 4$ nicht mehr im betrachteten Bereich von $u$ liegt und $A''(u_2=1) < 0$ gilt, ist der Flächeninhalt des betrachteten Dreiecks für $u_2 = 1$ maximal.
3. Schritt: Bestimmen des maximalen Flächeninhalts
Den hier gesuchten maximalen Flächeninhalt $A_{max.}$ bestimmst du, in dem du die Maximalstelle $u_2=1$ in $A(u)$ einsetzt und wie folgt mit deinem CAS berechnest:
Für $u_2 =1$ ist der Flächeninhalt mit $\approx 5,06\,\text{FE}$ maximal.
1.1.3
$\blacktriangleright$ Nennen von charakteristischen Eigenschaften von $\boldsymbol{K_t}$ in Abhängigkeit von $\boldsymbol{t}$
Nun sollst du charakteristische Eigenschaften von $\boldsymbol{K_t}$ in Abhängigkeit des Parameters $t$ angeben. Mache dir dazu folgendes klar:
  • Bei $f_t$ handelt es sich um eine Funktionenschar;
  • $f_t$ ist eine Schar ganzrationaler Funktionen dritten Grades;
  • der Funktionsterm von $f_t$ liegt in Linearfaktorform vor.
Da Funktionsterm von $f_t$ in Linearfaktorform vorliegt und Parameter $t$ einer dieser Faktoren darstellt, beeinflusst $t$ eine einfache Nullstelle von $f_t$ bzw. einen Schnittpunkt mit der $x$-Achse von $K_t$. Nimmt $t$ den Wert 0 an, so liegt der Schnittpunkt von $K_t$ mit der $x$-Achse im Ursprung. Nimmt $t$ einen Wert kleiner Null an, so liegt der Schnittpunkt von $K_t$ mit der $x$-Achse auf der negativen $x$-Achse. Für positive Werte von $t$ liegt der betrachtete Schnittpunkt mit der $x$-Achse auf der positiven $x$-Achse.
1.1.4
$\blacktriangleright$ Bestimmen aller Werte für $\boldsymbol{t}$, sodass $\boldsymbol{x_2 = 2 \cdot x_1}$ gilt
Der Aufgabenstellung kannst du hier entnehmen, dass $f_t'$ die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ besitzt. Deine Aufgabe ist es dabei, alle Werte für $t$ zu bestimmen, so dass für die Nullstellen $x_2 = 2 \cdot x_1$ gilt.
Willst du diese Aufgabe lösen, so musst du zunächst die erste Ableitungsfunktion $f_t'$ von $f_t$ bestimmen. Hast du diese bestimmt, so berechnest du mit Hilfe deines CAS die Nullstellen dieser Funktion in Abhängigkeit von $t$, setze dazu $f_t'(x) = 0$.
Hast du die Nullstellen in Abhängigkeit von $t$ bestimmt, so setzt du die Nullstelle $x_2$ mit dem doppelten von $x_1$ gleich und löst die resultierende Gleichung nach $t$. So hast du dann die Parameterwerte von $t$ bestimmt, für die die gegebene Bedingung erfüllt ist.
1. Schritt: Bestimmen der Nullstellen $\boldsymbol{x_1}$ und $\boldsymbol{x_2}$
Bestimme zunächst, wie in den Aufgabenteilen zuvor, die erste Ableitungsfunktion von $f_t$ mit deinem CAS. Diese wurde hier unter d1f festgelegt. Hast du diese bestimmt, so bestimmst du wie unten mit Hilfe des solve-Befehls die Nullstellen der Funktion $f_t'$:
Die Nullstellen von $f_t'$ sind also $x_1 = \dfrac{2 \cdot ( t + 2 ) }{3}$ und $x_2 = 4$.
2. Schritt: Parameterwerte von $\boldsymbol{t}$, für die die Bedingungen erfüllt sind
Setze nun $x_2 = 2 \cdot x_1$, um die Parameterwerte von $t$ zu bestimmen, für welche die gegebene Bedingung erfüllt ist. Löse dazu die resultierende Gleichung nach $t$:
$\begin{array}{rrlrl} x_2&=&2 \cdot x_1 \\[5pt] 4&=&2 \cdot \left(\dfrac{2 \cdot ( t + 2 ) }{3} \right) \\[5pt] 4&=&\dfrac{4 \cdot ( t + 2 ) }{3}&&\mid\; \cdot 3 \\[5pt] 12&=&4 \cdot t + 8&&\mid\; -8 \\[5pt] 4&=&4 \cdot t&&\mid\; :4 \\[5pt] 1&=&t \end{array}$
$\begin{array}{rrl} x_2&=&2 \cdot x_1 \\[5pt] 4&=&2 \cdot \left(\dfrac{2 \cdot ( t + 2 ) }{3} \right) \\[5pt] 4&=&\dfrac{4 \cdot ( t + 2 ) }{3} \\[5pt] 12&=&4 \cdot t + 8 \\[5pt] 4&=&4 \cdot t \\[5pt] 1&=&t \end{array}$
Die gegebene Bedingung ist für $t = 1$ erfüllt.
1.2.1
$\blacktriangleright$Bestimmen der gemeinsamen Punkte aller Schaubilder $\boldsymbol{C_a}$
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass für jedes $a > 0$ die Funktion $g_a$ gegeben ist, mit:
$g_a(x)=a \cdot \cos \left(\dfrac{\pi}{4} \cdot x\right) + 2;$   $x \in \left[-4;4 \right]$
Deine Aufgabe ist es nun, die gemeinsamen Punkte aller Schaubilder $C_a$ zu bestimmen. Das heißt du bestimmst all jene Punkte, in welchen sich die Schaubilder $C_a$ unabhängig von Parameter $a$ schneiden.
Willst du diese Aufgabe lösen, so führst du hier zwei beliebige Parameter $a_1$ und $a_2$ ein, für die $a_1 \neq a_2$ gilt. Definiere mit diesen die Funktionen $g_{a_1}$ und $g_{a_2}$. Bestimmst du dann die Schnittstellen von $g_{a_1}$ und $g_{a_2}$ für $ x \in \left[-4;4 \right]$, so hast du die allgemeinen Schnittstellen aller Funktionen der Schar $g_a$ bestimmt.
Verwende zum Bestimmen der Schnittstellen dein CAS. Definiere in diesem die Funktionen $g_{a_1}$ und $g_{a_2}$ und bestimme mittels solve die Schnittstellen. Vergiss dabei die Einschränkung $ x \in \left[-4;4 \right]$ nicht!
Alle Schaubilder $C_a$ schneiden sich also bei $x_1 = -2$ und $x_2 = 2$
Alternativweg
Alternativ kannst du auch zwei konkrete Parameterwerte von $a$, z.B. $a_1 = 1$ und $a_2 = 2$, annehmen und die Schnittstellen der zugehörigen Funktionen $g_1$ und $g_2$ bestimmen. Zeigst du dann anschließend, dass die so ermittelten Schnittpunkte von $g_1$ und $g_2$ auf allen Schaubildern $C_a$ liegen, so hast du ebenfalls alle gemeinesamen Punkte aller Schaubilder $C_a$ ermittelt:
Es handelt sich dabei um Schnittpunkte aller $C_a$, wenn die zu den Schnittstelle zugehörige $y$-Koordinate ebenfalls unabhängig vom Parameter $a$ ist. Bestimme also die vollständigen Koordianten der Schnittpunkte, um hier die gemeinsamen Punkte aller Schaubilder $C_a$ zu bestimmen. Dieser Schritt ist sowohl für die Haupt- als auch für die Alternativlösung notwendig.
Die Koordinaten der gemeinsamen Punkte aller Schaubilder $C_a$ sind also $S_1(-2 \mid 2)$ und $S_2(2 \mid 2)$.
$\blacktriangleright$Bestimmen des $\boldsymbol{a}$, für das sich die Wendetangenten orthogonal schneiden
Nun sollst du den Parameterwert für $a$ bestimmen, bei welchem sich die Wendetangenten des Graphen von $g_a$ orthogonal schneiden. Schneiden sich zwei Geraden $t_1$ und $t_2$ orthogonal, so gilt für deren Steigungen $m_1$ und $m_2$:
$m_1 = \frac{1}{-m_2}$
Damit sich also Geraden orthogonal scheiden, muss die Steigung der einen Geraden dem negativen Kehrwert der Steigung der zweiten Geraden entsprechen. Um diese Aufgabe zu lösen, benötigst du also die von $a$ abhängige Steigung der Wendetangenten $t_1$ und $t_2$. Damit du die gesuchten Steigungen bestimmen kannst, musst du zunächst die Wendestellen von $g_a$ bestimmen. Denke dabei daran, dass für eine Wendestelle bei $x_W$ folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
  • Notwendige Bedingung: $g_a'(x_W) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $g_a'''(x_W) \neq 0$
Verwende zum Bestimmen der Wendestellen von $g_a$ dein CAS wie in den Aufgabenteilen zuvor. Bestimme anschließend die Steigung an den ermittelten Wendestellen mit der ersten Ableitungsfunktion $g_a'$ von $g_a$ und ermittle mit Hilfe des oben gezeigten Zusammenhangs die gesuchten Parameterwerte für $a$.
1. Schritt: Bestimmen der Wendestellen von $\boldsymbol{g_a}$
Bevor du die Wendestellen von $g_a$ bestimmen kannst, bestimmst du hier zunächst die zweite und dritte Ableitung von $g_a$. Diese wurden hier unter d2g und d3g festgelegt. Hast du diese bestimmt, so berechnest du mit solve die potentiellen Wendestellen von $g_a$ und überprüfst die hinreichende Bedingung bei diesen.
Da sowohl $g_a'''(-2) \neq 0$ als auch $g_a'''(2) \neq 0$ gilt, befinden sich die Wendestellen von $g_a$ bei $x_1 = -2$ und $x_2 = 2$.
2. Schritt: Bestimmen der Steigung an den Wendestellen
Die Steigung an den Wendestellen $x_1 = -2$ und $x_2 = 2$ bestimmst du nun, indem du $x_1 = -2$ und $x_2 = 2$ in die erste Ableitungsfunktion von $g_a$ einsetzt. Diese wurde hier unter $\texttt{d1g}$ festgelegt.
Da die Steigung von $g_a$ an den Stellen $x_1 = -2$ und $x_2 = 2$ der Steigung der jeweiligen Wendetangenten $t_1$ und $t_2$ entspricht, gilt hier für $m_1$ und $m_2$:
  • $m_1 = \dfrac{a \cdot \pi}{4}$
  • $m_2 = \dfrac{-a \cdot \pi}{4}$
3. Schritt: Bestimmen des gesuchten Parameterwertes von $\boldsymbol{a}$
Den gesuchten Parameterwert von $a$ bestimmst du nun, indem du $m_1$ und $m_2$ in den Zusammenhang von oben einsetzt und nach $a$ löst:
$\begin{array}{rrlrl} m_1&=&\dfrac{1}{-m_2} \\[5pt] \dfrac{a \cdot \pi}{4}&=&\dfrac{1}{-\left(-\dfrac{a \cdot \pi}{4} \right)} \\[5pt] \dfrac{a \cdot \pi}{4}&=&\dfrac{1}{\dfrac{a \cdot \pi}{4}} \\[5pt] \dfrac{a \cdot \pi}{4}&=&\dfrac{4}{a \cdot \pi}&& \mid\; \cdot 4\;\mid \cdot a \cdot \pi \\[5pt] a^2 \cdot \pi^2&=&16&& \mid\; :\pi^2 \\[5pt] a^2 &=&\dfrac{16}{\pi^2}&& \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] a&=&\dfrac{4}{\pi} \end{array}$
$\begin{array}{rrl} m_1&=&\dfrac{1}{-m_2} \\ \dfrac{a \cdot \pi}{4}&=&\dfrac{1}{-\left(-\dfrac{a \cdot \pi}{4} \right)} \\ \dfrac{a \cdot \pi}{4}&=&\dfrac{1}{\dfrac{a \cdot \pi}{4}} \\ \dfrac{a \cdot \pi}{4}&=&\dfrac{4}{a \cdot \pi} \\ a^2 \cdot \pi^2&=&16 \\ a^2 &=&\dfrac{16}{\pi^2} \\ a&=&\dfrac{4}{\pi} \end{array}$
Da $a>0$ vorgegeben ist, gibt es nur diese eine Lösung. Damit sich die Wendetangenten orthogonal schneiden, muss $a$ den Wert $\dfrac{4}{\pi}$ annehmen.
1.2.2
$\blacktriangleright$ Bestimmen, für welches $\boldsymbol{a}$ die Extrempunkte ein gleichseitiges Dreieck bilden Deine Aufgabe ist es hier, den Parameterwert von $a$ zu bestimmen, für welchen die Extrempunkte von $g_a$ ein gleichseitiges Dreieck bilden. Ein gleichseitiges Dreieck ist dabei ein Dreieck, bei dem alle Seiten die gleiche Länge haben.
Willst du diese Aufgabe hier lösen, so veranschauliche dir zunächst den Sachverhalt, indem du beispielsweise den Graphen von $g_2$ zeichnest und in das entstehende Schaubild das Dreieck einträgst. Gehe beim Zeichnen von $g_2$ vor wie im Aufgabenteil 1.1.1, es sollte folgendes Schaubild hier entstehen:
Bezogen auf das Beispiel von oben, ist hier das Dreieck, welches von den Extrempunkten gebildet wird, genau dann gleichseitig, wenn der Abstand zwischen den Extrempunkten, welche auf der $x$-Achse liegen gleich dem Abstand zwischen den Extrempunkten auf der $x$-Achse und dem Extrempunkt auf der $y$-Achse ist.
Hier gilt es also zunächst allgemein die Extrempunkte zu bestimmen. Denke dabei daran, dass an einer Extremstelle $x_E$ bezogen auf die Funktion $g_a$ folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
  • Notwendige Bedingung: $g_a'(x_E) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $g_a''(x_E) \neq 0$
Hast du die vom Parameter $a$ abhängigen Koordinaten der Extrempunkte der Graphen von $g_a$ bestimmt, so bestimmst du anschließend den Parameterwert von $a$ so, dass der Abstand $d$ zwischen diesen der gleiche ist. Den Abstand $d$ zwischen zwei Punkten $P_1(x_1\mid y_1)$ und $P_2(x_2\mid y_2)$ bestimmst du dabei über folgenden Ansatz:
$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$
Gehe beim Lösen dieser Aufgabe also so vor:
  • Bestimme die von $a$-abhängigen Extremstellen von $f$;
  • Bestimme die vollständigen Koordinaten dieser Extremstellen;
  • Berechne allgemein den Abstand zwischen den Extremstellen und ermittle dann das $a$, für welches dieser gleich ist
1. Schritt: Bestimmen der Extremstellen von $\boldsymbol{g_a}$
Die Extremstellen der Funktionenschar $g_a$ bestimmst du hier wie in den Aufgabenteilen zuvor mit deinem CAS. Die Ableitungsfunktionen $g_a'$ und $g_a''$ hast du bereits in den Aufgabenteilen zuvor bestimmt, diese wurden hier unter d1g und d2g festgelegt. Setze nun $g_a'(x) = 0$ und bestimme so über die notwendige Bedingung die Extremstellen von $g_a$ für $-4 \leq x \leq 4$. Überprüfe anschließend die hinreichende Bedingung wie im Schaubild unten.
An den Stellen $x_1 = -4$, $x_2 = 0$ und $x_3 = 4$ liegen also Extremstellen vor. Insbesondere liegen bei $x_1$ und $x_3$ Minima und bei $x_2$ ein Maximum vor. Bestimme nun die vollständigen Koordinaten der Extrempunkte über Einsetzen von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ in den Funktionsterm von $g_a$:
Die Koordinaten der Extrempunkte der Graphen von $g_a$ sind also:
  • $T_1(-4 \mid 2- a)$;
  • $H(0 \mid a + 2)$ und
  • $T_2 ( 4 \mid 2 - a)$.
2. Schritt: Bestimmen des gesuchten Parameterwerts von $\boldsymbol{a}$
Betrachtest du nun die Koordianten der eben ermittelten Extrempunkte genauer, so kannst du zunächst erkennen, dass die jeweiligen $x$-Koordinaten der Extrempunkte unabhängig von $a$ sind. Da diese fix sind, kannst du somit bestimmen, welche Seitenlänge das gleichseitige Dreieck besitzen muss. Bestimme dazu den horizontalen Abstand zwischen den Tiefpunkten, da dieser Abstand unabhängig von $a$ ist:
$d_T = |x_{T_1}| + |x_{T_2}| = |-4| + 4 = 8$
$\begin{array}{rrl} d_T &=& |x_{T_1}| + |x_{T_2}| \\ &=& |-4| + 4 \\ &=& 8 \end{array}$
Die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks muss also 8 sein. Das heißt, der Abstand zwischen den Tiefpunkten $T_1$ und $T_2$ und dem Hochpunkt $H$ muss 8 Längeneinheiten betragen. Da die Tiefpunkte symmetrische zur $y$-Achse liegen, müssen hier nur die Koordinaten eines Tiefpunktes betrachtet werden.
Für den Abstand $d(a)$ zwischen $T_1$ und $H$ gilt hier:
$d(a) = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (2 - a - (a + 2))^2} = \sqrt{16 + (- 2 \cdot a)^2}.$
$\begin{array}{rrl} d(a)&=&\sqrt{(-4 - 0)^2 + (2 - a - (a + 2))^2} \\ &=& \sqrt{16 + (- 2 \cdot a)^2}. \end{array}$
Setze diesen Abstand nun gleich 8 und löse nach Parameter $a$. Verwende dazu wie im nachfolgenden Bild dein CAS:
Parameter $a$ muss also $a = 2 \cdot \sqrt{3}$ sein, damit das Dreieck, welches von den Extrempunkten der Scharfunktion $g_a$ gebildet wird, ein gleichseitiges ist.
1.3
$\blacktriangleright$ Zuordnen der Aussagen $\boldsymbol{A_1}$ bis $\boldsymbol{A_4}$ zu den jeweils passenden Schaubildern
In diesem Aufgabenteil hast du die Schaubilder $S_1$, $S_2$, $S_3$ und $S_4$ gegeben. Zu diesen sollst du die Aussagen $A_1$, $A_2$, $A_3$ und $A_4$, mit
  • $A_1$: Für $x=0$ ist die zweite Ableitung negativ.
  • $A_2$: Alle Stammfunktionen sind monoton wachsend.
  • $A_3$: Die erste Ableitung hat ein Schaubild, das punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
  • $A_4$: Im Intervall $\left[-1;1 \right]$ existiert die Umkehrfunktion.
zuordnen. Im Folgenden werden die Aussagen knapp erklärt und anschließend den Schaubildern zugeordnet:
$\boldsymbol{A_1}$:
Ist an einer beliebigen Stelle die zweite Ableitung einer Funktion negativ, so ist deren Graph an dieser Stelle rechtsgekrümmt.
$\boldsymbol{A_2}$:
Sind alle Stammfunktionen einer bestimmten Funktion monoton wachsend, so verläuft der Graph dieser Funktion immer oberhalb der $\boldsymbol{x}$-Achse.
$\boldsymbol{A_3}$:
Hat die erste Ableitung einer Funktion, ein zum Ursprung punktsymmetrisches Schaubild, so ist der Graph der betreffenden Funktion achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
$\boldsymbol{A_4}$:
Existiert im Intervall $\left[-1;1 \right]$ die Umkehrfunktion einer Funktion, so verläuft der Graph der Funktion in diesem Intervall monoton fallend oder steigend verlaufen.
Aussage $\boldsymbol{A_1}$
Schaubild $S_1$ besitzt bei $x = 0$ einen Hochpunkt. Über die hinreichende Bedingung für Hochpunkte weißt du, dass $S_1$ an der Stelle $x = 0$ einen zweiten Ableitungswert kleiner Null besitzen muss. Also trifft Aussage $A_1$ auf das Schaubild $S_1$ zu.
Aussage $\boldsymbol{A_2}$
Betrachtest du alle Schaubilder, so ist Schaubild $S_1$ das einzige, welches im gesamt betrachteten Intervall oberhalb der $x$-Achse verläuft. Aussage $A_2$ trifft also ebenfalls auf das Schaubild $S_1$ zu.
Aussage $\boldsymbol{A_3}$
Sowohl das Schaubild $S_1$ als auch $S_3$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Aussage $A_3$ trifft also auf das Schaubild $S_1$ und $S_3$ zu.
Aussage $\boldsymbol{A_4}$
Schaubild $S_2$ verläuft im Intervall $\left[-1;1 \right]$ monoton steigend. Das Schaubild $S_4$ verläuft im Intervall $\left[-1;1 \right]$ monoton fallend. Das heißt, Aussage $A_4$ passt zu den Schaubildern $S_2$ und $S_4$.
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1.1.1
$\blacktriangleright$Zeichnen des Schaubildes $\boldsymbol{K_{-2}}$
In der Aufgabenstellung ist dir für jedes $t \in \mathbb{R}$ die Funktion $f_t$, mit
$f_t(x) = \frac{1}{8} \cdot \left(x - t\right) \cdot \left(x - 4\right)^2$
gegeben. Deine Aufgabe ist es zunächst, das Schaubild $K_{-2}$ zu zeichnen. Das Schaubild $K_{-2}$ gehört zur Funktion $f_{-2}$. Bevor du das Schaubild $K_{-2}$ zeichnen kannst, musst du den Funktionsterm $f_{-2}(x)$ von $f_{-2}$ bestimmen. Setze dazu $t = -2$ in $f_t(x)$ ein und berechne wie folgt:
$f_{-2} (x) = \dfrac{1}{8} \cdot \left(x - (-2)\right) \cdot \left(x - 4\right)^2 = \dfrac{1}{8} \cdot \left(x +2\right) \cdot \left(x - 4\right)^2$.
$\begin{array}{rrl} f_{-2} (x)& = &\dfrac{1}{8} \cdot \left(x - (-2)\right) \cdot \left(x - 4\right)^2 \\ &=& \dfrac{1}{8} \cdot \left(x +2\right) \cdot \left(x - 4\right)^2 \end{array}$
Beim Zeichnen des Schaubilds $K_{-2}$ kann dir dein CAS behilflich sein. Wechsle dazu in den Graphik-Modus und lasse dir dort zunächst den Graphen von $f_{-2}$ anzeigen. Anschließend kannst du dir eine Wertetabelle anzeigen lassen, indem du das Tabellensymbol in der oberen Bildschirmleiste auswählst. Zeichne nun den Graphen von $f_{-2}$ bzw. das Schaubild $K_{-2}$ mit Unterstützung von deinem CAS. Der Graph von $f_{-2}$ bzw. $K_{-2}$ sollte hier so aussehen:
$\blacktriangleright$ Bestimmen des Verhältnisses der Inhalte der Teilflächen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Kurve $K_{-2}$ und die $x$-Achse eine Fläche begrenzen, wobei die Gerade durch den Hochpunkt $H$ von $K_{-2}$ und durch den Punkt $S\left(\frac{5}{8} \mid 0 \right)$ diese Fläche in zwei Teilflächen teilt. Deine Aufgabe ist es dabei, das Verhältnis dieser Flächen zu bestimmen.
Willst du hier das Verhältnis bestimmen, so zeichnest du die Teilflächen zunächst in die oben angefertigte Skizze ein, um dir hier den Sachverhalt vor Augen zu führen. Zeichne dazu ungefähr den Hochpunkt $H$ sowie den Punkt $S$ in das Schaubild und verbinde diese durch die Gerade $g$:
Bevor du hier das Verhältnis zwischen den Flächen berechnen kannst, musst du zunächst die Flächeninhalte der Teilflächen $A_1$ und $A_2$ bestimmen. Mache dir dazu klar, wie diese sich zusammensetzen:
$\boldsymbol{A_1}:$
Fläche $A_1$ wird in negativer $x$-Richtung durch den Schnittpunkt des Graphen von $f_{-2}$ mit der $x$-Achse und in positiver $x$-Richtung durch den Punkt $S$ beschränkt. $A_1$ setzt sich dabei zum einen aus der Fläche zusammen, welche der Graph von $f_{-2}$ mit der $x$-Achse einschließt und zum anderen mit der Fläche, die die Gerade $g$ mit der $x$- und $y$-Achse einschließt.
$\boldsymbol{A_2}:$
Fläche $A_2$ wird in positiver $x$-Richtung vom doppelten Schnittpunkt des Graphen von $f_{-2}$ mit der $x$-Achse und in negativer $x$-Richtung vom Punkt $S$ beschränkt. Der Flächeninhalt von $A_2$ ergibt sich dabei aus der Differenz der Fläche, die der Graph von $f_{-2}$ im betrachteten Bereich einschließt und der Fläche, die die Gerade $g$ mit den Koordinatenachsen einschließt. Willst du also das Verhältnis der Flächeninhalte hier berechnen, so gehe wie folgt vor:
  • Bestimme die Koordinaten von Hochpunkt $H$, sowie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte des Graphen von $f_{-2}$.
  • Bestimme den Flächeninhalt der Fläche, die die Gerade $g$ mit den Koordinatenachsen einschließt.
  • Berechne $A_1$ und $A_2$. Verwende dazu Integrale.
  • Berechne das Verhältnis.
1. Schritt: Bestimmen der benötigten Punkte
Betrachtest du den Funktionsterm von $f_{-2}$ genauer, so kannst du erkennen, dass dieser in Linearfaktorform gegeben ist. Das heißt, dem Funktionsterm können die Schnittstellen mit der $x$-Achse entnommen werden. Betrachte dazu die Ausdrücke in den Klammern genauer:
  • Einfacher Schnittpunkt bei $S_1(0 \mid -2)$
  • Doppelter Schnittpunkt bei $S_2(0 \mid 4)$
Weiterhin weißt du, dass an einem Maximum $x_M$ der Funktion $f_{-2}$ folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
  • Notwendige Bedingung: $f_{-2}'(x_M) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_{-2}''(x_M) < 0$
Bilde also die erste und zweite Ableitung von $f_{-2}$, um mit diesen dann die Koordinaten des Hochpunktes $H$ zu bestimmen. Verwende dazu dein CAS wie in den folgenden Schaubildern. Den Befehl für die Ableitung findest du unter
Keyboard $\to$ 2D $\to$ CALC $\to$ $\frac{d}{d()}()$
Unter den Platzhaltern d1f und d2f wurden dabei die Ableitungsfunktionen $f_{-2}'$ und $f_{-2}''$ mit Hilfe des Define-Befehls gespeichert. Nutze anschließend den solve-Befehl zum Lösen der Gleichung $f'(x) =0$.
Funktion $f_{-2}$ besitzt möglicherweise bei $x_1= 0$ und $x_2 = 4$ Extremstellen. Durch das Überprüfen der hinreichenden Bedingung findest du heraus, dass $f_{-2}$ bei $x_1$ ein Maximum besitzt, dessen Koordinaten im Schaubild unten ermittelt werden:
Der Graph von $f_{-2}$ besitzt also einen Hochpunkt $H$ mit den Koordinaten $H(0 \mid 4)$.
2. Schritt: Flächeninhalt der Fläche, die $\boldsymbol{g}$ einschließt
Bestimme nun den Flächeninhalt $A_g$ der Fläche, welche die Gerade $g$ mit den Koordinatenachsen einschließt. Betrachtest du diese Fläche genauer, so kannst du erkennen, dass $g$ mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck einschließt, wobei sich ein solcher Flächeninhalt wie folgt berechnen lässt:
$A_g = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$ mit:
  • $a,b$: Katheten des Dreiecks
Die Katheten des Dreiecks werden hier durch die Koordinaten von $H$ und $S$ bestimmt. Kathete $a$ könnte also eine Länge von $4$ und Kathete $b$ eine Länge von $\frac{5}{8}$ besitzen:
$A_{g} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{5}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$
3. Schritt: Flächeninhalt $\boldsymbol{A_1}$
Flächeninhalt $A_1$ ergibt sich nun zum einen über das Integral über $f_{-2}$ zwischen der Nullstelle bei $x_1 = -2$ und der $y$-Achse bei $x_2 = 0$ und zum anderen aus der Fläche $A_g$. Berechne hier das Integral mit deinem CAS, indem du über folgende Eingabenfolge ein Integral in den Calculator-Modus einfügst
Keyboard $\to$ 2D $\to$ CALC $\to$ $\displaystyle\int_{()}^{()}()\mathrm dx$
und wie folgt berechnest:
Für den Flächeninhalt $A_1$ gilt also:
$A_1 = A_g + \frac{11}{2} = \frac{5}{4} + \frac{11}{2} = \frac{27}{4}$
4. Schritt: Flächeninhalt $\boldsymbol{A_2}$
Flächeninhalt $A_2$ ergibt sich ebenfalls zum einen über das Integral über $f_{-2}$ zwischen der $y$-Achse bei $x_2 = 0$ und der Nullstelle bei $x_3 = 4$ und zum anderen aus der Fläche $A_g$. Berechne hier das Integral ebenfalls mit deinem CAS:
Für den Flächeninhalt $A_2$ gilt also:
$A_1 = 8 - A_g =8 - \frac{5}{4}= \frac{27}{4}$
Für das Verhältnis zwischen $A_1$ und $A_2$ gilt also:
$\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{\frac{27}{4}}{\frac{27}{4}} = \dfrac{1}{1}$.
1.1.2
$\blacktriangleright$Bestimmen von $\boldsymbol{u}$ so, dass der Flächeninhalt maximal wird
Der Aufgabenstellung kannst du hier entnehmen, dass die Punkte $Q_1 ( -2 \mid 0)$, $Q_2 ( u \mid 0)$ und $Q_3 ( u \mid f_{-2} (u))$ für $-2 < u < 4$ ein Dreieck bilden. Deine Aufgabe ist es dabei, $u$ so zu bestimmen, dass der Flächeninhalt $A_u$ dieses Dreiecks maximal wird. Anschließend sollst du diesen Flächeninhalt angeben.
Willst du hier den maximalen Flächeninhalt $A_u$ bestimmen, so musst du zunächst die Punkte $Q_1$, $Q_2$ und $Q_3$ näher betrachten:
  • $Q_1 ( -2 \mid 0)$ liegt auf der $x$-Achse und entspricht der Nullstelle von $f_{-2}$ bei $x_1 = -2$;
  • $Q_2 ( u \mid 0)$ liegt mit $-2 < u < 4$ ebenfalls auf der $x$-Achse und
  • $Q_3 ( u \mid f_{-2} (u))$ liegt auf dem Graphen von $f_{-2}$ und zwar oberhalb von $Q_2$.
Zeichne nun mit diesen Angaben ein exemplarisches Dreieck mit einem unbekannten $u$ in das Schaubild von oben, um die hier den Sachverhalt vor Augen zu führen:
Der Skizze oben kannst du entnehmen, dass es sich beim betrachteten Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Für dessen Flächeninhalt gilt hier also:
$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$ mit:
  • $a,b$: Katheten des Dreiecks
Willst du hier den maximalen Flächeninhalt $A_u$ bestimmen, so musst du zunächst einen Ansatz aufstellen, mit welchem sich allgemein der Flächeninhalt $A_u$ mit $-2 < u < 4$ berechnen lässt. Hast du diesen Ansatz bestimmt, so untersuchst du diesen auf Maxima. Mach dir dazu nochmals klar, dass sich Maxima $u_{max}$ hier an den folgenden Stellen befinden müssen:
  • Notwendige Bedingung: $A'(u_{max}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $A''(u_{max}) < 0$
1. Schritt: Bestimmen von $\boldsymbol{A(u)}$
Wie oben schon erwähnt, ist das hier betrachtete Dreieck rechtwinklig. Eine der Katheten des Dreiecks wird durch die Strecke zwischen der Stelle $u$ und der Stelle $-2$ bzw. der Strecke zwischen $Q_1$ und $Q_2$ gebildet. Die andere Kathete ergibt sich aus dem Funktionswert von $f_{-2}$ an der Stelle $u$. Für $A_u$ gilt also:
$A(u) = \frac{1}{2} \cdot (u + \mid- 2\mid ) \cdot f_{-2}(u)=\frac{1}{2} \cdot (u + 2) \cdot f_{-2}(u)$
$\begin{array}{rrl} A(u)& =& \frac{1}{2} \cdot (u + \mid- 2\mid ) \cdot f_{-2}(u) \\ &=&\frac{1}{2} \cdot (u + 2) \cdot f_{-2}(u) \end{array}$
2. Schritt: Bestimmen der Maximalstelle
Um die Stelle zu bestimmen, an der die Flächenfunktion $A$ einen maximalen Wert annimmt, gehst du hier wie im vorherigen Aufgabenteil vor. Die erste und zweite Ableitung von $A$ werden dabei unter d1A und d2A im Rechner hinterlegt:
Da $u_1=-2$ und $u_3 = 4$ nicht mehr im betrachteten Bereich von $u$ liegt und $A''(u_2=1) < 0$ gilt, ist der Flächeninhalt des betrachteten Dreiecks für $u_2 = 1$ maximal.
3. Schritt: Bestimmen des maximalen Flächeninhalts
Den hier gesuchten maximalen Flächeninhalt $A_{max.}$ bestimmst du, in dem du die Maximalstelle $u_2=1$ in $A(u)$ einsetzt und wie folgt mit deinem CAS berechnest:
Für $u_2 =1$ ist der Flächeninhalt mit $\approx 5,06\,\text{FE}$ maximal.
1.1.3
$\blacktriangleright$ Nennen von charakteristischen Eigenschaften von $\boldsymbol{K_t}$ in Abhängigkeit von $\boldsymbol{t}$
Nun sollst du charakteristische Eigenschaften von $\boldsymbol{K_t}$ in Abhängigkeit des Parameters $t$ angeben. Mache dir dazu folgendes klar:
  • Bei $f_t$ handelt es sich um eine Funktionenschar;
  • $f_t$ ist eine Schar ganzrationaler Funktionen dritten Grades;
  • der Funktionsterm von $f_t$ liegt in Linearfaktorform vor.
Da Funktionsterm von $f_t$ in Linearfaktorform vorliegt und Parameter $t$ einer dieser Faktoren darstellt, beeinflusst $t$ eine einfache Nullstelle von $f_t$ bzw. einen Schnittpunkt mit der $x$-Achse von $K_t$. Nimmt $t$ den Wert 0 an, so liegt der Schnittpunkt von $K_t$ mit der $x$-Achse im Ursprung. Nimmt $t$ einen Wert kleiner Null an, so liegt der Schnittpunkt von $K_t$ mit der $x$-Achse auf der negativen $x$-Achse. Für positive Werte von $t$ liegt der betrachtete Schnittpunkt mit der $x$-Achse auf der positiven $x$-Achse.
1.1.4
$\blacktriangleright$ Bestimmen aller Werte für $\boldsymbol{t}$, sodass $\boldsymbol{x_2 = 2 \cdot x_1}$ gilt
Der Aufgabenstellung kannst du hier entnehmen, dass $f_t'$ die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ besitzt. Deine Aufgabe ist es dabei, alle Werte für $t$ zu bestimmen, so dass für die Nullstellen $x_2 = 2 \cdot x_1$ gilt.
Willst du diese Aufgabe lösen, so musst du zunächst die erste Ableitungsfunktion $f_t'$ von $f_t$ bestimmen. Hast du diese bestimmt, so berechnest du mit Hilfe deines CAS die Nullstellen dieser Funktion in Abhängigkeit von $t$, setze dazu $f_t'(x) = 0$.
Hast du die Nullstellen in Abhängigkeit von $t$ bestimmt, so setzt du die Nullstelle $x_2$ mit dem doppelten von $x_1$ gleich und löst die resultierende Gleichung nach $t$. So hast du dann die Parameterwerte von $t$ bestimmt, für die die gegebene Bedingung erfüllt ist.
1. Schritt: Bestimmen der Nullstellen $\boldsymbol{x_1}$ und $\boldsymbol{x_2}$
Bestimme zunächst, wie in den Aufgabenteilen zuvor, die erste Ableitungsfunktion von $f_t$ mit deinem CAS. Diese wurde hier unter d1ft festgelegt. Hast du diese bestimmt, so bestimmst du wie unten mit Hilfe des solve-Befehls die Nullstellen der Funktion $f_t'$:
Die Nullstellen von $f_t'$ sind also $x_1 = \dfrac{2 \cdot ( t + 2 ) }{3}$ und $x_2 = 4$.
2. Schritt: Parameterwerte von $\boldsymbol{t}$, für die die Bedingungen erfüllt sind
Setze nun $x_2 = 2 \cdot x_1$, um die Parameterwerte von $t$ zu bestimmen, für welche die gegebene Bedingung erfüllt ist. Löse dazu die resultierende Gleichung nach $t$:
$\begin{array}{rrlrl} x_2&=&2 \cdot x_1 \\[5pt] 4&=&2 \cdot \left(\dfrac{2 \cdot ( t + 2 ) }{3} \right) \\[5pt] 4&=&\dfrac{4 \cdot ( t + 2 ) }{3}&&\mid\; \cdot 3 \\[5pt] 12&=&4 \cdot t + 8&&\mid\; -8 \\[5pt] 4&=&4 \cdot t&&\mid\; :4 \\[5pt] 1&=&t \end{array}$
$\begin{array}{rrl} x_2&=&2 \cdot x_1 \\[5pt] 4&=&2 \cdot \left(\dfrac{2 \cdot ( t + 2 ) }{3} \right) \\[5pt] 4&=&\dfrac{4 \cdot ( t + 2 ) }{3} \\[5pt] 12&=&4 \cdot t + 8 \\[5pt] 4&=&4 \cdot t \\[5pt] 1&=&t \end{array}$
Die gegebene Bedingung ist für $t = 1$ erfüllt.
1.2.1
$\blacktriangleright$Bestimmen der gemeinsamen Punkte aller Schaubilder $\boldsymbol{C_a}$
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass für jedes $a > 0$ die Funktion $g_a$ gegeben ist, mit:
$g_a(x)=a \cdot \cos \left(\dfrac{\pi}{4} \cdot x\right) + 2;$   $x \in \left[-4;4 \right]$
Deine Aufgabe ist es nun, die gemeinsamen Punkte aller Schaubilder $C_a$ zu bestimmen. Das heißt du bestimmst all jene Punkte, in welchen sich die Schaubilder $C_a$ unabhängig von Parameter $a$ schneiden.
Willst du diese Aufgabe lösen, so führst du hier zwei beliebige Parameter $a_1$ und $a_2$ ein, für die $a_1 \neq a_2$ gilt. Definiere mit diesen die Funktionen $g_{a_1}$ und $g_{a_2}$. Bestimmst du dann die Schnittstellen von $g_{a_1}$ und $g_{a_2}$ für $ x \in \left[-4;4 \right]$, so hast du die allgemeinen Schnittstellen aller Funktionen der Schar $g_a$ bestimmt.
Verwende zum Bestimmen der Schnittstellen dein CAS. Definiere in diesem Funktion $g_{a_1}$ und $g_{a_2}$ und bestimme mittels solve die Schnittstellen. Vergiss dabei die Einschränkung $ x \in \left[-4;4 \right]$ nicht!
Alle Schaubilder $C_a$ schneiden sich also bei $x_1 = -2$ und $x_2 = 2$
Alternativweg
Alternativ kannst du auch zwei konkrete Parameterwerte von $a$, z.B. $a_1 = 1$ und $a_2 = 2$, annehmen und die Schnittstellen der zugehörigen Funktionen $g_1$ und $g_2$ bestimmen. Zeigst du dann anschließend, dass die so ermittelten Schnittpunkte von $g_1$ und $g_2$ auf allen Schaubildern $C_a$ liegen, so hast du ebenfalls alle gemeinesamen Punkte aller Schaubilder $C_a$ ermittelt:
Es handelt sich dabei um Schnittpunkte aller $C_a$, wenn die zu den Schnittstelle zugehörige $y$-Koordinate ebenfalls unabhägig vom Parameter $a$ ist. Bestimme also die vollständigen Koordianten der Schnittpunkte, um hier die gemeinsamen Punkte aller Schaubilder $C_a$ zu bestimmen. Dieser Schritt ist sowohl für die Haupt- als auch für die Alternativlösung notwendig.
Die Koordinaten der gemeinsamen Punkte aller Schaubilder $C_a$ sind also $S_1(-2 \mid 2)$ und $S_2(2 \mid 2)$.
$\blacktriangleright$Bestimmen des $\boldsymbol{a}$, für das sich die Wendetangenten orthogonal schneiden
Nun sollst du den Parameterwert für $a$ bestimmen, bei welchem sich die Wendetangenten des Graphen von $g_a$ orthogonal schneiden. Schneiden sich zwei Geraden $t_1$ und $t_2$ orthogonal, so gilt für deren Steigungen $m_1$ und $m_2$:
$m_1 = \frac{1}{-m_2}$
Damit sich also Geraden orthogonal scheiden, muss die Steigung der einen Geraden dem negativen Kehrwert der Steigung der zweiten Geraden entsprechen. Um diese Aufgabe zu lösen, benötigst du also die von $a$ abhängige Steigung der Wendetangenten $t_1$ und $t_2$. Damit du die gesuchten Steigungen bestimmen kannst, musst du zunächst die Wendestellen von $g_a$ bestimmen. Denke dabei daran, dass für eine Wendestelle bei $x_W$ folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
  • Notwendige Bedingung: $g_a''(x_W) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $g_a'''(x_W) \neq 0$
Verwende zum Bestimmen der Wendestellen von $g_a$ dein CAS wie in den Aufgabenteilen zuvor. Bestimme anschließend die Steigung an den ermittelten Wendestellen mit der ersten Ableitungsfunktion $g_a'$ von $g_a$ und ermittle mit Hilfe des oben gezeigten Zusammenhangs die gesuchten Parameterwerte für $a$.
1. Schritt: Bestimmen der Wendestellen von $\boldsymbol{g_a}$
Bevor du die Wendestellen von $g_a$ bestimmen kannst, bestimmst du hier zunächst zweite und dritte Ableitung von $g_a$. Diese wurden hier unter d2g und d3g festgelegt. Hast du diese bestimmt, so berechnest du mit solve die potentiellen Wendestellen von $g_a$ und überprüfst die hinreichende Bedingung bei diesen.
Da sowohl $g_a'''(-2) \neq 0$ als auch $g_a'''(2) \neq 0$ gilt, befinden sich die Wendestellen von $g_a$ bei $x_1 = -2$ und $x_2 = 2$.
2. Schritt: Bestimmen der Steigung an den Wendestellen
Die Steigung an den Wendestellen $x_1 = -2$ und $x_2 = 2$ bestimmst du nun, indem du $x_1 = -2$ und $x_2 = 2$ in die erste Ableitungsfunktion von $g_a$ einsetzt. Diese wurde hier unter d1g festgelegt.
Da die Steigung von $g_a$ an den Stellen $x_1 = -2$ und $x_2 = 2$ der Steigung der jeweiligen Wendetangenten $t_1$ und $t_2$ entspricht, gilt hier für $m_1$ und $m_2$:
  • $m_1 = \dfrac{a \cdot \pi}{4}$
  • $m_2 = \dfrac{-a \cdot \pi}{4}$
3. Schritt: Bestimmen des gesuchten Parameterwertes von $\boldsymbol{a}$
Den gesuchten Parameterwert von $a$ bestimmst du nun, indem du $m_1$ und $m_2$ in den Zusammenhang von oben einsetzt und nach $a$ löst:
$\begin{array}{rrlrl} m_1&=&\dfrac{1}{-m_2} \\[5pt] \dfrac{a \cdot \pi}{4}&=&\dfrac{1}{-\left(-\dfrac{a \cdot \pi}{4} \right)} \\[5pt] \dfrac{a \cdot \pi}{4}&=&\dfrac{1}{\dfrac{a \cdot \pi}{4}} \\[5pt] \dfrac{a \cdot \pi}{4}&=&\dfrac{4}{a \cdot \pi}&& \mid\; \cdot 4\;\mid \cdot a \cdot \pi \\[5pt] a^2 \cdot \pi^2&=&16&& \mid\; :\pi^2 \\[5pt] a^2 &=&\dfrac{16}{\pi^2}&& \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] a&=&\dfrac{4}{\pi} \end{array}$
$\begin{array}{rrl} m_1&=&\dfrac{1}{-m_2} \\ \dfrac{a \cdot \pi}{4}&=&\dfrac{1}{-\left(-\dfrac{a \cdot \pi}{4} \right)} \\ \dfrac{a \cdot \pi}{4}&=&\dfrac{1}{\dfrac{a \cdot \pi}{4}} \\ \dfrac{a \cdot \pi}{4}&=&\dfrac{4}{a \cdot \pi} \\ a^2 \cdot \pi^2&=&16 \\ a^2 &=&\dfrac{16}{\pi^2} \\ a&=&\dfrac{4}{\pi} \end{array}$
Da $a>0$ vorgegeben ist, gibt es hier nur die eine Lösung. Damit sich die Wendetangenten orthogonal schneiden, muss $a$ den Wert $\dfrac{4}{\pi}$ annehmen.
1.2.2
$\blacktriangleright$ Bestimmen, für welches $\boldsymbol{a}$ die Extrempunkte ein gleichseitiges Dreieck bilden
Deine Aufgabe ist es hier, den Parameterwert von $a$ zu bestimmen, für welchen die Extrempunkte von $g_a$ ein gleichseitiges Dreieck bilden. Ein gleichseitiges Dreieck ist dabei ein Dreieck, bei dem alle Seiten die gleiche Länge haben.
Willst du diese Aufgabe hier lösen, so veranschauliche zunächst den Sachverhalt, indem du beispielsweise den Graphen von $g_2$ zeichnest und in das entstehende Schaubild das Dreieck einträgst. Gehe beim Zeichnen von $g_2$ vor wie im Aufgabenteil 1.1.1, es sollte folgendes Schaubild hier entstehen:
Bezogen auf das Beispiel von oben, ist hier das Dreieck, welches von den Extrempunkten gebildet wird, genau dann gleichseitig, wenn der Abstand zwischen den Extrempunkten, welche auf der $x$-Achse liegen gleich dem Abstand zwischen den Extrempunkten auf der $x$-Achse und dem Extrempunkte auf der $y$-Achse ist.
Hier gilt es also zunächst allgemein die Extrempunkte zu bestimmen. Denke dabei daran, dass an einer Extremstelle $x_E$ bezogen auf die Funktion $g_a$ folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
  • Notwendige Bedingung: $g_a'(x_E) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $g_a''(x_E) \neq 0$
Hast du die von Parameter $a$ abhängigen Koordinaten der Extrempunkte der Graphen von $g_a$ bestimmt, so bestimmst du anschließend den Parameterwert von $a$ so, dass der Abstand $d$ zwischen diesen der gleiche ist. Den Abstand $d$ zwischen zwei Punkten $P_1(x_1\mid y_1)$ und $P_2(x_2\mid y_2)$ bestimmst du dabei über folgenden Ansatz:
$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$
Gehe beim Lösen dieser Aufgabe also so vor:
  • Bestimme die von $a$-abhängigen Extremstellen von $f$;
  • Bestimme die vollständigen Koordinaten dieser Extremstellen;
  • Berechne allgemein den Abstand zwischen den Extremstellen und ermittle dann das $a$, für welches dieser gleich ist
1. Schritt: Bestimmen der Extremstellen von $\boldsymbol{g_a}$
Die Extremstellen der Funktionenschar $g_a$ bestimmst du hier wie in den Aufgabenteilen zuvor mit deinem CAS. Die Ableitungsfunktionen $g_a'$ und $g_a''$ hast du bereits in den Aufgabenteilen zuvor bestimmt, diese wurden hier unter d1g und d2g festgelegt. Setze nun $g_a'(x) = 0$ und bestimme so über die notwendige Bedingung die Extremstellen von $g_a$ für $-4 \leq x \leq 4$. Überprüfe anschließend die hinreichende Bedingung wie im Schaubild unten.
An den Stellen $x_1 = -4$, $x_2 = 0$ und $x_3 = 4$ liegen also Extremstellen vor. Insbesondere liegen bei $x_1$ und $x_3$ Minima und bei $x_2$ ein Maxima vor. Bestimme nun die vollständigen Koordinaten der Extrempunkte über Einsetzen von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ in den Funktionsterm von $g_a$:
Die Koordinaten der Extrempunkte der Graphen von $g_a$ sind also:
  • $T_1(-4 \mid 2- a)$;
  • $H(0 \mid a + 2)$ und
  • $T_2 ( 4 \mid 2 - a)$.
2. Schritt: Bestimmen des gesuchten Parameterwerts von $\boldsymbol{a}$
Betrachtest du nun die Koordianten der eben ermittelten Extrempunkte genauer, so kannst du zunächst erkennen, dass die jeweiligen $x$-Koordinaten der Extrempunkte unabhängig von $a$ sind. Da diese fix sind, kannst du somit bestimmen, welche Seitenlänge das gleichseitige Dreieck besitzen muss. Bestimme dazu den horizontalen Abstand zwischen den Tiefpunkten, da dieser Abstand unabhängig von $a$ ist:
$d_T = |x_{T_1}| + |x_{T_2}| = |-4| + 4 = 8$
$\begin{array}{rrl} d_T &=& |x_{T_1}| + |x_{T_2}| \\ &=& |-4| + 4 \\ &=& 8 \end{array}$
Die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks muss also 8 sein. Das heißt, der Abstand zwischen den Tiefpunkten $T_1$ und $T_2$ und dem Hochpunkt $H$ muss 8 Längeneinheiten betragen. Da die Tiefpunkte symmetrische zur $y$-Achse liegen, müssen hier nur die Koordinaten eines Tiefpunktes betrachtet werden.
Für den Abstand $d(a)$ zwischen $T_1$ und $H$ gilt hier:
$d(a) = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (2 - a - (a + 2))^2} = \sqrt{16 + (- 2 \cdot a)^2}.$
$\begin{array}{rrl} d(a)&=&\sqrt{(-4 - 0)^2 + (2 - a -( a + 2))^2} \\ &=& \sqrt{16 + (- 2 \cdot a)^2}. \end{array}$
Setze diesen Abstand nun gleich 8 und löse nach Parameter $a$. Verwende dazu wie im nachfolgenden Bild dein CAS:
Parameter $a$ muss also $a = 2 \cdot \sqrt{3}$ sein, damit das Dreieck, welches von den Extrempunkten der Scharfunktion $g_a$ gebildet wird, ein gleichseitiges ist.
1.3
$\blacktriangleright$ Zuordnen der Aussagen $\boldsymbol{A_1}$ bis $\boldsymbol{A_4}$ zu den jeweils passenden Schaubildern
In diesem Aufgabenteil hast du die Schaubilder $S_1$, $S_2$, $S_3$ und $S_4$ gegeben. Zu diesen sollst du die Aussagen $A_1$, $A_2$, $A_3$ und $A_4$, mit
  • $A_1$: Für $x=0$ ist die zweite Ableitung negativ.
  • $A_2$: Alle Stammfunktionen sind monoton wachsend.
  • $A_3$: Die erste Ableitung hat ein Schaubild, das punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
  • $A_4$: Im Intervall $\left[-1;1 \right]$ existiert die Umkehrfunktion.
zuordnen. Im Folgenden werden die Aussagen knapp erklärt und anschließend den Schaubildern zugeordnet:
$\boldsymbol{A_1}$:
Ist an einer beliebigen Stelle die zweite Ableitung einer Funktion negativ, so ist deren Graph an dieser Stelle rechtsgekrümmt.
$\boldsymbol{A_2}$:
Sind alle Stammfunktionen einer bestimmten Funktion monoton wachsend, so verläuft der Graph dieser Funktion immer oberhalb der $\boldsymbol{x}$-Achse.
$\boldsymbol{A_3}$:
Hat die erste Ableitung einer Funktion, ein zum Ursprung punktsymmetrisches Schaubild, so ist der Graph der betreffenden Funktion achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
$\boldsymbol{A_4}$:
Existiert im Intervall $\left[-1;1 \right]$ die Umkehrfunktion einer Funktion, so verläuft der Graph der Funktion in diesem Intervall monoton fallend oder steigend verlaufen.
Aussage $\boldsymbol{A_1}$
Schaubild $S_1$ besitzt bei $x = 0$ einen Hochpunkt. Über die hinreichende Bedingung für Hochpunkte weißt du, dass $S_1$ an der Stelle $x = 0$ einen zweiten Ableitungswert kleiner Null besitzen muss. Also trifft Aussage $A_1$ auf das Schaubild $S_1$ zu.
Aussage $\boldsymbol{A_2}$
Betrachtest du alle Schaubilder, so ist Schaubild $S_1$ das einzige, welches im gesamt betrachteten Intervall oberhalb der $x$-Achse verläuft. Aussage $A_2$ trifft also ebenfalls auf das Schaubild $S_1$ zu.
Aussage $\boldsymbol{A_3}$
Sowohl das Schaubild $S_1$ als auch $S_3$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Aussage $A_3$ trifft also auf das Schaubild $S_1$ und $S_3$ zu.
Aussage $\boldsymbol{A_4}$
Schaubild $S_2$ verläuft im Intervall $\left[-1;1 \right]$ monoton steigend. Das Schaubild $S_4$ verläuft im Intervall $\left[-1;1 \right]$ monoton fallend. Das heißt, Aussage $A_4$ passt zu den Schaubildern $S_2$ und $S_4$.
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